МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ АВІАЦІЙНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ЄФРЕМОВ Станіслав Георгійович

УДК 629.735.018.001.572(043.3)

МЕТОДИ РОЗЩЕПЛЕННЯ В ЗАДАЧАХ ІДЕНТИФІКАЦІЇ

ЛІНЕАРИЗОВАНИХ МОДЕЛЕЙ ПОЛЬОТУ

05.07.07 – Випробування літальних апаратів та їхніх систем

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Київ – 2003

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Національному авіаційному університеті (НАУ) Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник - доктор технічних наук, професор

Касьянов Володимир Олександрович,

Національний авіаційний університет,

професор кафедри механіки.

Офіційні опоненти: - доктор технічних наук, професор

Миронович Валерій Михайлович,

Національний науково-дослідний центр

оборонних технологій та воєнної безпеки

України,

головний науковий співробітник;

- кандидат технічних наук

Антонюк Євген Яковлевич,

Інститут механіки ім. С. П. Тимошенка

НАН України,

старший науковий співробітник відділу

динаміки складних систем.

Провідна установа - Авіаційний науково-дослідний

комплекс “Антонов”,

Міністерство промислової політики,

м. Київ.

Захист відбудеться “ 26 ” червня 2003 року о 15 00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.062.05 у Національному авіаційному університеті за адресою: 03058, м. Київ-58, проспект Космонавта Комарова, 1.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Національного авіаційного університету за адресою: 03058, м. Київ-58, проспект Космонавта Комарова, 1.

Автореферат розісланий “ 24 ” травня 2003 року.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради,

кандидат технічних наук,

старший науковий співробітник ____________________ Жданов О. І.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дисертаційна робота присвячена підвищенню ефективності параметричної ідентифікації математичної моделі (ММ) польоту за даними льотних випробувань за рахунок використання методу декомпозиції (розщеплення), а також оптимізації керуючих дій на літак з метою підвищення інформативності результатів випробувань, що відповідає пунктам 3, 4 та 5 спеціальності 05.07.07 – випробування літальних апаратів та їхніх систем та профілю вченої ради Д26.062.05.

Побудова ММ, яка являє собою формалізацію, необхідну для відображення основних ознак, зв’язків, закономірностей, властивих літальному апарату (ЛА), проводиться на основі розв’язку зворотної задачі динаміки і, зокрема, задачі параметричної ідентифікації. Пошуки методів, що дозволяють забезпечити найбільш повне вилучення корисної інформації з експериментальних даних, які містять похибки, є актуальною задачею. В роботі ця задача розв’язується на прикладі побудови ММ поздовжнього руху ЛА, який розглядається як тверде тіло.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Матеріали дисертаційної роботи використані при виконанні науково-дослідної роботи №043-ГБ92 “Разработать алгоритмические и программные средства условно-робастной обработки полетной информации и параметрической идентификации”. Відповідно до науково-дослідної тематики, що виконувалась на кафедрі механіки НАУ, автором здійснювалися дослідження, пов’язані з перетворенням ММ польоту літака з метою її спрощення та оцінюванням коефіцієнтів аеродинамічних сил і моментів.

Мета і задачі дослідження. Підвищення ефективності процесів параметричної ідентифікації лінеаризованих математичних моделей польоту літаків, завдяки точній декомпозиції їх на окремі підмоделі менших розмірностей (часткові моделі). Розробка відповідних алгоритмічних засобів.

Досягнення мети передбачає розв’язання наступних задач:

1. Розробка алгоритму розщеплення вихідної математичної моделі на підмоделі, а також перетворення змінних стану літального апарату до нових змінних і відповідне перерахування даних льотних випробувань.

2. Формування ітераційної процедури ідентифікації параметрів підмоделей, що починається з апріорно відомих оцінок параметрів вихідної математичної моделі.

3. Розв’язання задачі однозначного вибору декомпозиційного перетворення змінних вихідної математичної моделі з використанням статистичних критеріїв.

4. Розв’язання задачі щодо використання для часткових моделей ділянок даних льотних випробувань різної протяжності.

5. Розв’язання задачі обчислення остато?чних оцінок параметрів вихідної математичної моделі за оцінками параметрів підмоделей.

6. Створення алгоритмічно-програмного комплексу, що реалізує послідовність математичних операцій, які відповідають теоретичним розробкам.

7. Тестування створеного алгоритмічно-програмного комплексу параметричної ідентифікації математичної моделі польоту, оцінка його працездатності на основі імітаційного моделювання, а також опрацювання даних льотних випробувань.

Об’єкт дослідження – параметрична ідентифікація математичної моделі руху ЛА.

Предмет дослідження – декомпозиція ММ польоту ЛА щодо оцінювання її параметрів.

Методи дослідження – методи декомпозиції, методи ідентифікації, методи оптимізації, методи чутливості, теорія розв’язування систем диференціальних рівнянь та інші.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в наступному:

1. З метою більш ефективного використання експериментальної інформації запропоновано проводити декомпозицію математичної моделі на часткові моделі і виконувати ідентифікацію параметрів підмоделей. Реалізовані відповідні алгоритмічні засоби.

2. Враховуючи неоднозначність декомпозиційних процедур запропоновано здійснювати вибір єдиного перетворення змінних вихідної математичної моделі на підставі аналізу статистичних характеристик перерахованих даних льотних випробувань. Реалізовані відповідні алгоритмічні засоби.

3. Запропоновано виконувати оптимальне планування льотних випробувань, виходячи з оцінок параметрів часткових моделей, отриманих в результаті декомпозиції. Запропоновано спрощений критерій оптимального планування тестового управління літаком, що підвищує інформативність експерименту. Реалізовані відповідні алгоритмічні засоби.

4. Запропоновано ітераційну процедуру отримання оцінок параметрів при наявності відомих апріорних величин шуканих параметрів. Показано, що ця процедура є збіжною.

Обґрунтованість і достовірність наукових положень, висновків і рекомендацій. В основу опису математичної моделі закладено фундаментальні закони механіки. Декомпозиція ММ і параметрична ідентифікація здійснюються відомими методами. Точне розщеплення ММ руху ЛА підвищує ефективність використання інформації, закладеної в експериментальні дані, при оцінюванні параметрів. Отримані в результаті оцінювання параметри дозволяють порівняти розв’язок побудованої ММ з даними вимірювань і переконатися в ефективності запропонованого поєднання методів. Знайдене оптимальне керування літаком, що підвищує інформативність даних льотних випробувань, порівнювалося з відомими результатами інших авторів і була отримана їх збіжність.

Практичне значення одержаних результатів. Підхід і алгоритми, запропоновані в роботі, можуть бути використані при моделюванні різноманітних динамічних об’єктів, а отримані результати – для оцінювання параметрів їх математичних моделей.

Особистий внесок здобувача. Дисертаційна робота виконана особисто здобувачем. Основні результати дисертаційної роботи опубліковані у 6 друкованих працях, співавтором однієї з них є науковий керівник.

Апробація результатів дисертації. Науково-технічна конференція “Внедрение методов контроля и диагностики, аэродинамического состояния судов ГА”. (РДЭНТП общества “Знание” УССР, Киев, 1990). Друга Міжнародна науково-технічна конференція “АВІА-2000”. (НАУ, Київ, Україна). Четверта Міжнародна науково-технічна конференція “АВІА-2002”. (НАУ, Київ, Україна). Науковий семінар кафедри теоретичної механіки МФ КМУЦА (1998, Київ). Науковий семінар кафедри аеродинаміки повітряних суден та безпеки польотів АКФ НАУ (2001, Київ). Науково-методичний розширений семінар кафедри механіки АКФ НАУ (2002, Київ).

Публікації. За темою дисертації опубліковано 6 друкованих робіт, з яких 5 в наукових фахових виданнях, 1 стаття – у матеріалах міжнародної науково-технічної конференції.

Структура і обсяг дисертації. Дисертація складається з вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел з 98 найменувань на 9 сторінках. Загальний об’єм дисертації складає 169 сторінок, в тому числі, основної частини 156 сторінок, 62 рисунки, 10 таблиць.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі дано обґрунтування актуальності теми дисертаційної роботи, визначені її направленість і актуальність. Сформульовані мета і задачі досліджень, дано загальну характеристику виконаних досліджень по розділах.

У першому розділі опис руху ЛА здійснюється системою диференціальних рівнянь, яка є ММ польоту. При дослідженні складних систем диференціальних рівнянь найбільш поширеними і ефективними є алгоритми, що зводять дослідження вихідної системи до дослідження простіших систем рівнянь, зокрема меншої розмірності.

Розділ присвячується здійсненню розщеплення лінеаризованих рівнянь поздовжнього руху ЛА, що виконує горизонтальний політ, на підсистеми, кожна з яких описує “швидку” або “повільну” складову руху незалежно. Векторно-матрична форма рівнянь має вигляд

, , (1)

де - вектор стану літака, - приріст швидкості центру мас, - приріст кута нахилу траєкторії, - приріст кутової швидкості тангажа, - приріст кута атаки, - матриця коефіцієнтів розміру , - вектор коефіцієнтів керування, - керування кермом висоти.

Із зміною значень елементів матриці змінюються корені її характеристичного рівняння

, ; , , (2)

де - уявна одиниця. Дійсні та уявні частини у рівностях визначаються за формулами, наведеними в [1], і обмежені умовами , , , .

Як приклад на рис. 1 та 2 наведені графіки розв’язків і при різних значеннях елементів матриці , отримані за результатами розрахунків, в основу яких покладені характеристики літака ТУ-154. Криві 1 є розв’язком системи рівнянь (1) при розрахункових значеннях елементів матриці та компонентів вектора . Криві 3 відображають розв’язок рівнянь короткоперіодичного руху у відсутності впливу на нього довгоперіодичного руху. Спрощений підхід дає гарне наближення до розв’язку, представленому кривими 1, лише коли пари коренів, що відповідають швидкій та повільній складовим руху ЛА, досить віддалені один від одного в комплексній площині .

Рис.1. Графіки розв’язку при

різних значеннях елементів матриці

Рис.2. Графіки розв’язку при

різних значеннях елементів матриці

Випадок, коли пари коренів характеристичного рівняння матриці розміщуються в комплексній площині ближче один до одного, представлений на рисунках кривими 2. Обмеженість спрощеного підходу помітна при порівнянні графіків 2 та 3. У випадку, коли дійсні та уявні частини коренів характеристичного рівняння відрізняються менше, ніж на порядок, зв’язаність за змінними у системі рівнянь (1) зростає настільки, що припущення щодо незалежності короткоперіодичного руху від довгоперіодичного обґрунтувати неможливо.

Задача параметричної ідентифікації полягає в тому, щоб із множини різних сукупностей значень елементів матриці вибрати за даними льотних випробувань таку комбінацію, при якій ММ польоту краще відобразила б поведінку ЛА. Але в результаті оцінювання можна отримати хибну комбінацію шуканих значень параметрів ММ (1). Якщо ММ попередньо розщеплюється на часткові моделі, то безпосередньо ідентифікуються дійсні та уявні частини коренів характеристичного рівняння матриці (2).

Аналіз результатів розрахунку свідчить про доцільність проведення точного розщеплення ММ польоту (1). В дисертації використано апарат, запропонований К. А. Абгаряном для перетворення рівнянь об’єктів керування.

Для проведення розщеплення необхідно мати значення коефіцієнтів системи рівнянь (1). Але саме вони і є об’єктом оцінювання. Тому розщеплення здійснюється на основі апріорно вибраних значень коефіцієнтів. Знайдені власні значення , , , матриці [1] розбиваються на дві групи. До першої групи включають , , а до другої –, , що відповідає умовам (), які повинні виконуватися при розщепленні. Групи власних значень відповідають специфіці складових поздовжнього руху ЛА.

Побудова матриці перетворення змінних здійснюється об’єднанням двох субматриць в одну матрицю. Субматриці визначаються виділенням у кожній з матриць

,

двох лінійно незалежних стовпців. Існує неоднозначність побудови перетворюючої матриці. Перевага надається тим матрицям, які мають менші числа обумовленості, наприклад за Тоддом.

Як приклад у таблиці 1 наведені числа обумовленості перетворюючих матриць , які одержуються при декомпозиції ММ польоту літака Ту-154. Індекси та вказують порядкові номери стовпців матриці , а та – матриці .

Таблиця 1

Числа обумовленості матриць .

10470.368 | 54462.541 | 14464.101 | 3609.8952 | 4549.6898 | 18.023444

4189.8363 | 27229.747 | 7416.5912 | 1804.8472 | 2332.8933 | 19.814676

7481.7529 | 40676.697 | 10797.52 | 2696.1379 | 3396.3719 | 73.098582

10645.728 | 55287.141 | 14687.121 | 3664.5675 | 4619.8485 | 35.26665

12256.056 | 62961.657 | 16784.933 | 4173.2295 | 5279.7055 | 11.056666

Кожна з часткових моделей приводиться до канонічної форми за допомогою перетворення, запропонованого Трикомі. Розв’язок вихідної ММ знаходиться зворотним перетворенням змінних.

Другий розділ. Основою створення та обґрунтування ММ польоту є сучасні методи ідентифікації, зорієнтовані на використання комп’ютерних обчислювальних засобів. Не дивлячись на численні дослідження методів ідентифікації, зберігається проблема їх ефективного застосування при описі складних реальних об’єктів.

Розділ присвячений побудові ММ польоту на основі проведення ідентифікації параметрів часткових моделей. Припускається, що структура детермінованої ММ визначена, проте не всі коефіцієнти при змінних відомі. Розглядається задача оцінювання невідомих параметрів ММ польоту ЛА за даними експерименту з урахуванням перетворення моделі.

Припускається, що модель даних вимірювань має вигляд

, (3)

де - вектор зареєстрованих параметрів польоту, - векторна функція корисного сигналу, - векторна функція випадкових похибок.

Математичне очікування та коваріаційна матриця є відомими характеристиками випадкового процесу , тобто задаються:

, , (4)

де - дисперсія -тої компоненти векторної функції , - дельта-функція Дірака.

Дані вимірювань кутової швидкості тангажа і кута атаки містять найбільший обсяг інформації на короткому початковому відрізку часу. Після цього через взаємозв’язок складових поздовжнього руху літака дані та дають в основному інформацію про вплив довгоперіодичного руху.

Як приклад на рис. 3, 4 та 5, 6 наведені результати моделювання вимірювань кутової швидкості і кута атаки для літака ТУ-154. Керування було задано у вигляді П-подібного відхилення керма висоти. Вплив похибок у даних, отриманих при вимірюваннях і зображених на рис. 4 та 6, на значення показника якості ідентифікації (через тривалість у часі) зменшує інформативність корисного сигналу, що міститься у вимірюваннях на короткому проміжку часу. В цьому полягає причина недоцільності проведення оцінювання параметрів по всьому об’єму експериментальних даних для швидкої складової поздовжнього руху літака в цілому. Проте в них закладена інформація щодо впливу довгоперіодичного руху літака на короткоперіодичний, знехтувати якою не завжди можливо (рис. 1, 2, 4, 6).

При проведенні параметричної ідентифікації довгоперіодичного руху припускається використання всього об’єму даних експерименту.

Спрощення форми ММ польоту (1), пов’язане з її розщепленням на незалежні за змінними підмоделі завдяки апріорним оцінкам її параметрів, дозволяє не використовувати ділянки експериментальних даних, на яких практично відсутня корисна інформація. Оскільки згасання швидкої складової поздовжнього руху ЛА значне, то дані вимірювань практично не містять корисний сигнал після нетривалої початкової ділянки. Це дозволяє проводити оцінювання параметрів часткової моделі, що являє собою швидку складову руху, за експериментальними даними, взятими на короткому інтервалі часу. Таким чином, тривалість проведення ідентифікації для кожної підмоделі є різним.

При перерахунку даних експерименту в кожне з розкладених у пряму суму підпросторів станів складових руху ЛА використовується матриця перетворення змінних. Оскільки варіантів вибору таких матриць декілька, то для встановлення єдиного розщеплюючого перетворення аналізуються статистичні характеристики результатів перерахунку. Показником якості при цьому може бути найменший слід коваріаційної матриці перерахованих даних вимірювання.

Рис.3. Вимірювання кутової швидкості

тангажа на короткому проміжку часу

Рис.4. Вимірювання кутової швидкості

тангажа на тривалому проміжку часу

Рис.5. Вимірювання кута атаки

на короткому проміжку часу

Рис.6. Вимірювання кута атаки

на тривалому проміжку часу

Формування показників якості ідентифікації в кожному з розкладених підпросторів здійснюється окремо. Мінімізація показника , який являє собою середнє квадратичне відхилення розв’язку часткової моделі від перерахованих даних вимірювань , здійснюється на множині векторів параметрів , що оцінюються.

Фактор розмірності вектора впливає на стійкість (за Адамаром) оцінок параметрів. Якщо параметрів багато, їх взаємна залежність суттєва, а це погіршує процес отримання оцінок. Декомпозиція ММ (1) і зведення до канонічної форми підмоделей, що утворилися внаслідок розщеплення, призводять до зменшення кількості параметрів, які оцінюються.

Складність визначення оцінок параметрів вектора з необхідних умов існування мінімуму показника якості ідентифікації пов’язана з нелінійністю розв’язку . Метод, що базується на лінеаризації розв’язку часткової моделі за вектором параметрів з подальшою підстановкою у показник , веде до оцінки вектора поправок виду

. (5)

де для відповідної підмоделі , - вектор параметрів, в оточенні якого проводиться лінеаризація; - симетрична матриця.

Кореляційна матриця вектора поправок має вигляд

,

де - перший множник у (5), , - субматриця перетворення змінних.

Метод апроксимації показника якості ідентифікації квадратичним тричленом дозволяє обчислити оцінку поправки у вигляді

, (6)

де - гіперстовпцева матриця, отримана стовпцевою векторизацією матриці , ,

,

.

Оцінка (6) отримана у припущенні малості порівняно з елементами матриці відповідних елементів матриці , де .

Метод продовження за параметром [6], застосований до градієнта показника , дозволяє використати теорію уявних функцій [3,4] і, таким чином, розширити оточення вектора та отримати результат, частинними випадками якого є оцінки (5) і (6).

Задача визначення параметрів вихідної ММ (1) за результатами оцінювання параметрів часткових моделей являє собою ще одну особливість підходу, що розглядається у роботі. Оскільки розщеплення здійснюється точно, матриці нерозщепленої ММ і , складеної з матриць та підсистем рівнянь, подібні. Отже, одержані оцінки власних значень , матриць і будуть одночасно оцінками (2). Оцінки коефіцієнтів характеристичного рівняння матриці визначаються за формулами Вієта.

З іншого боку, ці коефіцієнти пов’язані з елементами матриці співвідношеннями

,

,

, (7)

,

де - прискорення вільного падіння тіла.

Неоднозначність при визначенні пов’язана з нелінійністю рівнянь (7) і неточністю оцінок , викликаною похибками даних вимірювань, є джерелом нестійкості процесу ідентифікації на цьому етапі. Тому вибір групи з чотирьох елементів , , , , найбільш сприятливих з точки зору одержання оцінок, здійснюється у відповідності з матрицею Якобі, яка має у визначеній точці менше число обумовленості. Ідентифікація більшого числа параметрів здійснюється поетапно. Фіксуються оцінки, отримані для першої групи параметрів, і визначаються оцінки параметрів іншої групи. Знайдені шукані параметри ММ польоту приводять до оцінок коефіцієнтів аеродинамічних сил та моментів.

У третьому розділі розглядається задача вибору такого керування у випробовуваному польоті, яке б забезпечило отримання експериментальних даних з максимальним обсягом інформації про динамічні властивості ЛА.

Ідея знаходження оптимальних керуючих дій спирається на стохастичну нерівність Крамера-Рао та її узагальнення. Для знаходження оптимального керування необхідно знати вектор істинних параметрів, котрі входять до нерівності Крамера-Рао, а він – невідомий. Дослідження ряду авторів показали, що проектування оптимальних керуючих дій можна проводити на основі апріорно вибраного вектора параметрів , якщо він близький до вектора істинних параметрів .

В задачах оптимізації функціоналами обираються різні числові інваріанти інформаційної матриці Фішера або оберненої до неї . Існує ряд критеріїв оптимізації керуючих дії, побудованих на основі інформаційної матриці. Найвідоміші з них наведені в таблиці 2.

Більшість критеріїв мають складну структуру і можуть бути використані за умови застосування чисельних методів. І лише найпростіші критерії, зокрема - критерій, дозволяють отримати аналітичні розв’язки задачі оптимізації.

Таблиця 2

Критерії оптимізації на основі інформаційної матриці.

Критерій | A - оптимальний | E - оптимальнийD - оптимальний |

Перераховані критерії пов’язані з нерівністю Крамера-Рао і націлені на зменшення дисперсії оцінок параметрів. Проте, як показано в ряді робіт, інформаційна матриця в більшості випадків виражається через функції чутливості стану системи до шуканих параметрів. Збільшення чутливості стану системи до зміни параметрів веде до більш точного визначення цих параметрів за даними вимірювань.

Задача вибору оптимального керування літаком у постановці, яка вивчалася Мехрою, Гуптою, Холлом, Касьяновим, вписується в загальну спрямованість дисертації, але в роботі вона розв’язується з урахуванням декомпозиції ММ польоту (1).

Модель вимірювань має вигляд . Розмірності векторів і співпадають з розмірністю вектора . Тут - вектор випадкових гаусівських похибок вимірювань, що задовольняє умовам , , де - кореляційна матриця.

Припускається, що апріорні значення компонентів вектора параметрів відомі. Розв’язок рівняння (1) для і вектора початкових умов є . Істинний вектор відрізняється від вектора так, що . Задача полягає в отриманні оцінок вектора .

Припускаючи, що малі, можна використати апроксимацію

і сформувати залишки , в яких враховуються як похибки вимірювань, так і відмінність оцінки від істинного вектора . Тут - матриця функцій чутливості.

Показник точності оцінювання параметрів вибирається у вигляді

. (8)

Знайдена оцінка набуває вигляду

, (9)

де - інформаційна матриця, що складає основу критерія оптимізації.

При точних вимірюваннях стану ЛА у залишках враховується лише відмінність від . Оцінка в цьому випадку набуває вигляду (9), якщо замінити одиничною матрицею.

В деяких авторів показано, що для коливальної системи

, , (10)

вид якої відповідає виду часткової моделі, оптимальним керуванням є синусоїдальний сигнал з частотою

, (11)

де - параметр, який ідентифікується.

Зведення часткових моделей до канонічного вигляду спрощує критерій оптимізації керування. Інформаційна матриця в цьому випадку набуває вигляду одиничної матриці , помноженої на інтеграл с підінтегральною функцією, що дорівнює квадратному кореню з визначника Грама, складеного з вектор-стовпців або вектор-рядків матриці чутливості , тобто

, (12)

де , , , - розв’язок часткової моделі, приведеної до канонічної форми, , а , .

З матриці (12) виділяється функціонал , де - визначник Грама.

Зв’язок показників, які основані на функціоналі , з критеріями, в основу яких покладена матриця , наведений у таблиці 3.

Таблиця 3

Критерії оптимізації на основі визначника Грама.

№ п/п | Назва критерію | 1A - критерій

2 | E - критерій | 3 | D - критерій |

Задача спрощується, якщо для складової руху літака скористатися результатом, що оптимальним є синусоїдальний закон керування. Тому розглядається задача оптимізації частоти коливань при визначеній структурі закону керування , де - амплітуда відхилення керма висоти. Таким чином, здійснюється дослідження на максимум цільової функції

, (13)

де - час проведення експерименту, - функція чутливості, .

Аналіз функції після обчислення інтеграла проводиться чисельно для різних значень [2]. Результатом розрахунку є наявність виразних піків на графіках рис. 7 і 8, з яких видно, що глобальному максимуму відповідає шукана частота . Зміна ж параметра не впливає на оптимальну частоту управління, проте його зростання веде до збільшення значень . Окрім того, із зростанням значення і зменшуються. Якщо збільшувати час , то спостерігається зростання . При різних значеннях частота не залишається сталою, а змінюється в невеликому діапазоні. Із зростанням параметра значення зменшується, а зростає.

Рис.7. Швидка складова руху

B – T=20c, C – T=16c, D – T=12c, E – T=8c

Рис.8. Повільна складова руху

B – T=400c, C – T=300c, D – T=200c

З урахуванням припущень, відомих з наукової літератури, отриманий в дисертації результат співпадає з розв’язком у формі (11).

Розробка алгоритму і створення програмного комплексу (пакету програм) дозволило отримати результати, які склали зміст четвертого розділу. Цей пакет програм є засобом для проведення комп’ютерного експерименту по оцінюванню параметрів ММ руху літака та побудови ММ польоту літака з використанням реальних даних експерименту.

Програмний комплекс містить у собі

- імітацію руху літака;

- моделювання даних вимірювання або використання польотних даних;

- формування ММ польоту літака;

- розщеплення ММ польоту літака на підмоделі, куди входить побудова лінійного перетворення змінних моделі на основі вибору перетворюючої матриці з кращими характеристиками обумовленості, а також зведення отриманих часткових моделей до канонічного вигляду;

- перерахунок даних вимірювання в розкладені підпростори станів складових руху літака, яким відповідають підмоделі;

- формування показника якості ідентифікації для кожної підмоделі окремо;

- обчислення функцій чутливості стану складової руху від параметрів;

- оцінювання параметрів підмоделей;

- обчислення параметрів вихідної ММ польоту літака;

- обчислення похідних коефіцієнтів аеродинамічних сил і момента тангажа.

Імітація поздовжнього руху літака здійснюється за допомогою системи диференціальних рівнянь (1).

Модель даних вимірювання (3) отримується як результат накладання похибки, що виробляється генератором випадкових чисел, на розв’язок системи рівнянь (1). Це дозволяє регулювати рівень похибки в моделі вимірювань.

Формування ММ польоту здійснюється змінюванням значень частини елементів матриці у рівнянні (1).

Процес оцінювання параметрів є ітераційним. Фрагмент комплексної програми, призначений для обчислення оцінок параметрів, містить два внутрішніх цикли та один зовнішній. Призначення кожного з внутрішніх циклів полягає в оцінюванні параметрів підмоделі. Для цього необхідно зафіксувати експериментальні дані в розкладених підпросторах станів складових руху літака, які відповідають підмоделям. Перерахунок вимірювань здійснюється за допомогою матриці перетворення, що будується згідно ММ руху літака. Ізольованість внутрішніх циклів один від одного дозволяє для підмоделей обирати

- різні показники якості ідентифікації;

- різні методи параметричної ідентифікації;

- різні часові відрізки даних експерименту для оцінювання параметрів (так для швидкої складової руху досить 20 с. при П-подібному законі керування, а для повільної – понад 100 с.);

- різні кроки інтегрування;

- різну кількість ітерацій;

- різні міри точності оцінок параметрів.

Зовнішній цикл призначений для коректування параметрів нерозщепленої ММ з подальшим формуванням операторів розщеплення і перерахунку даних вимірювання. Після цього процес уточнення параметрів повторюється.

Чисельний експеримент, виконаний на основі характеристик літака ТУ-154, підтверджує висновок теоретичного дослідження дисертаційної роботи про ефективність декомпозиції ММ при розв’язанні задачі параметричної ідентифікації.

На рис. 9 показано, як збігається послідовність оцінок коефіцієнта згасання. Число ітерацій внутрішнього циклу позначено , - кількість зовнішніх циклів, пряма показує істинне значення відповідного параметра. Процеси збіжності інших параметрів, що оцінюються, показані на рис. 10 – 12.

Обчислення параметрів вихідної ММ здійснюється за оцінками параметрів підмоделей після виконання внутрішніх циклів програми. Спостерігається збіжність цього процесу до істинних значень відповідних елементів матриці .

Останній етап обчислень пов’язаний з визначенням похідних аеродинамічних коефіцієнтів.

Рис.9. Оцінювання коефіцієнта згасання

коливань швидкої складової руху літака

Рис.10. Оцінювання частоти коливань

швидкої складової руху літака

Рис.11. Оцінювання коефіцієнта згасання

коливань повільної складової руху літака

Рис.12. Оцінювання частоти коливань

повільної складової руху літака

Побудова ММ польоту літака АН-24 здійснюється за даними льотних випробувань. Математична модель обирається у класі лінійних систем рівнянь виду (1). Задача побудови ММ польоту літака зводиться до знаходження оцінок елементів матриці і компонентів вектора .

Оскільки система рівнянь (1) описує збурений рух, то з даних льотних випробувань виділяються дані вимірювань, що є реакцією літака на відхилення керма висоти. Вони зберігають інформацію щодо поведінки літака.

Оцінювання параметрів проводиться методами, викладеними у другій главі роботи. Результати ідентифікації представляються у вигляді

, ,

де і позначають оцінки матриці і вектора відповідно.

Зауважимо, що нульові елементи матриці та елементи і не оцінюються.

Розв’язок отриманої ММ збуреного руху перераховується у простір вихідного стану літака. На рис. 13 – 16 наведені дані льотного випробування літака і результати моделювання.

Рис.13. Льотні дані - та

оцінка – C швидкості літака

Рис.14. Льотні дані - та оцінка – C

кута нахилу траєкторії,

відхилення керма висоти – D

Рис.15. Льотні дані – B та оцінка – C кутової швидкості тангажа,

відхилення керма висоти – D

Рис.16. Льотні дані – B та

оцінка – C кута атаки,

відхилення керма висоти - D

Оцінки, знайдені внаслідок проведеної ідентифікації параметрів ММ польоту, дозволяють визначити моделі аеродинамічних коефіцієнтів у вигляді

,

, (14)

,

де , , ,

, , , ,

, , ,

- оцінки відповідних невідомих у рівняннях (7); - оцінки компонентів вектора ; - маса літака; - щільність повітря; - крейсерська швидкість; - площа крила; - швидкісний напір; - момент інерції; - середня аеродинамічна хорда крила.

Параметр знаходиться з рівності момента тяги двигунів відносно центру мас літака аеродинамічному моменту тангажа, тобто , де - відстань уздовж вертикалі від центра мас літака до осі гвинтів.

З урахуванням (14) визначаються моделі аеродинамічних сил та момента тангажа.

Особливості побудови ММ руху літака за даними реальних вимірів слідуючи:

1) похибки містяться не тільки в даних вимірювань змінних стану літака, але і в даних вимірювань керування літаком;

2) необхідно вилучати з даних льотного випробування дані, які відповідають збуреному керуванням руху літака, що дозволяє будувати ММ польоту у лінійному вигляді;

3) повернення результатів оцінювання змінних у простір вихідного стану літака для співставлення з даними льотного випробування.

ВИСНОВКИ

1. Здійснено за апріорно відомими значеннями параметрів розщеплення ММ польоту на незалежні за змінними підмоделі (часткові моделі).

2. Запропоновано неоднозначність, що виникає при формуванні перетворювання змінних стану ЛА, обмежити вибором такої перетворюючої матриці, яка має найменше число обумовленості і для якої коваріаційна матриця даних льотних випробувань, що перераховані у розкладені підпростори станів складових руху, має мінімальний слід.

3. Зведено кожну з часткових моделей до канонічного вигляду та одержані їх розв’язки.

4. Рекомендовано для оцінювання параметрів підмоделей використовувати неоднакові обсяги даних льотних випробувань.

5. Одержані за рахунок кращих статистичних характеристик перерахованих вимірювань остаточні оцінки параметрів часткових моделей з мінімальним рівнем дисперсій.

6. Обґрунтовано, що вплив неоднозначності, яка виникає при визначенні шуканих параметрів вихідної ММ польоту за оцінками параметрів часткових моделей, значно зменшується, якщо

- обмежити кількість параметрів, які підлягають одночасному оцінюванню;

- комбінувати з числа тих, що ідентифікуються, групи параметрів таким чином, щоб стійкість отримування оцінок була вищою.

7. Показана збіжність ітераційної процедури оцінювання параметрів ММ руху літака.

8. Запропоновано з урахуванням канонічної форми підмоделей спрощений критерій оптимізації, який дозволяє будувати керування літаком, що зорієнтоване на ідентифікацію кожної часткової моделі.

9. Підтверджено комп’ютерним експериментом, проведеним на основі імітації польоту ЛА, та обробкою даних льотного випробування літака АН-24, відповідність побудованих математичних моделей динаміці систем.

10. Рекомендовано для побудови ММ в лінійному вигляді вилучати з реальних даних експерименту дані, що відповідають збуреному керуванням руху літака.

СПИСОК ПУБЛІКАЦІЙ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1.

2.

3.

4.

5.

6.

АНОТАЦІЯ

Єфремов С. Г. Методи розщеплення в задачах ідентифікації лінеаризованих моделей польоту. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.07.07 – випробування літальних апаратів та їхніх систем. – Національний авіаційний університет, Київ, 2003.

Дисертаційна робота присвячена підвищенню на основі проведення декомпозиції (розщеплення) ефективності побудови математичної моделі (ММ) руху літального апарата (ЛА) за результатами спостережень.

Робота основана на комплексному підході, що поєднує застосування методів розщеплення систем диференціальних рівнянь та параметричної ідентифікації ММ об’єктів. Складність такого поєднання викликана неможливістю проведення розщеплення, якщо коефіцієнти (параметри) ММ руху ЛА невідомі. У зв’язку з цим розщеплення ММ на підсистеми рівнянь (підмоделі) менших розмірностей здійснюється за апріорними оцінками параметрів вихідної моделі. Для формування показників якості ідентифікації дані льотних випробувань перераховуються в розкладені підпростори станів складових руху ЛА, що відповідають підмоделям. Ідентифікуються параметри підмоделей. За знайденими оцінками параметрів підмоделей уточнюються значення параметрів вихідної ММ польоту. Чисельним шляхом показана збіжність ітераційної процедури оцінювання параметрів ММ польоту.

Ключові слова: математична модель, перетворення змінних, розщеплення, підмодель, ідентифікація параметрів, оцінка, оптимізація.

АННОТАЦИЯ

Ефремов С. Г. Методы расщепления в задачах идентификации линеаризованных моделей полета. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.07.07 – испытания летательных аппаратов и их систем. – Национальный авиационный университет, Киев, 2003.

Диссертационная работа посвящена повышению на основе проведения декомпозиции (расщепления) эффективности построения математической модели (ММ) движения летательного аппарата (ЛА) по результатам наблюдений.

Работа основана на комплексном подходе, сочетающем применение методов расщепления систем дифференциальных уравнений и параметрической идентификации ММ объектов. Сложность такого сочетания заключается в невозможности проведения расщепления при неизвестных коэффициентах (параметрах) ММ движения ЛА. В связи с этим предполагается, что априорные значения оцениваемых параметров известны. Рассматривается задача получения окончательных оценок параметров ММ движения ЛА по данным эксперимента с учетом декомпозиции ММ.

Ключевым моментом процесса расщепления является построение преобразования переменных исходной ММ в новые переменные. Это связано с неоднозначностью матрицы, формирующей преобразование. Основываясь на матрицах преобразования, числа обусловленности которых наименьшие, можно проводить полное расщепление исходной ММ. Полученные вследствие расщепления подмодели приводятся к каноническому виду, определяются их решения, а также решение исходной ММ путем обратного преобразования переменных.

Процесс уточнения оценок параметров имеет ряд особенностей. Первая особенность заключается в том, что для каждой подсистемы формируется свой показатель качества идентификации. При их формировании экспериментальные данные пересчитываются в разложенные подпространства состояний подсистем с помощью построенных матриц преобразования. Критерием для выбора единственного преобразования переменных может служить минимальный уровень дисперсий или минимальный след ковариационной матрицы пересчитанных данных эксперимента различными матрицами преобразования. В свою очередь, это позволяет получить оценки параметров подмоделей с минимальными дисперсиями.

Вторая особенность связана с тем, что оцениваемыми являются не коэффициенты исходной ММ, а параметры подмоделей.

Третьей особенностью является то, что для оценивания параметров подмоделей целесообразно использовать различные объемы данных летных испытаний. Это влечет получение более устойчивых оценок параметров каждой подмодели.

Четвертая особенность связана с установлением окончательных оценок параметров исходной ММ по найденным оценкам параметров подмоделей. Меньшее число уравнений, связывающих оценки параметров подмоделей с параметрами исходной ММ, чем неизвестных, нелинейность их, а также знание только оценок известных величин, входящих в уравнения, приводит к неоднозначности процесса идентификации на этом этапе. Для ограничения неоднозначности используется анализ чисел обусловленности матриц Якоби, составленных для зависимостей коэффициентов характеристического уравнения матрицы исходной ММ от ее элементов. Такой анализ позволяет формировать группы из числа идентифицируемых параметров наиболее благоприятные с точки зрения одновременного оценивания.

Показана сходимость итерационной процедуры оценивания параметров ММ полета.

Рассматривается также задача проектирования оптимального управления ЛА, повышающего информативность экспериментальных данных, а это, в свою очередь, улучшает точность оценок идентифицируемых параметров подмоделей. Приведение каждой подмодели к канонической форме позволяет предложить упрощенный критерий оптимизации, согласно которому и находится тестовое управление ЛА.

Ключевые слова: математическая модель, преобразование переменных, расщепление, подмодель, идентификация параметров, оценка, оптимизация.

SUMMARY

Yefremov S. G. Methods of split in the tasks of linear models of flight identification. – Manuscript.

Thesis for a candidate degree on the speciality 05.07.07 – trials of flight vehicles and their systems. – National Aviation University, Kiev, 2003.

The thesis is devoted to increasing the efficiency of a flying device movement mathematical model (MM) construction by the observed results on the basis of decomposition (splitting) realization.

The work is based on the complex approach combining application of differential equations systems splitting and parametrical identification of objects MM methods. The complexity of such a combination is that it is impossible to realize the splitting at unknown parameters of the flying device movement MM. In this connection the splitting into subsystems of smaller dimensions equations (submodels) is carried out on apriori estimations of an initial model’s parameters. The date of flying tests are recalculated into split subspaces of the flying device movement components conditions, appropriate to submodels, to form the parameters of identification quality. The parameters of submodels are identified. The values of inexact known parameters of initial MM of flight are specified by means of found submodels’ parameters estimations. The numerical way shows the convergence of iterative procedure’s estimations of MM parameters of flight.

Key words: mathematical model, variables transformation, splitting, subsystem of the equations, parametrical identification, estimation, optimization.

Підписано до друку 20.05.03. Формат 60?84/16. Папір офсетний.

Офсетний друк. Ум. фарбовідб. 6. Ум. друк. арк. 1,16. Обл.-вид. арк. 1,25.

Тираж 100 прим. Замовлення № 132-1. Вид. № 21/ІІ.

Видавництво НАУ.

03058. Київ-58, проспект Космонавта Комарова, 1.

Свідоцтво про внесення до Державного реєстру ДК № 977 від 05.07.2002