Київський національний університет імені Тараса Шевченка

Залізняк Юрій Олексійович

УДК 533.951

НЕЛІНІЙНІ СОЛІТОННІ ТА ВИХОРОВІ СТРУКТУРИ У НЕРІВНОВАЖНІЙ МАГНІТОАКТИВНІЙ ПЛАЗМІ

01.04.08 – фізика плазми

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ-2002

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в НЦ “Інститут Ядерних Досліджень”

Національної Академії Наук України.

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук,

професор Давидова Тетяна Олександрівна,

зав. відділом теорії плазми НЦ “Інститут

Ядерних Досліджень” НАН України.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор, член–кореспондент НАН України,

Загородній Анатолій Глібович,

заст. директора Інститута теоретичної фізики ім. Боголюбова НАН України.

доктор фізико-математичних наук

Черемних Олег Костянтинович,

зав. відділом космічної плазми Інституту Космічних Досліджень НАН України

і Національного космічного агенства України.

Провідна установа: Інститут Фізики НАН України (м. Київ).

Захист відбудеться "25" березня 2002 р. о 15:00 год. на засіданні спеціалізованої вченої

ради Д26.001.31 на радіофізичному факультеті Київського національного університету

ім. Т.Г. Шевченка (04022, Київ, просп. Глушкова, 6).

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка (01017, Київ, вул.Володимирська, 64)

Автореферат розісланий "20" лютого 2002 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Д26.001.31

канд. фіз.-мат. наук ____________________ Шкавро А.Г.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми дисертації. Формування когерентних стуктур є універсальною властивістю нелінійних систем, які не перебувають у стані термодинамічної рівноваги - нерівноважних систем. Важливим прикладом та об'єктом дослідження нерівноважних систем є плазма із пучками заряджених частинок чи плазма, яка опромінюється потужними електромагнітними хвилями. У лабораторних експериментах та в космічних спостереженнях, у плазмі знайдено велику кількість хвильових структур (солітонів, солітонів огинаючих, вихорів) практично на усіх гілках її коливань, зокрема, в околі плазмового резонансу незамагніченої плазми, поблизу циклотронних, верхньо- та нижньогібридних резонансів магнітоактивної плазми. При досить високому рівні потужності, що вводиться в плазму, пороги багатьох нестійкостей виявляються перевищеними, і на нелінійній стадії розвитку нестійкостей виникають когерентні структури, що й визначають структуру турбулентності плазми. В результаті конкуруючих дій нелінійних та дисперсійних ефектів різної природи народжуються солітони – стійкі локалізовані нелінійні збудження, що не змінюють своєї форми в процесі руху [1*].

Для теоретичного опису солітонів огинаючих побудовано ряд моделей, більшість з яких зводяться до нелінійних рівнянь шредінгерівського типу (НРШ). Але багато із запропонованих рівнянь передрікають нестійкість солітонів по відношенню до колапсу, що полягає в утворенні нестаціонарних ям густини плазми, в які захоплюються ВЧ коливання, що необмежено стискаються за скінченний час. Теорією передбачається, що на кінцевій стадії колапсу починається сильне поглинання енергії стуктури частинками плазми, що призводить до швидкого загасання стуктури із одночасним нагрівом плазми. Однак, замість спостереження колапсу, у реальних фізичних системах досить часто спостерігається насичення нестійкості та формування мілкомасштабних (із характерним розміром порядку декількох дебаївських радіусів) та досить довгоживучих (час їх спостереження - тисячі та десятки тисяч періодів власних коливань) нелінійних когерентних утворень, що можуть бути як дво- та тривимірними, так і практично одновимірними.

Самоузгоджена еволюція хвильового поля та плазми проходитиме за законами колапсу тільки до тих пір, допоки не порушено жодного з припущень, що використовувалися під час отримання базового нелінійного рівняння моделі (це, як правило, припущення про слабкість нелінійності та про слабкість дисперсії). В той момент, коли нелінійна хвильова структура стає достатньо мілкомасштабною та/чи достатньо інтенсивною, постає необхідність зміни самої моделі описуваного явища. Малий просторовий масштаб породжує необхідність врахування наступних доданків у розкладі лінійної хвильової дисперсії, а висока густина енергії поля в структурі - врахування складної залежності показника заломлення від інтенсивності поля хвилі. Під час колапсування характерний розмір нелінійної структури зменшується, а амплітуда поля в ній зростає, і в момент “відмови” сценарію колапсу маємо структуру, яка є одночасно і мілкомаcштабною, і інтенсивною, тому під час узагальнення моделі опису, поправки вищого порядку як до лінійної дисперсії, так і до нелінійності слід враховувати одночасно. В залежності від конкретних фізичних умов корекцією до простої кубічної нелінійності може виступати нелокальний нелінійний доданок чи якась із моделей насичення нелінійності середовища. Врахування цих доданків може пояснити появу нових типів структур, які спостерігаються у лабораторних та чисельних експериментах: дрібномасштабних гібридних солітонів [2*, 3*], оптичних вихорів [1*], дво- та багатогорбих солітонів, хвилеводів вістлерових хвиль, тощо.

Таким чином, вивчення солітонів огинаючих та вихорів, які формуються у нерівноважній плазмі в результаті дії декількох конкуруючих нелінійних та дисперсійних ефектів є актуальною проблемою, яка має як чисто теоретичне значення, так і є важливою для інтерпретації даних експериментальних спостережень із опромінення плазми потужними електромагнітними хвилями та пучками заряджених частинок.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась:

За темою, затвердженою Президією НАН України "Когерентні та стохастичні процеси в інтенсивних полях у плазмі". Шифр 1.7.4.1. Номер Держрєєстрації 01974016412 (1996 – 2000).

За проектом Міністерства Науки України "Процеси самоорганізації великомасштабних хвильових рухів нерівноважної магнітоактивної плазми". № 2.4/846 (1997 - 1999).

Мета і задачі дослідження. Мета даної роботи полягає у теоретичному описі формування та еволюції збурень солітонного та вихорового типів, що виникають у нерівноважних плазмових системах завдяки одночасній дії різноманітних лінійних та нелінійних факторів. Поставлені у дисертації задачі такі:

теоретичні розрахунки умов існування, стійкості, та діапазонів зміни параметрів квазіодновимірних гібридних плазмових солітонів при врахуванні хвильової дисперсії четвертого порядку та нелокальної нелінійної взаємодії хвиль;

аналітичне дослідження процесів формування та властивостей одновимірних і двовимірних солітонних та вихорових структур в результаті одночасної дії дисперсійних ефектів вищого порядку та ефектів, пов'язаних із насиченням нелінійності середовища;

чисельне моделювання стаціонарних солітонних та вихорових розв'язків та чисельне дослідження їх стійкості відносно одновимірних та двовимірних збурень.

Об'ектом дослідження є нелінійні хвильові структури у нерівноважних плазмових системах. Предметом дослідження є ефекти конкуруючих нелінійних та дисперсійних взаємодій та їх вплив на властивості нелінійних солітонних та вихорових структур. Метод дослідження полягає у теоретичному аналізі цих ефектів із застосуванням апарату математичного аналізу, теоретичної і математичної фізики та методів машинного розв'язку нелінійних рівнянь у частинних похідних.

Наукова новизна отриманих у дисертації результатів полягає в тому, що в роботі було вперше:

показано, що одновимірне узагальнене нелінійне рівняння Шредінгера (УНРШ), яке включає дисперсійний доданок четвертого порядку і містить поруч із традиційною кубічною нелінійністю додатковий нелінійний член (яким може бути як нелокальний нелінійний доданок, так і локальна нелінійність, що насичується), має нові точні солітонні розв'язки у вигляді світлого та темного стоячих солітонів, фаза яких нелінійним чином залежить від просторової координати.

проведено аналіз динаміки мілкомасштабних гібридних хвильових пакетів та стійкості солітонів в рамках УНРШ із врахуванням дисперсії четвертого порядку і нелокальної нелінійної взаємодії хвиль; показано, що варіація фази відіграє важливу роль для їхньої стійкості; аналітично та чисельно знайдено нові типи солітонів огинаючих як із сталою, так і з нелінійно – змінною фазою.

запропоновано модельне рівняння типу НРШ, яке дозволяє коректно описувати розповсюдження пучків вістлерових хвиль у іоносфері в реальній тривимірній геометрії; показано, що врахування право- і лівополяризованої компонент та наявності електростатичної складової нелінійної хвилі формально еквівалентне до врахування дисперсії четвертого порядку.

вивчено стійкість одновимірних гібридних солітонів, що рухаються, по відношенню до черенковського випромінювання вільних хвиль та знайдено діапазон швидкостей, у якому солітони не випромінюють.

аналітично та чисельно встановлено ефект бістабільності одновимірних гібридних солітонів, а також двовимірних вістлерових солітонів і вихорів - співіснування двох стійких станів із однаковим нелінійним зсувом частоти (хвильового числа), але із принципово різними параметрами і енергіями. Знайдено діапазони зміни параметрів та власивості солітонних і вихорових структур, досліджено їх стійкість.

Практичне значення одержаних результатів: Розвинена у дисертації теорія застосовується для пояснення експериментальних спостережень нелінійних хвильових структур - солітонів і вихорів, які виникають на різноманітних гілках коливань нерівноважної лабораторної та космічної плазми при опроміненні її високочастотними електромагнітними хвилями або пучками заряджених частинок. Отримані результати можуть бути також використані для опису властивостей солітонів у інших середовищах, наприклад надкоротких світлових імпульсів у оптичних світловодах, солітонів у дискретних молекулярних ланцюжках, тощо.

Особистий внесок здобувача. У всіх роботах, які лягли в основу дисертації, здобувач приймав безпосередню участь на всіх етапах роботи: при постановці задачі, під час обговорення методів дослідження, у проведенні аналітичних розрахунків, інтерпретації результатів та підготовці рукописів статей. Самостійно розробив схеми та реалізував чисельні коди для машинного знаходження солітоних розв'язків та дослідження їх стійкості.

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертації доповідалися на наступних конференціях:

на міжнародному симпозіумі "Plasma 99: research and application of plasmas" (Варшава, Польща, 1999 р.),

на щорічних наукових конференціях НЦ "ІЯД" НАН України (м.Київ, Україна) у 1999, 2000 та 2001 роках,

на 6-й та 7-й відкритих конференціях молодих вчених з астрономії і фізики космосу (м. Київ, Україна) у 1999 та 2000 роках,

на 7-й та 8-й Українських конференціях з керованого термоядерного синтезу та фізики плазми, Київ, 1999 та Алушта, 2000 (Україна).

на 7-му міждержавному семінарі "Плазмова електроніка та нові методи прискорення" (м. Харків, Україна, 2000 р.),

на 26-й генеральній ассамблеї Європейського геофізичного товариства (м. Ніцца, Франція, 2001 р.).

Результати роботи також обговорювалися на об'єднаних семінарах відділів фізики плазми та теорії плазми НЦ "ІЯД" НАН України у 1998 - 2001 роках (м. Київ, Україна), на семінарі кафедри фізичної електроніки радіофізичного факультету Київського Національного університету ім. Т. Шевченка (м. Київ, Україна, 2001 р.), на семінарі лабораторії фізики і хімії навколишнього середовища (м. Орлеан, Франція, 1999 р.), на семінарі відділу фізики плазми Альфвенівської лабораторії Королівського технологічного інституту (м. Стокгольм, Швеція, 2000 р.).

Публікації. Основні результати дисертації було опубліковано у 9-ти статтях, 5 з яких задовольняють вимогам ВАК до публікацій, а також у збірниках праць конференцій. Всього за темою дисертації опубліковано 11 робіт, перелік яких наведено у заключній частині автореферату.

Структура та обсяг дисертації: основний текст дисертації складається із вступу, трьох розділів, та висновків; викладений на 153 сторінках друкованого тексту, містить 35 рисунків і список використаних джерел із 170 позицій. Загальний обсяг дисертаційної роботи складає 156 сторінок друкованого тексту.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету, головні завдання, коротко викладено зміст роботи, представлено критичний огляд літератури, присвяченої спостереженню нелінійних солітонних та вихорових структур, що формуються у нерівноважних плазмових системах, а також теоретичному вивченню їх властивостей.

В першому розділі “Динаміка хвильових пакетів та утворення стійких солітонів в околі гібридних плазмових резонансів із врахуванням нелокальної взаємодії ВЧ і НЧ хвиль” [1, 2, 3, 7] було розв’язано задачу одновимірної еволюції мілкомасштабних гібридних хвиль в плазмі із врахуванням дисперсійних ефектів четвертого порядку та нелокальної нелінійної взаємодії гібридних хвиль із низькочастотними (НЧ) збуреннями. У першому підрозділі першого розділу аналізуються фізичні механізми, що призводять до появи стійких мілкомасштабних солітонів в околі верхньогібридного (ВГ) та нижньогібридного (НГ) резонансів замагніченої плазми. Вказується на те, що під час опису квазіодновимірних структур слід, поряд із нелокальним нелінійним доданком, враховувати наступний член у розкладі лінійної дисперсії, бо він має такий же порядок величини. Підкреслюється, що зміна частоти хвильового пакета із просторовою координатою є невід’ємною властивістю еволюції як лінійних, так і нелінійних хвильових пакетів, які описуються рівняннями типу НРШ.

У другому підрозділі першого розділу наведене базове нелінійне рівняння для опису солітонної динаміки, та представлено його новий точний розв’язок у вигляді солітона із нелінійно – змінною фазою (НЗФ). Одновимірне узагальнене нелінійне рівняння Шредінгера (УНРШ), на основі якого проводився аналіз, має вигляд:

, (1)

у ньому =E/B0 – повільна огинаюча електричного поля хвилі, t0t/2, xx/e (e – електронний гірорадіус), а коефіцієнти D, P, B, C визначаються лінійною дисперсією хвиль та домінуючими нелінійними ефектами в системі. Наприклад, для ВГ хвиль коефіцієнти лінійної дисперсії наступні: D=2VTe202/(Pe2-3Be2), P=3VTe2(-2Pe4+6Pe2Be2-45Be4)/[02(Pe2-3Be2)(Pe2-8Be2)], де Pe, Be – електронні плазмова та гірочастота відповідно, VTe – теплова швидкість електронів. Коефіцієнт перед кубічною нелінійністю B=0.5 Pe2VA2/(02Cs2), де VA – альфвенівська швидкість, Cs – швидкість звука, а коефіцієнт C при нелокальному нелінійному доданку залежить від типу взаємодії. Розглядалися такі діапазони параметрів плазми та накачки, для яких знаки коефіцієнтів рівняння були наступними: D<0, P<0, B>0, C>0. В рамках УНРШ (1) було знайдено новий точний солітонний розв’язок, фаза якого має нелінійну залежність від x. Цей розв’язок існує при фіксованому співвідношенні між лінійним (P/D)1/2 та нелінійним (C/B)1/2 просторовими масштабами, саме, при (PB)/(DC)=5/14, та має вигляд

, (2)

а його параметри a0=(8P/D)1/2, 0=51/2, 0=(-9/16)(D2/P), h02=(-21/4)(D/C). Знайдений солітон із нелінійно – змінною фазою (НЗФ) зображений на Рис. 1.

У третьому підрозділі першого розділу за допомогою аналізу асимптотичної поведінки спадаючих на нескінченності солітонних розв’язків у випадку DP>0, показано, що звичайні солітони або матимуть “осцилюючі хвости” при умові P<-D2/4, де - нелінійний зсув частоти, або ж являютимуться солітонами із НЗФ. На основі рівняння неперервності для густини числа квантів ||2 показано, що стоячі солітонні розв’язки із НЗФ з’являються в рамках НРШ лише при врахуванні дисперсійного доданку четвертого порядку, якщо DP>0.

У підрозділі 1.4.1 аналітично, за допомогою варіаційного метода проаналізовано динаміку хвильових пакетів та стійкість солітонів по відношенню до одновимірних збурень. Використано пробну функцію вигляду

, (3)

яка включає в себе точні розв’язки із НЗФ та має правильну поведінку як при x0, так і на нескінченності. Показано, що в рамках УНРШ (1) можуть одночасно існувати від одного до трьох стійких солітонних розв’язків із однаковим числом квантів , але із різними просторовими масштабами.

У підрозділі 1.4.2 висновки, отримані варіаційним методом, узагальнено на випадок солітонів, що рухаються із сталою швидкістю. Досліджено черенковське випромінювання вільних хвиль солітоном і знайдено максимально досяжні значення їхніх швидкостей.

У п’ятому підрозділі першого розділу доведено обмеженість гамільтоніана УНРШ знизу для довільних локалізованих функцій , та, відповідно, існування принаймні одного стійкого по Ляпунову розв’язку. Варіаційним методом показано, що у деяких випадках абсолютний мінімум гамільтоніана реалізується не звичайним солітоном вигляду (x,t)= (x)exp(i0t), де (x) – дійсна функція, а солітоном із складною залежністю фази від просторової координати (наприклад, солітоном із НЗФ).

У шостому підрозділі першого розділу за допомогою розробленого алгоритму релаксаційного типу чисельно знайдено стоячі солітони УНРШ як із сталою, так і з нелінійно – змінною фазою в широкому діапазоні зміни параметрів рівняння. Солітонні розв’язки рівняння (1) формують двопараметричне сімейство із параметрами та =(DB)/(PC). Виявилося, що існує таке мінімальне значення =cr1.5, нижче якого солітони із НЗФ не існують. При кожному фіксованому >cr (для якого існують солітони із НЗФ) знайдеться таке мінімальне значення cr>0, для якого УНРШ іще має солітонні розв’язки із НЗФ, а при <cr вдається знайти лише звичайні солітони, фаза яких не залежить від x. При -D2/4<P<0, як це й слідує із лінійної асимптотики, УНРШ не має локалізованих розв’язків. Крім солітонів із НЗФ, у всіх областях параметрів рівняння (1) було також чисельно знайдено і звичайні солітонні розв’язки. Енергетичні діаграми (залежність числа квантів від нелінійного зсуву частоти) для різних значень параметра наведено на Рис. 2, а приклади солітонних профілів – на Рис. 3.

Порівняння теоретично і чисельно передбачених параметрів верхньогібридних солітонів із даними спостереження нелінійних структур у лабораторних плазмово – пучкових системах [4*] проведене у сьомому підрозділі першого розділу. Показано, що параметри (амплітуда, характерний масштаб) спостережуваних структур знаходяться у добрій відповідності із передбаченнями.

У обговоренні (восьмому підрозділі першого розділу) наводяться висновки, аналізуються отримані результати. Підкреслюється, що в рамках рівнянь шредінгерівського типу без урахування ефектів дисперсії четвертого порядку було б неможливо пояснити появу солітонних структур в області аномальної дисперсії групової швидкості (при DB<0).

Другий розділ дисертації “Утворення та еволюція нелінійних структур у нерівноважній плазмі із врахуванням ефектів насичення нелінійності” [4, 5, 6 8, 9] присвячено вивченню еволюції одновимірних хвильових пакетів та утворенню солітонів огинаючих в результаті конкуруючої дії дисперсійних ефектів другого і четвертого порядку, а також локальної нелінійності, що насичується.

У першому підрозділі другого розділу на основі результатів попередніх досліджень доводиться, що врахування ефектів насичення нелінійності середовища при зростанні амплітуди хвильового поля може не тільки доповнити фізичну картину явища, але й якісно змінити її. Зокрема, насичення нелінійності може призвести до стабілізації солітона у двовимірному просторі та до появи бістабільних солітонних станів. Обгрунтовано вибір моделі насичення (так званої “кубік – квінтік” нелінійності) та вказано та те, що коли нелінійні ефекти вищого порядку стають суттєвими, то й просторово – часові масштаби нелінійної структури стають достатньо малими, і до гри включаються дисперсійні ефекти вищого порядку.

У другому підрозділі другого розділу проаналізовано фізичні явища, для опису яких застосовуються модельні рівняння типу НРШ із врахуванням дисперсійного доданку четвертого порядку та насичення нелінійності середовища:

. (4)

Дане рівняння описує самомодуляцію та формування квазіодновимірних структур верхньо- та нижньогібридних хвиль великої амплітуди у замагніченій плазмі у випадках, коли головним додатковим нелінійним ефектом є насичення локальної нелінійності (BK<0). Воно також є адекватною моделлю для опису самофокусування вістлерових хвиль у плоскі хвилеводні канали [5*]. Показано, що як і у випадку із нелокальним нелінійним доданком, УНРШ (6) має точний стоячий солітонний розв’язок вигляду (2) при DP>0, DB<0, BK<0, (KD2)/(PB2)=7/18, із такими ж параметрами a0, 0, 0, але із амплітудою h02=9D2/(2|PB|). За допомогою віріального співвідношення продемонстровано, що незалежно від знаків коефіцієнтів D і P, довільний лінійний хвильовий пакет в рамках рівняння (4) завжди розпливатиметься із часом.

У третьому підрозділі другого розділу за допомогою інтегралів системи рівнянь, яка описує еволюцію дійсної та уявної частин огинаючої, отримано інтегральний вираз для ефективної швидкості довільного хвильового пакета, що описується УНРШ:

, (5)

де N – число квантів, а I – імпульс пакета, інтеграл рівняння (4). Із (5) випливає, що коли P=0, то швидкість є інтегралом руху. Однак, при врахуванні дисперсійного доданку четвертого порядку УНРШ втрачає інваріантність по відношенню до галілеєвого перетворення. Швидкість хвильового пакета може змінюватись в процесі руху (Рис. 4.). Показано також, що при P0 довільний хвильовий пакет, який рухається нерівномірно, стає асиметричним. За допомогою інтегральних оцінок знайдене обмеження згори на значення швидкості солітона: V0<(N/I)(D2/4P+3B2/32K), та доведено існування принаймні одного стійкого по Ляпунову солітонного стану.

У четвертому підрозділі другого розділу проведене варіаційне дослідження динаміки хвильових пакетів за допомогою пробної функції

, (6)

яка узагальнює функцію (3) врахуванням можливості зміни швидкості хвильового пакета. Побудовано енергетичні діаграми, знайдено області стійкості солітонів із сталою, лінійною та із нелінійно – змінною фазою. Знайдено області параметрів, у яких варіаційний метод передбачає бістабільність солітонів, що рухаються (із лінійною фазою) – співіснування двох стійких станів із однаковим нелінійним зсувом частоти, але із різними значеннями числа квантів.

У п’ятому підрозділі другого розділу вивчено чисельно солітонні розв’язки УНРШ (4) із D>0, P>0, B<0, K>0. Побудовано енергетичні діаграми для солітонних станів (Рис. 5) і продемонстровано, що передбачення варіаційного аналізу знаходяться у добрій відповідності з чисельними розрахунками, особливо для солітонів із лінійною фазою. Чисельно доведено, що солітони з лінійною фазою стійкі у всій області їхнього існування, а необхідною умовою стійкості солітонів із НЗФ є N/>0. Знайдено багатогорбі солітонні розв’язки УНРШ (4) та чисельно доведено їх нестійкість по відношенню до збурень профілю. Знайдено області існування, стійкості та діапазони досяжних швидкостей для солітонів, що рухаються. Підтверджено аналітичні передбачення про те, що солітони із НЗФ, які рухаються із сталою швидкістю, втрачають симетрію, а хвильові пакети, отримані шляхом їхнього збурення, демонструють дуже цікавий і незвичний рух: швидкість пакета періодично змінюється із часом, а швидкість максимума може навіть змінювати знак в процесі руху (див. Рис. 4).

У шостому підрозділі другого розділу наводяться висновки та обговорення. Вказується, зокрема, на те, що незважаючи на стійкість солітонів УНРШ по відношенню до одновимірних симетричних та асиметричних збурень, вони можуть виявитися нестійкими відносно поперечних збурень, тому аналіз слід розширити на випадок двовимірної задачі.

Двовимірну задачу про стаціонарне самофокусування вістлерів у іоносферній плазмі та про утворення стійких хвилеводних каналів розв’язано у третьому розділі дисертації “Стаціонарне самофокусування нелінійних геліконних хвиль у солітонні та вихорові структури” [10, 11]. У передмові, що міститься в першому підрозділі третього розділу, проаналізовано нелінійні ефекти, які необхідно брати до уваги під час опису розповсюдження вістлерів великої амплітуди у іоносферній плазмі. Коли частота хвилі накачки знаходиться поблизу екстремуму групової швидкості (що для вістлерів відповідає половині електронної гірочастоти), знижуються пороги модуляційних нестійкостей, і слід врахувувати поправки до кубічної нелінійності.

У другому підрозділі третього розділу виведене базове нелінійне рівняння для опису стаціонарного самофокусування вістлерів. Воно має вигляд двовимірного узагальненого нелінійного рівняння Шредінгера (УНРШ2):

, (7)

де =2/2+2/2, використано безрозмірні змінні =z0/c, =x0/c, =y0/c, =Ez/F0, F0=(12Tn0)1/2, 2m/M та позначено D=(1/(4u2)-1)/(2v1/2), P=1/(8v3/2), B=-v3/2, K=v5/2e2/02, u=/Be, v=Pe2/02, Pe та Be – електронні плазмова та гірочастота відповідно, e – ефективна частота електронних зіткнень, m, T та n0 – маса, температура та концентрація електронів, M – маса іона. Рівняння (7) враховує наявність двох можливих поляризацій та присутність електростатичної компоненти хвильового поля вістлера (Ez), що формально є еквівалентним до врахування дисперсійних ефектів четвертого порядку (доданок P2). Розглядається діапазон частот 00.5Be, що відповідає наступним знакам коефіцієнтів рівняння: D>0, P>0, B<0, K>0. Оцінено досяжний діапазон зміни нелінійного зсуву хвильового числа : -D2/4P-B2/4K < < -D2/4P для стаціонарних розв’язків вигляду (,,) = (,)exp(i). Вказано на можливість фокусування або дефокусування нелінійних пучків електромагнітних хвиль на основі віріального співвідношення.

У третьому підрозділі третього розділу солітоноподібні та вихорові (азимутальні моди ~exp(im), m=0, 1, 2, …) хвилеводні режими вивчено за допомогою наближеного варіаційного аналізу. Було показано, що подібно до одновимірної моделі із насиченням нелінійності, в рамках двовимірної задачі також можлива бістабільність станів хвилеводного розповсюдження, побудовано теоретичні енергетичні діаграми.

У четвертому підрозділі третього розділу на основі оригінального узагальнення метода стабілізуючого множника проведене чисельне дослідження стаціонарних вістлерових хвилеводів як солітонного, так і вихорового (першої азимутальної моди m=1) типів. Знайдені чисельно енергетичні діаграми (Рис. 6) знаходяться у якісній відповідності з результатами варіаційного аналізу, а чисельне інтегрування підтвердило стійкість усіх знайдених солітонів та вихорів.

У п’ятому підрозділі третього розділу проведене порівняння отриманих розв'язків із даними експериментальних спостережень захоплених вістлерових хвиль у лабораторних експериментах [6*] та оцінено характерні просторові масштаби нелінійних структур, що утворюються у іоносфері Землі [5*]. Показано, що запропонована теоретична модель якісно правильно описує експериментальні дані.

Шостий підрозділ третього розділу містить висновки та обговорення. Підкреслюється, що конкуруюча дія фокусуючих та дефокусуючих нелінійних доданків, що вступають до гри на різних просторових масштабах, може призвести до мультистабільності – одночасного існування у нерівноважній плазмовій системі декількох нелінійних структур із однаковим нелінійним зсувом хвильового числа, але із різними іншими параметрами.

Наприкінці дисертації, у висновках, викладено головні результати роботи.

ВИСНОВКИ

У дисертації на основі нелінійних рівнянь шредінгерівського типу проведено теоретичний аналіз та чисельне моделювання утворення і динаміки нелінійних стуктур - солітонів, вихорів, - які формуються у нерівноважній плазмі завдяки одночасній дії дисперсійних ефектів другого та четвертого порядків, а також різних типів некубічних нелінійностей. Основні результати роботи можна сформулювати так.

В рамках одновимірних УНРШ із дисперсійним доданком четвертого порядку та із нелінійністю вищого порядку по інтенсивності (при чому корекцією до кубічного доданку може виступати як нелокальний нелінійний доданок, так і локальна нелінійність, що насичується) знайдено новий точний солітонний розв'язок у вигляді стоячого солітона, фаза якого нелінійним чином залежить від просторової координати - солітонів із нелінійно-змінною фазою.

Доведено існування стійких по Ляпунову солітонних та вихорових станів як у одновимірній, так і у двовимірної моделях із врахуванням дисперсії четвертого порядку, нелокальної нелінійності та локальної нелінійності, що насичується.

Знайдено області стійкості одновимірних солітонів що рухаються, по відношенню до черенковського випромінювання вільних хвиль та показано, що солітони із нелінійно - змінною фазою не випромінюють в усій області їхнього існування.

Проведений аналіз динаміки та стійкості мілкомасштабних гібридних хвильових пакетів і солітонів в рамках УНРШ із врахуванням дисперсії четвертого порядку і нелокальної нелінійної взаємодії хвиль показав, що варіація фази відіграє важливу роль для їхньої стійкості; аналітично та чисельно знайдено нові типи солітонів огинаючих як із сталою, так і з нелінійно – змінною фазою.

Для опису розповсюдження пучків електромагнітних хвиль – вістлерів – запропоноване модельне рівняння типу НРШ для поздовжньої складової хвильового електричного поля; показано, що врахування наявності двох можливих поляризацій та електростатичної компоненти хвилі еквівалентне до врахування дисперсійного доданку четвертого порядку.

У моделях із насиченням нелінійності (як у одновимірній, так і у двовимірній) аналітично та чисельно знайдено області бістабільності солітонів та вихорів - області співіснування двох стійких станів із однаковим нелінійним зсувом частоти (чи поздовжнього хвильового числа), але із суттєво різними енергіями. Чисельно підтверджено стійкість усіх знайдених одногорбих солітонів із сталою та лінійною фазою відносно збурень профілю та стійкість усіх знайдених двовимірних солітонів та вихорів по відношенню до двовимірних збурень, а для солітонів із НЗФ знайдено області стійкості.

Отримані результати можуть застосовуватися для опису властивостей інтенсивних квазіодновимірних та двовимірних нелінійних структур - солітонів, вихорів, які спостерігаються у нерівноважній плазмі на заключних стадіях розвитку нестійкостей різної природи та які визначають структуру турбулентності плазми. Оскільки запропоновані моделі є досить універсальними, результати роботи можна використовувати й для аналізу хвильових структур у багатьох інших середовищах – рідинах, газах, твердих тілах, зокрема у оптоволоконних хвилеводах, молекулярних ланцюжках, тощо.

СПИСОК РОБІТ, ОПУБЛІКОВАНИХ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Davydova T.A., Zaliznyak Yu.A. Chirped Solitons Near Plasma Resonances in the Magnetized Plasmas // Physica Scripta. – 2000. – V. 61. – No 4. – P. 176-182.

Давыдова Т.А., Зализняк Ю.А. Новые типы солитонов огибающих на гибридных резонансах магнитоактивной плазмы // Вопросы Атомной Науки и Техники. Сер. Плазменная электроника и новые методы ускорения. – 2000. - №1. - С. 225 - 228.

Davydova T.A., Zaliznyak Yu.A. Chirped Solitons Near Plasma Resonances in the Magnetized Plasmas // Journal of Technical Physics Spec. Supplement (Polish). – 1999. - V. XL. - No. 1. - P. 13-16.

Давидова Т.О., Залізняк Ю.О. Нові типи солітонів обвідної в плазмі та інших нелінійних середовищах // Український Фізичний Журнал. – 2000. - Т. 45. - № 8. - С. 931 – 941.

Davydova T.A., Zaliznyak Yu.A. Schroedinger Ordinary Solitons and Chirped Solitons: Fourth – Order Dispersive Effects and Saturable Nonlinearity. // Physica D. – 2001. - V. 156. – No. 3-4. - P. 260-282.

Davydova T.A., Zaliznyak Yu.A. New types of stable whistler nonlinear waveguides // Вопросы Атомной Науки и Техники. Сер. Физика Плазмы. – 2000. - №6. - С. 27 - 28.

Davydova T.A., Pankin A.Yu., Zaliznyak Yu.A. Envelope solitons multistability near plasma rezonances in magnetized plasma // Збірник наукових праць. НЦ “ІЯД” НАН України. – Київ. – 1999. - С. 231-233.

Давидова Т.О., Залізняк Ю.О. Динаміка оптичних солітонів в оптоволоконних системах // Збірник наукових праць. НЦ “ІЯД” НАН України. – Київ. - 2000. - №6. - С. 104-110.

Давидова Т.О., Залізняк Ю.О. Нелінійні хвильові структури та їх еволюція біля плазмових резонансів мігнітоактивної плазми // Матеріали VII Української конференція з керованого термоядерного синтезу та фізики плазми. – Київ (Україна). – 1999. - С. 76.

Davydova T.A., Zaliznyak Yu.A., Yakimenko A.I. Stationary Self – Focusing of Whistler Waves in the Ionosphere. // Збірник наукових праць. НЦ “ІЯД” НАН України. – Київ. – 2001. - № 3(5) - С.132-140.

Zaliznyak Yu.A., Davydova T.A. New Types of Stable Whistler Nonlinear Waveguides // Proc. 26th General Assembly of European Geophysical Society (Geophysical Research Abstracts). – Nice (France). – 2001. - V. 3. - P. 8389.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1*. Захаров В.Е., Кузнецов Е.А. Оптические солитоны и квазисолитоны // ЖЭТФ. – 1998. – Т. 86. – С. 1035-1046.

2*. Cho T., Tanaka S. Observation of an upper-hybrid soliton // Physical Review Letters. – 1980. – V. 45. – P. 1403-1406.

3*. Porkolab M., Goldman M.V. Upper-hybrid solitons and oscillating-two-stream instabilities // Physics of Fluids. – 1976. – V. 19. – P. 872-881.

4*. Christiansen P.J., Jain V.K., Stenflo L. Filamentary collapse in electron – beam plasmas // Physical Review Letters. – 1981. – V. 46. – No. 20. – P. 1333-1337.

5*. Жарова Н.А., Сергеев А.М. О стационарном самовоздействии вистлеров // Физика Плазмы. – 1989. – Т. 15. – С. 1175-1179.

6*. Stenzel R.Z. Filamentation instability of a large amplitude whistler wave // Physics of Fluids. – 1976. – V. 19. – No. 6. – P. 865-871.

Залізняк Ю.О. Нелінійні солітонні та вихорові структури у нерівноважній магнітоактивній плазмі. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.08 – фізика плазми. – Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2002.

Дисертацію присвячено вивченню динаміки та стійкості нелінійних структур – солітонів, вихорів, – які формуються у нерівноважних плазмових системах завдяки одночасній дії дисперсійних ефектів другого та четвертого порядків, а також складних нелінійностей різного типу. Знайдено нові точні розв’язки одновимірних рівнянь у вигляді стійких стоячих солітонів, фаза яких нелінійно змінюється із просторовою координатою. Проведено теоретичні розрахунки умов існування, стійкості, та діапазонів зміни параметрів одновимірних гібридних плазмових солітонів із врахуванням нелокальної нелінійної взаємодії ВЧ і НЧ хвиль. Аналітично та чисельно вивчено одновимірні солітони, а також двовимірні солітони і вихори, які з’являються у нерівноважній плазмі в результаті конкуруючої дії ефектів дисперсії (дифракції) четвертого порядку та насичення локальної нелінійності. Показано, що у певних областях зміни параметрів можлива бістабільність солітонів або вихорів – співіснування двох стійких розв’язків із однаковим нелінійним зсувом частоти, але із різними значеннями числа квантів. Проаналізовано стійкість солітонів, що рухаються, по відношенню до черенковського випромінювання, та знайдено досяжний діапазон їхніх швидкостей.

Ключові слова: нерівноважна плазма, солітон, вихор, стійкість солітонів, гібридні резонанси, дисперсійні ефекти вищих порядків, нелокальна нелінійність, насичення нелінійності.

Зализняк Ю.А. Нелинейные солитонные и вихревые структуры в неравнвесной магнитоактивной плазме. – Рукопись.Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.08 – физика плазмы. – Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2002.

Диссертация посвящена изучению динамики и устойчивости нелинейных структур – солитонов, вихрей, – которые формируются в неравновесных плазменных системах благодаря одновременному действию эффектов дисперсии второго и четвёртого порядка, а также сложных нелинейностей различного типа. Найдены новые точные решения одномерных уравнений в виде устойчивых солитонов, фаза которых нелинейно изменяется с пространственной координатой. Проведены теоретические рассчёты условий существования, устойчивости, и диапазонов изменения параметров одномерных гибридных плазменных солитонов с учётом нелокального нелинейного взаимодействия ВЧ и НЧ волн. Аналитически и численно изучены одномерные солитоны, а также двумерные солитоны и вихри, которые появляются в неравновесной плазме в результате конкуренции эффектов дисперсии (диффракции) четвёртого порядка и насыщения локальной нелинейности. Было показано, что в определённых областях изменения параметров возможна бистабильность солитонов или вихрей – сосуществование двух устойчивых решений с одинаковым нелинейным сдвигом частоты, но с различными значениями числа квантов. Проанализирована устойчивость движущихся солитонов по отношению к черенковскому излучению и найден допустимый диапазон их скоростей.

Ключевые слова: неравновесная плазма, солитон, вихрь, устойчивость солитонов, гибридные резонансы, дисперсионные эффекты высших порядков, нелокальная нелинейность, насыщение нелинейности.

Zaliznyak Yu. A. Nonlinear solitary and vortex structures in the non-equilibrium magnetized plasmas. – Manuscript.

Thesis for a degree of Candidate of Science (Physics and Mathematics) in speciality 01.04.08 – plasma physics. – Kiev National Shevchenko University, Kiev, 2002.

This dissertation is devoted to the exploration of the dynamics and stability properties of nonlinear structures – solitons and vortices – which are formed in the non-equilibrium plasma system as a result of interplay between linear dispersion effects of the second and fourth order and different types of nonlinearities. Investigations were based on the one- and two-dimensional nonlinear equations of Shroedinger type (GNSE) with second and fourth order linear dispersion terms, local cubic nonlinear term and with two types of additional nonlinearities – non-local nonlinearity, and local quintic saturable nonlinearity. In the framework of one – dimensional model there were found new exact stable soliton solutions in the form of bright and dark standing solitons, whose phase changes nonlinearly with spatial coordinate – chirped solitons. The dynamics and stability of short – scaled hybrid wave packets and solitons was performed in the framework of GNSE including fourth – order dispersion and non-local nonlinearity. It was shown that packet’s phase variation plays a crusial role for its stability. New types of envelope solitons with constant and nonlinearly changing phase were found both analytically and numerically. To describe the propagation of electromagnetic waves in plasma with the frequencies close to the extremum of group velocity dispersion, a model equation of GNSE type describing evolution of longitudinal wave electric field component is proposed. It was shown that accounting for electrostatic wave component and for two types of polarization is formally equivalent to accounting for fourth – order dispersion effects. Using Lyapunov approach, the conditions for existence of stable soliton solutions of one - dimensional and two - dimensional models with saturable local nonlinearity was found. The existence of stable in the Lyapunov sense solitary and vortex states in the 1D and 2D cases was proved in the model with nonlocal nonlinearity as well as in the model with nonlinearity saturation. Stability of moving solitons with respect to Cherenkov radiation of free waves was checked and the regions of stability were found. Chirped solitons were shown to be stable against radiation within their whole existence domain. Analytically and numerically was demonstrated a bistability phenomenon for one dimensional solitons and for two dimensional solitons and vortices – the coexistence of two stable states with the same value of nonlinear frequency shift (nonlinear shift of wave number) but with substantially different plasmon numbers and parameters. Numerical simulations have demonstrated several new types of one-dimensional multi-humped solitons in a model with saturable nonlinearity. The phase of humped solitons may be constant, it may change linearly and nonlinearly with spatial coordinate, but all these solitons were found to be unstable with respect to their profile perturbation. Stationary self-focusing of intense electromagnetic waves – whistlers – in the space and laboratory nonlinear plasma systems is investigated taking into account nonlinearity saturation effects. All soliton-like and vortex-like (first azimuthal modes) solutions were found to be stable with respect to two dimensional perturbations, and their existence domains were found. The sum of all linear terms in the virial relation for wave-packet’s mean width in the model with fourth – order dispersion term acts defocusing. Nonlinear part of virial relation includes focusing, as well as defocusing terms. It can cause a bistability – the coexistence of two stable stationary nonlinear structures with different spatial scales. Results obtained in the thesis can be used to explain the properties of short – scaled high – amplitude one- and two dimensional nonlinear structures which are formed in a non-equilibrium plasma at the final stages of different instabilities and determine the structure of plasma turbulence.

Key words: