НАЦIОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ФІЗИКИ КОНДЕНСОВАНИХ СИСТЕМ

На правах рукопису

БАЦЕВИЧ Олександр Флорійович

УДК 536.75; 539.211

СТАТИСТИЧНА ГІДРОДИНАМІКА СУМІШЕЙ МАГНІТНИХ ТА НЕМАГНІТНИХ ЧАСТИНОК

01.04.02- теоретична фізика

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Львів – 2002

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано в Національному університеті “Львівська політехніка”

Науковий керівник |

– доктор фізико-математичних наук, професор Рудавський Юрій Кирилович, Національний університет “Львівська політехніка”, завідувач кафедри вищої математики, ректор.

Офіційні опоненти: |

– доктор фізико-математичних наук, професор Головко Мирослав Федорович, Інститут фізики конденсованих систем НАН України, завідувач відділу теорії розчинів і електролітів;

– доктор фізико-математичних наук Слюсаренко Юрій Вікторович, ННЦ (Харківський фізико-технічний інститут), провідний науковий співробітник.

Провідна організація: |

– Інститут теоретичної фізики НАН України імені М.М.Боголюбова, відділ теорії та моделювання плазмових процесів, м. Київ.

Захист відбудеться “4” вересня 2002 г. о “1530 ”на засіданні спеціалізованої вченої ради Д .156.01 при Інституті фізики конденсованих систем Національної академії наук України за адресою: 79011, м. Львів, вул. Свєнціцького .

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Інституту фізики конденсованих систем НАН України за адресою: 79026, м. Львів, вул. Козельницька, 

Автореферат розіслано “31” липня 2002 р

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Д .156.01,

кандидат фіз.-мат. наук Т.Є. Крохмальський

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми досліджень. Дослідження динамічних властивостей рідких магнетиків, а також багатокомпонентних магнітних сумішей – одне із складних та актуальних завдань сучасної статистичної фізики рідин. Вивчення таких характеристик, як спектри колективних збуджень, гідродинамічні часові кореляційні функції (динамічні, магнітні структурні фактори), коефіцієнти переносу, дає можливість кращого розуміння ключових характеристик рідин та пояснення багатьох експериментів, зокрема по розсіянню світла і нейтронів та дослідженню явищ переносу.

У сучасній статистичній фізиці існує широке розмаїття теоретичних схем та методів, у межах котрих вивчається узагальнена гідродинаміка рідин, а саме: феноменологічні методи, метод функцій пам’яті, проекційних операторів, молекулярної динаміки тощо. Одним з найуспішніших на даний момент є формалізм узагальнених колективних мод, який пропонує комплексний підхід до вивчення рідинної динаміки в широкому інтервалі частот та хвильових векторів. Його результативність пов’язана, насамперед, із використанням послідовного статистичного підходу, що базується на методі нерівноважного статистичного оператора (НСО). Фундаментальність та точність методу НСО ставлять його в ряд найважливіших та найбільш результативних методів нерівноважної статистичної фізики.

На даний момент теоретично та експериментально найбільш дослідженими є динамічні властивості простих рідин, для яких отримано формули типу Ґріна-Кубо, що описують коефіцієнти переносу, рівняння гідродинаміки Нав’є-Стокса, що використовуються, зокрема, і для опису процесів переносу рідини в об’єктах різної геометрії; аналітичні вирази для динамічних структурних факторів та інших часових кореляційних функцій в гідродинамічній границі. Для складних рідин – полярних, магнітних, молекулярних, в яких суттєвим є врахування взаємодії трансляційних ступенів вільності із внутрішніми – дипольною, спіновою, або ж орієнтаційною підсистемами, успіхи теорії є значно скромнішими. Зокрема, лише для окремих моделей отримані вирази для динамічних структурних факторів та коефіцієнтів переносу.

Інший аспект проблеми, що виникає при моделюванні реальних рідин, стосується врахування багатосортності при вивченні сумішей. Тут можна сказати, що у гідродинамічній області (великі просторові масштаби та часові інтервали) на даний момент відомі аналітичні вирази для динамічних структурних факторів лише для випадку бінарної суміші простих рідин. Щодо сумішей більшого числа чистих компонент, то результати для часових кореляційних функції відсутні взагалі, а в окремих роботах проводився лише аналіз загальної структури рівнянь гідродинаміки та спектру гідродинамічних збуджень.

В останні роки до традиційних методів експериментального дослідження складних рідин та сумішей, що базувалися в значній мірі на експериментах з розсіяння і дозволяли в такий спосіб вивчати динамічні структурні фактори, долучилися нові експериментальні методи. Прикладом останніх може служити так звана “теплова спектроскопія”, що дозволяє аналізувати поведінку часової кореляційної функції “енергія-енергія”. Значні зміни відбулися і на шляху відомих експериментальних методик. Так нещодавно вдалося експериментально досягнути таких температур в переохолодженому рідкому розплаві Co80 –Pd20 , при яких існує феромагнітно впорядкована фаза (Albrecht., Bьhrer., Fдhme., Maier., Platzek. // Appl. Phys., 1997, 65, p.215-220). Цей результат знову ж таки сильно стимулював теоретичні дослідження моделей магнітних рідин, поведінка яких суттєвим чином визначається взаємодією між рідинною та спіновою підсистемами.

Усі вище перелічені чинники, а також відсутність загальної методологічної бази для теоретичного вивчення динаміки сумішей та складних рідин, зумовлюють актуальність досліджень у цьому напрямі. Зокрема, важливим є розгляд багатокомпонентних сумішей та рідин зі складними взаємодіями у гідродинамічній області, де можлива певна уніфікація розгляду, що дозволяє далі просунутись по шляху отримання аналітичних результатів для часових кореляційних функцій, які є цікавими в експериментальному плані.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами і темами. Дисертаційна робота виконана в Національному університеті “Львівська політехніка” згідно з планами науково-дослідних робіт за темами:

– “Розробка математичних моделей для опису впливу зовнішніх фізико-механічних полів на рівноважні та нерівноважні системи – кристалічні, рідкі та аморфні магнетики”, шифр ДБ/Функція, № д.р. 0198U007870.

– “Чисельна реалізація деяких крайових задач методом граничних елементів”, шифр ДБ /Схема № д.р. 0197U000215

– “Теорія станів хемосорбованих на поверхнях та сольватованих в структурно невпорядкованих середовищах атомів і молекул”, шифр ДБ/Сольват, № д.р. 010U000881.

Метою роботи є побудова узагальненої гідродинамічної теорії для багатокомпонентних сумішей магнітних та немагнітних частинок, що включає в себе:

– послідовне застосування методу нерівноважного статистичного оператора для отримання узагальнених рівнянь переносу в бінарній суміші магнітних та немагнітних частинок;

– лінеаризація рівнянь переносу у гідродинамічній границі та порівняльний аналіз поведінки двох типів систем: із визначальною парціальною або ж колективною динамічною складовою;

– розрахунок мікроскопічних потоків, статичних кореляційних функцій та елементів гідродинамічної матриці;

– отримання виразів для спектру гідродинамічних колективних мод та часових кореляційних функцій системи;

– узагальнення результатів на випадок багатосортної суміші і розвиток загального підходу до отримання спектрів гідродинамічних збуджень та часових кореляційних функцій;

– порівняльний аналіз отриманих результатів, знаходження аналітичних виразів динамічних структурних факторів та спектрів колективних мод для бінарної суміші магнітних і немагнітних частинок в однорідному магнітному полі та потрійної суміші простих рідин.

Наукова новизна отриманих результатів полягає в наступному:

Методом НСО вперше отримано узагальнені рівняння переносу для бінарної суміші магнітних та немагнітних частинок. Проаналізовано випадки різного вибору початкового стану, зокрема коли: (і) магнітна та немагнітна підсистеми взаємодіють слабо і тому характеризуються своїми власними наборами локальних термодинамічних параметрів (парціальний тип динаміки); (іі) магнітна і немагнітна підсистеми є сильно взаємодіючими і, відповідно, описуються єдиним набором локальних термодинамічних параметрів (колективний тип динаміки). Отримано рівняння переносу, які описують таку бінарну систему в гідродинамічній області.

На основі простої моделі температурної релаксації для систем із парціальним та колективним типом динаміки, показано, що поведінка обох систем є еквівалентною в гідродинамічній границі, а коефіцієнти загасання гідродинамічних мод в обох випадках визначаються виключно колективними ефектами.

Для системи з домінуючою колективною динамікою, що характеризується п’ятьома параметрами скороченого опису, знайдено вирази для: мікроскопічних потоків, які входять в означення узагальнених коефіцієнтів переносу, статичних кореляційних функцій системи, узагальнених термодинамічних величин (k-залежна магнітна сприйнятливість, теплоємність, статичні структурні фактори системи). Розраховано елементи частотної матриці та матриці функцій пам'яті, проаналізовано означення для тиску у випадку ізотропних взаємодій. На цій основі обчислено спектр гідродинамічних мод і показано, що він складається із двох комплексно-спряжених пропагаторних збуджень, які відповідають за поширення звукових хвиль у системі, та трьох релаксаційних мод, що визначаються ефектами взаємодифузії, спіндифузії та термодифузії. Доведено, що квадрат швидкості звуку є обернено пропорційним до адіабатичної стисливості в ансамблі з постійною намагніченістю та фіксованою концентрацією частинок. Розраховано коефіцієнти згасання для усіх колективних мод.

Запропоновано новий оригінальний спосіб обчислення вагових коефіцієнтів, що визначають внесок кожної із колективних мод у гідродинамічні часові кореляційні функції. На цій основі, виконано розрахунки часових кореляційних функцій для бінарної магнітної суміші. Зокрема, проаналізовано поведінку кореляційної функцій “спінова густина – спінова густина” у парамагнітній фазі.

Результати, отримані для бінарної суміші магнітних та немагнітних частинок, узагальнено на випадок багатосортних сумішей, до складу яких входить довільна кількість як магнітних, так і немагнітних компонент. У межах узагальненого підходу проаналізовано проблему оптимального вибору динамічних змінних системи, знайдено структуру частотної матриці, матриці функцій пам'яті, отримано вирази для відповідних матричних елементів через статичні кореляційні функції системи. Показано, що для -сортної суміші, у якій за рахунок магнітної підсистеми маємо додатково адитивні інтеграли руху, в загальному випадку існує гідродинамічні поперечні колективні моди, серед яких дві – це комплексно-спряжені звукові збудження, а решта – дифузійні моди з коефіцієнтами згасання, що знаходяться із відповідного наведеного нами алгебраїчного рівняння.

Важливим результатом розгляду гідродинаміки багатокомпонентної суміші стало знаходження вагових коефіцієнтів, які описують внесок кожної із гідродинамічних мод у часові кореляційні функції. Для них отримані аналітичні вирази, що описують усі гідродинамічні кореляційні функції системи в термінах термодинамічних параметрів та коефіцієнтів переносу. Зокрема, на основі цих виразів вперше отримані аналітичні вирази для динамічних структурних факторів бінарної суміші магнітних та немагнітних частинок в однорідному магнітному полі та для трисортної суміші простих рідин.

Теоретичне та практичне значення отриманих результатів. Отримані аналітичні вирази для колективних мод та часових кореляційних функцій багатосортної суміші магнітних та немагнітних частинок, можуть бути використані у теоретичному та експериментальному вивченні динамічних властивостей рідин. Зокрема, вирази для динамічних та спінових структурних факторів, де входять експериментально спостережувані величини (коефіцієнти переносу, стисливість, сприйнятливості), можуть бути використані при аналізі експериментів з розсіяння світла чи нейтронів, вираз для часової кореляційної функції “енергія-енергія” – при аналізі даних теплової спектроскопії.

У теоретичному плані отримані результати, є асимптотично точними в гідродинамічній області й можуть бути використані як базові для інтерпретації даних комп’ютерного експерименту, а також як стартові в рамках інших теорій, що мають на меті вихід за рамки лінійної гідродинаміки, наприклад, у методі узагальнених колективних мод. У методичному плані отримані результати є корисними з точки зору численних застосувань до інших систем, які характеризуються складними взаємодіями між трансляційними та внутрішніми ступенями вільності – магнітні, полярні, молекулярні рідини, фероколоїди.

Особистий внесок здобувача. Автору належить: порівняльний аналіз поведінки в гідродинамічній границі бінарних сумішей двох типів, а саме із домінуючою колективною та парціальною динаміками; аналіз лінійної гідродинаміки бінарної суміші магнітних та немагнітних частинок, що включає вивід узагальнених термодинамічних коефіцієнтів та коефіцієнтів переносу, розрахунок спектру колективних збуджень; ідея альтернативного способу знаходження вагових коефіцієнтів для гідродинамічних часових кореляційних функцій; вивід аналітичних виразів для часових кореляційних функцій _сортної суміші магнітних та немагнітних частинок; отримання виразів для динамічних та спінових структурних факторів бінарної магнітної суміші; розрахунок динамічних структурних факторів потрійної суміші простих рідин.

Апробація роботи. Основні результати дисертаційної роботи доповідались та обговорювались на наступних конференціях та нарадах:

– міжнародна робоча нарада “Workshop on Condensed Matter Physics” (Львів, INTAS-Україна, 21-24 травня 1998);

– міжнародна конференція “8-ht International Conference on Magnetic Fluids” (Timisoara, Romania, June 29 – July 3, 1998,);

– міжнародна конференція “Special Problems in Physics of Liquids” (Одеса, 2-6 липня 1999);

– другий міжнародний Смакуловий симпозіум “Фундаментальні і прикладні проблеми сучасної фізики” (Тернопіль, 6-10 вересня 2000);

– конференція професорсько-викладацького складу електрофізичного факультету ДУ “Львівська політехніка” (Львів, 5-7 квітня 2000);

– міжнародна робоча нарада “Workshop on Modern Problems of Soft Matter Theory” (Львів, INTAS-Україна, 27-31 серпня, 2000);

– міжнародна конференція “Physics of Liquid Matter: Modern Problems” (Київ, 14-19 вересня 2001);

– робоча нарада молодих вчених зі статистичної фізики та теорії конденсованої речовини (Львів, 31 травня - 1 червня, 2001)

Матеріали роботи також доповідалися на семінарах кафедри вищої математики Національного університету “Львівська Політехніка” та на семінарах відділу теорії нерівноважних процесів Інституту фізики конденсованих систем НАН України.

Публікації. За матеріалами дисертації опубліковано 17 робіт, а саме: 8 статей в наукових журналах, визначених переліком ВАК України, 6 тез міжнародних конференцій та 3 препринти. Перелік основних публікацій подано в кінці автореферату.

Структура та об’єм дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, додатка, списку використаних джерел. Кожний розділ дисертації розпочинається зі вступу та завершується висновками. Робота викладена на 112 сторінках (разом з літературою – 127 сторінки машинописного тексту). Список використаної літератури містить 115 найменувань наукових публікацій у вітчизняних та закордонних виданнях

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовується актуальність досліджень, що проводяться у дисертації, формулюється мета роботи, відзначається наукова новизна отриманих результатів.

У першому розділі коротко аналізуються основні праці, які стосуються експериментальних та теоретичних досліджень властивостей складних рідин, для яких суттєвою є взаємодія між поступальними та внутрішніми ступенями вільності, а також ефекти багатосортності. Обговорюються різні сучасні підходи, що використовувались чи можуть бути використані для теоретичного вивчення гідродинаміки сумішей магнітних та немагнітних частинок, як одного з прикладів систем із взаємодіючими трансляційними та внутрішніми ступенями вільності частинок. Обґрунтовано необхідність послідовного статистичного розгляду гідродинаміки таких систем в рамках єдиної статистичної теорії нерівноважних властивостей. Як базовий підхід розглянуто метод НСО Д.Н. Зубарєва, що дає змогу послідовно і самоузгоджено описувати як слабо, так і сильно нерівноважні стани системи.

У другому розділі розглядається статистична гідродинаміка суміші магнітних та немагнітних частинок у зовнішньому неоднорідному магнітному полі . Для випадку, коли система перебуває в слабо нерівноважному стані, отримуються лінеаризовані рівняння гідродинаміки та рівняння для часових кореляційних функцій із виділенням взаємодії між підсистемами.

Розглядається розчин N1 немагнітних та N2 магнітних частинок зі спіном , в об'ємі V, у зовнішньому магнітному полі . Спінові змінні описуються методом квантової механіки, у той час як трансляційні ступені вільності розглядаються як класичні. Гамільтоніан такої системи має наступний вигляд:

,

де

,–

частина гамiльтонiану, що описує “рідинну” підсистему немагнітних частинок як просту класичну рідину; –

гамільтоніан магнітної підсистеми, де третій доданок описує міжспінову взаємодію гайзенбергівського типу. Доданок описує взаємодію магнітних та немагнітних частинок (тут ), а – частина гамiльтонiану, яка відповідає за взаємодію магнітної підсистеми з неоднорідним магнітним полем.

Для того, щоб отримати узагальнені рівняння гідродинаміки для бінарної суміші магнітних та немагнітних частинок, ми використовуємо метод НСО Д.Н. Зубарєва і шукаємо нерівноважний статистичний оператор системи як розв’язок рівняння Ліувілля з інфінітезимальним джерелом:

,

де після термодинамічного граничного переходу. Оператор Ліувілля має вигляд:

де , – оператори Ліувілля немагнітної та магнітної підсистеми, відповідно; – описує взаємодію між підсистемами; – доданок, що характеризує вплив зовнішнього магнітного поля, а – квантова частина оператора Ліувілля , що діє лише на спінові змінні. Квазірівноважний статистичний оператор визначається із умови екстремуму інформаційної ентропії при збереженні нормування та забезпеченні додаткових умов самоузгодження, які фіксують середні значення змінних скороченого опису.

Для того, щоб не звужувати розгляд вибором певного набору динамічних змінних (параметрів скороченого опису), розглядалися два випадки приготування суміші. Перший – коли магнітна та немагнітна підсистеми характеризуються своїми параметрами нерівноважної термодинаміки (температурами, хімічними потенціалами). Така ситуація зустрічається у випадку, коли йдеться про опис підсистем, характерні часи яких значно відрізняються. Зокрема, прикладом може бути суміш з великою різницею мас чи розмірів частинок різних сортів. У цьому випадку можна говорити про парціальний характер динаміки. В іншому випадку, коли домінують колективні процеси і, відповідно, особливості парціальної динаміки нас не цікавлять, будемо говорити про колективну динаміку. З метою забезпечення коректного опису стану у гідродинамічній границі, в якості параметрів скороченого опису, які описують систему у випадку парціального характеру динаміки, вибиралися середні значення парціальних густин числа частинок , імпульсу та енергії , де , а для опису магнітної підсистеми – середні значення густини магнітного моменту . Для систем з колективною динамікою набір динамічних змінних включав парціальні густини числа частинок та , густину повного імпульсу , енергії , а також густину спінового моменту . Таким чином, розглядалися два набори динамічних змінних:

та

для системи з парціальною та колективною динаміками відповідно. Тильда над змінною тут і надалі позначає матричний (багатокомпонентний) характер останньої. Розв’язок рівняння записується у вигляді:

.

Самоузгоджений розгляд дозволяє знайти нелінійні узагальнені рівняння переносу для динамічних змінних та вирази для матриці ядер переносу, які входять у ці рівняння. У випадку вивчення слабо нерівноважних процесів, коли локальні термодинамічні параметри системи слабо відрізняються від своїх рівноважних значень, приходимо до лінійних рівнянь переносу за схемою, відомою в літературі [див., наприклад, Mryglod I.M., TokarchukFolk// Physica220 (1995)].

З метою аналізу відмінностей у гідродинамічній поведінці систем з парціальною та колективною динаміками, розглянуто просту модель температурної релаксації, на основі якої порівнювалась поведінка систем при виході з гідродинамічної області. Показано, що у випадку парціальної динаміки поведінку системи визначають дві релаксаційні моди –гідродинамічна та кінетична , у той час, як система з колективною динамікою характеризується в основному однією гідродинамічною модою. В гідродинамічній границі, коли йдеться про опис повільних колективних процесів, ці моделі цілком еквівалентні. Модель парціальної динаміки дозволяє вивчати специфічні особливості процесу вирівнювання локальних температур у двох підсистемах, а відповідний час релаксації визначається, як слідує з виразу для , насамперед, конкуруючими кореляціями (неподібністю) між підсистемами. З іншого боку, як і очікувалось, коефіцієнт згасання гідродинамічної моди залежить виключно від колективних ефектів і перехресні кореляції між підсистемами в гідродинамічному режимі не впливають на його величину. Цікавим результатом є також прояв повільного гідродинамічного процесу термодифузії у динаміці неконсервативних величин. Суттєвим моментом у цьому випадку є необхідність врахування динамічної взаємодії із повільним процесом, що забезпечує коректність отриманих теоретичних результатів.

Розглянуті у даному розділі моделі добре ілюструють ієрархію процесів релаксації в динаміці багаточастинкових кореляцій, коли гідродинамічні та кінетичні процеси розділені за своїми характерними часами, і дозволяють краще зрозуміти особливості опису динаміки зв'язаних підсистем, у яких через взаємодію із повільним процесом, суттєвим чином може проявлятися гідродинамічна складова.

У третьому розділі детально аналізується слабонерівноважна гідродинаміка суміші магнітних та немагнітних частинок на основі виведених у попередньому розділі узагальнених рівнянь переносу. Як нами показано, поведінку системи в гідродинамічній границі адекватно описує набір динамічних змінних . Останні є густинами змінних, для яких при відсутності поля виконуються локальні закони збереження. При включеному зовнішньому магнітному полі для часових похідних цих змінних маємо співвідношення:

.

Вирази для узагальнених потоків та дисипативних доданків наведені в додатку А до дисертації. Для векторних величин та відповідні потоки є тензорними величинами та . Доданки , що описують дисипативні процеси, виникають у зв'язку з “відкритістю” системи, через взаємодію з неоднорідним зовнішнім магнітним полем . Якщо припустити, що поле є однорідним та стаціонарним, дисипативні доданки зникають, і рівняння трансформуються у відповідні закони збереження.

Важливий момент статистичного розгляду гідродинаміки бінарної суміші – розрахунок статичних кореляційних функцій , зокрема, у гідродинамічній границі. Останні входять у вирази для частотної матриці, матриці функцій пам'яті , а також у рівняння для часових кореляційних функцій , демонструючи, зв’язок між величинами, означеними в рамках нерівноважної теорії – часовими кореляційними функціями – та рівноважними характеристиками – узагальненими (k-залежними) термодинамічними величинами, які можна виразити через статичні кореляційні функції. Показано, що для діагоналізації матриці статичних кореляційних функцій та спрощення подальших викладок, зручно перейти до нових параметрів скороченого опису за допомогою процедури ортогоналізації Ґрамма-Шмідта, використовуючи техніку проекційних операторів. Таким чином здійснюється перехід до нових змінних

,

де – густина намагніченості, – густина ентальпії системи. При розгляді поздовжньої динаміки (флюктуації вздовж напрямку хвильового вектора ), маємо справу із п’ятизмінним набором .

Гідродинамічні збудження, які характеризують основні процеси флюктуаційної динаміки системи, знаходяться з рівняння як власні значення гідродинамічної матриці. Проводячи розклади за малим в гідродинамічній границі параметром , знаходимо п’ять колективних мод, а саме:

– дві комплексно-спряжені звукові моди ;

– три моди дифузійного типу , i = 1,2,3, що описують взаємну дифузію частинок обох сортів, спінову дифузію у магнітній підсистемі та ефекти теплопровідності.

Доведено, що квадрат швидкості звуку є обернено пропорційним до адіабатичної стисливості в ансамблі з постійною намагніченістю:

.

У четвертому розділі проводиться узагальнення запропонованого нами підходу на випадок багатосортної магнітної суміші. Для поперечної динаміки суміші, що складається із частинок сортів, у ролі параметрів скороченого опису вибирався наступний набір динамічних змінних:

,

де – парціальні густини числа частинок, а та – густина імпульсу та густина ентальпії відповідно. Динамічні змінні є густинами фізичних величин, що зберігаються і пов’язані виключно з внутрішніми ступенями вільності системи. Прикладом такої величини є густина намагніченості, означена нами раніше для випадку бінарної магнітної суміші, тому змінні можна умовно розглядати як парціальні “намагніченості”. Не применшуючи загальності розгляду, динамічні змінні можна вважати взаємно ортогональними, за винятком підмножини парціальних густин . Тоді елементи матриці статичних кореляційних функцій мають структуру аналогічно до виразів – . Зберігається при цьому також “хрестоподібна” структура для частотної матриці та матриці функцій пам’яті (див. , ). Використовуючи у подальшому матричну теорію збурень за малим у гідродинамічній границі параметром , нам вдалося в замкненій формі розрахувати спектр колективних збуджень та знайти вирази для гідродинамічних часових кореляційних функцій суміші. При цьому показано, що дві із гідродинамічних мод системи є звуковими, а усі інші – це збудження дифузійного типу. Серед дифузійних мод: мода описує ефекти взаємної дифузії, моди є “спіндифузійного” типу та існує, як і очікувалось, одна гідродинамічна теплова мода. Швидкість та коефіцієнт згасання звукових збуджень знаходяться із виразів, аналогічних до та , і така універсальність визначається саме структурою матриць та . Алгебраїчне рівняння, з якого знаходяться коефіцієнти згасання усіх інших дифузійних мод, може бути записане у вигляді рівняння, схожого на характеристичне:

.

У випадку магнітного поля, що прямує до нуля (парамагнітний випадок), показано, що спіновий динамічний структурний фактор переходить у звичайний лоренціан, центрований при , що формується спіндифузійною модою. При цьому вклад від звукових мод зникає, що свідчить про ізолювання спінової підсистеми від трансляційної. Також показано, що наступний вклад до часових кореляційних функцій буде квадратичним за полем.

Основні результати та висновки

1. Для суміші магнітних та немагнітних частинок на основі методу нерівноважного статистичного оператора одержано систему узагальнених рівнянь переносу, що є придатними для опису як слабо так і сильно нерівноважних систем. Для випадку слабонерівноважних процесів отримано систему лінійних рівнянь молекулярної гідродинаміки.

2. Запропоновано і досліджено просту модель температурної релаксації для двох типів систем: із домінуючим характером парціальної та колективної динамік. Показано, що в гідродинамічному режимі поведінка обох систем є еквівалентною і визначається виключно колективними ефектами.

3. У рамках послідовного статистичного підходу побудовано гідродинамічну теорію бінарної магнітної суміші; отримано вирази для узагальнених мікроскопічних потоків, узагальнених (k-залежних) термодинамічних величин та коефіцієнтів переносу; розраховано спектр гідродинамічні мод системи та матриці відповідних вагових коефіцієнтів.

4. Запропоновано альтернативний спосіб розрахунку вагових коефіцієнтів, які описують внесок гідродинамічних мод у часові кореляційні функцій суміші в гідродинамічному режимі. Показано перевагу цього способу у випадку дослідження багатосортних систем.

5. Проведено узагальнення результатів, отриманих для бінарної суміші магнітних та немагнітних частинок на випадок багатосортних систем. Проведено розрахунки спектру гідродинамічних мод і показано, що він завжди включає лише одну пару пропагаторних збуджень (звукові моди). Усі інші моди – дифузійного типу.

6. Знайдено аналітичні вирази для усіх гідродинамічних часових кореляційних функцій багатосортної суміші. Ці вирази є точними в гідродинамічній границі, і враховують також так звані “нелоренцівські” поправки.

7. Проведено апробацію отриманих аналітичних результатів у часткових випадках простої рідини та бінарної суміш простих рідин і доведено їх співпадіння із відомими виразами. Для бінарної магнітної суміші та потрійної суміші простих рідин вперше отримано вирази для динамічних структурних факторів та спінових динамічних структурних факторів – функцій, які є найбільш цікавими з точки зору опису експериментів із розсіяння.

Результати дисертації опубліковані в таких роботах:

1. Мриглод.М., Рудавський Ю.К., Токарчук М.В., Бацевич О.Ф. Статистична гідродинаміка суміші магнітних та немагнітних частинок // Укр. фіз. журнал - 1999. - 8, № 44. - с. 1030–1039.

2. Мриглод.М., Рудавський Ю.К., Токарчук М.В., Бацевич О.Ф. Статистична гiдродинамiка суміші магнітних та немагнітних частинок: Слабонерівноважні процеси // Укр. фіз. журнал - 1999. - 9, № 44. - с. 1174–1180.

3. BatsevychMryglodRudavskiiTokarchukOn the statistical hydrodynamics for a binary mixture of magnetic and nonmagnetic particles // Conden. Matter. Phys. - 2001. - 4, № . - P. –522.

4. Бацевич О.Ф., МриглодМ., Рудавський Ю.К., Токарчук М.В. Спектр гідродинамічних збуджень та часові кореляційні функції суміші магнітних i немагнітних частинок // Укр. фіз. журнал - 2000. - 45, № . - с. –1261.

5. Бацевич О.Ф., МриглодМ., Рудавський Ю.К., Токарчук М.В. Спектр гідродинамічних збуджень та часові кореляційні функції суміші магнітних i немагнітних частинок // Вісник ДУ “Львівська політехніка” Електроніка. - 2000. - № 397. – с. .

6. Бацевич О.Ф., МриглодМ., Рудавський Ю.К., Токарчук М.В. Гідродинамічні колективні збудження та часові кореляційні функції багатокомпонентних феромагнетних сумішей // Фізичний збірник НТШ. - 2001. - 4. - с. –160.

7. BatsevychMryglodRudavskiiTokarchukHydrodynamic excitation spectrum and time correlation functions for the multicomponent mixtures of magnetic and nonmagnetic particles // Conden. Matter Phys. - 2001. - 4, № . - P. –360.

8. BatsevychMryglodRudavskiiTokarchukHydrodynamic collective modes and time-dependent correlation functions of a multicomponent ferromagnetic mixture // J. Mol. Liq. - 2001. - 93. - P. –122.

9. Бацевич О.Ф., МриглодМ., Рудавський Ю.К., Токарчук М.В. Динамічна поведінка бінарної суміші з неконсервативними динамічними змінними. – Львів, 2002. – 11 с. – (Препр. / НАН України, Ін-т фізики конденсованих систем: ICMP-02-08U).

АНОТАЦІЇ

Бацевич О.Ф. Статистична гідродинаміка сумішей магнітних та немагнітних частинок. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.02 – теоретична фізика. Національний університет “Львівська політехніка”, Львів, 2002.

Дисертація присвячена теоретичному дослідженню гідродинамічної поведінки багатосортних хімічно-нереагуючих сумішей магнітних та немагнітних частинок. Виведено рівняння узагальненої гідродинаміки, що описують бінарну магнітну суміш для двох типів систем: з переважаючою колективною та парціальною динаміками. Аналіз простої моделі температурної релаксації продемонстрував еквівалентність опису обох систем у гідродинамічному режимі. В результаті дослідження рівнянь гідродинаміки для бінарної магнітної суміші, показано, що поперечна динаміка такої системи характеризується п’ятьма гідродинамічними збудженнями: парою пропагаторних звукових мод, та трьома модами дифузійного типу (взаємодифузійна, теплова та спіндифузійна). Після узагальнення отриманих результатів на випадок багатосортної суміші спостерігається аналогічна ситуація, а саме: знайдено лише пару пропагаторних мод (звукові збудження) та набір мод дифузійного типу. Розраховано в аналітичному вигляді гідродинамічні кореляційні функції багатокомпонентної суміші. В отримані вирази входять такі характеристики системи, як термодинамічні величини, та коефіцієнти переносу. У явній формі розраховано спіновий та динамічний структурний фактори бінарної магнітної суміші та парціальні динамічні структурні фактори потрійної суміші простих рідин. Отримані вирази можуть бути використані при описі та інтерпретації експериментів із розсіяння світла та нейтронів.

Ключові слова: магнітна рідина, бінарна суміш, часові кореляційні функції, гідродинамічні моди, динамічний структурний фактор, спіновий структурний фактор.

Бацевич О.Ф. Статистическая гидродинамика смесей магнитных и немагнитных частиц. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук за специальностью 01.04.02 – теоретическая физика. Национальный университет “Львовская политехника”, Львов, 2002.

Диссертация посвящена теоретическому исследованию гидродинамического поведения многосортных химически-нереагирующих смесей магнитных и немагнитных частиц. Выведены уравнения обобщенной гидродинамики, которые описывают бинарную магнитную смесь для двух типов систем: с преобладающей коллективной и парциальной динамиками. Анализ простой модели температурной релаксации продемонстрировал эквивалентность описания обеих систем в гидродинамическом режиме. В результате исследования уравнений гидродинамики для бинарной магнитной смеси показано, что поперечная динамика такой система характеризируется пятью гидродинамическими возбуждениями: парой пропагаторных звуковых мод и тремя модами релаксационного типа (взаимодиффузионная, тепловая и спиндиффузионная). После обобщения полученных результатов на случай многосортной смеси, наблюдается аналогичная ситуация, а именно: найдена только пара пропагаторных мод (звуковые возбуждения) и набор мод диффузионного типа. Найдены в аналитическом виде гидродинамические корреляционные функции многокомпонентной смеси. В полученные выражения входят такие характеристики системы, как обобщенные термодинамические величины и коэффициенты переноса. В явном виде получены спиновый и динамический структурный факторы бинарной магнитной смеси и парциальные динамические структурные факторы тройной смеси простых жидкостей. Данные выражения могут быть использованы при описании и интерпретации экспериментов по рассеянию света и нейтронов.

Ключевые слова: магнитная жидкость, бинарная смесь, часовые корреляционные функции, гидродинамические моды, динамический структурный фактор, спиновый структурный фактор.

BatsevychStatistical hydrodynamics of mixtures of magnetic and nonmagnetic particles. – Manuscript

Thesis for a candidate’s degree by speciality 01.04.02 – Theoretical Physics. National University “Lvivska Politechnika”, Lviv, 2002.

The theoretical study of dynamical behavior of multicomponent chemically-nonactive mixtures of magnetic and nonmagnetic particles in the hydrodynamic limit is the main subject of the thesis. For this purpose, generalized hydrodynamic equations are derived on the basis of the non-equilibrium statistical operator method. The equations describe both strong and weak non-equilibrium cases of binary magnetic mixtures of two types, namely, with prevailing collective or partial dynamics. The analysis, performed within a simple model of temperature relaxation has shown an equivalence of both the systems in the hydrodynamic limit. It is proved that such systems are characterized by one hydrodynamic mode which coincides for both the cases, whereas the damping coefficient depends only on collective effects.

The weakly non-equilibrium hydrodynamics of a binary mixture of magnetic and nonmagnetic particles was investigated for the case of collective dynamics, characterizing by five parameters of an abbreviated description. As a result, relations between the static correlation functions, elements of the frequency matrix and generalized (k-dependent) thermodynamic parameters have been obtained. Expressions for generalized transport coefficients were derived in the Green-Kubo-like form. It has been shown that the system is characterized by five hydrodynamic collective modes: two sound propagating modes and three purely diffusive ones, describing mutual diffusion, spin-diffusion and heat diffusion processes. A simple formula for the calculation of weight coefficients (matrices which describe contributions of collective modes into time correlation functions) in the hydrodynamic limit has been proposed as well.

A generalization of the obtained results to the case of a multicomponent mixture of magnetic and nonmagnetic particles has been performed. The analysis of conservation laws for this mixture has allowed us to find the required set of relevant variables (i.e., parameters of the abbreviated description) unambiguously. Basing on this information, the structure of matrices of frequency and memory functions is proved to have a cross-like complementary structure: the zeroes of the memory function matrix correspond to non-zero elements of the frequency matrix. The hydrodynamic modes spectrum has also been found. It has appeared to be similar to that of the binary mixture: two sound modes, a relaxing heat mode and the rest modes of inter- and spin-diffusion types.

Taking into account the special structure of the hydrodynamic matrix, all the hydrodynamic time correlation functions for a multicomponent mixture of magnetic and nonmagnetic particles have been found in a form of analytical expressions. These expressions are exact in the hydrodynamic region. They also properly take into account so-called “non-Lorenzian” contributions to the time correlation functions. The obtained equations express such non-equilibrium characteristics of systems in the hydrodynamic limit as collective modes spectrum, time correlation functions through the static correlation functions – generalized thermodynamic and transport coefficients. These equations were applied to systems well-studied in the literature, namely, to simple liquids and binary mixtures. The expressions found for the dynamical structure factors present, in fact, a generalization of the Landau-Platzek formula. They have exhibited a coincidence with those known in the literature.

The general expressions for all the time correlation functions were applied to the binary magnetic mixture and three-component mixture of simple liquids. In such a way, the spin and dynamical structure factors as well as the dynamical structure factors have been calculated for the later systems. The binary magnetic mixture has been investigated in the paramagnetic state which is characterized by a vanishing external magnetic field. In this case, the spin-spin time correlation function transforms into a single central Lorenzian, formed by the spin-diffusion mode. This demonstrates a decoupling between the translation and spin degrees of freedom.

Key words: magnetic liquid, binary mixture, time correlation functions, hydrodynamic modes, dynamical structure factors, spin structure factors.