НацIональна академIЯ наук украЇни

Iнститут прикладноЇ математики I механIки

ВЕЛАСКО ЕРРЕРА Грасiела

УДК 531.36; 531.38

СТIЙКIСТЬ СТАЦIОНАРНИХ РЕЖИМIВ

СИСТЕМИ ТВЕРДИХ ТIЛ,

ЯКI УТВОРЮЮТЬ НАПIВЗАМКНЕНИЙ ЛАНЦЮГ

Спецiальнiсть: 01.02.01 - теоретична механiка

Автореферат

дисертацii на здобуття наукового ступеня

кандидата фiзико-математичних наук

Донецьк – 1999

Дисертацiєю є рукопис.

Роботу виконано в Iнститутi прикладноп математики i механiки НАН Украпни, м. Донецьк.

Науковий керiвник : чл.- кор. НАН Украпни, доктор фiз. - мат. наук,

професор Савченко Олексiй Якович,

Мiнiстерство Украiни у справах науки i технологiй,

заступник мiнiстра.

Офiцiйнi опоненти:

доктор фiз.-мат. наук, професор Iлюхiн Олександр Олексiйович, Таганрогський державний педагогiчний iнституту; зав. кафедри математичного аналiзу;

кандидат фiз.-мат. наук, доцент Коваль Вiктор iванович, Донбаська державна академiя будiвництва та архiтектури, доцент кафедри вищоп математики та економетрiп.

Провiдна установа:

Донецький державний унiверситет, кафредра теоретичноi та прикладноi механiки

Захист вiдбудеться"__24_____" ___09___________ 1999 р. о ___17____годинi назасiданнi спецiалiзованоi вченоi ради Д 11.193.01 при Iнститутi прикладноп математики i механiки НАН Украiни за адресою: 340114, м. Донецьк, вул. Р. Люксембург, 74.

З дисертацiєю можна ознайомитись у бiблiотецi Iнституту прикладноiматематики i механiки НАН Украiни за адресою: 340114, м. Донецьк, вул. Р. Люксембург, 74.

Автореферат розiслано "12" 08 1999 р.

Вчений секретар

спецiалiзованоi вченоi ради О. А. Ковалевський

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. При розгляданнi широкого класу задач сучасного машинобудування доцiльно моделювати об’єкти, що вивчаються, у виглядi системи шарнiрно зв’язаних абсолютно твердих тiл. Так, багато приладів i пристроїв авіацiйної, морської i космічної технiки являють собою сукупнiсть твердих тiл. До систем зв’язаних твердих тiл належать гiростати, гiроскопiчнi системи, манiпулятори, тiла, якi обертаються на струнi або струнному пiдвiсi, колiснi екiпажi та ін. Модель системи твердих тiл з успiхом застосовується i для описання динамiки космічних апаратiв.

Широке практичне використання систем твердих тiл визначає низку актуальних наукових напрямкiв, серед яких важливе мiсце займає задача про рух системи зв’язаних твердих тiл з нерухомою точкою. Незважаючи на значні труднощi, якi виникають при її розв’язаннi, викликанi великим порядком системи диференцiальних рiвнянь, яка описує рух механiчного об’єкту, i великою кiлькiстю параметрiв цiєї системи, є великi досягнення в цiй областi аналiтичної механiки, пов’язанi з iменами таких вчених, як О.О.Богоявленський, Й.Вiттенбург, О.Ю.Iшлiнський, Г.В.Горр, Д.М.Клiмов, В.М.Кошляков, Ф.Пфайффер, О.Я.Савченко, В.А.Стороженко, М.Є.Темченко, П.В.Харламов, М.Г.Четаєв, В.Шіхлен та iн.

Для спрощення аналізу роботи приладів та пристроїв, що моделюються за допомогою систем твердих тіл, дослідники намагаються максимально використовувати характерні особливості об’єктів, які вивчаються, та режимів їх роботи. У цьому зв’язку серед напрямків розвитку теорії систем твердих тіл слід виділити такі, як пошук раціональних форм рівнянь руху зв’язки твердих тіл, найбільш пристосованих для аналізу цікавих характеристик моделі, і побудова найпростіших класів розв’язків цих рівнянь, яким відповідають стаціонарнi рухи системи тіл, що розглядається. Крім цього, однією з найважливіших властивостей моделі, що вивчається, є властивість стійкості ії стаціонарних рухів, бо, як правило, саме їм відповідають робочі режими реальних пристроїв. Цим і визначається актуальність знаходження умов стійкості стаціонарних рухів системи зв’язаних твердих тіл.

Використання нових матеріалів, які припускають значні прогини, при створенні різних приладів і пристроїв сучасної техніки призвело до необхідності зважати на їх пружні властивості. Один з прийнятних способів урахування піддатливості таких пристроїв запропоновано у роботах G.F.Reis, W.D.Sundberg, J.E.Cochran, D.E.Christensen, де обгрунтовано можливість моделювання пружних стержневих конструкцій за допомогою системи твердих тіл, зв’язаних пружними шарнірами. Заміна надто складних для аналізу механічних систем з розподіленими параметрами системами твердих тіл дозволяє достатньо повно визначити багато характеристик об’єктів, що вивчаються. Тому на початкових етапах дослідження доцільно вивчення властивостей найпростішої моделі, яка складається з двох зв’язаних твердих тіл, що дозволяє відразу ж виявити деякі характерні особливості об’єктів, що моделюються.

При дослідженні динамічних властивостей пружних стержневих конструкцій (таких як керовані на траєкторії пружні ракети, пружні обертові вали з двома опорами на кінцях) представляють особливий iнтерес задачi, в яких об’єкт як ціле рухається по заданому закону і при цьому здійснює пружні коливання. Розглядання в даній дисертаційній роботі скінченномірної моделi пружного валу, яка являє собою систему двох важких гіроскопів Лагранжа напівзамкненого типу, і застосування до неї апарата аналітичної механіки дозволило виділити класи стаціонарних рухів впровадженої моделі і вивчити питання про їх стійкість. Ці дослідження є актуальними тому, що, з одного боку, саме ці найпростіші типи рухів відповідають основним робочим режимам об’єкту, який досліджується, а з другого боку, встановлені динамічні властивості можуть послужити в якості відправної точки для більш повного з’ясування властивостей вказаного об’єкту на наступних етапах дослідження.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження по дисертаційній роботі проводились у відповідності з Планами наукових досліджень відділів технічної механіки і прикладної механіки ІПММ НАН України на 1996—2000 роки по держбюджетній темі — 0196U002837 — “Математичні методи конструктивного дослідження сучасних проблем стійкості, керування і динаміки взаємодіючих тіл”, яка виконувалась згідно постанов Президії НАН України.

Мета і задачі дослідження. Метою даної дисертаційної роботи є знаходження динамічних властивостей системи двох твердих тіл, які утворюють напівзамкнений ланцюг.

Для досягнення цієї мети розв’язуються наступні задачі:

1.

1.

1.

Наукова новизна одержаних результатів визначається наступними положеннями:

1.

1.

1.

Теоретичне і практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації мають теоретичний характер. Вони можуть бути використані для подальших дослiджень рiзних задач про рух систем зв’язаних твердих тiл, а також як перше наближення при вивченні робочих режимів пружної балки з двома опорами на кінцях. Знайдена резонансна частота повинна ураховуватись конструкторами у зв’язку з наявністю у реальних валів малої несиметрії.

Особистий внесок здобувача в спільних публікаціях. В роботах [3, 5] здобувачу належать результати, що пов’язані з аналізом руху системи гіроскопів при n = 2. В роботі [4] здобувачем одержані умови існування регулярних прецесій і записані рівняння руху, які лінеарізовані в околі цього режиму.

Апробація результатів дисертації. Основнi результати дисертацiї доповiдались на:—

Міжнародній конференції “Стійкість, керування і динаміка систем твердих тіл” (Донецьк, 1996); —

Міжнародній конференції “Математика в індустрії“ (Таганрог, Росія, 1998);—

Міжнародній конференції “Fourth International Conference on Difference Equations and Applications” (Poznan, Poland, 1998);—

наукових семінарах відділів прикладної механіки та технічної механіки IПММ НАН України (Донецьк, науковий керівник — член-кор. НАН України П.В.Харламов).

Публікації. Результати дисертаційної роботи опубліковано у 7 друкованих працях, в тому числі у статтях [1-4], у працях конференцій [5,6] та у тезах доповідей [7].

Структура і обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, 5 розділів, висновків, списку використаних джерел із 117 найменувань, які викладено на 121 сторінках, включає 7 малюнків.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі обгрунтовується актуальність дисертаційної роботи, формулюються мета і основні задачі дослідження, указується зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами, викладається наукова новизна і практична цінність роботи, наводяться відомості про апробацію результатів роботи.

В першому розділі подається огляд літератури, яка має відношення до теми дисертації, окреслюються основні етапи розвитку наукової думки з наступних питань: вибір змінних, який дає можливість більш глибокого вивчення властивостей механічного об’єкту, що розглядається; пошук раціональних форм запису рівнянь руху систем зв’язаних твердих тіл; знаходження стаціонарних розв’язків цих рівнянь, які описують робочі режими об’єктів, що моделюються; дослідження стійкості отриманих розв’язків. Цей огляд демонструє широкий спектр прикладних задач, які можуть бути розв’язані за допомогою моделі системи зв’язаних твердих тіл, показує необхідність і актуальність вивчення конкретних механічних об’єктів, що моделюються системами твердих тіл.

Поняття системи твердих тіл, які утворюють напівзамкнений ланцюг, вперше запроваджено у працях І.О. Болграбської, О.Я. Савченка. Це система n важких тіл тіла та якої з’єднані між собою у загальній точці пружним шарніром. При цьому рух двох точок, що належать до тіл та , підпорядковується додатковим заданим в’язям. Інтерес до таких систем викликано результатами, які отримані І.О. Болграбською, де обгрунтовано можливість заміни неперервної моделі (стержень) пружних об’єктів їх скінченномірною моделлю (система зв’язаних твердих тіл). Зокрема, для моделювання пружної балки з двома опорами на кінцях може бути використана система n важких гіроскопів Лагранжа які з’єднані у точках своїх осей симетрії пружними універсальними шарнірами, у випадку, коли точка , що належить до осі симетрії тіла , нерухома, а точка , що належить до осі симетрії тіла , може рухатися лише уздовж вертикальної прямої, що проходить через точку . У даній дисертаційній роботі вивчається така механічна система у найпростішому випадку, коли n=2.

У другому розділі викладено загальну методику дисертаційних досліджень, яка базується на традиційних способах і методах аналітичної механіки та теорії стійкості руху. Наведена методика одержання рівнянь руху систем зв’язаних твердих тіл. Перераховані основні факти із теорії стійкості руху, що дозволяють знаходити необхідні та достатні умови стійкості стаціонарних рухів за Ляпуновим. Вказано теореми, які спрямовані на отримання достатніх умов стійкості нульового розв’язку систем з періодичними коефіцієнтами.

В третьому розділі подано опис механічної системи, що вивчається, записано її векторні рівняння руху, отримано різні форми скалярних рівнянь руху та вказано їх інтеграли.

Розглядається система двох гіроскопів Лагранжа та , які утворюють напівзамкнений ланцюг. Тіла з’єднані між собою у загальній точці , яка належить до осей симетрії гіроскопів, пружним універсальним шарніром. Точка , яка належить до осі симетрії тіла , нерухома, а точка , яка належить до осі симетрії тіла , може рухатися лише уздовж вертикальної прямої, що проходить через точку .

Векторні рівняння руху такої механічної системи згідно з результатами І.О. Болграбської та О.Я. Савченка мають вигляд:

(1)

,

де — тензор інерції тіла відносно точки його підвісу ;

— абсолютна кутова швидкість тіла ;—

маса тіла ;

— центр мас тіла ;

g — прискорення сили тяжіння;

— нерухомий ортонормований базис із центром у точці , орт якого має напрям протилежний до напряму сили тяжіння;

;

— невідомі проєкції сили реакції в’язі, що прикладена у точці , відповідно на вісі ;

— момент сил реакції, що характеризують дію тіла над тілом ;

— коефіцієнт жорсткості пружного шарніру;

— орт, який колінеарний до осі симетрії тіла ;

крапка у рівняннях (1) означає абсолютну похідну.

У даній дисертаційній роботі припускалося, що шарнір рівновіддалений від точок та , тобто

.

З метою отримати замкнену систему диференціальних рівнянь, яка описує рух системи гіроскопів, що досліджується, у цьому розділі дисертації із рівнянь (1) виключено невідомий момент сил реакції . Для цього сума рівнянь (1) спроектована на вісі універсального шарніру з ортами та і враховано, що, як відомо, момент сил реакції в’язі перпендикулярний до площини універсального шарніру, тобто

.

До одержаних рівнянь додано співвідношення, які аналітично виражають дві додаткові в’язі, що виникають за рахунок руху точки уздовж вертикальної прямої, що проходить через точку :

.

Із векторних рівнянь (1) вперше отримано різні форми скалярних рівнянь руху механічної системи, що досліджується, та вказано їх перші інтеграли. У якості змінних, що описують положення гіроскопів, тут обрані:

1) проекції p, q, rвектора кутової швидкості на вісі рухомого базису, що пов’язаний з тілом , та кути і, що характеризують положення тіла відносно тіла ;

2) кути Ейлера , що визначають положення тіла у інерціальному просторі;

3) кути Крилова , що задають положення тіла у інерціальному просторі.

У двох останніх випадках для збереження симетрії рівнянь відносно тіл, що входять до системи, універсальний шарнір розглянуто як сферичний, який підпорядкований голономній в’язі, що може бути отримана з умови ортогональності осей універсального шарніру:

.

Вибір різних змінних для опису положення гіроскопів обумовлен необхідністью пошуку різноманітних стаціонарних режимів руху системи тіл, що досліджується. Ця задача вирішується у наступних розділах дисертації.

В четвертому розділі встановлено умови існування рівномірного обертання системи, що вивчається, як одного цілого навколо вертикалі; одержано необхідні та достатні умови стійкості цього руху. Розглянуто систему двох тіл напівзамкненого типу, у якої одне з тіл мало відрізняється від гіроскопа Лагранжа. Визначено критичну швидкість, в околі якої наявність малої несиметрії призводить до виникнення інтервалу нестійкості.

В підрозділі 4.1 встановлено, що рівняння руху системи двох важких гіроскопів Лагранжа напівзамкненого типу припускають розв’язок

(2)

якому відповідає рівномірне обертання системи гіроскопів навколо вертикалі з кутовою швидкістю . Рівняння збуреного руху записано у формі рівнянь Лагранжа другого роду.

В підрозділі 4.2 досліджено необхідні умови стійкості розв’язку (2). Показано, що вони здійснюються при умові дійсності коренів квадратного (відносно ) рівняння

, (3)

де

— екваторний момент інерції тіла відносно точки його підвісу ,

— осьовий момент інерції тіла ;

— відстань від точки підвісу тіла до його центра мас.

Із аналізу коренів рівняння (3) випливає, що:

1. Необхідні умови стійкості розв’язку (2) виконуються при довільній швидкості обертання у випадку:

а) гіроскопи є урівноваженими ;

б) жорсткість пружного шарніру задовольняє співвідношенню:

;

2. Для неурівноважених гіроскопів і необхідні умови стійкості рівномірних обертань мають вигляд:

. (4)

У разі відсутності жорсткості у шарнірі із (4) випливає, що

. (5)

Це значення було порівняно із критичною швидкістю критерію Майєвського стійкості рівномірних обертань одного твердого тіла з нерухомою точкою, яке отримано із двох, що розглядаються, через заміну шарніра на жорстке защемлення:

. (6)

Із (5), (6) маємо, що , тобто необхідні умови стійкості рівномірного обертання навколо вертикалі системи двох важких гіроскопів Лагранжа, які утворюють напівзамкнений ланцюг, виконуються при менших швидкостях обертання, ніж умови стійкості цього руху для одного гіроскопа Лагранжа з нерухомою точкою.

В підрозділі 4.3 за допомогою методу Четаєва побудови функції Ляпунова у вигляді в’язки інтегралів рівнянь збуреного руху отримано достатні умови стійкості розв’язку (2):

. (7)

Із (7) виводимо, що для сплющених гіроскопів умова (7) є вірною лише при і має у цьому випадку такий вигляд:

.

Якщо ж гіроскопи витягнуті , то

.

Таким чином, для сплющених урівноважених тіл, а також у випадку великої жорсткості , достатні умови виконуються при довільній швидкості обертання і збігаються з необхідними.

В підрозділі 4.4 розглянуто систему двох зв’язаних твердих тіл, у якої тіло мало відрізняється від гіроскопа Лагранжа (має моменти інерції , де — мале), а тіло — гіроскоп Лагранжа. Згідно з алгоритмом, що запропонований І.О. Болграбською і О.Я. Савченком, знайдено критичну швидкість, в околі якої рівномірні обертання системи з дебалансом є нестійкими. Система, що вивчається, має одну резонансну швидкість першого типу:

,

де

.

Дослідження, які викладено у цьому підрозділі, дозволяють знайти область нестійкості режиму, що вивчається:

.

У п’ятому розділі вивчається питання про стійкість прецесійних рухів системи гіроскопів, що роглядається. Для стаціонарного руху, в якому перше тіло рівномірно обертається навколо вертикалі (вісь симетрії тіла не збігається з нею), а друге тіло виконує регулярну прецесію, отримано умови стійкості за Ляпуновим. При цьому лінеарізована система рівнянь збуреного руху є періодичною за часом, і для неї одержані достатні умови стійкості нульового розв’язку.

В підрозділі 5.1 розглянуто питання про існування у системи режима, при якому гіроскопи виконують регулярні прецесії і якому відповідає розв’язок

. (8)

Встановлено, що рівності (8) задовольняють системі рівнянь руху у двох випадках:

1) ,

2) ,

при умові виконання рівності

,

де j=2 в першому випадку та j=1 у другому. При цьому в першому випадку друге тіло виконує регулярну прецесію з кутовою швидкістю , а перше — рівномірно обертається зі швидкістю навколо вертикалі, а в другому випадку навпаки: перше тіло виконує прецесію, а друге — рівномірне обертання. Оскільки обидва рухи однотипні, питання стійкості розглядається далі лише для першого випадку, якому відповідає розв’язок

.

Зауважимо, що якщо , то система припускає лише рівномірне обертання кожного з тіл навколо вертикалі (осі тіл не збігаються з нею). Розв’язок, що відповідає такому рухові, має вигляд

і існує при умові

.

В підрозділі 5.2 записано лінеарізовані рівняння збуреного руху. Покладаючи в нелінійних рівняннях руху системи тіл, що вивчається,

,

матимемо рівняння в варіаціях:

(9)

де

Вилучаючи із системи (9) змінні та і виконуючи заміну

приходимо до рівняння другого порядку відносно x, яке в свою чергу зводимо до рівняння Хілла

(10)

де

а функція має вигляд:

.

Сталі величини визначаються за формулами:

Оскільки величини та є лінійними функціями від , то стійкість або нестійкість нульового розв’язку рівняння (10) означає відповідно стійкість або нестійкість системи (9).

В підрозділі 5.3 досліджується питання про стійкість нульового розв’язку рівняння (10). За допомогою відомих критеріїв стійкості для рівняння Хілла отримано достатні умови стійкості, які подано у вигляді об’єднання чотирьох груп нерівностей:

(11)

(12)

(13)

(14)

Тут

— середнє значення функції за період , яке дорівнює

— екстремальне (максимальне) значення функції ;

n — довільне натуральне число, яке визначає номер області стійкості для умов (14), і на одиницю більше за цей номер для умов (11) — (13).

Слід додати, що нерівності (14) не включають до себе опису нульової області стійкості, оцінка для якої записується окремою формулою

. (15)

В підрозділі 5.4 розглядається випадок, коли тіла є сильно стуленими. Тоді виявляється можливим провести аналіз умов (11) — (15) і побудувати чисельно-аналітичним методом області стійкості на площині параметрів , які характеризують відношення між кутовими швидкостями прецесії, рівномірних обертань та коефіцієнтом пружності шарніру. Цей аналіз виконано в окремому випадку, коли тіла є однорідними дисками і . Області стійкості побудовано на малюнках. Так, області, які визначаються умовами (14), є криволінійними трикутниками, що обмежені гілками парабол

та прямою .

Зауважимо, що для нульової області, яка визначається нерівностями (15), маємо смугу між параболами

та

на відміну, наприклад, від відомого критерію Ляпунова

який в даному випадку дає пусту множину.

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі за допомогою традиційних способів і методів аналітичної механіки та теорії стійкості руху вивчено динамічні властивості системи двох важких гіроскопів Лагранжа, які утворюють напівзамкнений ланцюг. Отримані результати можуть бути використані для подальших дослiджень задач про рух систем зв’язаних твердих тiл напівзамкненого типу, а також як перше наближення при вивченні робочих режимів пружної балки з двома опорами на кінцях.

В процесі дослідження одержано наступні основні результати:

1.

1.

1.

1.

1.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1.

1.

1.

1.

1.

1.

1.

АНОТАЦІЯ

Веласко Эррера Г. Стійкість стаціонарних режимів системи твердих тіл, які утворюють напівзамкнений ланцюг. — Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.01 — теоретична механіка. — Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 1999.

Дисертацію присвячено дослідженню динамічних властивостей системи двох важких гiроскопiв Лагранжа напівзамкненого типу у випадку, коли тіла зчленовані між собою пружним універсальним шарніром. Отримано різні форми нелінійних рівнянь руху такої системи. Показано, що вона припускає рівномірне обертання об’єкту як цілого навколо вертикалі. Одержано необхідні і достатні умови стійкості такого руху. Досліджено вплив дебалансу на стійкість рівномірних обертань. Встановлено умови існування у системи, що вивчається, регулярних прецесій і вказано достатні умови їх стійкості.

Ключові слова: система гіроскопів Лагранжа напівзамкненого типу, пружний універсальний шарнір, рівномірне обертання, стійкість, регулярна прецесія.

Веласко Эррера Г. Устойчивость стационарных режимов системы твердых тел, образующих полузамкнутую цепь. — Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.01 — теоретическая механика. — Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк, 1999.

Диссертация посвящена исследованию динамических свойств системы двух тяжелых гироскопов Лагранжа полузамкнутого типа, в случае, когда тела соединены между собой упругим универсальным шарниром. Данная система может послужить в качестве первого приближения при изучении динамических свойств упругой балки с двумя опорами на концах.

Получены различные формы нелинейных уравнений движения такой системы и указаны их первые интегралы.

Установлено, что изучаемая система допускает равномерное вращение объекта как целого вокруг вертикали.

Получены необходимые и достаточные условия устойчивости такого движения.

Доказано, что: необходимые условия устойчивости равномерного вращения вокруг вертикали системы двух тяжелых гироскопов Лагранжа, образующих полузамкнутую цепь, выполняются при меньших скоростях вращения, чем условия устойчивости такого движения для одного гироскопа Лагранжа с неподвижной точкой; для сплюснутых уравновешенных тел, а также в случае большой жесткости в шарнире, достаточные условия выполняются при произвольной скорости вращения и совпадают с необходимыми.

Исследовано влияние дебаланса в системе на устойчивость равномерных вращений. Найдена резонансная частота первого типа, которая соответствует случаю совпадения частоты линейных колебаний с угловой скоростью равномерных вращений. Доказана неустойчивость указанных движений в окрестности этой частоты при появлении дебаланса в системе.

Установлено, что регулярные прецессии системы двух гироскопов Лагранжа полузамкнутого типа могут существовать лишь в двух случаях: в первом случае второе тело совершает регулярную прецессию, а первое — равномерно вращается вокруг вертикали; а во втором случае, наоборот, — первое тело совершает регулярную прецессию, а второе — равномерное вращение.

Для стационарного движения, при котором первое тело равномерно вращается вокруг вертикали (ось симметрии тела не совпадает с нею), а второе тело совершает регулярную прецессию, получены условия устойчивости по Ляпунову. При этом линеаризованная система уравнений возмущенного движения имеет коэффициенты, содержащие периодические функции, зависящие от времени. Введена специальная замена переменных, позволяющая свести изучение устойчивости тривиального решения этой системы к исследованию устойчивости нулевого решения уравнения Хилла с известными коэффициентами. Для него получены достаточные условия устойчивости нулевого решения. С помощью численно-аналитического метода построены области устойчивости на плоскости параметров, характеризующих соотношения между угловыми скоростями прецессии, равномерного вращения и коэффициентом жесткости шарнира. Эти условия проанализированы в случае, когда оба гироскопа являются сильно сплюснутыми однородными дисками и имеют одинаковые осевые моменты инерции.

Ключевые слова: система гироскопов Лагранжа полузамкнутого типа, упругий универсальный шарнир, равномерное вращение, устойчивость, регулярная прецессия.

Velasco Herrera G. Stability of stationary conditions of a system of rigid bodies formed in half-closed chain. — Manuscript.

Thesis for a degree of Candidate of Sciences (Physics and Mathematics) by speciality 01.02.01 — theoretical mechanics. — Institute of Applied Mathematics and Mechanics of National Academy of Sciences of Ukraine, Donetsk, 1999.

The dissertation is devoted to investigation of dynamical properties of a system of two heavy Lagrange’s gyroscopes formed in half-closed chain in the case when the bodies are coupled by elastic universal hinge. Different forms of nonlinear equations of motion of this system are found. It is shown that the system allows the permanent rotation of object around vertical. Necessary and sufficient conditions of stability of this motion are found. The influence of asymmetry on stability of permanent rotations is investigated. Conditions of existence of regular precession of the system are received. Sufficient conditions of stability of their motions are obtained.

Key words: system of Lagrange’s gyroscopes formed in half-closed chain, elastic universal hinge, permanent rotation, stability, regular precession.