Львівський національний університет імені Івана Франка

Карабин Оксана Олександрівна

УДК 517.518.34

НЕСТАНДАРТНІ БАЗИ В ГІЛЬБЕРТОВОМУ

ПРОСТОРІ

(01.01.01 --- математичний аналіз)

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Львів --- 2000

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Львівському національному університеті

імені Івана Франка на кафедрі математичного і функціонального аналізу.

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук,професор

Лянце Владислав Елійович,

професор кафедри математичного і функціонального аналізу

Львівського національного університету імені Івана Франка.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук

Горбачук Валентина Іванівна,

провідний науковий співробітник відділу диференціальних рівнянь

в частинних похідних Інституту математики НАН України,

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник

Боднар Дмитро Ількович,

професор кафедри прикладної математики Державного університету

"Львівська політехніка".

Провідна установа --- Інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна,

відділ математичної фізики

Захист відбудеться 28 вересня 2000 р. о 15.20 год.

на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.051.07 у Львівському

національному університеті імені Івана Франка за адресою:

79000, м. Львів, вул. Університетська 1, ауд. 377.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Львівського національного

університету імені Івана Франка за адресою: м. Львів, вул. Драгоманова, 5.

Автореферат розіслано 16 серпня 2000 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Я.В. Микитюк

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. З часів відкриття Рене Декартом методу координат поняття бази

(координатного репера) стало однією з фундаментальних концепцій геометрії, алгебри, аналізу. Воно лежить в основі алгебри і лінійного функціональногоаналізу. Перелік прізвищ видатних учених, які займались цими дослўдженнями (Ю.Шаудер, С.Банах, Н.Барі, І.Гельфанд, М.Крейн, М.Фаге та ін.) свідчить про велику вагу теорії баз, зокрема,у функціональних просторах.

З виникненням нестандартного аналізу (друга половина ХХ сторіччя) в теорії

баз виникли нові проблеми, дослідження яких є природньою необхідністю. До таких проблем належить, наприклад, визначення еквівалентності баз в нестандартному універсумі, визначення колостандартності бази та її тіні, отримання ознак колостан- дартності і тіні вектора в термінах його координат щодо нестандартної бази, а також його тіні. При цьому важливо було включити в коло досліджень необмежені оператори, а також бази з підпросторів

Саме відповідям на ці та деякі інші природні запитання, наприклад вивченню

взаїмозв'язків між базами різних типів, зокрема, баз Рісса, Барі, присвячена ця робота.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертаційної роботи пов'язана з науково-дослідницькими роботами кафедри математичного і функці- онального аналізу Львівського національного університету ім. І.Франка "Деякі проблеми теорії несамоспряжених операторів та нестандартний аналіз" (шифр МА 400--Д) та "Властивості операторів у гільбертових просторах " (шифр МА--378Б).

Мета і задачі дослідження:

Метою дисертації є дослідження нестандартних аспектів теорії баз. Зокрема:

--- ввести природнє поняття колостандартності для бази і оперуючи ним, знайти формулу тіні і критерій сильної колостандартності вектора в гільбертовому просторі з колостан- дартною векторною базою;

--- осмислити з точки зору нестандартного аналізу відомі результати М.Г.Крейна, що стосуються баз, квадратично близьких до ортонормованої;

--- дослідити поведінку бази Рісса при нескінчено малому збуренні;

--- дослідити діагональні оператори, власними векторами яких є елементи колостандарт- ної бази Рісса.

--- дослідити подібні питання для нестандартних баз з підпросторів.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації вперше розглянуто елементи теорії баз в гільбертовому просторі з точки зору нестандартного аналізу. Досліджуються властивості нововведеного класу баз --- колостандартних баз Рісса, і в гільбертовому просторі з такою базою встановлено критерій сильної колостандартності вектора, а та- кож знайдено формулу тіні вектора і оператора. Отримані результати узагальнено на випадок баз з підпросторів, а також застосовано при дослідженні нестандартних властивостей діагонального оператора. Нестандартний аналіз дав змогу замість поняття квадратично близьких баз, яке існує в класичній теорії, ввести поняття квадратично скінченно і квадратично нескінчено близьких баз і отримати доповнення до результатів М.Крейна, що стосуються необхідних і достатніх умов, за якими послідовність векторів є базою гільбертового простору, квадратично близькою до його ортонормованої бази.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи мають теоретичне значення. Одержані результати можуть знайти застосування в теорії операто- рів в гільбертовому просторі, а також в дослідженнях, в яких застосовується нестандарт- ний аналіз (математична фізика, стохастичний аналіз).

Особистий внесок здобувача. У праці [1] В.Е.Лянце належить попереднє формулюван- ня очікуваних результатів досліджень. Остаточне формулювання результатів та їх фак-тична реалізація належить автору дисертації.

Апробація результатів дисертації. Результати роботи доповідались на Львівському міжвузівському семінарі з функціонального аналізу (кер. проф. Лянце В.Е.), на Львів-ському регіональному семінарі з математичного аналізу (кер. проф. Шеремета М.М.) на міжнародній науковій конференції "Сучасні проблеми механіки і математики", присвя- ченій 70-річчю Я.С.Підстригача (Львів, травень 24-26, 1998), на міжнародній науковій конференції, присвяченій Ю.П.Шаудеру (Львів, серпень 23-29, 1999).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в п'яти працях , з яких чотири надруковано у виданнях з переліку, затвердженого ВАК України.

Структура та об'єм дисертації. Дисертація складається із вступу, трьох розділів, роз- битих на підрозділи, висновків і списку використаних джерел. Обсяг дисертації 114 сто- рінок. Список використаних джерел займає 5 сторінок і включає 52 найменування.

ЗМІСТ РОБОТИ

Дисертаційна робота присвячена дослідженню властивостей нестандартних баз гіль- бертовому просторі і складається із вступу і трьох розділів.

У вступі обгрунтовано актуальність вибраної теми досліджень, визначена мета і задачі дослідження, а також подано коротку анотацію нових наукових положень, викладених у дисертації.

У розділі 1 викладено огляд літератури зa темою, наведено основні поняття з теорії баз і твердження, які використовувались при дослідженні, викладено потрібні факти з нестандартного аналізу, а також подано короткий виклад результатів дисертації.

Розділ 2 присвячено дослідженню нестандартних векторних баз в стандартному

гільбертовому просторі . Вводиться наступна основа для класифікації баз:

Означення 2.1.1. Еквівалентні бази i в назвемо nst-еквівалентними, якщо їх еквіваленція і --- рівномірно колостандартні оператори.

Для послідовності векторів в , які задовольняють умову:

(2.2)

визначається послідовність ( є стандартним продовженням зовнішньої послідовності , яка є тінню і вводиться означення колостандартної бази.

Означення 2.1.2. База , для якої виконується умова (2.2) називається колостан- дартною, якщо її тінь є базою і якщо i є nst-еквівалентними з еквіваленцією такою, що .

Отримано наступні властивості колостандартних баз.

Твердження 2.1.1. Нехай --- колостандартна база в, а --- база, біортого- нальна до неї. Тоді база також є колостандартною.

Твердження 2.1.2. Нехай i є nst-еквівалентними базами в . є колостан-дартною тоді і тільки тоді, коли є колостандартною. Тінь еквіваленції баз i є еквіваленцією їх тіней: .

На основі цих властивостей колостандартних баз, отримано наступну теорему, яка задає формулу тіні вектора.

Теорема 2.1.1. Нехай --- колостандартна база в . Розглянемо довільний вектор , і поначимо через послідовність його координат в базі :

.

Припустимо, що (зазначимо, що такий вектор є колостандартним в слабкому сенсі). Тоді

де --- стандартне продовження (зовнішньої) послідовності , а --- тінь бази .

Н.К. Барі ввела поняття бази, еквівалентної деякій ортонормованій базі гільбер- тового простору (бази Рісса) і встановила ряд характеристичних властивостей баз, еквівалентних ортонормованій. (Бари Н.К. О базисах в гильбертовом пространстве // ДАН СССР. - 1946. - T.54. - С.383--386.; Бари Н.К. Биортогональные системы и базисы в гильбертовом пространстве // Учён. зап МГУ, серия матем., - 1951 - N 4. - Bып.148. - С.69--107.

В підрозділі 2.2. вводиться поняття колостандартної бази Рісса і наведено критерій того, коли база в гільбертовому просторі є nst - базою Рісса, а також критерій сильної колостандартності вектора.

Означення 2.2.1. База гільбертового простору називається nst-базою Рісса, якщо вона є nst-еквівалентною до стандартної бази Рісса.

Твердження 2.2.1.

(i). База в гільбертовому просторі є nst-базою Рісса, якщо і тільки якщо, вона є коло- стандартною і її тінь є базою Рісса.

(iі). База в гільбертовому просторі є nst-базою Рісса, якщо і тільки якщо, вона є nst-еквівалентною стандартній ортонормованій базі.

Теорема 2.2.1. Нехай є nst-базою Рісса в , а --- біортогональна до неї база. Вектор такий, що є сильно колостандартний тоді і тільки тоді, коли для довільного нескінчено великого натурального

,

де --- послідовність координат вектора : .

Властивість послідовності в гільбертовому просторі бути базою Рісса є стійкою в тому сенсі, що кожна послідовність "достатньо близька" до бази Рісса, є базою Рісса. Однією з теорем про стійкість є теорема Пелі-Вінера.

Підрозділ 2.5. ілюструє застосування отриманих результатів в теорії операторів. Зокрема, розглядається оператор вигляду:

(2.31)

де i --- біортогональні бази гільбертового простору , а --- деяка послідовність комплексних чисел. Отримано такі теореми.

Теорема 2.5.1. Припустимо, що власні вектори оператора вигляду (2.31) утворюють nst-базу Рісса стандартного гільбертового простору . Такий оператор є сильно колостандартний тоді і тільки тоді, коли

Позначимо через --- стандартну послідовність в таку, що

Оператор є рівномірно колостандартним тоді і тільки тоді, коли

Теорема 2.5.2. Припустимо, що власні вектори оператора вигляду (2.31) утворюють nst-базу Рісса стандартного гільбертового простору . Оператор є s-компактним тоді і тільки тоді, коли

(2.38)

Якщо виконується умова (2.38), то тінь оператора є компактним оператором (у стандартному розумінні).

В подальшій теоремі подано формулу тіні для оператора вигляду (2.31), коли деякі з є нескінчено великими.

Теорема 2.5.3. Якщо для оператора вигляду (2.31) виконується

умова: , то такий оператор є графколостандартним, його тінь є замкненим відображенням ізвтаким, що

збіжний (2.41)

, (2.42)

де --- стандартне продовження послідовності

, а , --- тіні відповідно баз i стандартного гільбертового простору .

В підрозділі 2.6. знайдено тінь і досліджується спектр оператора ви- гляду:

(2.45)

де --- стандартний простір із -адитивною мірою, а --- деяка -вимўрна,-обмежена функція. Такий оператор є нормальним і якщо , то є самоспряженим. Спектром та- кого оператора є , де . Для цього оператора в теоремі 2.6.2. отримано результат типу "спектр тіні дорівнює тіні спектра".

В Розділі 3 дисертаційної роботи досліджуються нестандартні бази з підпросторів.

Аналогічно як в розділі 2, вводиться означення nst-еквівалентних баз з підпросторів, а також отримано аналоги теорем 2.1.1. і 2.2.1.

ВИСНОВКИ

Дисертація присвячена висвітленню деяких аспектів теорії векторних баз і баз з під- просторів в стандартному гільбертовому просторі з точки зору нестандартного аналізу.

Ввівши поняття колостандартної бази, отримано критерій того, коли база в гільбертовому просторі є колостандартною базою Рісса (nst-базою Рісса) і знайдено критерій сильної колостандартності вектора в гільбертовому просторі з nst-базою Рісса, а також знайдено формулу розвинення тіні вектора і оператора за базою, що є тінню колостандартної бази Рісса. Виявилось, що тіні вектора і оператора виражаються в термінах координат.

Показано, що при нескінчено малому збуренні колостандартна база Рісса залишається колостандартною базою Рісса.

Отримано нестандартний додаток до результатів М.Крейна і А.Маркуса, що стосу- ються баз Барі.

Як застосування отриманих результатів, знайдено необхідні і достатні умови сильної і рівномірної колостандартності і s-компактності діагонального оператора власними векто- рами якого є елементи nst-бази Рісса, а також оператора вигляду

де для кожного --- nst-база Рісса з підпросторів в гільберто- вому просторі i --- проектори на.

Отримані результати можуть знайти застосування при дослідженнях в теорії операторів в гільбертовому просторі, а також в дослідженнях, в яких застосовується нестандартний аналіз (математична фізика, стохастичний аналіз).

Основнi результати дисертацiйної роботи опублiкованi в наступних статтях:

1.Lyantse V.E., Karabyn O.O. On operator of multiplication by theindependent variable // Вісник Львівського університету, серія механіко-математична. - 1998. - Вип. 51. - С.128--133.

2. Карабин О.О. Нестандартні бази з підпросторів // Матем. методи та фіз-мех поля. - 1999. - T.42, N 4. - C.38--45.

3. Карабин О.О. До поняття бази з підпросторів // Вол. матем. вісник. - 1999. - Вип.6. - С.81--84.

4. Karabyn O. Nst-Riesz basis in a Hilbert Space // Вісник Львівського університету, серія механіко-математична. - 1999. - Вип. 54.

- С.96--101.

5. Lyantse W., Karabyn O. Nearstandard bases in Hilbert space // Book of abstracts International conf. ded. to J.P.Schauder. - Lviv. - 1999. - P.133.

Карабин О.О. Нестандартні бази в гільбертовому просторі. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

за спеціальністю 01.01.01. - математичний аналіз. Львівський національний

університет імені Івана Франка, Львів, 2000.

В роботі досліджуються певні аспекти теорії баз в гільбертовому просторі із застосуванням методів нестандартного аналізу. Введено поняття колостандартної бази і її тіні. Це дало змогу встановити критерій колостандартності вектора і оператора в термінах їхніх координат і, відповідно, матриць. В якості застосування, отримані умови сильної і рівномірної колостандартності, а також s-компактності діагонального оператора.

Ключові слова: колостандартність, колостандартна еквівалентність, тінь вектора, тінь оператора, тінь бази.

Karabyn O.O. Nonstandard basis in Hilbert space. - Manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate of Phisical and Mathematical degreeon the speciality 01.01.01. - Mathematical Analysis, Lviv National University named after Ivan Franko, Lviv, 2000.

A fragment of the nonstandard theory of bases in Hilbert space is developped. A conception of nearstandard basis and shadow is proposed. This allows to define a criterion of nearstandardness of a vector and operator in terms of theirs corresponding coordinates and matrices. As examples, the condition of strong and uniform nearstandardness and also s-compactness of diagonal operator is obtained.

Key words: nearstandardness, nearstandard equivalency, shadow of vector, shadow of operator, shadow of basis.

Карабын О.О. Нестандартные базисы в гильбертовом прострастве. - Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

по специальности 01.01.01. - математический анализ. Львовский национальный

университет имени Ивана Франко, Львов, 2000.

В работе исследуются определённые аспекты теории базисов в гильбертовом

пространстве с применением методов нестандартного анализа. Работа начинается

с обзора литературы по исследуемой теме и краткого обзора принципов

нестандартного анализа, используемых в работе. В разделе, посвящённом

векторным базисам, вводится понятие околостандартной эквивалентности

нестандартных базисов (в основе лежит требование околостандартности

эквиваленции базисов в смысле операторной нормы). Бесконечная близость

нестандартных базисов определяется условием, что эквиваленция этих

базисов является оператором, бесконечно близким по норме к оператору

тождественного преобразования. Это позволяет естественным образом

определить понятие околостандартного базиса и его тени. На этом основании

найдена формула для тени вектора в терминах его координат относительно

околостандартного базиса. В случае околостандартного базиса Рисса

(базиса, nst-эквивалентного некоторому ортонормированному базису)

подаётся критерий сильной околостандартности вектора. Доказывается, что

понятие околостандартности базиса Рисса является инвариантным относительно

бесконечно малых возмущений. Найдены условия для того, чтобы

последовательность векторов в гильбертовом пространстве образовывала

нестандартный базис Бари.

В качестве приложений, получены условия сильной и равномерной

околостандартности, а также s-компактности оператора, собственные векторы

которого образуют околостандартный базис Рисса. Используя концепцию

граф-околостандартности, получено формулу для тени неограниченного

диагонального оператора.

В заключительном разделе диссертации предыдущие результаты обобщены на

случай базисов из подпространств. В частности, рассмотрен диагональный

оператор вида: ,где для каждого ,--- nst-базис Рисса из подпространств в гильбертовом пространстве H и --- проекторы H на . Для него найдены условия сильной и равномерной околостандартности, s-компактности. Найдена формула тени такого оператора при условии, что некоторые

из операторов неограниченные.

Ключевые слова: околостандартность, околостандартная эквивалентность,тень вектора, тень оператора, тень базиса.