НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

КОНОНОВИЧ Тетяна Олександрівна

УДК 517.5

ОЦІНКА НАЙКРАЩИХ НАБЛИЖЕНЬ ПЕРІОДИЧНИХ ФУНКЦІЙ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ ЧЕРЕЗ КОЕФІЦІЄНТИ ФУР'Є

01.01.01 – математичний аналіз

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті математики НАН України.

Науковий керівник

доктор фізико-математичних наук, професор

ЗАДЕРЕЙ Петро Васильович,

Київський національний університет

технологій та дизайну,

завідувач кафедри вищої математики.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

ЛИГУН Анатолій Олександрович,

Дніпродзержинський державний

технічний університет,

професор кафедри прикладної математики і

математичного моделювання;

кандидат фізико-математичних наук, доцент

НАЗАРЕНКО Микола Олексійович,

Київський національний університет

імені Тараса Шевченка,

доцент кафедри математичного аналізу.

Провідна установа: Інститут прикладної математики і механіки НАН

України (м. Донецьк).

Захист відбудеться “31“ травня 2005 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, Київ-4, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий “19“ квітня 2005 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Романюк А.С.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Дисертаційну роботу присвячено встановленню виражених через коефіцієнти Фур'є оцінок найкращих наближень тригонометричними полiномами функцій простору , .

Актуальність теми. Теорія наближення функцій – одна з центральних і найбільш розвинених областей математичного аналізу, основна задача якої полягає у знаходженні в деякому підпросторі лінійного нормованого функціонального простору елемента, який би найкраще наближав функцію простору

Критерії елемента найкращого наближення встановлено як для випадку довільного лінійного нормованого, так і для конкретних функціональних просторів, але кожного разу процес його пошуку є предметом спеціального дослідження. За винятком середньоквадратичного наближення з досить простим методом знаходження елемента найкращого наближення сформульована задача допускає розв'язок лише в окремих випадках. Існує небагато прикладів функцій, для яких відшукання елемента, а отже і точного значення величини найкращого наближення, зводиться до безпосереднього застосування відомих критеріїв. Тому однією з основних проблем класичної та сучасної теорії апроксимації є оцінка величини найкращого наближення.

Нехай – простір -періодичних за кожною змінною сумовних у -му степені на функцій змінних з нормою

де

Точне значення величини найкращого наближення тригонометричними полiномами степеня не вище функцій простору , заданих рядами Фур'є з двічі і тричі монотонними коефіцієнтами, було встановлено Б.Надем (1938 р.). Послабивши обмеження на порядок монотонності, В.Е. Гейт (1978 р.), В.О. Баскаков (1984 р.) одержали оцінки зверху найкращого наближення таких функцій, виражені через коефіцієнти Фур'є.

Відомі досить загальні умови Боаса-Теляковського на коефіцієнти тригонометричних рядів, при яких ряди збігаються майже скрізь і є рядами Фур'є своїх сум.

Для функцій простору , заданих тригонометричними рядами з коефiцiєнтами, що задовольняють умови Боаса-Теляковського, нами одержано виражені через коефіцієнти Фур'є оцінки зверху величини найкращого наближення тригонометричними полiномами (2002 р.). При цьому множина функцій, для яких виконуються умови В.О.Баскакова, включається в клас тих, що задовольняють умови Боаса-Теляковського, і на деякій підмножині функцій встановлені нами оцінки збігаються з результатами В.О. Баскакова з точністю до сталої.

Виникло питання, чи можна поширити отримані нами результати на двовимірний випадок, тобто одержати аналоги встановлених оцінок для найкращого наближення тригонометричними поліномами функцій простору , заданих подвійними тригонометричними рядами, що задовольняють двовимірний аналог умов Боаса-Теляковського.

Оцінку зверху найкращого наближення функцій простору заданих рядами Фур'є по синусах з монотонними коефіцієнтами, що задовольняють деякі додаткові умови, одержав А.А. Конюшков (1958 р.). Для функцiй, які зображаються синус- або косинус-рядами з коефіцієнтами, що можуть бути немонотонними, нами встановлено подібну оцінку (2003 р.), котра за умови монотонності збігається з результатом А.А. Конюшкова.

Постало питання про одержання аналогічного результату для функцій простору ,

Для -періодичних сумовних функцiй однiєї змiнної вiдомо також ряд виражених через коефіцієнти Фур'є оцінок знизу величини їх найкращого наближення тригонометричними поліномами. Так, для функцiй простору з рядом Фур'є по синусах (або по косинусах), коефiцiєнти якого невiд'ємні, оцінку найкращого наближення встановив А.А. Конюшков (1958 р.). Його результат було покращено В.Е. Гейтом (1969 р.), який отримав оцінку для довільної -періодичної сумовної функцiї.

Розглядаючи функції , у яких спряжена також є сумовною, нами встановлено оцінку знизу суми найкращих наближень функції та спряженої (2002 р.). Цей результат у порівнянні з оцінкою В.Е. Гейта є більш точним, хоча охоплює вужчий клас функцій.

Постало питання, чи можна одержати аналогічну оцінку для функцій простору .

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота проводилась згідно із загальним планом досліджень відділу теорії функцій Інституту математики НАН України.

Мета і задачі дослідження. З метою встановлення виражених через коефіцієнти Фур'є оцінок найкращих наближень тригонометричними полiномами функцій простору , , поставлено такі задачі.

1.

2.

3.

Об’єктом дисертаційного дослідження є найкращі наближення тригонометричними полiномами функцій простору .

Предметом дослідження є оцінка через коефіцієнти Фур'є найкращих наближень тригонометричними полiномами функцій простору .

Методи дослідження. При отриманні результатів застосовуються загальні методи математичного аналізу в поєднанні зі спеціальними методами теорії наближення функцій, що розвинені в роботах С.О. Теляковського, А.А. Конюшкова, О.І. Кузнєцової, П.В. Задерея.

Наукова новизна одержаних результатів. Результати роботи є новими і полягають у наступному.

1.

2.

3.

4.

5.

Практичне значення одержаних результатів. Робота має теоретичний характер. Її результати разом із методами їх отримання можуть бути використані при розв'язуванні конкретних задач.

Особистий внесок здобувача. Визначення загального напрямку дослідження та постановка задач належать науковому керівникові – доктору фізико-математичних наук, професору П.В. Задерею. Ним же запропоновано метод отримання оцінки знизу найкращого наближення тригонометричними поліномами періодичних сумовних функцій двох змінних [2]. Аналогічний метод одержання оцінки в [9] розроблено спільно з Б.А. Смалем. Доведення всіх результатів дисертації проведено автором.

Апробацiя результатів дисертації. Результати дисертацiйної роботи доповідались і обговорювались на семінарах відділу теорії функцій Інституту математики НАН України (керівник семінару – член-кореспондент НАН України О.І. Степанець), міжнародній конференції "Теория функций и матаматическая физика", присвяченій 100-річчю Н.І.Ахієзера (Харків, 2001р.), Українському математичному конгресі, присвяченому 200-річчю з дня народження М.В. Остроградського (Київ, 2001 р.), Х-ій Міжнародній науковій конференції імені академіка М.Кравчука (Київ, 2004 р.).

Публiкацiї. Матеріали дисертації опубліковано в працях [1–9].

Структура дисертації. Робота складається зі вступу, трьох розділів, висновків та списку використаних джерел з 65 найменувань. Загальний обсяг дисертації становить 152 сторінки, основний зміст викладено на 144 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Перший розділ присвячено встановленню виражених через коефіцієнти Фур'є оцінок зверху найкращих наближень тригонометричними полiномами функцій простору , заданих тригонометричними рядами, коефіцієнти яких задовольняють умови інтегровності (при їх виконанні ряди збігаються майже скрізь до сумовних на функцій, а отже, є рядами Фур'є своїх сум).

У підрозділі 1.1. введено необхідні позначення та поняття, викладено факти, що використовуватимуться надалі, а саме, умови інтегровності кратних тригонометричних рядів та оцінки інтегралів від модулів їх сум. Розглянуто встановлений П.В. Задереєм двовимірний аналог умов Боаса-Теляковського (одних з найбільш загальних умов інтегровності), умови Фоміна-Носенка та узагальнені на кратний випадок О.І. Кузнєцовою умови Сідона-Теляковського.

Перш, ніж перейти до формулювання основних результатів підрозділу 1.2, введемо деякі позначення.

Нехай – множина тригонометричних поліномів вигляду

де – кількість рівних нулю координат вектора , – довільні дійсні числа. Символом позначимо величину найкращого наближення функції тригонометричними поліномами :

Нехай Для довільної послідовності дійсних чисел визначимо де а

для послідовності покладемо:

де

Нехай також де ,

Символом позначимо додатні, можливо неоднакові в рiзних формулах, сталі, які залежать хіба що від розмірності простору, а через – такі, що до того ж залежать від деякого параметра .

У підрозділі 1.2 встановлено виражені через коефіцієнти Фур'є оцінки зверху величини найкращого наближення тригонометричними поліномами функцій простору , заданих рядами вигляду

(1)

де з коефiцiєнтами, що задовольняють двовимірний аналог умов Боаса-Теляковського. Основні результати підрозділу сформульовано в таких теоремах.

Теорема 1.1. Якщо елементи послідовності задовольняють умови при то для функції справджується оцінка

,

Теорема 1.2. Якщо елементи послідовності задовольняють умови теореми 1.1, а також

(2)

то для функції справджується оцінка

,

Для найкращого наближення функції має місце оцінка, аналогічна попередній.

Теорема 1.3. Якщо елементи послідовності задовольняють умови теореми 1.1, а також (2) і

то для функції справджується оцінка

,

Умови інтегровності Боаса-Теляковського є одними з найбільш загальних і охоплюють ширший клас тригонометричних рядів ніж, наприклад, умови Фоміна-Носенка, проте, останні є зручнішими в застосуванні, оскільки в деякому розумінні простіші і тому легші для перевірки. В підрозділі 1.2 отримано наслідок теореми 1.1 – оцінку найкращого наближення функцій простору , заданих подвійним косинус-рядом , для коефiцiєнтів якого виконуються умови Фоміна-Носенка.

Наслідок 1.1. Якщо елементи послідовності задовольняють умову при та існує таке число , що

то для функції справджується оцінка

де при , при , ,

Зауважимо, що умова , де , еквівалентна такій .

Нехай – точки -вимірного дійсного евклідового простору з цілими координатами; – множина поліедрів з раціональними вершинами, зірчастих відносно початку координат – точки , яка є внутрішньою точкою поліедра, і таких, що продовження жодної з граней не проходить через . Для будь-якого визначимо . Нехай для співпадає з початком координат, а для покладемоШ.

Позначимо через множину тригонометричних поліномів вигляду , де – довільні дійсні числа, а через – величину найкращого наближення функцiї полiномами :

У підрозділі 1.3 розглядаються функції простору , що зображаються тригонометричними рядами з певною симетрією по поліедрах коефiцiєнтів:

, (3)

де – дійсні числа. Отримано виражену через коефіцієнти Фур'є оцінку зверху величини найкращого наближення при виконанні для коефiцiєнтів ряду (3) кратного аналога умов Сідона-Теляковського.

Теорема 1.4. Нехай поліедр . Якщо при та існує така числова послідовність , що при , для всіх і , то для функції (3) справджується оцiнка

Отримано наслідки теореми 1.4 – оцінки найкращого наближення функцій вигляду (3) з опуклою та квазіопуклою послідовністю коефіцієнтів .

Наслідок 1.2. Нехай поліедр . Якщо при і для всіх , то для функції (3) справджується оцiнка

Наслідок 1.3. Нехай поліедр . Якщо при і , то для функції (3) справджується оцiнка

Завдяки симетрії коефіцієнтів ряду, яким задано функцію, одержані результати не залежать від розмірності простору, тобто мають однаковий вигляд для функцій довільної кількості змінних.

Другий розділ присвячено встановленню виражених через коефіцієнти Фур'є оцінок зверху найкращих наближень тригонометричними полiномами функцій простору Розглядаються функції, задані рядами вигляду (1), коефіцієнти яких задовольняють умови

при (4)

(5)

при деякому Тут і надалі використовуватимемо позначення

Встановлено, що за умов (4) та (5) рівністю майже скрізь визначено функцію простору , де ряд є її рядом Фур'є. Окрім того, вимоги (4), (5) при забезпечують належність функцій простору . Простори було введено О.І. Степанцем (2000 р.), у працях якого продовжується дослідження їх апроксимаційних властивостей.

У підрозділі 2.1 введено необхідні означення та викладено деякі факти, що використовуватимуться надалі. Так, символом позначено величину найкращого наближення "кутом" функції

,

де – множина функцій простору , які є тригонометричними поліномами степеня не вище за змінною .

Основні результати підрозділу 2.2 – оцінки зверху норми та найкращого наближення "кутом" функцій простору – сформульовано в таких теоремах.

Теорема 2.1. Нехай елементи послідовності задовольняють умови (4) і (5). Тоді функції і справджується оцінка

(6)

Теорема 2.2. Якщо елементи послідовності задовольняють умови (4) і (5), то для функцій справедливою є оцінка

де , .

Наслідками теорем 2.1, 2.2 є такі твердження.

Наслідок 2.1. Нехай елементи послідовності задовольняють умови (4),

для , (7)

(8)

при деякому Тоді функції і справджується оцінка

(9)

Наслідок 2.2. Якщо елементи послідовності задовольняють умови (4), (7), (8), то для функцій справедливою є оцінка

(10)

де , .

Зазначимо, що оцінка (9) збігається з точним за порядком результатом Т.М. Вуколової та М.І. Дьяченко (1994 р.), а оцінка (10) для функції – з результатом Т.М. Вуколової (1988 р.).

Оцінку (6) норми застосовано для одержання основного результату підрозділу 2.3, сформульованого в такій теоремі.

Теорема 2.3. Якщо елементи послідовності задовольняють умови (4) і (5), то для функцій справедливою є оцінка

де , .

Наслідок 2.3. Якщо елементи послідовності задовольняють умови (4), (7), (8), то для функцій справедливою є оцінка

де , .

Третій розділ присвячено встановленню вираженої через коефіцієнти Фур'є оцінки знизу найкращого наближення тригонометричними полiномами функцій простору . Розглядаються функції, у яких спряжені за першою, другою та сукупністю змінних функції також є сумовними.

Необхідні позначення, поняття та факти, що використовуватимуться надалі, подано в підрозділі 3.1. Зокрема, сформульовано таке означення.

Спряженими до за першою, другою та сукупністю змінних називатимемо функції, які відповідно визначаються рівностями

,

,

.

У підрозділі 3.2 встановлено виражену через коефіцієнти Фур'є оцінку знизу суми найкращих наближень функції простору та спряжених до неї за кожною і обома змінними функцій при умові їх сумовності. Доведено допоміжні твердження у вигляді трьох лем, які використано при одержанні основного результату. Наведемо дві з них, що на наш погляд мають самостійний інтерес.

Нехай , де – комплексні числа, – клас регулярних у функцій таких, що

.

Позначимо через середнє арифметичне

,

де – коефіцієнти Фур’є функції . Зокрема, при

.

Аналогічно при . При

.

Лема 3.1. Якщо то функція

,

де – коефіцієнти Фур’є функції , належить класу .

Лема 3.2. Якщо то

.

Основний результат розділу сформульовано в такій теоремі.

Теорема 3.1. Якщо то

де – коефіцієнти Фур’є функції .

ВИСНОВКИ

Проведено оцінювання найкращих наближень тригонометричними полiномами функцій простору через коефіцієнти Фур'є.

1.

2.

3.

4.

Всі оцінки виражено в термінах коефіцієнтів Фур'є.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

АНОТАЦІЇ

Кононович Т.О. Оцiнка найкращих наближень періодичних функцiй багатьох змінних через коефiцiєнти Фур'є. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 – математичний аналіз. – Інститут математики НАН України, Київ, 2004.

Проведено оцінювання найкращих наближень тригонометричними полiномами функцій простору через коефіцієнти Фур'є.

Встановлено оцінку зверху величини найкращого наближення тригонометричними поліномами функцій простору , заданих подвійними тригонометричними рядами, для коефіцієнтів яких виконується двовимірний аналог умов Боаса-Теляковського. Зокрема, знайдено оцінку найкращого наближення функцій, які є сумами подвійних косинус-рядів з коефiцiєнтами, що задовольняють умови Фоміна-Носенка. Одержано оцінку зверху величини найкращого наближення тригонометричними поліномами функцій простору заданих кратними тригонометричними рядами з певною симетрією коефіцієнтів, які задовольняють кратний аналог умов Сідона-Теляковського, зокрема, утворюють опуклу, квазіопуклу послідовність. Знайдено оцінки зверху норми, найкращих наближень “кутом” та тригонометричними поліномами функцій простору , , що є сумами подвійних тригонометричних рядів з певними умовами на коефіцієнти. Встановлено оцінки знизу суми норм і суми найкращих наближень тригонометричними поліномами функцій простору та спряжених за кожною і обома змінними функцій при умові їх сумовності.

Ключові слова: найкраще наближення тригонометричними поліномами, найкраще наближення “кутом”, норма функції, кратний тригонометричний ряд, коефіцієнти Фур'є.

Кононович Т.А. Оценка наилучших приближений периодических функций многих переменных через коэффициенты Фурье. – Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 – математический анализ. – Институт математики НАН Украины, Киев, 2004.

Диссертация посвящена нахождению оценок наилучших приближений тригонометрическими полиномами функций пространства через коэффициенты Фурье.

Получены оценки сверху величины наилучшего приближения тригонометрическими полиномами функций пространства , заданных рядами вида (, – число нулей вектора ), для коэффициентов которых выполняется двумерный аналог условий Боаса-Теляковского.

Так, например, если элементы последовательности удовлетворяют условиям

при

где

,

то для функции справедлива оценка

,

где

В качестве следствия получена оценка наилучшего приближения сумм двойных косинус-рядов с коэффициентами, удовлетворяющими условиям Фомина-Носенко.

Найдена оценка сверху величины наилучшего приближения тригонометрическими полиномами функций пространства заданных кратными тригонометрическими рядами с некоторой симметрией по полиэдрам коэффициентов, которые удовлетворяют кратный аналог условий Сидона-Теляковского, в частности, образуют выпуклую, квазивыпуклую последовательность.

Найдены оценки сверху нормы, наилучшего приближения “углом” и тригонометрическими полиномами функций пространства , , являющихся суммами рядов , Получены следствия этих результатов при дополнительном ограничении , . Приведём одно из утверждений.

Пусть элементы последовательности удовлетворяют условиям при при некотором (тут и в дальнейшем ). Тогда функции принадлежат пространству и справедливы оценки

,

где , .

Получены оценки снизу суммы норм и суммы наилучших приближений тригонометрическими полиномами функций и сопряжённых по каждой и обоим переменным функций при условии их суммируемости.

Если то

,

где – коэффициенты Фурье функции , символом ,, обозначено среднее арифметическое

.

В частности, при

.

Аналогично при . При

.

Ключевые слова: наилучшее приближение тригонометрическими полиномами, наилучшее приближение “углом”, норма функции, кратный тригонометрический ряд, коэффициенты Фурье.

Kononovych T. O. Estimate of best approximations of periodic functions of several variables by Fourier coefficients. – Manuscript.

Dissertation submitted for the degree of Candidate of Physical and Mathematical Sciences. Speciality 01.01.01 – mathematical analysis. – Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2004.

Estimations of best approximations by trigonometric polynomials of functions of space in terms of Fourier coefficients was achieved.

The upper bound for the best approximation by trigonometric polynomials of functions of the space , representable by double trigonometric series with coefficients that satisfy a two-dimensional analog of the Boas-Telyakovskii conditions, was established. In particular, the estimate of the best approximation of functions that are sums of double cosine-series with coefficients, satisfying the Fomin-Nosenko conditions, was found. The upper bound for the best approximation by trigonometric polynomials of functions of the space , representable by multiple trigonometric series with а certain symmetry of coefficients, satisfying a multiple analog of the Sidon-Telyakovskii conditions, in particular, forming convex, quasiconvex succession, was obtained. Upper bounds were obtained for the following values: the norm, the best approximation by the "angle" and the best approximation by trigonometric polynomials of functions of the space , , that are sums of double trigonometric series with certain conditions for coefficients.The lower bound for a sum of norms and for a sum of the best approximations by trigonometric polynomials of functions of the space and conjugated by each and both variables functions that are summable too, was obtained.

Key words: best approximation by trigonometric polynomials, best approximation by the "angle", norm of the function, multiple trigonometric series, Fourier coefficients.

___________________________________________________________________________

Підп. до друку 14.04.2005 р.

Гарнітура Times New Roman. Ум. друк. арк. 0,92

Формат 6084/16. Наклад 100. Зам. №248.

ІОЦ Полтавського державного педагогічного

університету ім. В.Г. Короленка

36003 м. Полтава, вул. Остроградського, 2.

тел. 2-96-84