Міністерство освіти і науки України

Національний університет “Львівська політехніка”

Бурштинська Христина Василівна

УДК 528.92

Теоретичні та методологічні основи цифрового моделювання рельєфу за фотограмметричними та картометричними даними

Спеціальність 05.24.02 – фотограмметрія та картографія

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

Львів – 2003

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Національному університеті “Львівська політехніка”

Міністерства освіти і науки України.

Науковий консультант:

доктор технічних наук, професор Дорожинський Олександр Людомирович, завідувач кафедри фотограмметрії та геоінформатики Національного університету “Львівська політехніка”.

Офіційні опоненти:

§ доктор географічних наук, професор Руденко Леонід Григорович, член-кореспондент НАН України, директор Інституту географії НАН України, м. Київ;

§ доктор технічних наук, професор Черваньов Ігор Григорович, завідувач кафедри соціально-економічної географії, природоохоронного менеджменту та геоінформатики Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна, м. Харків;

§ доктор технічних наук, професор Мельник Володимир Миколайович, декан географічного факультету, завідувач кафедри екології, землевпорядкування та кадастру Волинського державного університету ім. Л. Українки, м. Луцьк.

Провідна установа: кафедра інженерної геодезії Івано-Франківського технічного університету нафти і газу Міністерства освіти і науки України, м. Івано-Франківськ.

Захист дисертації відбудеться 7 листопада 2003 року о 10 годині

на засіданні спеціалізованої ради Д 35.052.13 при Національному університеті “Львівська політехніка”

за адресою: 79013, м. Львів – 13, вул. С. Бандери, 12, ауд. ІІ навч. корпусу.

З дисертацією можна ознайомитись в науковій бібліотеці Національного університету “Львівська політехніка” за адресою 79013, м. Львів, вул. Професорська, 1.

Автореферат розісланий 26 вересня 2003 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Савчук С.Г.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність наукової проблематики. Головним джерелом даних про земну поверхню і надалі залишаються карти, але в останні десять років інтенсивно впроваджуються методи, пов’язані з цифровим представленням земної поверхні та динаміки її змін. Кінець ХХ століття з його величезним за розмахом розвитком інформаційних технологій характеризується кардинальними змінами в інженерній науці та практиці. Тому закономірно, що сучасні методи комп’ютерного опрацювання інформації базуються на створенні цифрових моделей рельєфу (ЦМР), які слугують основою для ГІС і є пріоритетними для вирішення цілої низки наукових та народно-господарських завдань. Наприклад, інтерактивні методи проектування інженерних споруд, аналіз просторових даних, управління територіями вимагають подання інформації про місцевість в цифровій формі. В більшості задач власне ЦМР є незамінною формою подання інформації про Землю або її частин від глобального до субрегіонального рівнів.

Цифрова модель рельєфу визначена як цифрове і математичне представлення рельєфу місцевості на основі дискретної сукупності вихідних точок, які дозволяють з заданою точністю відтворити реальну поверхню та її структуру. Дані для створення ЦМР отримують з фотограмметричних вимірювань, з наземного (геодезичного) знімання, шляхом сканування горизонталей на картах з фіксацією результатів в цифровій формі, за матеріалами дистанційного зондування або з використанням лазерних та інших систем, які дають просторові координати точок місцевості.

Основні сфери застосування цифрових моделей пов’язані з визначенням та побудовою ізоліній (в топографії – горизонталей), побудовою профілів, визначенням вододілів та ліній стоку, вибором оптимальних трас доріг, каналів, меліоративних мереж, інших лінійних об’єктів, виділенням басейнів водозборів, визначенням обсягів земляних робіт, об’ємів вийнятих порід. Зростає кількість робіт, кінцевою метою яких стає отримання даних про зсувні, ерозійні та деформаційні процеси. До окремої групи робіт, пов’язаних з рельєфом, належить визначення площ затоплених та підтоплюваних земель, що є сферою гідрологічних досліджень. Ця проблема стала актуальною для нашої держави з різних причин, зокрема через екологічні та кліматичні катаклізми, а також у зв’язку із приватизацію землі в Україні, проведенням кадастру земель, організацією та дією страхувально-економічних компаній та фірм.

З 1997 р. в Україні почала діяти Програма створення автоматизованої системи ведення земельного кадастру, затверджена постановою Кабінету Міністрів України від 2 грудня 1997 р., № . Створення Програми заплановано завершити у 2007 р. В ній вказано, що створення державного земельного кадастру забезпечується проведенням топографо-геодезичних, картографічних, грунтових та інших обстежень та розвідувань. Оскільки рельєф впливає на грунтове покриття, то його враховують при проведенні земельного кадастру. Постановою Кабінету Міністрів України від 16 лютого 1998 р., № було затверджено Програму топографо-геодезичного та картографічного забезпечення України на 1998-2002 роки, спрямовану на покращення забезпечення потреб суспільства у сучасній топографо-геодезичній та картографічній продукції. Принципова зміна технологій отримання картографічної продукції пов’язана з цифровими методами створення та видання карт, оновлення їх на основі аерокосмічного знімання. Впровадження ГІС стримується відсутністю цифрових топографічних карт, значними витратами на цифрування карт, недостатнім врахуванням всіх чинників, які забезпечують точність моделювання.

Необхідно відзначити, що проблемою пошуків оптимальних методик математичного моделювання рельєфу, представлення його структури та зв’язку з іншими географічними елементами та процесами займались вчені України і колишнього СРСР: Черваньов І.Г., Поздняков О.В., Руденко Л.Г., Малявський Б.К., Жарновський О.О., Журкін І.Г., Мусін О.Р., Сербенюк С.М., Романовський А.С., Горбик М.Д., Кошель С.М., Мельник В.М., Рудий Р.М., Шинкаренко Г.А., Войславський Л.К., Зіборов В.В., Євсюков А.Н., Бойко О.В. та інші, а також зарубіжні вчені: Z. Miller, R. Tуrlegard, M. Baranowski, F. Divenyj, B. Markus, O. Ayeni, H. Thomas, M. Vencovsky, S. Meier, R. Finsterwalder та інші.

В розробку теорії та методів фотограмметричних побудов з максимальною точністю значний внесок зробили вчені: Лобанов О.М., Фінковський В.Я., Сердюков В.М., Дубиновський В.Б., Тюфлін Ю.С., Дорожинський О.Л., Могильний С.Г., Павлов В.І. та інші, із зарубіжних – F.Ackermann, K.Kraus, W.Fцrstner та інші.

Тим не менше стосовно моделювання рельєфу залишаються невирішеними питання, серед яких домінуючими є виявлення впливу різних чинників на точність математичного моделювання рельєфу, вибір оптимальних математичних методів створення ЦМР. Проблема високоточного математичного моделювання є особливо важливою у задачах проектування об’єктів за ЦМР, визначення гідрологічних характеристик, дослідження ерозійних процесів. Таким чином, проблематика побудови ЦМР є надалі актуальною задачею як в науковому, так і в прикладному аспектах.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тема роботи тісно пов’язана з науковою та навчальною роботою кафедри фотограмметрії та геоінформатики Національного університету “Львівська політехніка”, з планами науково-дослідних робіт Державної служби геодезії, картографії та кадастру. Зокрема, в Україні створюються ЦМР як додаток до Державних електронних карт масштабів 1:500000 і 1:200000, а також для окремих територій України за топографічними картами масштабу 1:50000.

Автор була керівником госпдоговірної науково-дослідної роботи № 4038 “Розробка методик, алгоритмів і програм побудови цифрових моделей місцевості та обробка матеріалів аерокосмічного знімання при дослідженні природних ресурсів Західного регіону УРСР”, тісно пов’язаної з темою дисертації, яка виконувалась протягом 5 років з 1983 до 1988 р. на замовлення Спеціального конструкторсько-технологічного бюро Інституту прикладних проблем механіки та математики АН УРСР в межах Державного замовлення на створення системи дистанційного зондування західних регіонів України.

Мета і задачі дослідження. В дисертаційній роботі розглядаються два методи отримання вихідної інформації для побудови ЦМР: картометричний і фотограмметричний та пов’язані з ними особливості вихідних моделей. В умовах автоматизованої обробки даних про місцевість під час вибору способів отримання вихідної інформації насамперед увагу зосереджено на можливості отримання її в автоматичному режимі.

Об’єктом досліджень є рельєф земної поверхні, а предметом досліджень – моделювання рельєфу із використанням різних методів та параметрів побудови ЦМР.Основною метою дисертаційної роботи є розробка теоретичних положень і практичних рекомендацій, які давали б можливість відтворювати рельєф земної поверхні з максимальною точністю як стосовно визначення координат точок, так і структури земної поверхні.

Теоретичні основи, подані в дисертаційній роботі, базуються на інтерпретації рельєфу як випадкового процесу. Для досягнення мети в роботі розглядаються та розв’язуються такі питання:

- аналіз, систематизація та узагальнення опрацьованих теоретичних підходів та математичних залежностей побудови цифрових моделей рельєфу;

- дослідження точності цифрового моделювання рельєфу залежно від вибраних аналітичних та стохастичних моделей;

- опрацювання логіко-статистичного підходу до оптимізації вибору математичних моделей та їх параметрів залежно від типу рельєфу: щільності представлення картометричних даних, кількості та розташування вихідних точок для моделювання, інтервалу дискретизації моделі;

- опрацювання теоретико-методологічних основ прецизійної фотограмметрії, здатної забезпечити побудову ЦМР високоточними і достовірними вихідними даними;

- розробка нових алгоритмів виявлення та відбракування грубих помилок при фотограмметричних побудовах, ефективних критеріїв оцінювання фільтраційних процесів та проведення всебічних досліджень таких підходів;

- розробка та впровадження методики побудови ЦМР для розв’язання науково-прикладних задач з використанням ГІС-технологій.

Наукова новизна одержаних результатів. В роботі вперше:

1. Розроблено узагальнену теорію побудови цифрових моделей рельєфу на підставі колокаційних моделей, зокрема колокації з умовами та аналітичної колокації.

2. Отримано колокаційну модель побудови ЦМР з використанням раніше не вживаних коваріаційних функцій та варіограм; опрацьовано відповідні алгоритми та здійснено їх програмну реалізацію.

3. Проведено аналіз точності побудови цифрових моделей рельєфу на основі картометричного методу отримання вихідної інформації за структурними та частково-структурними способами задання інформації.

4. Сформульовано рекомендації для побудови ЦМР із врахуванням впливу на точність та ефективність моделювання рельєфу таких чинників як щільність вихідної картометричної інформації, схеми розташування та кількість точок для моделювання, інтервал дискретизації моделі.

5. Проведено порівняльний аналіз та подано рекомендаційні висновки стосовно точності побудови ЦМР з використанням різних програмних середовищ: програмного пакету Surfer та географічної інформаційної системи ArcGIS.

6. На базі експериментальних математико-статистичних досліджень встановлено ефективність розробленого автором статистичного методу фільтрації грубих помилок при високоточних фотограмметричних побудовах.

7. Розроблено, реалізовано та впроваджено методику побудови ЦМР та використання ГІС з метою гідрологічних досліджень повеневих явищ.

Практичне значення одержаних результатів полягає в наступному:

- застосуванні колокаційної моделі для високоточного моделювання рельєфу;

- розширенні функційних можливостей вживаного в практиці побудови ЦМР програмного пакету Surfer за рахунок доповнення пакету програмами колокаційної моделі та моделювання варіограм у методі Крайгінга;

- рекомендаціях щодо оптимальних методів та параметрів при побудові ЦМР для різних типів рельєфу;

- рекомендаціях щодо доцільності використання створених та існуючих програмних модулів для моделювання рельєфу із застосуванням різних програмних середовищ;

- високоточному моделюванні рельєфу на основі фотограмметричних побудов з обгрунтуванням вибору аерознімальних параметрів, рекомендацій проведення комплексу польових та камеральних робіт;

- використанні ГІС-технологій для проведення спеціальних досліджень за ЦМР.

Основні результати дисертаційної роботи знайшли практичне застосування у побудові ЦМР для гідрологічних досліджень рік, які проводились Інститутом прикладних проблем механіки та математики АН України у межах державного замовлення на створення системи дистанційного зондування західних регіонів України, а також у навчальних курсах “Дистанційне зондування та ГІС в задачах моніторингу” та “Фотограмметрія та дистанційне зондування в ГІС”, що викладаються в Національному університеті “Львівська політехніка”.

Основні положення, що виносяться на захист:

1. Узагальнені теоретичні основи побудови цифрових моделей рельєфу на базі колокаційних моделей, зокрема колокація з умовами, аналітична колокація та їх різновиди.

2. Методика високоточного математичного моделювання рельєфу з прецизійним відновленням рельєфу та його структури.

3. Практичні рекомендації стосовно побудови ЦМР за картометричними вихідними моделями з використанням багатофакторного аналізу точності математичного моделювання.

4. Статистичний метод відбракування грубих помилок при фотограмметричних побудовах, здатний забезпечити моделювання рельєфу високоточними і достовірними метричними даними.

5. Методологічні засади просторового моделювання (3D-моделювання) на базі використання ЦМР та геоінформаційних технологій для реалізації науково-прикладних задач, зокрема на прикладі гідрологічних вишукувань рік, затоплення та підтоплення територій.

Особистий внесок здобувача. Особистий внесок автора полягає у створенні теоретичного фундаменту для високоточного моделювання рельєфу, написанні на цій базі відповідних алгоритмів та проведенні широкомасштабних експериментальних робіт з виявлення точності та ефективності побудови ЦМР. Всі нові теоретичні розробки, зокрема узагальненої математичної моделі побудови ЦМР, статистичного методу відбракування грубих помилок у фотограмметричних побудовах, автор здійснила самостійно. Аналіз основних чинників, які впливають на точність моделювання рельєфу, а також результатів моделювання, формулювання висновків виконано самостійно.

Із наведених у списку опублікованих робіт, виконаних у співавторстві, здобувачу належать ідеї та алгоритми математичного моделювання рельєфу, технологічні схеми побудови ЦМР за аерофотознімками з використанням аналітичного методу визначення координат точок моделі та за цифровими зображеннями знімків, технологічна схема визначення площ затоплених та підтоплюваних земель за ЦМР.

Апробація результатів роботи. Результати дисертаційної роботи доповідались та обговорювались на: Всесоюзній науково-технічній конференції “Состояние и перспективы развития геодезии и фотограмметрии”, Москва, 1984; Всесоюзній конференції “Исследование гравитационного поля и природных ресурсов Земли космическими средствами”, Львів, 1984; ІІ Всесоюзній конференції “Автоматизированные системы обработки изображений”, Львів, 1986; Республіканській науково-технічній конференції “Проблемы архитектуры и индустриализации с/х”, Вільнюс, 1984; Науково-практичній конференції “Основні напрямки розвитку фотограмметрії та дистанційного зондування в Україні”, Київ, 1996; Сьомому Міжнародному науково-технічному симпозіумі “Геоінформаційний моніторинг навколишнього середовища, GPS і GIS технології”, Алушта, 2002; Міжнародному науково-технічному симпозіумі “Геомоніторинг-99”, Львів, 1999; Міжнародній науково-технічній конференції “Сучасні досягнення геодезичної науки та виробництва”, Львів, 2002, 2003; 1-ій, 2-ій і 3-ій Міжнародних конференціях “Кадастр, фотограмметрія, геоінформатика – сучасні технології і перспективи розвитку”, Львів-Краків, 1997, 2000, 2001; Міжнародній конференції ISPRS “International Cooperation and Technology Transfer”, Падуя (Італія), 1997; 18-му Міжнародному конгресі ISPRS, Відень (Австрія), 1996; 19-му Міжнародному конгресі ISPRS, Амстердам (Голандія), 2000.

Публікації. Основні положення дисертації опубліковані в наукових фахових виданнях, збірниках наукових праць конгресів, матеріалах конференцій та симпозіумів, у тому числі і міжнародних. За матеріалами дисертації опубліковано 40 наукових праць, з них: 20 статей в наукових фахових виданнях, 1 підручник, 1 Державний стандарт, 8 статей у збірниках матеріалів конференцій, 6 статей депоновано в ВИНИТИ та УкрНДІНТІ і 4 статті у збірниках тез конференцій.

Структура та об’єм дисертації. Дисертація складається із вступу, п’яти розділів, висновків, списку використаних джерел з 289 найменувань та додатків. Загальний обсяг дисертації становить 226 сторінки, робота містить 57 рисунків і 32 таблиці. Додатки на 37 сторінках включають допоміжний ілюстрований матеріал та акти впровадження результатів досліджень.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі подано обгрунтування актуальності та новизни предмету дослідження, сформульовано мету та основні завдання дисертаційної роботи, практичну цінність проведених досліджень та розробок, їх апробацію, сформульовано основні положення, що виносяться на захист, подано дані про публікації, структуру та обсяг роботи, впровадження результатів досліджень.

Перший розділ присвячено аналізові літератури з питань цифрового моделювання рельєфу за останні 30 років. Враховуючи значну кількість праць, пов’язаних з різними аспектами створення та застосування ЦМР, аналіз основних чинників цифрового моделювання рельєфу подано за напрямками: методи отримання вихідної інформації; технічні засоби отримання вихідної інформації; способи задання вихідної інформації; методи математичного моделювання рельєфу; технологічні особливості створення ЦМР, виділення структурних елементів; сфери застосування.

Питання методики побудови ЦМР та отриманої точності постійно розглядаються на міжнародних конгресах та конференціях. Однак, залишаються невирішеними та суперечливими питання, які подано як висновки до розділу і на основі яких сформульовано задачі дисертації.

Серед них найголовнішими вважаємо: відсутність узагальненої математичної моделі побудови ЦМР за розгляду рельєфу як випадкового явища; відсутність багатофакторного аналізу у математичному моделюванні рельєфу; неадекватність вибору математичної моделі для побудови ЦМР відповідно до типу рельєфу; зосередженість на загальних характеристиках точності моделювання рельєфу без аналізу локальних особливостей; неврахування особливостей побудови ЦМР за нерівномірного розподілу вихідної інформації.

У другому розділі розглянуто теоретичні засади цифрового моделювання рельєфу на основі колокації. В підрозділі 2.1 сформульовано постановку задачі, в 2.2 подано класифікацію методів математичного моделювання рельєфу.

Аналіз спеціальної літератури дає підстави твердити, що основні методи моделювання можна розділити на відмінні групи: перша передбачає для моделювання рельєфу використовувати аналітичні функції, друга базується на використанні функцій, що враховують статистичні характеристики рельєфу. До першої групи відносять методи, базовані на застосуванні: степеневих поліномів; ортогональних поліномів; сплайнів; радіальних базисних функцій; тріангуляції; скінченних елементів; R-функцій; рядів Фур’є. До статистичних методів відносять методи: середнього вагового; вагових функцій; випадкових функцій; колокації; Крайгінга.

Такий підхід до розв’язання питань моделювання рельєфу є спрощеним, і як буде показано далі, найкращі результати моделювання отримані на основі комбінування двох підходів: вилучення систематичної складової за допомогою аналітичних функцій і додаткове визначення поправок у відмітки точок на основі статистичного аналізу поля.

Водночас ширший аналіз спеціальної літератури, присвяченої методам інтерполяції та апроксимації функцій, широко вживаним в різних галузях науки і техніки, а саме: фільтрові Колмогорова-Віннера, методові колокації, оптимальної інтерполяції, методові Крайгінга приводять до висновку, що всі вони мають спільну математичну основу. Їх спільність визначає критерій мінімізації середньоквадратичних помилок відновлення функцій , де f(x) – реалізація функції, – оцінка функції після перетворення. Проте між ними існують і відмінності, які стосуються переважно практичної реалізації, зокрема знаходження функцій, які характеризують статистичні особливості поля.

Враховуючи тенденції підбору математичних функцій для моделювання рельєфу, мусимо зауважити, що деякі із аналітичних функцій, зокрема радіальні базисні функції, використовуються для заміни коваріаційної функції в статистичних методах, тобто поділ на дві групи математичних методів для побудови ЦМР стає умовним.

В підрозділі 2.3 розглянуто колокацію в ролі математичної моделі для побудови ЦМР. Колокаційні методи для розв’язання задач фізичної геодезії подано в (див. МорицГ. Современная физическая геодезия / Пер. с англ. – М.: Недра, 1983. – 392с.).

Стосовно визначення ЦМР основне рівняння колокації запишеться:

(1)

де Ax визначає регуляризовану змінну частину або тренд, дZ – сигнал, змінну складову, яка нерегулярно осцилює навколо Ax і ?Z – випадкову складову або шум.

В моделі колокації для отримання незміщених оцінок з мінімальною дисперсією математичне сподівання повинно дорівнювати: .

Для отримання розв’язку з мінімальними дисперсіями помилок повинні бути задані коваріаційні матриці виміряного вектора CZZ, сигналу CдZдZ і взаємна коваріаційна матриця сигналів вимірювання дZ і прогнозу дZp CдZдZp, а також коваріаційна матриця шуму CДZДZ.

Розв’язок рівняння (1) за принципом

(2)

дає оцінки для x і дZ.

(3)

(4)

(5)

де .

Практичне використання залежностей (3)-(5) полягає в тому, що часто не вдається отримати окремо матриць "сигналу" і "шуму", тобто вважають, що , хоч фактично коваріаційна матриця буде містити матрицю .

На основі теоретичного опрацювання підходів до цифрового моделювання рельєфу в підрозділі 2.4 розглянуто такі різновиди колокаційної моделі:

1) колокацію з умовами, яка передбачає визначення ваг, з якими відмітки вихідних точок входять в рівняння прогнозу, за коваріаційною функцією під певними умовами (перша модель);

2) аналітичну колокацію, якщо коваріаційну функцію заміняють радіальними базисними функціями (друга модель);

3) відмітку точки прогнозу отримують на основі сумісного визначення коефіцієнтів рівнянь, які апроксимують систематичну складову та коефіцієнтів, залежних від коваріаційної функції (третя модель).

Перша модель. Коваріаційну функцію, яка є структурною характеристикою колокації, можна отримати, виходячи із теорії стаціонарних випадкових функцій. Якщо задатися значеннями просторової змінної Z в точках поля з координатами x і , де h – змінний інтервал, то

(6)

де Z(x), Z(x+h) – значення просторової змінної Z в точках поля з координатами x і ; – середнє значення змінної Z в межах поля.

Задачу прогнозу в заданій точці Z(xk) за виміряними значеннями невідомої випадкової функції формують як лінійний функціонал

(7)

параметри якого характеризують усереднене значення вагового коефіцієнта Wi для і-го перетину поля і визначаються за м.н.к. Основним критерієм ефективності оцінки Z(xk) є її дисперсія

(8)

яка за фіксованого значення координат може змінюватись через зміну коефіцієнтів Wi. Якщо виразити дисперсію через коваріаційну функцію, то за правилами оперування з коваріаційними функціями, вираз (8) запишемо:

(9)

де C(hij) – коваріація між парами точок i-го і j-го перетинів поля, розташованих на відстані ; C(hik) – коваріація між i-тими і k-тими парами точок; Ck – дисперсія поля для точок з координатами xk.

Якщо задати умову незміщеності оцінки стосовно вихідних даних, то

(10)

У такому випадку невідомі вагові коефіцієнти знаходять із розв’язку систем рівнянь вимірів, зв’язаних умовами. З урахуванням (10) функція Лагранжа запишеться:

(11)

де л – множник Лагранжа.

Диференціюючи функцію Лагранжа по невідомих: коефіцієнту Wi і множнику л, отримаємо рівнянь:

(12)

З використанням множника Лагранжа дисперсію прогнозованої величини запишемо:

(13)

З урахуванням математичного сподівання mx вираз (8) запишемо:

. (14)

Якщо mx виразити за допомогою полінома другого степеня, аналогічно (12) отримано рівнянь колокаційної моделі з урахуванням тренду:

(15)

Розв’язок рівнянь (15) полягає у знаходженні вагових коефіцієнтів та коефіцієнтів, які визначають систематичну складову. Оцінку точності Zk запишемо:

(16)

де – функція, яка характеризує тренд для k-ої точки, коефіцієнти al відповідають множникам Лагранжа.

Друга модель. Найбільшою проблемою колокації є отримання коваріаційної функції. В (див. KellerW. Interpolation irregulr verteitler Daten durch Kollokation in kernreproduzierenden Hilbertrumen // Vermessungstechnik. – 1990. – № . – P. .) вказано, що колокація можлива тоді, коли структури скалярного поля малі по відношенню до розмірів ділянки, за якою визначали коваріаційну функцію. Якщо це положення порушено, то слід перейти до колокації в просторі Гільберта з відтворювальними базисами.

Формули колокації в просторі Гільберта з відтворювальним базисом мають ту саму структуру – коваріаційну функцію заміняють відтворювальним базисом. Як відтворювальні базиси використовують аналітичні функції: диференційні сплайни, мультиквадрики, інші радіальні функції.

Якщо позначити Zp вектор визначуваних відміток моделювання, то через вектор виміряних значень Z отримаємо:

(17)

де Z – вектор значень, виміряних в n вихідних точках; Qp – матриця розміру ; m – кількість визначуваних точок; n – кількість заданих точок; Q – матриця розміру .

Елементами матриць Q є значення радіальних базисних функцій.

У мультиквадриковому методі моделювання елементи матриць визначаються із співвідношень:

(18)

у логарифмічному мультиквадрику квадратика запишеться:

(19)

де Sij – відстань між точками i та j; B – параметр згладжування.

Якщо ковараційну функцію заміняють диференційним сплайном, то елементи коваріаційної матриці визначають із співвідношення:

(20)

Після вилучення із вектора Z систематичної частини вираз (17) запишемо:

(21)

Вектор

(22)

Коваріаційну матрицю вектора точок прогнозу запишемо у вигляді:

(23)

де ; CZZ – коваріаційна матриця вектора Z.

Третя модель. Визначення значення відмітки Zk можна отримати іншим шляхом.

Запишемо рівняння для визначення відмітки вихідної точки Zi у вигляді:

(24)

де s – степінь полінома, за допомогою якого апроксимують систематичну складову; – корельована випадкова величина.

Для знаходження невідомих коефіцієнтів під умовою мінімуму суми квадратів корельованих величин і співпадання функції моделювання в точках опори запишемо функцію Лагранжа:

(25)

Використаємо для апроксимування тренду поліном другого степеня і візьмемо часткові похідні функції F по невідомих a0, a1, ..., a5 і по . Прирівнявши їх до 0, отримаємо систему рівнянь вигляду:

(26)

Коефіцієнти bi () відповідають множникам Лагранжа, .

Система (26) містить також рівнянь з невідомими. Елементи матриці C(hij) можна виразити через коваріації точок поля або через базисні радіальні функції.

Оцінку отримаємо з виразу:

(27)

Дисперсію точок прогнозу у цьому випадку визначаємо із залежності:

(28)

де – функція, яка характеризує тренд; Ck дисперсія поля.

В дисертації показано, що широковживаний для розв’язання геостатистичних задач метод Крайгінга є видозміненою колокаційною моделлю з умовами (підрозділи 2.6, 2.7).

В Крайгінгу, запропонованому Д.Кріге для оцінювання запасів золотоносних жил в африканських золоторудних покладах, узагальненою функцією, яка виражає загальні статистичні властивості поля, є функція розсіювання або варіограма.

Для моделювання варіограм, вигляд яких залежить від типу рельєфу, підбирають різні математичні функції. Через статистичний характер залежності між відмітками точок не знайдено загальної моделі варіограми. В багатьох працях з геостатистичних досліджень підкреслено, що Крайгінг є оптимальним методом моделювання, якщо вірно визначена варіограма і рівняння, яке описує її характер. Цю умову не завжди можна виконати, особливо для складних поверхонь. Однак метод має ту перевагу, що дозволяє згладити екстремальні помилки, так як вагові величини, з якими відмітки вихідних точок входять у відмітку прогнозованої точки, пропорційні ступеню кореляції точок.

Варіограма є видозміненою кривою пересіченості рельєфу, яку запропонував Протод’яконовМ.М. (див. ХромченкоА.И. Кривая пересеченности и корреляционная функция рельефа // Рельеф земли и математика. М.: Мысль, 1967. – С.50-71.)

Враховуючи (12), запишемо рівняння Крайгінга у загальному вигляді, замінивши значення коваріаційної функції n значеннями варіограми:

(29)

В Крайгінгу за наявності тренду, який названий універсальним Крайгінгом, вагові коефіцієнти Wi аналогічно (15) знаходять із розв’язку системи, яка містить n+m+1 рівнянь,

(30)

де al – невідомі значення коефіцієнтів полінома.

Оцінка точності аналогічна (16).

У підрозділі 2.8 розглянуто інші статистичні методи моделювання рельєфу, зокрема середнього вагового, Sheparda, вагових функцій, випадкових функцій, а також оптимальний фільтр Колмогорова-Вінера та метод оптимальної інтерполяції, подано їх особливості та показано спорідненість із середньою квадратичною колокацією.

Аналітичні методи моделювання рельєфу із застосуванням степеневих поліномів, одновимірних кубічних і диференційних сплайнів та тріангуляції подано в підрозділі 2.9. Показано, що диференційний сплайн є частковим випадком третьої колокаційної моделі.

Проведений аналіз колокаційної моделі вказує, що підвищення точності моделювання пов’язане з:

1) вибором розмірів локальних ділянок або радіуса пошуку, в межах якого буде проводитися моделювання, так і вибором кількості та розташування вихідних точок;

2) вибором функції, якою апроксимують систематичну складову;

3) знаходженням коваріаційної функції в колокаційній моделі або варіограми в Крайгінгу, за якими визначають корельовану змінну;

4) підбором аналітичної функції, яка відповідає властивостям коваріаційної функції.

Третій розділ містить результати експериментального дослідження точності цифрового моделювання рельєфу на основі картометричних вихідних даних. З метою рекомендаційних висновків стосовно високоточної побудови ЦМР проведено експериментальні роботи, в які входило: 1) дослідити точність побудови ЦМР для різних типів рельєфу, керуючись такими вихідними чинниками: щільністю та способами задання вихідної інформації, інтервалом дискретизації моделі, методами математичного моделювання; 2) створити програмний продукт для дослідження ефективності колокаційної моделі; 3) використовуючи модулі програмного пакету Surfer та геоінформаційної системи ArcGIS, як широко вживаних в сучасних технологіях, дослідити залежності точності цифрової моделі рельєфу від прийнятої математичної моделі та її вихідних параметрів; 4) створити програмні модулі для дослідження математичних функцій, не реалізованих у вказаних програмних продуктах, та здійснити порівняльний аналіз побудови ЦМР у різних програмних середовищах.

У підрозділі 3.3 подано основні залежності вибору інтервалу дискретизації ЦМР на основі кореляційно-спектрального аналізу. Практичні спроби застосувати частотні характеристики для визначення оптимального інтервалу дискретизації зробив Рудий Р.М. (див. Рудий Р.М. Методи дослідження рельєфу земної поверхні: Дис... д-ра техн. наук: 05.24.02. – Івано-Франківськ, 1999. – 375 с.). Експериментальні роботи пошуку оптимального інтервалу виконані на ділянках для трьох типів рельєфу за класифікацією (див. Бойко А.В. Методы и средства автоматизации топографических съемок. – М.: Недра, 1980. – 222 с.).

Для знаходження оптимального інтервалу дискретизації отримано дискретні значення варіограм і спектрів, графіки яких наведено в дисертації. Визначені оптимальні інтервали дискретизації для трьох типів рельєфу подано в табл. .

Розроблена та реалізована нами методика побудови ЦМР за структурними моделями (підрозділ .4) полягає в моделюванні поверхні в межах контуру між структурними лініями і дозволяє високоточно відтворювати модель за меншої кількості вихідних точок, але недоліком є те, що наведена методика вимагає попереднього розмічування структурних ліній та вибору вихідних точок.

Ширше досліджено точність побудови ЦМР на основі частково-структурних картометричних моделей із заданням вихідної інформації за профілями та за ізолініями (підрозділ .5). Для аналізу точності побудови ЦМР за профільними лініями використано дві ділянки на карті масштабу 1:10000 з перерізом рельєфу 2,5 м; рельєф на ділянках належить до І і ІІ типу. Аналіз точності вказує на суттєву залежність точності побудови ЦМР від кількості вихідних даних, тобто щільності задання інформації. Розріджена в 2 рази інформація на ділянці зменшує точність в 1,2–1,5 рази.

Оскільки в сучасних геоінформаційних системах немалу роль відіграє автоматизація процесів, то більш технологічними з огляду можливостей отримати вихідну інформацію для побудови ЦМР в автоматичному режимі є сканування ізоліній карт. Таку інформацію доповнюють характерними точками рельєфу. Таким чином, отримують частково-структурну модель рельєфу, яка слугує вихідною для побудови растрової ЦМР. Власне дослідженню цієї методики, яку широко використовують для побудови ЦМР в сучасних технологіях, надано в роботі найбільшу увагу. Дослідження виконано на 4-х різних за типом рельєфу ділянках, 3-D моделі рельєфу яких подано на рис. 1. Першу ділянку, рельєф якої належить до ІІ типу (рис. а), вибрано на топографічному плані масштабу 1:2000, переріз рельєфу – 1 м. Кількість вихідних точок – 3500. Для моделювання варіограм в методі Крайгінга досліджувались експоненційна, сферична, квадратична, лінійна функції, а також функція Гауса. Побудова ЦМР здійснювалась за усіма наявними у пакеті Surfer методами моделювання рельєфу та усіх способів задання вихідних точок для моделювання: нормальне розташування, квадрант, октант. За різницями між побудованими регулярними ЦМР та тест-сіткою отримано середні квадратичні помилки, наведені в табл. .

В таблиці подано: m1 – середня квадратична помилка побудови ЦМР за 10-ма вихідними точками; m2 – за 30-ма вихідними точками. Кількість точок для оцінювання точності – 560.

У всіх методах покращує точність задання вихідної інформації за квадрантом чи октантом. Найкращі результати моделювання отримані з використанням методу Крайгінга при моделюванні варіограми за допомогою лінійних, експоненційних чи сферичних функцій. Ідентичні результати отримано з використанням тріангуляції. Дещо нижчої точності досягнуто при моделюванні поверхні сплайнами. Найнижчу точність отримано при моделюванні методами Шепарда та мінімальної кривини, які не вирішують апроксимаційних задач з високою точністю, тому в подальших дослідженнях ці методи не використовували.

а)

в)

б)

г)

Рис. 1. 3-D моделі рельєфу 4-х ділянок: а) першої, б) другої, в) третьої, г) четвертої

Для цієї ж ділянки експеримент повторено із вибором інших вихідних параметрів: сканування карти виконано за допомогою сканера КФС “Дельта”, крок цифрування ізоліній близько 1 мм, на різких вигинах 0,5 мм, в місцях із складними мікроформами, значним закладенням горизонталей набрано додаткові точки, загальна кількість вихідних точок – 5500, контрольні точки набрані по всьому полю, кількість – 300 точок. Оцінку точності моделювання здійснено для різної кількості вихідних точок: 8, 4 і 1 в квадранті та різним інтервалом дискретизації моделі: 1 і 5 мм з використанням для моделювання математичних функцій: Крайгінга, мультиквадриків, сплайнів, середнього вагового і тріангуляції. Оптимальні за точністю результати побудови ЦМР отримано для моделювання методом Крайгінга з лінійною або експоненційною варіограмою, кількість точок в квадранті – 4, інтервал дискретизації ЦМР – 1 мм; с.к.п. – 0,16 м, що становить близько 1/6 перерізу рельєфу.

Таблиця 

Оцінка точності побудови ЦМР із застосуванням різних математичних моделей (1 ділянка)

Однотипно з попереднім дослідженням виконано аналіз точності моделювання поверхні для ділянки топографічного плану масштабу 1:2000 (І тип рельєфу), переріз рельєфу – 1 м, район м. Теребовля (рис. б). Кількість вихідних точок – 5100.

Як свідчить аналіз точності, виконаний за результатами польових вимірювань, для цього типу рельєфу майже всі методи є за точністю однотипними –  м; для середнього вагового – 0,25-0,28 м.

Розширення експериментальних досліджень з метою розв’язання проблеми високоточного моделювання полягало у використанні для моделювання рельєфу інших математичних функцій, не представлених у програмному пакеті Surfer, та у дослідженні їх апроксимаційних властивостей. Дослідження виконано на ділянці топографічного плану масштабу 1:5000 з перерізом рельєфу 1 м, рельєф належить до І і ІІ типу (рис. в). Для побудови ЦМР застосовано диференційні сплайни та їх модифікації, радіальні базисні функції та для порівняння метод Крайгінга з вилученням тренду.

Диференційний сплайн вибрано як метод побудови ЦМР, оскільки в спеціальній літературі підкреслюється апроксимаційна стійкість і можливість отримати за допомогою диференційного сплайну високу точність моделювання.

Систему для визначення невідомих отримано у вигляді:

(31)

Невідомі коефіцієнти bi, a0, a1, a2 визначаються з умов (26).

Крім функції (31) диференційного сплайну, для порівняння апроксимаційних властивостей досліджувалась модифікована функція вигляду:

(32)

де

Із базисних радіальних функцій для моделювання рельєфу вибрано функції, які в спеціальній літературі рекомендовано для задач подібного типу:

(33)

(34)

(35)

де S – відстань між точками; т невідомий параметр, який визначається; А параметр, який задається апріорно.

У широко вживаних для побудови ЦМР пакетах Surfer 6.0, 7.0 відсутня програмна реалізація поданих методів, тому складено програми на мові Object Pascal в середовищі візуального програмування Borland Delphi 5.0. Для побудови ЦМР всіма вищеописаними методами використовувався метод динамічної поверхні. Програмно було реалізовано процедуру пошуку точок за радіусом, а також за напрямком (квадрант, октант).

У процесі програмної реалізації методів моделювання рельєфу встановлено, що задача знаходження невідомих є нестійкою. Це унеможливлювало пошук оберненої матриці рівнянь класичним шляхом. Для стабілізації розв‘язку було використано метод регуляризації за Тіхоновим. Суть методу полягає в отриманні оберненої матриці коефіцієнтів рівнянь із залежності:

(36)

де параметр регуляризації, обчислений як дисперсія локального поля,

І одинична матриця.

Цифрову модель рельєфу побудовано з кроком 3 мм для всіх методів моделювання, вихідні точки визначались однотипно: по вісім у квадранті.

Оцінку точності побудови ЦМР виконано: за розходженнями відміток вихідних точок ізоліній; за контрольними точками (їх кількість 55); візуально за розходженнями вихідних та відтворених за ЦМР ізоліній.

Із аналізу середніх квадратичних помилок встановлено, що диференційні сплайни двох видів дають гібридні ізолінії в місцях розрідженої інформації, помилка відтворення рельєфу на таких ділянках досягає 3/4 перерізу рельєфу. В цілому ж модифікований диференційний сплайн інтерполює поверхню з менш різкими відхиленнями. Логарифмічна базисна функція дає точні результати моделювання, за винятком ділянок з різким перепадом нахилів, де зміна параметру А покращує моделювання.

Насамкінець виконано дослідження точності побудови ЦМР для ділянки із складним рельєфом, який належить до ІІІ типу (рис. г). Для цього використано дані цифрування сканером КФС “Дельта” ізоліній карти масштабу 1:50000 з перерізом рельєфу 10 м.

Ділянка топографічної карти, де виконано цифрування, має перепад висот 195 м (від 105 до 300 м), рельєф складний, від щільно перерізаного, до 20 орографічних ліній на 1 км2, з максимальними кутами нахилу схилів 28о до рівнинних частин з кутами нахилу схилів 0,о5. Територія зрізана ріками з крутими берегами.

На ділянці оцифровано 3700 вихідних точок. Вихідна інформація включала точки ізоліній набрані через 1 мм, а на їх вигинах щільніше до 0,7 мм; для спокійних ділянок рельєфу на відстанях не менше, ніж 1 см, і характерні точки, підписані на карті. Контрольні точки для оцінки точності результатів моделювання вибирались на крутих і пологих схилах, по 60 для кожного випадку. Побудову ЦМР здійснено за допомогою пакета Surfer .0.

Для математичного моделювання використано як модифікації колокаційної моделі: метод Крайгінга з різними варіограмами, мультиквадратичну функцію, мультилогарифмічну функцію, натуральний кубічний сплайн, диференційний сплайн, а також функції широко вживані для побудови ЦМР – середнє вагове і тріангуляцію. Дослідження проведено за різної кількості точок для визначення вузла сітки: 8,4 і 1 в октанті.

На основі кореляційно-спектрального аналізу рельєфу ІІІ типу встановлено, що крок побудови ЦМР становить 25 м (0,5 мм на карті).

Результати експериментальних досліджень математичного моделювання наведено в таблиці .

Таблиця 2

Оцінка точності цифрового моделювання рельєфу для 4-ої ділянки з використанням програмного пакету Surfer

Крім аналізу середніх квадратичних помилок на контрольних точках (табл. ), проведено аналіз точності побудованої поверхні рельєфу на основі відтворених за ЦМР ізоліній, отриманих з використанням різних математичних моделей.

Метод Крайгінга має переваги перед іншими методами моделювання, покращує точність застосування варіограми, отриманої за вихідними точками всієї ділянки (особливо для рівнинних частин, де інформація розріджена). Лінійна та експоненційна варіограми за однакової кількості вихідних точок практично дають однакову точність моделювання. Що ж стосується кількості точок для апроксимації, то однотипними, враховуючи точність визначення середніх квадратичних помилок (ус.к.п. для рівнинних ділянок ~ 0,13-0,18 м і ус.к.п. для крутих схилів ~ 0,26-0,29 м) є 8 і 4 точки в октанті, перехід до 1 точки в октанті дещо погіршує результат апроксимації точок крутих схилів. Мультиквадратична та мультилогарифмічна функції порівняно з Крайгінгом дають для цього типу рельєфу результати дещо гірші, особливо це стосується максимальних відхилень. Сплайни чутливі до відстані між вихідними точками, тому для рівнинних ділянок с.к.п. майже в 1,5-2 рази перевищують значення с.к.п., отриманих методом Крайгінга; для крутих схилів вихідна інформація задається щільно, що дає можливість отримати с.к.п. одного порядку з Крайгінгом. Використання тріангуляції для побудови ЦМР за картометричними даними для рівнинних ділянок в цьому програмному пакеті дає результати в 1,1-1,4 рази гірші від методу Крайгінга, збільшуються також максимальні відхилення на точках.

Аналіз точності побудованої ЦМР за відтвореними ізолініями свідчить про згладжування форм рельєфу за значної його зрізаності, як і невідповідного до форм рельєфу проведення ізоліній в ділянках глибоких лощовин з крутими берегами у випадках розрідженої вихідної інформації та завищеного інтервалу дискретизації моделі. В останньому випадку через згладжувальну функцію відтворення рельєфу утворюються гібридні ізолінії у вигляді замкнених кривих. Тому за складних мікроформ рельєфу вихідну інформацію необхідно набирати особливо ретельно, а інтервал дискретизації визначати, користуючись принципами кореляційно-спектрального аналізу.

У підрозділі 3.6 подано результати моделювання рельєфу із застосуванням колокаційної моделі. Спроби застосувати колокацію для моделювання рельєфу стосуються теоретичних розробок, в спеціальній літературі вказано на необхідність практичної реалізації моделі з метою порівняння її з іншими методами. Нами здійснено реалізацію колокаційної моделі для побудови ЦМР 4-ої найскладнішої за типом рельєфу ділянки.

Дослідження складається з двох етапів:

- знаходження коваріаційної функції та наближення її за допомогою модельних коваріаційних функцій;

- моделювання рельєфу із застосуванням різних модельних коваріаційних функцій та порівняльний аналіз точності результатів.

Для реалізації методу колокації укладено програму на мові Object Pascal в