МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

БУДІВНИЦТВА І АРХІТЕКТУРИ

СУЛІМЕНКО Ганна Генадіївна

УДК.512.2+519.85

АВТОМАТИЗОВАНА ПОБУДОВА ВИКРОЙОК

ОББИВКИ МўЯКИХ МЕБЛІВ

Спеціальність 05.01.01 –

Прикладна геометрія, інженерна графіка

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Київ 2002

Дисертацією є рукопис

Робота виконана у Київському національному університеті будівництва і архітектури

Науковий керівник:

- доктор технічних наук, професор

Сазонов К. О., Київський національний університет

технологій і дизайну, завідувач кафедри дизайну.

Офіційні опоненти:

- Заслужений працівник вищої школи,

доктор технічних наук, професор Павлов А.В.,

Національний технічний університет

України (КПІ), професор кафедри нарисної

геометрії, інженерної та комп'ютерної графіки;

- кандидат технічних наук, професор

Пономарьов А.М., Київський національний

університет технологій і дизайну, професор кафедри

графіки та нарисної геометрії.

Провідна установа:

– Національний авіаційний університет,

кафедра прикладної геометрії та комп'ютерної графіки

Захист відбудеться 04.12.2002 року о 14 годині на

засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.056.06 у Київському національному

університеті будівництва і архітектури за адресою:

03037, Київ – 37, Повітрофлотський проспект, 31,

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного

університету будівництва і архітектури за адресою:

03037, Київ – 37, Повітрофлотський проспект, 31.

Автореферат розісланий 01.11.2002 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради

Плоский В.О.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Одним з найважливіших завдань науково-технічного прогресу є розробка та впровадження технологій, що сприяють автоматизації та інтенсифікації виробничих процесів. Зокрема, розвиток меблевої промисловості значною мірою залежить від рівня автоматизації проектування і технологічної підготовки виробництва. Тому значна увага приділяється застосуванню ЕОМ на підготовчій стадії виготовлення м'яких меблів. За наявності великої кількості САПР оптимального розкрою викройок, зокрема з урахуванням їх розміщення відносно утоку та основи тканини, нема САПР проектування м'яких меблів, які б розв'язували задачу автоматизованої побудови викройок довільних виробів. Таким чином створюється ситуація, за якою існує розрив у процесі комп'ютерного проектування м'яких меблів. Усунення такого розриву необхідне для збільшення ефективності означених САПР, збереження матеріалу, підвищення якості виробів і надання можливості дизайнерам отримувати комп'ютерний проект меблів в остаточному вигляді, адже тільки завдання взаємно-однозначної відповідності між викройкою та тканиною на поверхні меблів може забезпечити гармонійне сполучення малюнків в композиції розкрійних елементів.

Задачу побудови викройок було запропоновано і розв'язано Чебишевим і всебічно досліджено видатними математиками та вченими у галузі прикладної геометрії. Розглядались і питання практичного застосування чебишевських сіток, здебільшого у вигляді побудови дискретних рівнобічних та рівноланкових сіток на поверхнях, що задані аналітично, та гранних поверхнях. Однак задача побудови викройок довільних складних поверхонь, які поряд з простими елементами входять до складу поверхонь м'яких меблів, вимагає детального аналізу поведінки дискретних рівноланкових сіток і синтезу геометричних методів, які могли б бути покладені в основу системи автоматизованого проектування.

Актуальність теми визначається: відсутністю у відомих САПР мўяких меблів підсистеми для побудови викройок оббивки довільних елементів; практичною необхідністю такої системи для етапів проектування та виготовлення меблів; недостатністю теоретичних та практичних геометричних розробок, які б забезпечили можливість її реалізації.

Звўязок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Роботу виконано в узгодженні з науковими програмами кафедри нарисної геометрії, інженерної та машинної графіки Київського національного університету будівництва і архітектури та кафедри теоретичної та прикладної механіки Київського університету економіки та технології транспорту.

Мета і задачі дослідження. Об'єкт дослідження – комп'ютерне моделювання мўяких меблів, а предмет - геометричні властивості і закономірності, що виникають у процесі комп'ютерного моделювання викройок їхньої оббивки.

Мета дослідження: удосконалення теоретичної, методологічної, алгоритмічної та програмної бази процесу інтерактивного моделювання викройок для впровадження його у комп'ютерне моделювання мўяких меблів.

Поставлені такі задачі:

1. Обрати основні засади та підходи до інтерактивного моделювання викройок, обґрунтувати їх правомірність.

2. Встановити властивості рівноланкової чебишевської сітки як дискретного аналога тканинного покриття.

3. Розробити математичні моделі та алгоритми, які б забезпечували надійну побудову покриття поверхонь складної форми.

4. Створити математичне, програмне, інформаційне та методичне забезпечення підсистеми інтерактивної побудови викройок оббивки мўяких меблів.

Метод дослідження. Для дослідження обрано метод побудови викройок на основі покриття поверхні чебишевською сіткою. При встановленні властивостей покриття і розробці математичних моделей та алгоритмів застосовувались методи неперервного і дискретного аналізу, логічного та експериментального комп'ютерного моделювання.

При виконанні роботи використовувались фундаментальні математичні джерела і досвід, накопичений у роботах вітчизняних науковців в галузі геометричного моделювання, професорів Ваніна В.В., Бадаєва Ю.І., Гумена М.С., Ковальова С.М., Ковальова Ю.М., Корчинського В.М., Куценка Л.М., Михайленка В.Є., Найдиша В.М., Найдиша А.В., Обухової В.С., Павлова А.В., Підгорного О.Л., Підкоритова А.М., Пилипаки С.Ф., Сазонова К.О., Скидана І.А. та їх учнів.

Наукова новизна отриманих результатів:

- вперше запропоновано метод згладжувальної апроксимації гранної поверхні дискретною рівноланковою сіткою;

- доведено нові властивості рівноланкової сітки як самостійного об'єкту дослідження;

- введено нові інтегральні та локальні критерії якості рівноланкової сітки як покриття поверхні;

- вперше побудовано модель циклічної експансії покриття;

- досліджено екстремальні ситуації у процесі побудови покриття і вперше запропоновано методи його безвідмовної побудови;

- запропоновано метод локальної деформації покриття, який відрізняється сутністю геометричної побудови та орієнтацією на технологічні обмеження.

Практичне значення одержаних результатів. На основі розроблених методів створено програмні засоби підсистеми побудови викройок оббивки м'яких меблів як складової частини системи їх проектування. З цієї системи імпортується вихідна модель і експортуються до неї технологічні моделі викройок для подальшого використання у підсистемі оптимального розкрою.

В рамках проектування підсистеми запропоновано методику побудови викройок у діалоговому режимі, яка передбачає участь користувача у визначенні початкових умов, розміщенні рисунку тканини на поверхні меблів та прийнятті остаточного рішення на основі кваліметричних показників та суб'єктивної оцінки якості. Реалізація підсистеми базується на комплексі пов'язаних між собою методів та алгоритмів, серед яких, крім означених у науковій новизні, найбільш важливе практичне значення мають методи побудови дискретної рівноланкової сітки на параметризованій гранній поверхні, методи побудови швів та перерізів з відновленням топологічної коректності вихідної моделі, методи підготовки остаточної інформації про викройку з урахуванням технологічних умов.

Запропоновані методи і розробки можуть бути використані при побудові викройок тканинних оббивок поверхонь інших технічних форм за умови топологічної коректності гранних моделей.

Окремі результати - такі, як згладжувальна апроксимація гранної поверхні рівноланковою сіткою та комплекс алгоритмів обробки растрової області, який включає її еквідистантне доповнення, векторизацію межі, лінійну згладжувальну апроксимацію межі з заданим параметром якості, мають універсальний характер і можуть бути використані у наукових та практичних дослідженнях, не пов'язаних з побудовою викройок.

Практичне значення отриманих результатів підтверджується впровадженням підсистеми побудови викройок оббивки мўяких меблів у виробництво Дніпропетровської меблевої фабрики ВАТ “Прогрес”, практику наукових досліджень (держбюджетна НДР 13-2000-3) і навчальний процес кафедри теоретичної та прикладної механіки Київського університету економіки і технології транспорту.

Особистий внесок здобувача. Особисто автором розроблено: методику інтерактивного моделювання викройок, моделі об'єктів предметної області і сервіси рівня логіки застосування підсистеми побудови викройок. У роботі [2] автору належать ідея і розробка метода згладжувальної апроксимації гранної поверхні рівноланковою сіткою. У роботі [4] - розробка архітектури підсистеми належить співавторам, розробка архітектури рівня логіки застосування – спільна праця, а об'єкти та методи цього рівня розроблені особисто автором.

Апробація результатів дисертації. Основні положення дисертаційної роботи доповідались і обговорювались на науково-практичних конференціях Київського національного університету будівництва і архітектури (КНУБА) – 62-й 2001 р., 63-й 2002 р. та міжнародній конференції “The 10s International Conference on Geometry and Graphics”, Ukraine, Kyiv: 2002, 28 July –2 August.

Публікації. За результатами наукових досліджень опубліковано 4 роботи (2 – одноосібно, 3 – у фаховому виданні).

Структура і обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, трьох розділів, загальних висновків, списку використаних джерел (134 найменування) та п'яти додатків. Вона містить 109 сторінок основного тексту, 77 рисунків.

ЗМІСТ РОБОТИ

Вступ. Подано обґрунтування актуальності досліджень, сформульовано мету, задачі, наукову новизна і практичне значення роботи.

Перший розділ. Аналіз літератури та області застосування показав, що найбільш прийнятним є метод моделювання викройок на основі покриття вихідної поверхні Г дискретною чебишевською сіткою. Тільки у такому разі встановлюється ізоморфізм між множинами чарунок на покритті поверхні та на лекалі викройки, зокрема, відносно операції нанесення текстури. Доведено:

Твердження 1. Нехай (, m ? n) - коефіцієнт пропорційності сторін чарунок тканини і певної неперервної чебишевської сітки Q на поверхні. Тоді при довільному l дискретна рівноланкова сітка, розмір ланок якої , точніше відтворює довжини ліній і кути між дотичними до ліній сітки Q, ніж дискретна рівнобічна сітка, сторони якої мають розміри .

Це робить правомірним використання рівноланкової сітки і в тому разі, коли чарунки, що утворюються нитками тканини, прямокутні. Необхідність зменшення довжини ланки – помірна платня за спрощення алгоритмів, аналізу та методів управління.

Вихідну поверхню Г встановлено як параметризовану гранну модель з коректною та надлишковою топологією. Під такою вважається: а) список вершин {Pi}, що задано декартовими координатами x,y,z та властивістю “Lim”, що встановлює статус її належності до штучної межі поверхні або до швів; список орієнтованих граней {Fj}, кожна з яких є посилковим списком {Pk.} вершин граней; список ребер {Lj}, кожне з яких, у свою чергу, є посилковим списком {Fi,Fj} інцидентних до неї граней; б) необхідні умови: число вершин грані 3 ? n ? 4; у кожній вершині сходяться принаймні три ребра; якщо грань Fk містить ребро L=PiPn, то або знайдеться грань Fm, що містить ребро , або ребро L належить межі.

Надлишкова топологія встановлюється у рамках роботи, тому як вихідна може сприйматися довільна гранна поверхня у DXF чи OBN форматі. Головний постачальник моделей – модуль конструювання елементів мўяких меблів за NURBS технологією, який визначається застосуванням конструктивних швів на етапі моделювання і можливістю відокремлення розкрійних елементів.

Параметризація моделі Г виконується у процесі побудови покриття і є локальною. Для поточної грані Fi={Pk, Pl,Pm,Pq} утворюється об'єкт Р-чарунка, властивостями якого є точки з параметрами u,v, рівними 0 чи 1: P1(00)=Pk, P2(10)=Pl, P4(11)=Pm, P3(01)=Pq. У випадку трикутної чарунки породжується фіктивна четверта точка Р3 на середині ребра Рm,Рk. Тоді білінійна параметризація гіперболічного параболоїду Р=Р1(1-u)(1-v)+Р2u(1-v)+Р3(1-u)v+Р4uv однаково придатна як для просторової чарунки, так і для трикутника.

В результаті аналізу сучасних зразків дизайну мўяких меблів визначено основні функції підсистеми: вибір однієї чи кількох тканин; встановлення та корекція швів; побудова викройок на полотні з урахуванням подальшої гармонізації стиковки рисунків на окремих деталях, проектування та корекція локальних форм виробу, що досягається за допомогою таких засобів, як кедрик, розетка, піковка, накладка, декоративні цвяхи та різноманітні шви: подвійні, з присадкою, художня прошивка тощо. Це дозволило визначити необхідні функції побудови швів (від межі елемента до заданої точки, перерізу, знищення швів) і необхідність розв'язання задачі деформації покриття без зміни викройки (локальної деформації покриття).

Інтерактивний режим побудови покриття потребує оцінки якості покриття і надання можливості користувачеві використання її при побудові викройок та вибору остаточного проекту.

Для моделювання ускладнень, які виникають при побудові покриття, було створено експериментальну комп'ютерну програму. За результатами її роботи зроблено такі висновки: відомі алгоритми неспроможні розв'язати задачу у повному обсязі і необхідна розробка методів, що гарантують безвідмовну побудову суцільного покриття поверхні незалежно від форми поверхні і її меж та від початкових умов.

Другий розділ. Вершини {Cij} дискретної рівноланкової сітки будуються на поверхні Г як розширення (експансія) двох опорних бічних кромок {Ci0} та {C0j}. Покриття {Cі,j} моделюється як рівноланкова сітка, точки якої – об'єкти з сімома властивостями: три декартові координати, номер грані, на якій її побудовано, параметри u,v точки на цій грані та властивість “Lim” для точок, що досягли природної чи штучної межі.

Вершину {Ci,j} покриття будемо називати загальною , якщо вона і прилеглі вершини не належать межі. Позначимо - множину, точки якої – пари індексів вершин покриття, W - множину пар індексів, що відповідають загальним вершинам, WLim - вершинам межі, W0 - вершини бічних кромок. Множину реалізовано як двовимірну динамічну множину, межі індексів якої в обох напрямах не визначено.

В процесі експансії для кожної будується об'єкт С-чарунка, властивостями якого є вершини Ci+1,j, Ci,j, Ci,j+1, а основний метод – побудова вершини Ci+1,j+1, що замикає рівноланкову чарунку. Розроблено:

Метод апроксимації сіткою, вершини якої належать поверхні Г. Нехай встановлено, що замикальна вершина C-чарунки повинна належати поточній грані Fk, на якій утворюється Pk чарунка. Розглянемо лише випадок (рис.1). Тоді, площина D, що проведена перпендикулярно хорді Ci+1,j, Ci,j+1 через її середину - точку О, перетинає ребра Pk-чарунки в точках G1(u1,v2) та G2(u2,v2), таких, що r(O,G1)Ј r(O,Ci,j)< r(O,G2). При параметричне рівняння кривої має вигляд

,

де ki=Axi+Byi+Czi, (i=1,2,3,4); A,B,C,D – коефіцієнти площини D;

xi,yi,zi – коефіцієнти i-тої точки Pk чарунки.

Точка Ci+1,j+1Оg, задовольняє умову r(O, Ci,j)= r(O, Ci+1,j+1) і знаходиться наближеним методом поділу відрізка параметрів [v1v2] навпіл при мінімізації величини m=|r(O,Ci,j)- r(O,)|, де - поточна точка наближення. Експеримент показав, що на точність побудови не впливає кількість чарунок і при обмеженні m = hЧ10-8 відносна похибка d =|-h|/hЈ10-8, де - реальна довжина довільної ланки покриття. Випадок більш складний, але принципово не відрізняється від наведеного. При параметричне рівняння кривої g розв'язується відносно параметра v.

Метод локальної згладжувальної апроксимації. Незалежно від методу побудови С-чарунки її вершини (в некомпланарному випадку) визначають сферу і точка Ci+1,j+1 симетрична точці Ci,j відносно площини Ci+1,j, Ci,j+1, К; де К – центр сфери (рис.2). За умови використання цієї властивості для побудови основна задача – знаходження центру сфери, що апроксимує Г в околі С-чарунки. Незалежно від форми поверхні Г в околі чарунки, точка К буде належати прямій k перетину площин D та Dў, які проведені перпендикулярно ланкам напівчарунки через їх середини. Кожна точка Pi поверхні Г визначає на прямій k точку Кi. Розроблено алгоритм, за яким обирається N точок PiОГ, знаходяться їх вагові коефіцієнти і за формулою

визначається шукана точка К на відстані h від довільної точки К0; де hі – відстань точки Кі від точки К0, а рki – вагові коефіцієнти точок Рі. Точки такої сітки не належать граням, а мають тенденцію відтворювати форму поверхні. Зокрема показано, що якщо всі точки вихідної поверхні Г і бічні кромки точно належать одній сфері, то і сітка {Cij} також належить цій сфері.

У компланарному випадку сітка {Cij} буде належати площині. На рис.3. наведено приклад згладжувальної апроксимації гранної поверхні рівноланковою сіткою, але у системі побудови викройок перевагу віддано першому методу, оскільки він дозволяє гнучке управління. Подальші дослідження стосуються саме цієї проблеми.

Бінарною в'язкою будемо називати сукупність загальної вершини С та інцидентних до неї бінарних ланок (біланок) ACB та DCK за умови, що площина кожної біланки поділяє ланки іншої. Традиційно дотичною площиною у вершині вважають площину P, яка утворена прямими a та l, що інцидентні вершині С та паралельні хордам бінарних ланок AB та DK. Нормаль до площини P - нормаль бінарної в'язки. Нормальними площинами, дотичними до бінарних ланок, будемо називати площини Ра та Рl , що інцидентні нормалі в'язки та дотичним а чи l бінарних ланок.

Дискретний аналог кривини бінарної ланки введемо так, щоб задовольнялись умови теореми Меньє. Для цього використовується властивість рівності кривини кривої і стичної параболи в спільній точці. Показано, що у цьому разі кривина біланки дорівнює

, (1)

де h - довжина кожної з ланок покриття; a - кут між ланкою і хордою, що з'єднує кінці біланки.

Твердження 2. Для біланок бінарної в'язки за умови обчислення їх кривини за (1), справедливі формули Меньє, і, якщо y - кут між площиною біланки і нормальною площиною, дотичною до неї, маємо

, (2)

Перша cn - кривина проекції біланки на нормальну, дотичну їй площину - нормальна кривина, друга cg - кривина проекції біланки на дотичну площину - геодезична кривина.

Геодезичність вершин та ланцюгів покриття характеризують натяг ниток і тому критерій якості покриття спирається саме на цю характеристику. В точці геодезичні кривини позначимо cgI(i,j) для ниток основи (і-ланцюги), та cgJ(i,j) для ниток утоку (j – ланцюги). Тоді сумарна геодезична кривина і-го та j-го ланцюгів:

, ,

сумарні геодезичні кривини ниток основи та утоку:

, ,

сумарна геодезична кривина покриття .

Відповідні підрахунки проводяться тільки для вершин, в яких 0Ј yЈ 300, 0Ј a Ј450, у них 0Ј cg Ј 1,43h. Нехай K1=KI1+KJ1 – кількість вершин, що задовольнили умову, а K2=KI2+KJ2 – що не задовольнили. Тоді відносний показник характеризує кількість якісних вершин.

Остаточно, як основні критерії, розглядаються відносні величини:

, , . (3)

При , близькому до нуля, вони дозволяють оцінити прийнятність натягу хоча б в одному з напрямів та достатність обраної величини h.

Величина сітьових кутів у даному застосуванні не впливає на якість покриття, якщо близьке до нуля, а критерій - задовільний (таким можна вважати значення < 0,2). Розподіл сітьових кутів легко оцінюється візуально. У зоні стиснення, за бажанням, може бути заданий додатковий шов. Якщо користувач не задав додатковий шов, система у автоматичному режимі за аналізом сітьових кутів і товщини матеріалу повинна коректувати викройку з метою утворення складок.

Бінарну в'язку, у якої геодезична кривина однієї бінарної ланки дорівнює нулю, будемо називати напівгеодезичною. Якщо нулю дорівнюють геодезичні кривини обох бінарних ланок - геодезичною.

Три ланки, що інцидентні одній загальній вершині, будемо називати триланкою, якщо відомо, які дві з них утворюють біланку. Компланарна триланка правильна, якщо її біланка колінеарна. Триланка симетрична, коли її ланка перпендикулярна хорді біланки. Параметричний аналіз та конструктивні методи побудови дозволили сформулювати і довести такі твердження:

Твердження 3. Некомпланарна триланка однозначно задає у просторі геодезичну бінарну в'язку. Кожна з них при сталій довжині хорди визначається у просторі дев'ятьма параметрами.

Твердження 4. Якщо триланка належить вихідній поверхні G, то вона у загальному випадку не визначає геодезичну бінарну в'язку, що належить G.

Твердження 5. Якщо компланарна триланка неправильна та несиметрична, то на ній не може бути побудована геодезична бінарна в'язка.

Твердження 6. Симетрична триланка, що належить поверхні G, визначає напівгеодезичну бінарну в'язку, яка також належить G.

Твердження 7. Несиметрична триланка, що належить поверхні G, визначає однопараметричну множину напівгеодезичних бінарних в'язок, але жодна з них може не належати поверхні G.

На рис. 4 показано схему, яка використовувалась при доведенні твердження 7 у випадку, коли триланка некомпланарна. У ній площину Т проведено через вершину С перпендикулярно хорді АВ біланки АСВ. В перетині площин АСВ та Т отримуємо нормаль біланки АСВ. Якщо вона була б і нормаллю біланки DCК, що будується, то бінарна в'язка була б геодезичною, але тоді вона б не належала G. Забезпечимо геодезичність біланки. Тоді нормаль бінарної в'язки повинна належати площині Т. {} - однопараметрична множина таких можливих нормалей. Вона задає однопараметричну множину площин , інцидентних хорді DC та нормалі . У кожній з площин може бути побудована точно одна біланка, що належить G (точка Кў) і точно одна геодезична біланка (точка Кўў). Остання за умови: .

При побудові вершин покриття використовується не тільки метод С-чарунки, але і метод поточної кромки.

Поточною кромкою зветься множина точок, що утворює i чи j ланцюг і будується від певної точки (i,j) за повною інформацією про інцидентну їй триланку. Всі точки поточної кромки належать одній площині і можна вважати, що кромку визначено, якщо визначено інцидентну до неї площину Pl..

Нехай процес побудови покриття встановив, що з точки С – вершини триланки, яку задано біланкою АСВ та ланкою DС, необхідно побудувати поточну кромку так, щоб біланка DCK що будується, мала найменшу геодезичну кривину.

У випадку симетричної триланки за твердженням 6 Pl. = Т - площина симетрії біланки і .

При несиметричній триланці площина Pl. будується у режимі мінімізації виразу

для множини проектних рішень, що задається змінним параметром - кутом n між початковим та поточним положенням нормалі (рис.4.). До уваги беруться лише проектні рішення, що задовольняють обмеження

,

де a,b,c,d – коефіцієнти рівняння площини біланки ABC.

Це обмеження гарантує, що площина кожної біланки поділяє ланки іншої. Якщо воно не виконується, кромка не будується, бо у подальшому це може привести до спотворення покриття.

За твердженням 7 може не знайтись напівгеодезична бінарна в'язка, що належить Г. Але, якщо покриття не спотворене попередніми побудовами, а поверхня Г в околі точки С не має суттєвих особливостей, то знаходиться розв'язок, при якому точно дорівнює нулю і у цьому разі поточна кромка має такий напрям, що в'язка - напівгеодезична.

У варіанті компланарної триланки суттєво відрізняється лише побудова початкового положення нормалі .

Точка [i,j] О закрита, коли виконується одна з умов: точка належить підмножині точок, яка має властивість Lim, [i,j] О WLim; разом з точкою [i,j] множині належить множина точок {(i+k, j+l)} при k,l = 0,-1,1, якщо i+k ? 0. та j+l ? 0. Інакше - відкрита: (i, j). Не всі відкриті точки мають необхідні умови для подальшої побудови. Позначимо через множину точок, що задовольняє умову поточної експансії.

В роботі побудовано модель циклічної експансії, яка являє собою побудову необхідної та достатньої кількості базових та складальних експансій, правил і послідовності їх застосування таких, щоб у довільний момент побудови покриття знайшлася хоча б одна непуста множина . Покриття побудоване, коли всі його точки закриті.

Побудова покриття реалізується двовимірними експансіями (метод С-чарунки), та одновимірними (метод поточної кромки), але кожна з них відтворюється в усіх можливих напрямах. У подальших позначеннях символьні індекси Ъ та Щ набувають значення “®” – у сторону збільшення та “¬” - у сторону зменшення значення індексу. Величини .

Одновимірними базовими експансіями вершини (i,j) будемо називати побудову однієї вершини (i+k, j), чи (i, j+k). Всього існує чотири таких експансії. До додаткових експансій належать тонкі експансії які працюють за некоректними умовами та обумовлені , що виконуються лише тоді, коли за один крок знайдено точку межі. Базові одновимірні експансії поширюються у відповідні прості, якщо точки поточної кромки відтворюють повну експансію одного з індексів:

, , , ,

де: iLim, jLim - значення індексів, при яких ланцюг перетнув межу; означає для всіх точок, що належать поточній відкритій множині.

Двовимірною базовою експансією вершини (i,j) будемо називати побудову нової вершини (i+k, j+l) де . Таких експансій чотири. Прості двовимірні експансії мають вигляд

, ,

де сума у внутрішніх дужках – породження смуги чарунок; зовнішні дужки – смуга чарунок, яка доповнена точкою межі, за умови, що вона її досягла. Проста експансія будує покриття, що задане бічними чи поточними кромками. На основі простих будуються складальні І-пріоритетні та J- пріоритетні експансії:

, , (4)

де: знак ¬Е позначає циклічне повторення послідовності операцій; операції та породжують поточну кромку, яка дає змогу відтворюватись простій двовимірній експансії.

Повна циклічна експансія є множиною складальних експансій:

На рис. 5. зображена схема роботи складальних експансій.

Твердження 8. Робота складальної експансії породжує множину точок , яка задовольняє умови не більше, ніж двох інших експансій. Якщо такі експансії є, то для їх побудови: змінюється пріоритетний індекс; напрям вихідного пріоритетного індексу зберігається у нових експансіях; напрям нового пріоритетного індексу може набувати значення „вперед” та „назад”, тобто

, .

На основі твердження 8 та схеми дії експансій (рис.5) побудовано плоский мультіциклічний орієнтований граф (рис.6.). Це ейлерів граф, він має велику кількість простих (зокрема ейлерових) циклів, але для роботи обираємо такий складний цикл:

,

де вирази у дужках – короткі цикли, кожний з яких виконується двічі.

Для управління роботою повної циклічної експансії Q кожній складовій експансії надається властивість Lі, що набуває значення „0”, коли відповідна експансія побудувала хоча б одну нову точку. Тоді короткі цикли спрацьовують, допоки L1ЧL2=0; L7ЧL8=0; L5ЧL6=0; L3ЧL4=0, а повна циклічна експансія може працювати допоки:

,

тобто допоки хоча б одна складова експансія побудувала хоча б одну точку.

Далі вводиться повна тонка експансія , з відповідними властивостями lі її складових експансій. Вираз

символічно позначує глобальну циклічну експансію, яка за алгоритмічною побудовою достатня для покриття довільної однозв'язної області.

Необхідність всіх експансій встановлена побудовою штучних схем-прикладів, таких, щоб знаходилась точка, яка може бути коректно побудована тільки за допомогою конкретної експансії. На прикладі (рис.7) на поверхні, що має складний неопуклий контур, побудоване покриття за участю першої, сьомої та п'ятої експансій.

Цей та інші приклади у роботі наводяться в поетапній побудові, зокрема для кута між площинами бічних кромок, що не дорівнює 900. Аналіз роботи методів експансії дозволив зробити висновок про неефективність побудови бічних кромок, як геодезичних на поверхні Г. Пропонується побудова поточної кромки довжиною в одну ланку, для чого у виразах складових експансій (4) достатньо та замінити на та . Розроблено методику винесення початкових умов за межі розкрійного елемента, яка забезпечена можливостями знищення та відродження швів; зміною кута між площинами бічних кромок; побудовою поточної одноланкової кромки.

Умови, за яких процес експансії завершується коректно, залежать від форми вихідної поверхні Г і правильності завдання початкових умов. Виявлено такі ситуації, що порушують коректність побудови покриття: зациклення кромки; зворотні чарунки; поперечний розтяг чарунки; поздовжній розтяг чарунки; складання чарунки; вихід у зону відўємних індексів тощо. Показано, що аналіз таких ситуацій повинен спиратись на аналіз покриття, а не на аналіз вихідної поверхні Г. Найбільш складним є прогнозування появи зворотних чарунок.

Твердження 9. Нехай: Ci,j – вершина бінарної в'язки, в околі якої побудовані три чарунки і будується четверта з замикальною точкою Сi+1,j+1; три побудовані чарунки мають орієнтацію таку ж, як вихідна поверхня Г; площина S інцидентна до нормалі бінарної в'язки і точці Сi,j+1.

Тоді, якщо площина S поділяє точки Сi-1,j та Сi+1,j, четверта чарунка зберігає орієнтацію покриття; якщо площина S не поділяє ці точки, четверта чарунка має зворотну орієнтацію.

Доведено, що аналіз умов твердження 9 рівнозначний аналізу положення проекцій вершин бінарної в'язки на дотичну площину Р відносно прямої , а орієнтація чарунок рівнозначна орієнтації трикутників, що утворюються зўєднанням проекцій вершин бінарної в'язки.

Доведено, що існують лише дві топологічні відміни схем взаємного розташування проекцій ланок, що призводять до побудови зворотної чарунки. На рисунках 8,9 подані такі схеми. На них проекції вершин на площину Р позначені лише індексами.

Твердження 9 справедливе як для компланарного, так і некомпланарного випадку. В обох варіантах діагноз проводиться за аналізом положення точок у просторі. Нехай A,B,C,D - коефіцієнти рівняння площини S, що задана нормаллю і точкою Сk,l, тоді позначимо . Перша схема (рис.8) виконується за умов

,

які виникають при поперечному розтягу, і поява зворотних чарунок призводить до побудови покриття у зворотному напряму. Друга схема виконується за умов

,

які виникають при поздовжньому розтягу, де поява зворотних чарунок призводить до утворення складок у напрямі експансії.

Запропоновано комплекс методів роботи за цими та іншими діагнозами. Деякі з них припиняють побудову і виводять на екран поточний стан покриття, інші добудовують покриття, залишаючи користувачеві прийняття остаточного рішення.

Розглядається можливість локального деформування покриття. Воно можливе і необхідне, коли наповнювач меблів - еластичний і декоративні елементи кріплення локально змінюють форму поверхні без зміни викройки. Запропонований метод спрямовано на концентрацію деформувальних параметрів в околі окремих точок. Він базується на використанні мінімального елемента, що деформується (МЕД), який має розмірність 2Х3 і один параметр деформації. Розроблено: алгоритм деформації такого елемента, схеми його використання для деформації тканини в околі точки та в околі лінії; досліджено властивості, зокрема:

Твердження 10. Для того, щоб неперервна однопараметрична деформація МЕД була можлива, необхідно, щоб сумарна довжина кожного i та j ланцюгів була строго більше відстані між його нерухомими точками межі.

Зроблено припущення, що така умова є достатньою. Але ознаку достатності сформульовано більш жорстко.

Твердження 11. Якщо всі чарунки МЕД просторові і жодні дві сусідні ланки не належать одній прямій, то знайдеться таке e , що для кожного значення параметра деформації -e<a<e може бути побудоване нове положення рухомих точок елементів.

Розділ третій. Пропонується архітектура, об'єктно-орієнтовані моделі та алгоритми спеціалізованої підсистеми для побудови викройок покриттів м'яких меблів. Розглядаються основні методи і властивості об'єктів предметної області та сервісів.

Архітектура підсистеми побудована за трирівневою класичною схемою, що базується на використанні шаблону проектування Model-View Separation (відокремлення об'єктів моделі від об'єктів графічного інтерфейсу з користувачем) і передбачає взаємодію з базою даних матеріалів, моделей та проектів (рівень даних, що зберігаються). Характерною рисою такої архітектури є виділення логіки застосування в окремий рівень, який, у свою чергу, поділяється на два інших рівні: об'єкти предметної області (моделі) та службові об'єкти (сервіси).

Декомпозиція рівня логіки застосування пред-ставлена на рис.10. Вузли графа відповідають об'єктам предметної області (моделям Mi) з їх найбільш важливими методами fik. На дугах показані сервіси високого рівня Sj, що забезпечують перетворення відповідних моделей. Ненавантажені дуги графа показують можливі переходи у процесі проектування. Позначено: M0 – вихідна геометрична (Г) модель розкрійного елементу; M1 – сітчаста модель покриття; M3 – геометрична модель викройки; M2, M4 – графічні моделі покриття та викройки (доповнюють геометричні моделі завантаженим растровим зображенням текстури матеріалу); M5 – технологічна модель викройки; M6 – модель матеріалу покриття; f00 – метод завдання початкових умов; fi0 - методи побудови та знищення швів; fi1 - методи знаходження якісних критеріїв (3) та інших; fi3 - методи обробки контуру викройки; fi2 та fi4 - методи обчислення параметрів візуалізації; Si0 - сервіс для імпорту гранних моделей з інших систем (розділ перший); S1 - сервіс, який відповідає за побудову покриття (всі методи, описані у розділі 2, реалізовані саме у цьому сервісі); S3 - будує індексну розгортку покриття; S2, S4 - забезпечують перетворення моделей з геометричних у графічні; S5 - генерує технологічну модель викройки

Для побудови швів користувач вказує на гранній моделі точки Аі, через які шов має пройти. Необхідно, щоб лінія шва точно належала ребрам поверхні Г. Реалізовано два варіанта розв'язання цієї задачі. У першому встановлюються вершини, найближчі до точок Аі, і за методом Дейкстри відшукується найкоротший шлях по існуючих ребрах поверхні Г між сусідніми вершинами Аі. У другому варіанті грані, яким належать точки Аі, поділяються так, щоб Аі належали вершинам, відновлюється топологія моделі Г, будується множина точок {Gi} перетину ребер поверхні Г з площинами, які належать точкам Аі та Аі+1, та нормалі до Г в точці Аі. Множини {Аі } та {Gi} впорядковуються і утворюють ламану, що визначає шов. Грані, яким належать вершини ламаної, коректно поділяються і ще раз відновлюється топологія моделі. Функція знищення шва також реалізована за методом Дейкстри, де найкоротший шлях відшуковується на множині ребер, що належать швам.

Моделювання реальної викройки виконується, як за допомогою растрових (множина інтерпретується як растрова - R), так і векторних представлень контурів у такій послідовності:

1. Будується векторне представлення контуру області, що задає викройку, тобто знаходиться послідовність точок {Vi}, яка зберігає індексну відповідність з точками растрової множини (метод fl3 модель М3).

2. На растровому рівні виконується еквідистантне розширення області R (метод f23 моделі М3). Для цього виконується трансформація растрової області RЮRТ, так, щоб дискретність останньої з заданою точністю дозволяла моделювати припуск на шви. Трансформоване поле змінює свій контур і його векторне представлення {VіT} також будується методом fl3. Розраховується дискретний розмір припуску і від кожної точки VіT за спеціальним алгоритмом (в основі його також покладено метод fl3), розраховується растрова область RТЮRекв, яка у загальному випадку неоднозв'язна. Знаходяться векторне представлення її зовнішнього {WіT} та внутрішніх контурів. При побудові припуску на шви передбачають можливість завдання відмінних розмірів на різних сегментах.

3. Якщо Rекв однозв'язна або багатозв'язна, але задовольняє користувача, контур {WіT} апроксимується замкненою ламаною {Wі} з заданими параметрами якості. Побудова ламаної виконується за варіантом субоптимальної апроксимації з попередньо згладжувальною апроксимацією {WіT} В-сплайном.

4. Виконується аналіз метричних характеристик, за яким на основі порівняння довжини сегментів контурів і довжин відповідних сегментів на покритті, встановлюються зони розтягу та

присадки викройки при її сполученні з викройками інших розкрійних елементів.

Для практичного використання дані про викройки експортуються до підсистеми оптимального розкрою.

Програму реалізовано у середовищі DELPHI з використанням відкритої графічної бібліотеки OpenGL. Наведено результати впровадження і інші приклади роботи підсистеми. Деякі з них представлені на рис.11.

ВИСНОВКИ

В результаті проведених досліджень досягнуто основну мету роботи: удосконалено теоретичну базу методу побудови викройок на основі покриття поверхні чебишевською сіткою; розроблено алгоритми та методики інтерактивного моделювання викройок; створено підсистему побудови викройок, як складову частину системи проектування мўяких меблів. Впровадження цієї системи дає користувачеві можливість розробляти варіанти оббивки, які відрізняються розташуванням швів, напрямом ниток тканини, розміщенням рисунку тканини на поверхні розкрійного елемента та узгодженням його з рисунком чи кольором прилеглих елементів.

В роботі отримано такі результати, що мають наукову і практичну цінність.

1. Вперше створено модель циклічної експансії як побудову необхідної і достатньої кількості базових і складових двовимірних та одновимірних експансій, законів їх взаємодії, правил і послідовності їх застосування, таких, що за умови принципової можливості процес побудови покриття довільної однозв'язної області на поверхні отримує коректне завершення.

2. Модель циклічної експансії спирається на базову двовимірну експансію, реалізація якої відрізняється від існуючих впровадженням локальної білінійної параметризації поточної грані вихідної поверхні Г, та на базову одновимірну – поточну кромку. Поточна кромка вперше пропонується для впровадження у процес побудови, і саме завдяки цьому циклічна експансія набуває необхідних властивостей.

3. Для побудови якісної поточної кромки і розв'язання інших задач проведено дослідження властивостей рівноланкової сітки і її основного елементу – бінарної в'язки, на якій встановлено характеристики у відповідності з диференціальними характеристиками неперервної поверхні. Це дало можливість запропонувати нові інтегральні та локальні критерії якості покриття, встановити нові властивості бінарної в'язки щодо її геодезичності, напівгеодезичності та належності вихідній поверхні.

4. Нові результати отримано з аналізу ситуацій, що призводять до спотворення покриття. Вперше сформульовано умови, за яких очікується поява зворотних чарунок, класифіковано наслідки їх появи і запропоновано методи безвідмовної роботи алгоритмів.

5. Розроблено архітектуру та обўєктно-орієнтовані програмні компоненти, що реалізують рівень логіки застосування підсистеми побудови викройок. Розглянуто об'єкти предметної області (моделі), службові обўєкти (сервіси), та можливі переходи у процесі проектування, що визначають різноманітність методик їх застосування.

6. Практичне значення для побудови підсистеми мають: методи побудови швів та перерізів з відновленням топологічної коректності вихідної моделі; комплекс алгоритмів обробки растрової області, який включає її еквідистантне доповнення, векторизацію межі, лінійну згладжувальну апроксимацію межі з заданим параметром якості; підготовку остаточної інформації про викройку з урахуванням технологічних умов. Всі ці методи та алгоритми у комплексі розв'язують нову задачу.

7. Вперше запропоновано метод згладжувальної апроксимації гранної моделі дискретною рівноланковою сіткою, що може розглядатися як метод апроксимації, не пов'язаний з побудовою викройок.

8. Подальші наукові та практичні дослідження плануються у напрямку комп'ютерного моделювання викройок на побудованій основі з метою утворення складок та відтворювання їх на поверхні, а також розв'язання задач локальної деформації покриття. Один з таких методів пропонується у роботі і відрізняється від існуючих способом управління параметрами та орієнтацією на обмеженість деформацій.

9. Достовірність результатів підтверджується численними прикладами побудови покриттів і викройок за допомогою створеної системи.

ПУБЛІКАЦІЇ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Суліменко Г.Г. Дизайн оббивки мўяких меблів. //Прикладна геометрія та інженерна графіка. Вип..66. –К.: КНУБА, 1999. -С. 191-193.

2. Анпілогова В.О., Демченко В.В., Суліменко Г.Г. Згладжувальна апроксимація гранної поверхні дискретною чебишевською сіткою. //Прикладна геометрія та інженерна графіка. Вип.67. –К.: КНУБА, 2000. -С.128-132.

3. Суліменко Г.Г. Побудова дискретної чебишевської сітки