КИЇВСЬКИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА
КИЇВСЬКИЙ університет імені Тараса Шевченка
Верьовкіна Ганна Володимирівна
УДК 517.91
Інваріантні множини зліченних систем диференціальних та різницевих
рівнянь
01.01.02 - диференціальні рівняння
А В Т О Р Е Ф Е Р А Т
дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата
фізико-математичних наук
Київ - 1999
Дисертацією є рукопис.
Роботу виконано на кафедрі інтегральних та диференціальних рівнянь Національного університету імені Тараса Шевченка.
Науковий керівник: доктор фіз.-мат. наук, професор
МАРТИНЮК ДМИТРО ІВАНОВИЧ
академік НАН України,
доктор фіз.-мат. наук, професор
САМОЙЛЕНКО АНАТОЛІЙ МИХАЙЛОВИЧ,
Інститут математики НАН України, директор
Офіційні опоненти: доктор фіз.-мат. наук, професор
ТЕПЛІНСЬКИЙ ЮРІЙ ВОЛОДИМИРОВИЧ,
Кам’янець-Подільський пед. університет,
завідуючий кафедрою геометрії
кандидат фіз.-мат. наук, доцент
ДАНИЛОВ ВОЛОДИМИР ЯКОВЛЕВИЧ,
Національний університет ім. Тараса Шевченка,
кафедра загальної математики
Провідна установа: Чернівецький державний університет
ім. Ю.Федьковича, кафедра прикладної математики і механіки, м. Чернівці
Захист відбудеться “26” квітня 1999 р. о 14.00 год. на засіданні спеціалізованної вченої ради Д. 26.001.37. при механіко-математичному факультеті Національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 252127, м. Київ, 127, пр. Глушкова, 6, ауд. 44 .
З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: м. Київ, вул Володимирська, 58.
Автореферат розіслано “ 12 ” березня 1999 р.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради Моклячук М.П.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Розвиток технічних наук обумовив інтерес до різницевих рівнянь, що виявились досить зручною моделлю для опису імпульсних та дискретних динамічних систем. Крім того, різницеві рівняння зустрічаються при чисельному розв’язуванні багатьох класів диференціальних рівнянь за допомогою метода скінченних різниць.
Початок вивчення різницевих рівнянь було покладено в роботах Лагранжа, Ейлера, Пуанкаре, Перрона. Однак систематичне дослідження таких рівнянь почалось лише в другій половині нашого сторіччя.
Важливим методом, що з успіхом застосовується в нелінійній механиці, є метод інтегральних многовидів, його основи були закладені М.М.Криловим та М.М.Боголюбовим. Дослідження вилились в струнку теорію, істотній вклад в яку внесли В.А.Плісс, А.М.Самойленко, Ю.І.Неймарк, О.Б.Ликова, С.Діліберто, Дж.Хейл, Я.Курцвайль, А.Халанай, М.Урабе та інші. Даний метод дозволяє отримувати не тільки якісні, але й кількісні оцінки при дослідженні динамічних систем.
А.М.Самойленко запропонував новий підхід до теорії збурення інваріантних тороідальних многовидів динамічних систем, що пов’язаний з використанням функції Гріна для лінеаризованої задачі. Вивчення питань існування інваріантних многовидів систем різницевих рівнянь започатковано Ю.О.Митропольським, А.М.Самойленком, Д.І.Мартинюком, М.О.Перестюком.
В останній час зростає інтерес до розгляду питань, пов‘язаних з системами диференціальних та різницевих рівнянь в просторі обмежених числових послідовностей. Такі системи названо зліченними системами.
Питання, пов‘язані з диференціальними рівняннями в просторі обмежених числових послідовностей і їх специфічними властивостями, розроблені в роботах А.М.Самойленка та Ю.В.Теплинського.
Актуальність теми .
Актуальною є проблема дослідження існування інваріантних тороідальних многовидів систем диференціальних та різницевих рівнянь в нескінченно вимірному випадку.
Викликає інтерес питання редукції зліченної системи до скінченного випадку, що є досить актуальною проблемою для різницевих рівнянь.
Зв’язок роботи з науковими програмами.
Робота виконана у відповідності з:
1)
Державною темою “Розробка методів дослідження інтегральних множин диференціальних рівнянь” (1996 р., номер держреєстрації 0194U030931) ;
1)
Державною темою “Дослідження коливних режимів та інтегральних множин у детермінованих та стохастичних динамічних системах” (1997 р., номер держреєстрації 0197U003101).
Мета дослідження.
Основною метою даної дисертаційної роботи є розробка питань і побудова теорії диференціальних та різницевих рівнянь в просторі обмежених числових послідовностей.
Наукова новизна результатів.
1.
Встановлено необхідні умови існування інваріантних тороідальних многовидів для зліченних систем диференціальних та різницевих рівнянь. Для вирішення цього питання побудовано спеціальним чином простори
,
.
1.
Введено локальні координати для зліченної дискретної системи в околі інваріантного тора. Доведено теорему про звідність системи до канонічного вигляду.
1.
Знайдено умови при яких інваріантний тор зліченної системи різницевих рівнянь є границею послідовності інваріантних торів скінченних вкорочених спеціальним чином систем різницевих рівнянь.
1.
Відомий чисельно-аналітичний метод А.М.Самойленка знаходження періодичних розв’язків систем диференціальних рівнянь розроблено для зліченних систем різницевих рівнянь.
Практичне значення результатів.
Дослідження систем диференціальних та різницевих рівнянь в нескінченно вимірному випадку зведено до вивчення конкретних питань в скінченному випадку, що є значно простішими як в теоретичному так і в практичному сенсі і можуть бути розв’язані на ЕОМ.
Особистий внесок.
Основні результати дисертації отримані автором самостійно. Дисертантом особисто розроблена теорема про редукцію нескінченної системи різницевих рівнянь до скінченно вимірного випадку, постановка умов якої зроблена у співавторстві з доктором фізоко-математичних наук Мартинюком Д.І.
Апробація результатів дисертації.
Матеріали дисертаційної роботи доповідались на таких конференціях та семінарах :
1.
Всеукраїнська конференція “Дифференціально-функціональні рівняння та іх застосування” (м.Чернівці, 1996 р.).
1.
П’ята Міжнародна Наукова Конференція ім. академіка М.Кравчука (м.Киів, 1996 р.).
1.
Науковий семінар кафедри інтегральних та диференціальних рівнянь механіко-математичного факультету Національного уніерситету ім. Тараса Шевченка (керівник - професор М.О.Перестюк, 1996 р.).
1.
Міжнародна конференція “Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики и их приложения” (м.Феодосія, 1997 р.).
1.
Міжнародна конференція Треті Боголюбовськи читання “Асимптотичні та якісні методи в теоріі нелінійних коливань” (м.Киів, 1997 р.).
1.
Науковий семінар Інституту математики НАН України (м. Київ, 1998 р., червень).
Публікації.
Результати досліджень даної дисертаційної роботи опубліковано в трьох самостійних наукових працях [1 - 3], в [4] в співавторстві з доктором фіз.-мат. наук Мартинюком Д.І., а також у тезах доповідей [5 - 7].
Об’єм та структура роботи.
Дисертаціана робота складається зі вступу, двох розділів, загальних висновків та списку використаних джерел, що налічує 76 найменувань. Загальний обсяг роботи 133 друкованих сторінок.
ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі даної дисертаційної роботи обговорено актуальність розглянутих в даній роботі проблем та історичні корені сучасних досліджень.
У першому розділі дисертації знайдено необхідні умови існування інваріантних торів зліченних систем диференціальних та різницевих рівнянь.
У підрозділі 1.1 введено поняття неперервної періодичної по кожній змінній з періодом функцій, що приймає значення в . Будуються спеціальним чином простори , , в яких проводяться подальші дослідження. Доведена теорема 1.1 про апроксимацію функції з простору тригонометричними поліномами, що взяті з побудованого спеціальним чином лінійного простору .
У підрозділі 1.2 розглянуто систему диференціальних рівнянь в просторі вигляду
, , (1)
де , ,
, - m-мірний тор,
, оператор , діючий з в , задається нескінченною матрицею, компоненти якої є неперервними на торі функціями.
Введено поняття інваріантного тора зліченної системи диференціальних рівнянь.
За допомогою лінійних операторів, які вводяться спеціальним чином, будується система рівнянь спряжена до відповідної (1) однорідної системи
, . (2)
В термінах спряженої системи доводиться теорема 1.2 про необхідні умови існування інваріантного тора лінійної системи диференціальних рівнянь (1).
ТЕОРЕМА 1.2. Для того щоб система рівнянь (1) мала інваріантний тор, необхідно, щоб функція була ортогональною до ядра спряженого оператора системи (2).
В підрозділі 1.3 отримані необхідні умови існування інваріантного тора лінійної системи диференціальних рівнянь з довільною неоднорідністю з .
Доводиться відповідна теорема 1.3.
ТЕОРЕМА 1.3. Для того щоб система рівнянь (1) мала інваріантний тор для довільної функції , необхідно, щоб спряжена до однорідної (2) система рівнянь не мала відмінних від тривіального
,
інваріантних торів.
В підрозділі 1.4 питання, вивчені для систем диференціальних рівнянь, поширюються на зліченну лінійну неоднорідну систему різницевих рівнянь, що записана у вигляді
,
, (3)
де , ,
, - m-мірний тор,
, оператор , діючий з в , задається нескінченною матрицею, компоненти якої є неперервними на торі функціями, - тотожній оператор.
Введено поняття інваріантного тора зліченної системи різницевих рівнянь.
За допомогою лінійних операторів до відповідної (3) однорідної системи рівнянь
, (4)
введено спряжену систему рівнянь.
Аналогічно результатам, одержаним для систем диференціальних рівнянь, сформульовано і доведено теорему 1.4 і теорему 1.5 про необхідні умови існування інваріантних торів зліченних систем різницевих рівнянь при заданій правій частині і з довільною неоднорідністю з відповідно.
Розділ другий даної дисертаційної роботи присвячений дослідженню інваріантних множин та періодичних розв’язків зліченних систем різницевих рівнянь.
У підрозділі 2.1 розглянуто в просторі систему різницевих рівнянь вигляду
, , (5)
де , - має - ту неперервну похідну Фреше в просторі , , а також відповідну їй -вкорочену систему
, (6)
де , .
При певних умовах розв’язок системи (6) слабко збігається до розв’язку вихідної системи (5).
Для системи (6) в околі інваріантного многовиду вводяться локальні координати : , , за формулою
, (7)
причому система (6) в локальних координатах прийме вигляд:
,
, (8)
де - - періодичні відносно , - певного порядку гладкості, і можуть бути знайдені.
Основний результат підрозділу виведено в теоремі 2.1 про введення локальних координат для системи (5).
ТЕОРЕМА 2.1. Нехай матриці
- вкорочених систем складають рівномірно правильні послідовності, а також є рівномірно правильними такі послідовності
,
, де - побудовані спеціальним чином матриці.
Тоді система (5) при виконанні вказаних умов в околі інваріантного многовиду в локальних координатах , що вводяться за формулою
, (9)
де ,
покоординатні границі, прийме вигляд
,
, (10)
де ,
, -
покоординатні границі .
Доводиться теорема 2.2, в якій виведені умови, при яких система (10), записана в локальних координатах, приймає канонічний вигляд
,
. (11)
У підрозділі 2.2 введено поняття функції Гріна задачі про інваріантні тори зліченної системи різницевих рівнянь
,
, (12)
де - - мірний вектор,
,
і поняття функції Гріна задачі про обмежені розв’язки системи .
Доведено теорему 2.3.
ТЕОРЕМА 2.3. Припустимо, що система рівнянь (12) задовольняє наступним умовам:
1. причому
, для .
2. Справедлива оцінка
.
3. Існує функція Гріна задачі про інваріантні тори , що задовольняє нерівностям ,для всіх цілих , причому .
Тоді система рівнянь (12) має інваріантний тор ,
що задовольняє наступній нерівності
,
для довільного , де - додатня стала.
Далі розглянуто нескінченну систему різницевих рівнянь вигляду
,
, (13)
де , , , , вектор-функції і нескінченна матриця неперервні по і періодичні по з періодом .
Введено поняття функції Гріна задачі про інваріантний тор системи (13), причому інваріантний тор ,
задається функцією .
Для системи (13) виведена аналогічна теоремі 2.3 теорема 2.4.
Поряд з системою рівнянь (13) розглядається скінченно вимірна система рівнянь вигляду
,
, (14)
яка отримана шляхом вкороченням по до порядку і по до порядку . Інваріантний тор цієї системи рівнянь позначено
, .
Матрицант рівняння
(15)
позначено через .
Основним результатом підрозділу 2.2 є теорема 2.8 про редукцію системи зліченних різницевих рівнянь (13) до скінченної системи різницевих рівнянь (14), що є лінійним розширенням на m-вимірному торі.
ТЕОРЕМА 2.8. Нехай система рівнянь (13) задовольняє наступним умовам:
1. , причому функція з постійною .
2. Виконується нерівність
,
де при .
3. Матрицант системи рівнянь (15) задовольняє нерівність
, при ,
де - додатня стала, що не залежить від , .
4. Виконується нерівність .
Тоді інваріантний тор системи рівнянь (13) , можна представити у вигляді повторної границі
, (16)
де зовнішній граничний перехід розуміємо в сильному, а внутрішній граничний перехід в слабкому сенсі, причому .
Для доведення вказаної вище теореми було проведено ряд певних досліджень і були сформульовані і доведені допоміжні теореми 2.5, 2.6, 2.7.
У підрозділі 2.3 за допомогою чисельно-аналітичного методу А.М.Самойленка в теоремі 2.10 приведені умови існування періодичних розв’язків зліченної системи різницевих рівнянь. Побудовано алгоритм пошуку таких розв’язків у вигляді рівномірно збіжної послідовності періодичних функцій. Доведено відповідну теорему 2.9 про представлення періодичного розв’язку системи різницевих рівнянь.
ВИСНОВКИ
В дисертаційній роботі одержані такі результати:
·
Встановлено необхідні умови існування інваріантних тороідальних многовидів для зліченних систем диференціальних та різницевих рівнянь.
· Введено локальні координати для зліченної дискретної системи в околі інваріантного тора. Доведено теорему про звідність системи до канонічного вигляду.
· Доведено теорему про редукцію зліченної системи різницевих рівнянь до скінченного випадку.
·
Чисельно-аналітичний метод знаходження періодичних розв’язків систем диференціальних рівнянь розроблений для зліченних систем різницевих рівнянь.
СПИСОК ПУБЛІКАЦІЙ
1.
Верьовкіна Г.В. Періодичні розв’язки зліченних систем різницевих рівнянь // Вісник Київського Універсітету. Сер. фіз.-мат. наук. - 1996. -Вип. 1. - С. 17-20.
1.
Верьовкіна Г.В. Про введення локальних координат для зліченної дискретної системи в околі інваріантного тору // Вісник Київського Універсітету. Сер. фіз.-мат. наук. - 1997. -Вип. 4. - С. 23-29.
1.
Верьовкіна Г.В. Локальні координати для зліченної дискретної системи в околі інваріантного тору // “Дифференц. и интеграл. уравнен. мат. физики и их приложен.”.Сборн. науч. трудов. Ин-т математики НАН Украины. - К.,1997. - С. 51-54.
1.
Мартинюк Д.І., Верьовкіна Г.В. Інваріантні множини зліченних систем різницевих рівнянь // Вісник Київського Універсітету. Сер. фіз.-мат. наук. - 1997. -Вип. 1. - С. 117-127.
1.
Верьовкіна Г.В. Зліченні системи різницевих рівнянь та їх періодичні розв’язки // Тези доповід. П’ята міжнародна наук. конференц. ім. акад. М.Кравчука. - К.,1996. - С. 69.
1.
Верьовкіна Г.В. Про введення локальних координат для зліченної дискретної системи в околі інваріантного тору // Тези доповід. Міжнарод. конференц. Треті Боголюбовські читання. - К.,1997. - С. 37-38.
1.
Мартинюк Д.І., Верьовкіна Г.В. Теорема про існування інваріантних множин зліченних систем різницевих рівнянь // Тези доповід. Всеукраїн. конференц. “Диференц.-функц. рівняння та їх застосування”. - К.,1996. - С. 123.
Верьовкіна Г.В. Інваріантні множини зліченних систем диференціальних та різницевих рівнянь. - Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. - Національний універсітет імені Тараса Шевченка, Київ, 1999.
Дисертацію присвячено побудові теорії інваріантних многовидів зліченних систем диференціальних та різницевих рівнянь. Доведені теореми про редукцію нескінченної системи різницевих рівнянь до скінченної системи, що є лінійним розширенням на m-вимірному торі. Приведені необхідні умови існування інваріантних торів зліченних систем диференціальних та різницевих рівнянь.
Ключові слова: простір обмежених числових послідовностей, тор, Функція Гріна, зліченна система, диференціальне, різницеве рівняння.
Веревкина А.В. Инвариантные множества счетных систем дифференциальных и разностных уравнений. - Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. - Национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 1999.
Развитие технических наук, информатики и вычислительной техники объясняет возрастающий интерес к изучению разностных уравнений, которые являются достаточно удобной моделью описания импульсных и дискретных динамических систем. Разностные уравнения встречаются при численном решении многих классов дифференциальных уравнений с помощью конечных разностей. Изучению вопросов теории дифференциальных и разностных уравнений посвящены работы Ю.А.Митропольского, А.М.Самойленко, Д.И.Мартынюка, Н.А.Перестюка. В последние десятилетия вырос интерес к изучению дифференциальных и разностных уравнений в пространстве ограниченных числовых последовательностей. Вопросы счетных систем дифференциальных уравнений и их свойств разработаны в работах А.М.Самойленко и Ю.В.Теплинского.
Диссертация посвящена построению теории инвариантных многообразий систем линейных и нелинейных дифференциальных и разностных уравнений в пространстве ограниченных числовых последовательностей. Установлены необходимые условия существования инвариантных тороидальных многообразий счетных систем дифференциальных и разностных уравнений. Для счетной дискретной системы в окрестности инвариантного тора введены локальные координаты. Доказана теорема про приводимость дискретной системы к каноническому виду. Получены условия, при которых инвариантный тор счетной системы разностных уравнений является границей последовательности инвариантных торов конечномерных, укороченных специальным образом, систем разностных уравнений. Доказана теорема о редукции счетной системы разностных уравнений к конечномерной системе, которая является линейным расширением на m-мерном торе. Этот результат имеет широкое практическое применение, так как исследование систем разностных уравнений в бесконечном случае сводится к изучению вопросов конечномерных систем, которые проще в теоретическом плане и могут быть решены на ЭВМ. Численно-аналитический метод Самойленко А.М. нахождения периодических решений систем дифференциальных уравнений разработан для счетных систем разностных уравнений.
Ключевые слова: пространство ограниченных числовых последовательностей, тор, функция Грина, счетная система, дифференциальное, разностное уравнение.
Veryovkina A.V. Invariant sets of accounting systems differential and difference equations. - Manuscript.
The thesis for obtaining the Candidate of Physical and Mathematical Sciences degree on the speciality 01.01.02 - differential equations. - National University, Kyiv, 1999.
The thesis is devoted to construction of the theory of invariant varietieses of accounting systems differential and difference equations. The theorems of a reduction of an infinite system of difference equations to a final system, which is the linear extension on the m-measured torus, are proved. The necessary conditions of existence of invariant tori of accounting systems differential and difference equations are introduced.
Key words: space of the limited numerical sequences, torus, Green function, accounting system, differential, difference equation.
