Національна академія наук України

Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України

Тишкевич Дмитро Леонідович

УДК 517.982.22, 517.983.2

ПРО ОРТОГОНАЛІЗАЦІЮ СИСТЕМ ВЕКТОРІВ І РОЗКЛАДАННЯ ТИПУ ВОЛЬДА

У ЛІНІЙНИХ ПРОСТОРАХ З ВНУТРІШНІМ ДОБУТКОМ

01.01.01 – математичний аналіз

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Харків – 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Таврійському національному університеті імені В.І. Вернадського Міністерства освіти і науки України, м. Сімферополь

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор

Копачевський Микола Дмитрович,

Таврійський національний університет імені В.І. Вернадського,

завідувач кафедрою математичного аналізу, м. Сімферополь.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Деркач Володимир Олександрович,

Донецький національний університет,

завідувач кафедрою математичного аналізу, м. Донецьк

доктор фізико-математичних наук, професор

Азізов Томас Яковлевич,

Вороніжський державний університет,

професор кафедри теорії функцій та геометрії, м. Вороніж

Провідна установа: Львівський національний університет імені І. Франка, м. Львів

Захист відбудеться ”5” березня 2008 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д64.175.01 у Фізико-технічному інституті низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України за адресою 61103, м. Харків, пр. Леніна 47, ауд.213

З дисертацією можна познайомитися в науковій бібліотеці Фізико-технічного інституту низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України за адресою 61103, м. Харків, пр. Леніна 47

Автореферат розісланий ”____” січня 2008 р.

Вчений секретар Горькавий В.О.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Активний розвиток у сучасному функціональному аналізі методів теорії операторів, діючих у просторах Крейна, та активне застосування цих методів у різних суміжних областях, таких як, наприклад, теорія інтерполяції в класах аналітичних функцій та теорія лінійних систем, робить актуальними наступні питання.

Насамперед, достатньо розвинутий апарат теорії спектральних (зокрема, дефінізуємих) операторів у банахових просторах, розроблений рядом математиків, робить перспективним поширення на випадок банахових просторів результатів, отриманих для аналогічних класів операторів у просторах Крейна. З іншого боку, як показують деякі дослідження, запасу просторів Крейна недостатньо для вирішення деяких проблем, які виникають у суміжних областях. Така ситуація виникає, наприклад, при реалізації аналітичних функцій лінійними системами, коли відтворюючі ядра, що будуються по вихідній аналітичної функції, лише при особливих умовах на область аналітичності функції та на саму функцію породжують простір Крейна (у якому діє основний оператор системи); у загальному ж випадку ці відтворюючі ядра можуть породжувати більш загальні простори з внутрішнім добутком.

Далі, в останній час інтерес до загальних просторів з внутрішнім добутком виявляється також серед фізиків-теоретиків, фахівців з квантової теорії поля, у зв’язку з дослідженням зображень *-алгебр. Як відомо, одним з підходів к вирішенню проблем, виникаючих у квантової теорії поля, є введення індефінітної метрики, призначеної чи, в деяких випадках, ліквідувати різного роду розбіжності (наприклад, метод регулярізації Паулі-Віларса), чи, в других випадках, взагалі побудувати несуперечливу теорію поля (наприклад, формалізм Гупта-Блейлера). При цьому простори, в яких діють польові оператори, по природних причинах покладаються гільбертовими, тобто теорії автоматично обмежуються просторами Крейна. Але, як виявилося зовсім недавно, *-алгебри, які не можуть бути зображені обмеженими операторами у гільбертовому просторі (наприклад, алгебра Гейзенберга), мають нові цікаві серії незвідних зображень у просторах більш загальних, ніж простори Крейна.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана в рамках держбюджетних тем кафедри алгебри та функціонального аналізу Таврійського національного університету „Спектральний аналіз операторів, діючих у просторах з різною метрикою” (1997 – 2000 рр., номер держреєстрації 0301U002463); „Проблеми теорії функцій та оператор-функцій” (2001 – 2005 рр., номер держреєстрації 0101U005081).

Мета і задачі дослідження. Метою дисертації є розвиток і узагальнення відомих методів дослідження лінійних неперервних операторів, діючих у гільбертових просторах та просторах Крейна на випадок загальних просторів з індефінітним внутрішнім добутком

Об’єкт дослідження – лінійні простори з внутрішнім добутком і лінійні оператори у них.

Предмет дослідження – геометричні властивості просторів з внутрішнім добутком, алгебраїчні та категорні властивості класів лінійних просторів з внутрішнім добутком і лінійних операторів, діючих у них.

Основні задачі:

-

-

-

-

Наукова новизна отриманих результатів.

1. Вперше отримано необхідні і достатні умови ортогоналізуємості довільної зліченої системи векторів у довільному лінійному просторі з внутрішнім добутком в термінах східчастої невиродженості. Отримано критерій ортогоналізуємості зліченої системи векторів методом Грама-Шмідта в термінах повної східчастої невиродженості.

2. Критерій ортогоналізуємості у термінах східчастої невиродженості та ряд фактів теорії просторів з внутрішнім добутком використовуються при обґрунтуванні однієї з основних теорем дисертації – теореми про ортогоналізуємість системи векторів, задовольняючої певним, доступним для конструктивній перевірки, умовам. Вперше дано застосування цієї теореми до проблеми ортогоналізації мономів у лебегівських просторах зо знакозмінною ваговою функцією.

3. Отримано новий аналог розкладання Вольда напівунітарного оператору в довільному лінійному просторі з внутрішнім добутком. У випадку правильного рефлексивного банахова простору одержано критерій існування розкладання Вольда напівунітарного оператора в термінах проекційно повних підпросторів зсуву та остаточного підпростору. У випадку правильного рефлексивного банахова простору дано опис проекційно повних підпросторів, які приводять напівунітарний оператор.

4. Доведено теорему про існування у довільного оператора з категорії з квадратичним розщепленням елементарної ротації з тієї ж категорії. Даний результат є широким узагальненням відомого результату для просторів Крейна. Наукова новизна цього результату полягає у наступному: по-перше, результат сформульовано на мові теорії категорій із застосуванням її найпростіших засобів. По-друге, зовсім нечисленні аксіоми категорії з квадратичним розщепленням прозорі та природні для даної тематики, по-третє, і це є найголовнішим – у роботі показано, що поряд з категорією просторів Крейна клас усіх невироджених просторів зі слабко неперервними операторами, а також деякі природні класи банахових просторів з визначеними класами спрягуємих сильно неперервних операторів створюють категорії з квадратичним розщепленням.

5. На підставі вивчення властивостей елементарної ротації неперервного оператору дано опис структури всіх його максимальних підпросторів, що приводять даний оператор, та індукують унітарний оператор (у довільному просторі з внутрішнім добутком). Постановка і розв’язання цієї задачі є новими навіть для класу просторів Понтрягіна.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертація має в основному теоретичне значення; результати дисертації доповнюють та розвивають теорію лінійних просторів з внутрішнім добутком і теорію лінійних операторів, діючих у цих просторах. Результати досліджень можуть бути використані при побудові теорії дилатацій та характеристичних функцій, теорії моделей лінійних операторів, теорії лінійних систем у випадку загальних просторів з внутрішнім добутком.

Особистий внесок здобувача. Усі результати, які містяться в роботі, цілковито належать авторові. Усі роботи автора по темі дисертації опубліковано без співавторів.

Апробація результатів дисертації. Результати роботи доповідались на IX міжнародній конференції ім. академіка М. Кравчука (Київ, 16 – 19 травня 2002 р.); I літній школі по топологічній алгебрі та функціональному аналізу (Львів-Козева, 22 – 31 червня 2003 р.): Міжнародній конференції, присвяченій 103-річчю з дня народження І.Г. Петровського (XXI сесія спільного засідання ММС і семінару ім. І.Г. Петровського, Москва, 16 – 22 травня 2004 р.): Міжнародній конференції, присвяченої 125-річчю з дня народження Г. Хана (Чернівці. 27 липня – 3 червня 2004 р.); Satellite Conference of the European Congress of Mathematics Operator Theory and Applications in mathematical Physics OTAMP 2004 (Bedlewo Mathematical Conference Center, Poland, Bedlewo, July 6 – 11, 2004); Міжнародній конференції Функціональні простори, теорія наближень, нелінійний аналіз, присвяченій 100-річчю С.М. Нікольського (Москва, 23 – 29 травня 2005 р.); The Banach Center Conference Analysis & Partial Differential Equations (In honor of Professor Bogdan Bojarski) (Mathematical Research and Conference Center, Poland, Bedlewo, June 18 – 24, 2006); XIII – XVI осінніх математичних школах-симпозіумах (Севастополь-Ласпі-Батіліман, 2002 – 2005 рр.); семінарі кафедри математичного аналізу ВДУ під керівництвом Т.Я. Азізова (Вороніж, 2002 р.); об’єднаному семінарі кафедри математичного аналізу та кафедри теорії функцій ДНУ під керівництвом М.М. Маламуда та В.А. Деркача (Донецьк, 2005 р.); на семінарі Фізико-технічного інституту низьких температур ім.. Б.І. Вєркіна НАН України під керівництвом академіка Є.Я. Хруслова (Харків, 2006 р.), семінарах кафедри алгебри та функціонального аналізу (раніше кафедри алгебри та теорії чисел ТНУ (раніше СДУ)); XXV – XXXIII наукових конференціях професорсько-викладацького складу Таврійського національного університету (раніше СДУ) (Сімферополь, 1997 – 2006 рр.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 15 наукових працях (7 робіт – у виданнях, що включені в перелік ВАК України, 2 роботи у фахових наукових виданнях, 6 робіт – тези доповідей).

Структура і обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, шести розділів, висновків, списку використаних джерел та чотирьох додатків. Повний обсяг роботи – 187 сторінок, у тому числі основного тексту 137 сторінок. Список використаних джерел займає 20 сторінок і включає 214 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

Усі твердження автореферату наводяться під тими номерами, які вони мають у тексті дисертації.

У вступі розкривається сутність і стан досліджуваних наукових проблем та їх значущість.

У розділі 1 наводиться історична довідка стосовно кола питань, що мають відношення до теми роботи. Наведено огляд літератури з теми дисертації.

У розділі 2 обґрунтовується вибір напрямку досліджень, наведено методи вирішення задач і сформульовано основні результати, що досягнуті в цьому напрямку.

У розділі 3 під назвою „Ортогоналізація систем векторів у лінійних просторах з індефініт-ним внутрішнім добутком” вивчається задача ортогоналізації зліченої лінійно незалежної системи векторів. Розділ складається з чотирьох підрозділів.

У підрозділі 3.1 дано деякі допоміжні факти стосовно просторів з внутрішнім добутком.

У підрозділі 3.2 викладено і доведено допоміжні та основні результати розділу 3. Основним результатом підрозділу 3.2 (та всього розділу 3) є наступна теорема.

Теорема 3.30. Нехай – лінійно незалежна система в , яка задовольняє умовам: – невироджений лінеал, та існує таке , що для довільного

.

Тоді існує конструктивна процедура ортогоналізації системи .

Окрім цього, в підрозділі 3.2 приведено критерій ортогоналізуємості довільної зліченої системи векторів в термінах так званої східчастої невиродженості (теорема 3.3); отримано критерій ортогоналізуємості системи методом Грама-Шмідта в термінах так званої повної східчастої невиродженості (теорема 3.12) і одержані деякі допоміжні другорядні результати, яки є новими та можуть мати самостійне значення.

У підрозділі 3.3 теорема 3.30 застосовується для доведення теореми 3.36 стосовно ортогоналізуємості системи мономів у лебегівському просторі (, – одинична окружність).

У підрозділі 3.4 приведено: коментарі до отриманих результатів, посилання на деякі роботи з даної тематики (у тому числі на роботи автора) та висновки за результатами розділу 3.

У розділі 4 під назвою „Елементарні ротації операторів у категоріях з квадратичним розщепленням” вирішується задача визначення та побудови так званої елементарної ротації (оператора Жюліа) лінійного оператора у довільному ПВД. Розділ складається з десяти підрозділів.

У підрозділі 4.0 дано мотивування та короткий огляд отриманих далі в розділі результатів.

У підрозділі 4.1 приведено необхідні надалі в дисертації визначення та факти щодо властивостей лінійних операторів у ПВД (спрягуємість, неперервність у різних топологіях тощо), та деякі елементарні визначення і факти теорії категорій.

У підрозділі 4.2 розглядуються деякі допоміжні результати стосовно нормованих та, зокрема, банахових ПВД. Більшість з цих результатів є новими та деякі з них можуть представляти самостійний інтерес.

У пункті 4.2.2 доведено, що кожен банахів простір може бути ізометрично вкладений у правильний банахів ПВД.

У підрозділах 4.3 – 4.5 визначаються матричні категорії та матричні категорії зі спряженням (ці означення є новими та належать авторові), вивчаються деякі прості властивості цих категорій та наводяться приклади таких категорій.

У підрозділі 4.6 поширюється на випадок довільних ПВД відоме для просторів Крейна означення розкладання Богнара-Крамлі самоспряженого оператора.

У підрозділі 4.7 введено головний для усього дослідження в розділу 4 тип категорій: категорії з квадратичним розщепленням (також це означення є новим та належить авторові). Наведено приклади таких категорій.

У підрозділі 4.8 поширюється визначення елементарної ротації, відоме для просторів Крейна, на загальний випадок довільного ПВД, та доведено основний результат розділу 4 про існування елементарної ротації лінійного оператора з категорії з квадратичним розщепленням.

У пункті 4.8.2 доведено основний результат розділу 4.

Теорема 4.40. Нехай – категорія з квадратичним розщепленням. Тоді для будь-якого оператора існує – елементарна ротація .

У підрозділі 4.9 розглянуті деякі приклади стосовно тематики розділу, та приведено: коментарі до отриманих результатів, посилання на деякі роботи з даної тематики (в тому числі на роботи автора) та висновки за результатами розділу 4.

У розділі 5 під назвою „Розкладання Вольда в банахових просторах з внутрішнім добутком” досліджуються певні властивості напівунітарних операторів у ПВД. Отримано аналог розкладання Вольда напівунітарного оператору в довільному лінійному просторі з внутрішнім добутком, а у випадку правильного рефлексивного банахова ПВД одержано критерій існування розкладання Вольда напівунітарного оператора в термінах проекційно повних підпросторів зсуву та остаточного підпростору. Дано характеризацію однобічних зсувів, для яких кожен вектор ПВД відтворюється по своїм коефіцієнтам Фур’є відносно зсуву. У випадку правильного рефлексивного банахова ПВД дано опис проекційно повних підпросторів, які приводять напівунітарний оператор. Розділ складається з трьох підрозділів.

У розділі 6 під назвою „Про максимальні підпростори, що приводять оператор та індукують унітарний оператор” вивчається узагальнення на випадок довільного ПВД (геометричної частини) відомої теореми Лангера про розбиття будь-якого лінійного стиску в ортогональну суму цілком неунітарного стиску та унітарного оператора.

У Додатку А приведено деякі допоміжні факти теорії лінійних просторів, зокрема, просторів з внутрішнім добутком.

У Додатку В розглянуто приклади, які ілюструють результати розділу 6.

У Додатку C приведено список основних позначень дисертації.

У Додатку D приведено структуру тверджень основного тексту роботи.

ВИСНОВКИ

Таким чином, в дисертаційній роботі проаналізовано геометричні властивості загальних лінійних просторів з індефінітним внутрішнім добутком та властивості лінійних неперервних операторів, діючих у цих просторах. Зокрема, отримано наступні результати.

1. Доведено теорему про існування конструктивного процесу ортогоналізації зліченої лінійно незалежної системи векторів спеціального виду. Дано застосування цієї теореми до проблеми ортогоналізації мономів у лебегівських просторах зо знакозмінною ваговою функцією.

2. Уведено визначення матричної категорії, матричної категорії зі спряженням і категорії з квадратичним розщепленням. Показано, що різні класи лінійних просторів з внутрішнім добутком і лінійних операторів у них складають категорії вказаного типу, до яких належить і категорія просторів Крейна.

3. Доведено теорему про існування у будь-якого оператора з категорії з квадратичним розщепленням елементарної ротації з тієї ж категорії. Даний результат застосовується при дослідженні максимальних підпросторів, що приводять оператор та індукують унітарний оператор.

4. Отримано аналог розкладання Вольда напівунітарного оператора в довільному просторі з внутрішнім добутком. У випадку правильного рефлексивного банахова простору отримано критерій існування розкладання Вольда напівунітарного оператора в термінах проекційно повних підпросторів зсуву і остаточного підпростору; описано необхідні та достатні умови відтворюваністі векторів по їх коефіцієнтах Фур’є.

5. У випадку правильного рефлексивного банахова простору дано опис проекційно повних підпросторів, що приводять напівунітарний оператор.

6. Описано структуру всіх максимальних підпросторів, що приводять неперервний лінійний оператор у просторі з внутрішнім добутком та індукують унітарний оператор. Докладно вивчена структура цих підпросторів для операторів спеціального виду.

Отримані результати суттєво розвивають відомі методи дослідження просторів Крейна та лінійних операторів, діючих у них. Ці результати можуть бути застосовані при побудові теорії дилатацій та характеристичних функцій, теорії моделей лінійних операторів, теорії лінійних систем у випадку загальних просторів з індефінітним внутрішнім добутком.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Тышкевич Д.Л. О классах сопрягаемых операторов в общих пространствах с индефинитной метрикой // Учёные записки Таврического национального университета им. В.И Вернадского, серия “Математика. Механика. Информатика и кибернетика”. – 2002. – Т. 15(54), №2. – С. 95 – 98

2. Тышкевич Д.Л. О биподобии в регулярном - пространстве (полу)унитарного оператора гильбертово (полу)унитарному // Таврический Вестник Информатики и Математики (ТВИМ). – 2002. – Вып. 1. – С. 85 – 98

3. Тышкевич Д.Л. Неорторасширяемые подпространства в пространствах с индефинитной метрикой // Учёные записки Таврического национального университета им. В.И Вернадского, серия “Математика. Механика. Информатика и кибернетика”. – 2003. – Т. 16(55), №2. – С. 88 – 98

4. Тышкевич Д.Л. Элементарные ротации операторов в категориях с квадратичным расщеплением // Таврический Вестник Информатики и Математики (ТВИМ). – 2004. – Вып. 1. – С. 112 – 124

5. Тышкевич Д.Л. Устойчивые состояния в комплексных линейных пространствах // Таврический Вестник Информатики и Математики (ТВИМ). – 2004. – Вып. 2. – С. 113 – 127

6. Тышкевич Д.Л. Об одном классе максимальных инвариантных подпространств непрерывного оператора в пространстве с индефинитной метрикой // Учёные записки Таврического национального университета им. В.И Вернадского, серия “Математика. Механика. Информатика и кибернетика”. – 2004. – Т. 17(56), №1. – С. 95 – 122

7. Тышкевич Д.Л. О разложимости линеалов и подпространств в пространствах с индефинитной пространствах // Таврический Вестник Информатики и Математики (ТВИМ). – 2005. – Вып. 2. – С. 79 – 101

8. Тышкевич Д.Л. Об ортогонализации счётной системы векторов в пространстве с индефинитной метрикой // Учёные записки Таврического национального университета им. В.И Вернадского, серия “Математика. Механика. Информатика и кибернетика”. – 2005. – Т.18 (57), №1. – С. 105– 127

9. Тышкевич Д.Л. О разложении Вольда полуунитарного оператора в банаховых пространствах с индефинитной метрикой // Учёные записки Таврического национального университета им. В.И Вернадского, серия “Математика. Механика. Информатика и кибернетика”. – 2006. – Т.19 (58), №1. – С. 98 – 124

Тези доповідей на конференціях:

1. Tyshkevich D.L. On some categories in indefinite inner product spaces theory // Сборник докладов I летней школы по топологической алгебре и функциональному анализу, 22-31 июля 2003 г., Львов-Козева. – Козева. – 2003. – P. 39 – 40

2. Тышкевич Д.Л. Ступенчато невырожденные системы и топологическая разложимость сепарабельных пространств с индефинитной метрикой // Тезисы докладов международной конференции, посв. 125-летию Г. Хана, 27 июня – 3 июля 2004 г., Черновцы. – 2004. – С. 110 – 111

3. Тышкевич Д.Л. Элементарные ротации операторов в правильных банаховых пространствах // Сборник тезисов международной конференции, посв. 103-летию И.Г. Петровского (XXI совместное заседание Московского математического общества и семинара им. И.Г. Петровского), 16-22 мая 2004 г., Москва. – 2004. – С. 229 – 230

4. Tyshkevich D.L. Generalized quadratic forms and robust states in complex linear spaces // Book of abstracts, Satellite conference of the European Congress of Mathematics Operator Theory and Applications in Mathematical Physics OTAMP 2004, July 6-11, 2004, Bedlewo Mathematical Conference Center, Poland, Bedlewo. – 2004. – P. 33

5. Тышкевич Д.Л. Об ортогонализации счетных систем векторов в общих пространствах с индефинитной метрикой. // Сборник тезисов международной конференции, посв. 100-летию С.М. Никольского, 23-39 мая 2005 г., Москва. – 2005. – С. 229

6. Tyshkevich D.L. On Wold decomposition of a semiunitary operator on a reflexive regular Banach spaces // Book of abstracts, The Banach Center Conference Analysis & Partial Differential Equations (In honor of Professor Bogdan Bojarski), June 18-24, 2006, Mathematical Research and Conference Center, Poland, Bedlewo. – 2006. P. 40

Основні наукові результати роботи опубліковані в 7 фахових наукових виданнях з переліку ВАК України (посилання 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9 переліку публікацій). Вони в повній мірі відбивають основні результати дисертації.

АНОТАЦІЯ

Тишкевич Д.Л. Про ортогоналізацію систем векторів і розкладання типу Вольда у лінійних просторах з внутрішнім добутком. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 – математичний аналіз. – Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України, Харків, 2008.

Дисертація присвячена тематиці, зв'язаній з дослідженням окремих питань геометрії і теорії лінійних операторів у лінійних просторах з внутрішнім добутком. Досліджуються проблеми ортогоналізації систем векторів у лінійних просторах з індефінітним внутрішнім добутком. Отримано аналог розкладання Вольда напівунітарного оператору в довільному лінійному просторі з внутрішнім добутком. Отримано умови, при яких розкладання Вольда має властивості, схожі за властивостями з розкладанням Вольда у гільбертовому просторі. У випадку правильного рефлексивного банахова простору за допомогою розкладання Вольда дано опис проекційно повних підпросторів, що приводять напівунітарний оператор.

Також у дисертації узагальнюється метод дослідження лінійних операторів у просторах Крейна, здійснений за допомогою елементарних ротацій (операторів Жюліа), на довільні простори з індефінітним внутрішнім добутком. Доведено теорему про існування у будь-якого оператора з так званої категорії з квадратичним розщепленням елементарної ротації з тієї ж категорії. На підставі вивчення властивостей елементарної ротації неперервного оператору у лінійних просторах з внутрішнім добутком дано опис структури всіх максимальних підпросторів, що приводять даний оператор, та індукують унітарний оператор.

Ключові слова: лінійний простір з внутрішнім добутком, ортогоналізація систем векторів, розкладання Вольда, напівунітарний оператор, оператор Жюліа, елементарна ротація лінійного оператора, простори, що приводять лінійний оператор.

ABSTRACT

Tyshkevich D.L. On orthogonalization of systems of vectors and Wold type decomposition in linear inner product spaces. – Manuscript.

Thesis for obtaining the degree of candidate of sciences in physics and mathematics, speciality 01.01.01 – mathematical analysis. – B.I. Verkin Institute for Low Temperature Physics and Engineering, Kharkiv, 2008.

The thesis is devoted to the topics related with investigations of some questions of geometry and linear operator theory in linear inner product spaces. The problems of orthogonalization of systems of vectors in linear indefinite inner product spaces are investigated. The analogue in a general linear inner product space for the well-known Wold decomposition in a Hilbert space is obtained. The conditions are obtained for a Wold decomposition in an indefinite inner product space has the same properties as the Wold decomposition in a Hilbert space. In the case of a reflexive regular Banach space the description of all regular reducing subspaces of a semiunitary operator is obtained.

The method of investigation of a linear operator in a Krein space by using an elementary rotation (Julia operator) is generalized for an arbitrary indefinite inner product space. For an operator from a so-called category with quadratic decomposition the theorem of existing of an elementary rotation of this operator from the same category is proved. By studying the properties of an elementary rotation the description of all maximal reducing subspaces, on which the linear continuous operator is unitary, is obtained.

Keywords: linear inner product spaces, orthogonalization of systems of vectors, Wold decomposition, semiunitary operator, Julia operator, elementary rotation of a linear operator, reducing subspaces.

АННОТАЦИЯ

Тышкевич Д.Л. Об ортогонализации систем векторов и разложении типа Вольда в линейных пространствах с внутренним произведением. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 – математический анализ. – Физико-технический институт низких температур им. Б.И. Веркина НАН Украины, Харьков, 2007.

Диссертация посвящена исследованию избранных вопросов геометрии и теории линейных операторов в линейных пространствах с внутренним произведением. Исследована проблема ортогонализации счётных линейно независимых систем векторов в линейных пространствах с индефинитным внутренним произведением. В частности, показано, что если система удовлетворяет условиям: линейная оболочка – невырожденный линеал, и существует такое число , что для любого размерность изотропной части пространств, натянутых на не превышает , то допускает конструктивную процедуру ортогонализации. При помощи данного результата доказана ортогонализуемость системы мономов в лебеговских пространствах комплекснозначных функций на единичной окружности, в которых внутреннее произведение задано при помощи весовых функций, представляющих собой вещественнозначные тригонометрические полиномы. Кроме того, получены необходимые и достаточные условия, при которых система допускает ортогонализацию по Грамму-Шмидту, а также ряд других результатов.

В работе получен общий аналог разложения Вольда полуунитарного оператора на случай произвольного невырожденного пространства с внутренним произведением . Затем рассматриваются так называемые правильные банаховы пространства (с внутренним произведением), которые можно охарактеризовать тем, что оператор Грамма , , действующий из в антисопряжённое к , – ограничен и ограниченно обратим (но может не быть гомеоморфизмом). Гильбертово пространство является простейшим примером правильного банахова пространства.

В случае, когда – рефлексивное правильное банахово пространство (в этом и только в этом случае является гомеоморфизмом), приведены условия, при которых разложение Вольда близко по своим главным свойствам к разложению Вольда в гильбертовом пространстве (рефлексивные правильные банаховы пространства не исчерпываются гильбертовыми пространствами; из результатов работы следует, в частности, что произвольное рефлексивное банахово пространство можно непрерывно вложить в некоторое рефлексивное правильное банахово пространство). А именно, полуунитарный оператор мы называем проекционно устойчивым, если последовательность равномерно ограничена. Кроме этого, вводится условие на подпространство сдвига, порождаемое блуждающим подпространством : это условие мы называем регулярной порождаемостью (пространства своим блуждающим подпространством). Доказана эквивалентность следующих утверждений: 1) оператор проекционно устойчив; 2) подпространство сдвига регулярно порождается блуждающим подпространством , и при этом всё пространство разбивается в прямую ортогональную сумму проекционно полных подпространства сдвига и остаточного подпространства. В случае одностороннего сдвига это эквивалентно однозначной восстанавливаемости любого вектора по своим коэффициентам Фурье согласно формуле в смысле сильной сходимости (в общем случае ряд может расходиться для некоторых даже в случае пространств Понтрягина). Кроме того, на основании данных результатов получено конструктивное описание всех проекционно полных подпространств, приводящих проекционно устойчивый полуунитарный оператор .

Также в диссертации обобщается на случай более общих линейных пространств с внутренним произведением известный метод исследования линейного непрерывного (относительно выбранной допустимой топологии) оператора в пространстве Крейна при помощи элементарной ротации данного оператора – операторной матрицы , содержащей в качестве -компоненты сам , и такой, что оператор – унитарен, а -компонента имеет плотный образ. Вводится понятие категории с квадратичным расщеплением, частным случаем которой является категория пространств Крейна. Категория с квадратичным расщеплением – это категория, объектами которой являются пространства с внутренним произведением, морфизмами – линейные операторы, композицией морфизмов служит композиция операторов; далее, эта категория содержит нулевое пространство, замкнута относительно образования внешних ортогональных сумм пространств-объектов, классы операторов-морфизмов между фиксированными пространствами должны составлять линейное пространство, и всевозможные проектирования и вложения должны входить в число морфизмов (такие требования объясняются тем, что они составляют минимальный необходимый набор, обеспечивающий замкнутость такой категории относительно образования матричных операторов). И, наконец, сопряжённый к морфизму должен быть морфизмом, причём произвольный самосопряжённый морфизм допускает разложение Богнара-Крамли, т.е. существует такой морфизм с плотным образом, что . Один из основных результатов работы состоит в доказательстве существования для любого оператора из категории с квадратичным расщеплением элементарной ротации из той же категории. Показано, что некоторые важные категории банаховых пространств с внутренним произведением (одной из которых, но не исчерпывающей полученный список, является категория пространств Крейна), а также категория всех невырожденных пространств с внутренним произведением являются категориями с квадратичным расщеплением.

При помощи элементарной ротации для произвольных невырожденных пространств с внутренним произведением изучена структура максимальных приводящих непрерывный оператор подпространств, индуцирующих унитарный оператор. Мотивацией такого исследования служит известная теорема Лангера о разбиении сжатия гильбертова пространства в ортогональную сумму вполне неунитарного сжатия и унитарного оператора. При этом согласно теореме Лангера максимальное приводящее подпространство, на котором сжатие унитарно, единственно. Как показано в работе, в общем случае произвольного непрерывного линейного оператора в произвольном пространстве с индефинитной метрикой может возникать целая серия таких максимальных подпространств (эта ситуация имеет место уже в пространствах Понтрягина). Приведены соответствующие примеры, подробно иллюстрирующие основные результаты.

Ключевые слова: линейное пространство с внутренним произведением, ортогонализация систем векторов, разложение Вольда, полуунитарный оператор, оператор Жюлиа, элементарная ротация линейного оператора, приводящие подпространства.