Чернівецький національний університет

імені Юрія Федьковича

Мартинюк Ольга Василівна

УДК 517.956.4

задача коші для еволюційних рівнянь

з оператором бесселя

нескінченного порядку

01.01.02 – диференціальні рівняння

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Чернівці – 2003

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі диференціальних рівнянь Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича, Міністерство освіти і науки України.

Науковий керівник – доктор фізико-математичних наук, професор

ГородецькиЙ Василь Васильович,

Чернівецький національний університет

імені Юрія Федьковича, завідувач кафедри

алгебри та геометрії

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Слюсарчук Василь Юхимович,

кафедра вищої математики Української

державної академії водного господарства,

м.Рівне;

кандидат фізико-математичних наук, доцент

Бокало Микола Михайлович,

Львівський національний університет

імені Івана Франка, кафедра

диференціальних рівнянь

Провідна установа – Інститут математики НАН України, відділ диференціальних рівнянь в частинних похіднич.

Захист відбудеться “ 17 ” ------березня 2004 року

о 1400 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 76.051.02

у Чернівецькому національному університеті імені Юрія Федьковича за адресою: 58012, м.Чернівці, вул. Університетська, 28, аудиторія 8.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича (58012, м.Чернівці, вул. Л.Українки, 23).

Автореферат розісланий “ 23 ” квітня 2004 року.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Бігун Я.Й.

загальна характеристика роботи

Актуальність теми. У теорії задачі Коші для рівномірно параболічних рівнянь та систем рівнянь на теперішній час одержані досить повні результати з питань коректної розв’язності, інтегрального зображення розв’язків, дослідження їх властивостей. Значно менше вивчено задачу Коші для параболічних рівнянь з різними особливостями, коли, наприклад, рівняння замість диференціальних операторів містять псевдодиференціальні оператори, вироджується тип рівняння, у рівняннях наявні випадкові збурення і т.п. При цьому часто початкові умови – початкові функції – мають особливості в одній або декількох точках. Якщо ці особливості степеневого порядку, то такі функції допускають регуляризацію у просторах узагальнених функцій скінченого порядку типу розподілів Соболєва-Шварца. Якщо ж порядок особливостей вище за степеневий, то ці функції є узагальненими функціями нескінченного порядку (наприклад, ультрарозподілами, гіперфункціями). Отже, задача Коші для вказаних рівнянь має природну постановку і у класах початкових умов, які є узагальненими функціями скінченного або нескінченного порядку.

Сингулярні параболічні рівняння з оператором Бесселя відносяться до рівнянь з виродженим по просторових змінних оператором (такі рівняння вироджуються на межі області) і за внутрішніми властивостями вони близькі до рівномірно параболічних рівнянь. Використовуються при вивченні температурних полів, при побудові математичних моделей дифузійних процесів у анізотропних середовищах, описують явища тепломасопереносу, радіальні коливання хвиль, зустрічаються у кристалографії, гідродинаміці, у задачах про взаємодію тіл.

Теорія класичних розв’язків задачі Коші для таких рівнянь побудована у працях М.І.Матійчука, В.В.Крехівського, С.Д.Івасишена і В.П.Лавренчука, І.І.Веренич та ін. Задача Коші для сингу-лярних параболічних рівнянь у класах розподілів та у кла-сах узагальнених функцій типу S вивчалась Я.І.Житомирським, В.В.Городецьким, І.В.Житарюком, В.П.Лавренчуком.

Природним узагальненням сингулярних параболічних рівнянь є сингулярні еволюційні рівняння нескінченного порядку, тобто еволюційні рівняння з оператором Бесселя нескінченного порядку , – оператор Бесселя порядку . Для таких рівнянь задача Коші не вивчена, а тому актуальним є побудова теорії задачі Коші для вказаних рівнянь у більш широких, порівняно з просторами типу S класах узагальнених початкових функцій нескінченного порядку, а саме, у просторах типу () аналітичних функціоналів (простори основних функцій типу є узагальненнями просторів типу S, введених І.М.Гельфандом і Г.Є.Шиловим внаслідок заміни степеневих функцій довільними опуклими, що дозволяє точніше охарактеризувати особливості зростання або спадання функцій на нескінченності). Оскільки множини початкових значень розв’язків таких рівнянь збігаються з множинами початкових даних задачі Коші, при яких розв’язки є елементами певних функціональних просторів, то важливу роль при постановці та дослідженні задачі Коші відіграє розвиток теорії граничних значень для таких рівнянь.

Дисертаційна робота присвячена розв’язанню цих проблем для еволюційних рівнянь з оператором Бесселя нескінченного порядку у широких класах початкових даних, які є узагальненими функціями нескінченного порядку типу ультрарозподілів.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана в рамках науково-дослідної роботи “Мішані задачі для псевдопараболічних рівнянь та задачі математичної фізики неоднорідних середовищ” (номер держреєстрації 0199U001913) кафедри диференціальних рівнянь Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є побудова теорії задачі Коші для еволюційних рівнянь з оператором Бесселя нескінченного порядку в класах початкових умов, які є узагальненими функціями нескінченного порядку з просторів типу (); одержання для таких рівнянь результатів, подібних до відомих у теорії задачі Коші для сингулярних параболічних рівнянь з початковими умовами з просторів узагальнених функцій типу S.

Методи дослідження: метод перетворення Фур’є-Бесселя, методи теорії задачі Коші для рівномірно параболічних та сингулярних параболічних рівнянь.

Об’єкт дослідження: сингулярні параболічні рівняння з оператором Бесселя нескінченного порядку.

Предмет дослідження: оператор Бесселя нескінченного порядку, згортки та мультиплікатори у просторах типу (), фундаментальний розв’язок задачі Коші та задача Коші для еволюційних сингулярних рівнянь нескінченного порядку.

Задачі дослідження:

· вивчення властивостей основних операцій (зокрема, операції узагальненого зсуву аргументу) та оператора Бесселя нескінченного порядку у просторах основних функцій типу ;

· дослідження властивостей перетворення Фур’є-Бесселя узагаль-не-них функцій з просторів типу (), згорток, згортувачів та мультиплі-каторів;

· встановлення коректної розв’язності задачі Коші для таких рівнянь у просторах узагальнених функцій типу ().

Наукова новизна одержаних результатів. Для ево-лю-ційних рівнянь з опе-ра--то--ром Бесселя нескінченного порядку у дисертації вперше одержані такі результати:

1) знайдено необхідні й достатні умови, за яких оператор Бесселя нескінченного порядку, що діє у просторі типу , є обмеженим; при цьому такий оператор трактується як псевдодиференціальний оператор, побудований за певним аналітичним символом;

2) доведено, що операція узагальненого зсуву аргументу визначена і нескін-чен-но диференційовна у просторах типу , тобто граничні співвідношення вигля-ду , , справджуються у просторах типу ; , - оператор узагальненого зсуву аргументу, який відповідає оператору Бесселя;

3) знайдено необхідні й достатні умови, які характеризують клас згортувачів – узагальнених функцій із просторів типу (); досліджені властивості перетворення Фур’є-Бесселя таких узагальнених функцій;

4) встановлено оцінки фундаментального розв’язку задачі Коші (ФРЗК) та досліджені властивості ФРЗК як абстрактної функції часового параметра із значеннями у просторах типу , доведена диференційовність (по t) згортки ФРЗК з довільною узагальненою функцією з простору типу () та одержана формула диференціювання такої згортки (по t), вивчена гранична поведінка вказаних згорток при у просторах узагальнених функцій типу ();

5) знайдено оператор, спряжений до оператора Бесселя нескінченного порядку;

6) доведено теореми про коректну розв’язність задачі Коші у просторах узагальнених функцій типу (); знайдено необхідні й достатні умови, які повинна задовольняти початкова узагальнена функція f(), при виконанні яких розв’язок має вигляд (G - ФРЗК) і при кожному належить до простору основних функцій типу ;

7) розвинена теорія задачі Коші для еволюційного рівняння з оператором, який діє по одній групі незалежних змінних як оператор диференціювання нескінченного порядку, а по іншій групі змінних – як оператор Бесселя нескінченного порядку; одержано результати, аналогічні до результатів, описаних у пунктах 1) – 6).

При одержанні цих результатів модифіковані методи теорії задачі Коші для рівномірно параболічних та сингулярних параболічних рівнянь.

Практичне значення одержаних результатів. Дослідження мають теоре-тичний характер, їх результати можуть бути застосовані у теорії рівнянь з частинними похідними, теорії узагальнених функцій. Для спеціалістів у галузі теплопровідності та термоелектричних явищ результати створюють підґрунтя для дослідження відсутніх у класичній теорії процесів акумулювання тепла в доменах високотемпературної плазми, хвильових теплових процесів у новітніх термоелектричних матеріалах.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації одержані автором самостійно. У спільних з науковим керівником роботах [1, 2, 5, 9] В.В.Городецькому належить постановка задач і аналіз одержа-них результатів.

Апробація результатів дисертації. Результати досліджень, що включені до дисертації, доповідалися автором на:

– Між-народній конференції “Диференціальні рівняння і нелінійні коливання” (Чернівці, 2001р.);

– Між-народній конференції “International Conference on Functional Analysis and its Applications, Dedicated to the 110th anniversary of Stefan Banach” (Львів, 2002р.);

– Між-народній науковій конференції ім.. акад. М.Кравчука (Київ, 2002р.);

– Міжнародній науковій конференції “Шості Боголюбівські читання” (Чернівці, 2003р.);

– ІІІ всеукраїнській науковій конфе-ренції “Нелінійні проблеми аналізу” (Івано-Франківськ, 2003р.);

– Львівському міському науковому семінарі з диференціальних рівнянь (Львів, 2003р.);

– наукових семінарах математичного факультету, кафедри алгебри та геометрії і кафедри диференціальних рівнянь Чернівецького національного університету (Чернівці, 1998-2003рр.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 10 працях, з них 2 – у наукових журналах, 3 – у збірниках наукових праць і 5 – у матеріалах конференцій. Серед публікацій 4 праці у наукових фахових виданнях з переліку N 1 ВАК України від 9.06.1999.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, трьох розділів, висновків і списку використаних джерел, який містить 67 найменувань (8 сторінок). Повний обсяг роботи становить 116 сторінок.

Автор висловлює щиру подяку науковому керівнику професору Городецькому В.В. за постановку задач, конструктивні поради і цікаві ідеї.

зміст роботи

У вступі обґрунтовується актуальність теми дослідження, ставляться мета і задачі дослідження, вказується на зв’язок дисертації з науковою темою кафедри, де вона виконувалась, наводяться основні результати, відзначається їх новизна, практичне значення і апробація.

У першому розділі зроблено огляд праць, що стосуються задачі Коші та крайових задач для сингулярних параболічних рівнянь, а також праць, безпосередньо зв’язаних з дисертацією і з яких запозичується методика доведень та результати яких поширюються на загальніші об’єкти.

У розділі 2 наведено основні означення та твердження, що стосуються топологічної структури просторів типу W, та (), основних операцій у цих просторах. Вивчаються властивості перетворення Фур’є-Бесселя основних та узагальнених функцій, властивості згорток, згортувачів та мультиплікаторів. Знайдено умови, за яких у просторах типу визначений, є лінійним і неперервним оператор Бесселя нескінченного порядку.

Перейдемо до викладу матеріалу другого розділу. У підрозділі 2.1 наведено основні означення, що стосуються топологічної структури просторів типу W та .

Нехай М, – диференційовані, парні на R функції, зростаючі та опуклі на 0, +), причому М(0)=(0)=0, , . За допомогою функцій і Г.М.Гуревич ввів простори , , , названі ним просторами типу W. Зокрема, символом позначається сукупність цілих функцій : CC, для яких

c>0 a>0 b>0 z=x+iyC:

(сталі c, a, b залежать лише від функції ).

У вводиться топологія індуктивної границі просторів , які складаються з тих функцій , для яких правильні нерівності

, z=x+iyC,

де – довільна додатна стала, менша за а, – довільна стала, більша за b. Якщо для покласти

,

де , то з цими нормами перетворюється в досконалий зліченно-нормований простір.

Символом позначатимемо сукупність усіх цілих парних функцій з простору . Цей простір з відповідною топологією називатимемо основним простором або простором типу , а його елементи – основними функціями.

Сукупність функцій, заданих на R, які допускають аналітичне продовження у всю комплексну площину і як функції комплексної змінної є елементами простору , позначатимемо символом (R).

У підрозділі 2.2 наведені твердження, які стосуються основних операцій у просторі . Доведено, що у цьому просторі визначений і є неперервним оператор Бесселя , , порядку , який діє по змінній z. Знайдено умови, за яких у цьому просторі визначений оператор Бесселя нескінченного порядку. У підпункті 2.2.3 за допомогою методу перетворення Фур’є-Бесселя встановлюється властивість нескінченної диференційованості операції узагальненого зсуву аргументу в просторі (R). Сформулюємо основні твердження, які містить підрозділ 2.2.

Теорема 2.1. У просторі визначений і є неперервним оператор .

Як наслідок з цієї теореми дістаємо, що у просторі визначений і є неперервним оператор Бесселя , а у просторі (R) – оператор , , який відповідає дійсній змінній х.

Нехай – деяка ціла парна функція. Го-во-ри-ти-мемо, що в просторі задано оператор Бесселя не-скін-чен-ного порядку , якщо для довільної основ-ної функції ряд зобра--жає деяку основну функцію з простору .

Теорема 2.3. Нехай 1 та М1 – функції, двоїсті за Юнгом до функцій М та відповідно. Для того, щоб оператор Бесселя нескінченного порядку був визначеним і неперервним у просторі необхідно й досить, щоб ціла парна функція була мультиплікатором у просторі , тобто

>0 c>0 =+iC: .

Наслідок 2.3. Нехай A – звуження оператора на (R). Тоді для довільної функції (R) правильна рівність

R,

де – пряме та обернене перетворення Фур’є-Бесселя:

, (R),

,

(, , – фіксований параметр, Г – гамма-функція Ейлера, – нормована функція Бесселя).

Отже, оператор A можна розуміти як псевдо-диферен-ціальний оператор, побудований за аналітичним символом .

Символом позначатимемо оператор узагальненого зсуву аргументу, який відповідає оператору Бесселя:

, (R),

де . Властивості оператора мають важливе значення для подальшого вивчення задачі Коші для еволюційних рівнянь з оператором . За допомогою методу перетворення Фур’є-Бесселя у пункті 2.2.3 підрозділу 2.2 доводиться, що оператор визначений і неперервний у просторі (R). Більше того, операція узагальненого зсуву аргументу диференційовна у просторі (R), тобто граничне співвідно-шення , , справджується у просторі (R). Як наслідок дістаємо, що ця операція нескінченно диференційовна у просторі (R).

У підрозділі 2.3 розглядається простір узагальнених функцій . Вивчаються властивості згорток, згортувачів та мультиплікаторів.

Символом позначатимемо простір усіх лінійних неперервних функціоналів над відповідним простором основних функцій зі слабкою збіжністю, а його елементи називатимемо узагальненими функціями. Оскільки в просторі (R) визначена операція узагальненого зсуву аргументу, то згортку узагальненої функції з основною функцією задамо формулою

( позначає дію функціоналу f по змінній ).

Якщо f і (R), (R), то функціонал f називається згортувачем у просторі (R).

Відомо, що простір (R) перетворенням Фур’є-Бесселя відобра-жає-ться у простір такого самого типу:

FB[(R)]= (R) (0.1)

(тут 1 та М1 – функції, двоїсті за Юнгом відповідно до функцій М та ; FB[Х] позначає простір Фур’є-образів функцій з простору Х), при цьому оператор FB: (R)(R) є неперервним. Урахувавши (0.1), перетворення Фур’є-Бесселя узагальненої функції f визначимо за допомогою співвідношення

, (R). (0.2)

Із (0.2) та властивостей лінійності і неперервності функціоналу f та перетворення Фур’є-Бесселя основних функцій випливає лінійність і неперервність функціоналу FB[f] над простором основних функцій (R). Отже, перетворення Фур’є-Бесселя узагальненої функції f, заданої на (R), є узагальненою функцією, визначеною на (R). За допомогою перетворення Фур’є-Бесселя узагальнених функцій з просторів типу () встановлюється зв’язок між класом згортувачів та класом мультиплікаторів у таких просторах.

Теорема 2.5. Якщо узагальнена функція f – згортувач у просторі (R), то для довільної основної функції (R) правильна формула:

Отже, якщо узагальнена функція f – згортувач у просторі (R), то її перетворення Фур’є-Бесселя – мультиплікатор у просторі (R).

Теорема 2.6. Якщо узагальнена функція f – мультиплі-катор у просторі (R), то її перетворення Фур’є-Бесселя – згортувач у просторі (R).

Результати, одержані в теоремах 2.5 та 2.6, можна сформулювати так: для того, щоб узагальнена функція f була згортувачем у просторі (R), необхідно і досить, щоб її перетворення Фур’є-Бесселя було мульти-плі-ка-то-ром у просторі (R).

У підрозділі 2.4 наведено основні означення та тверджен-ня, що сто-су-ються відображень вигляду К, де Х – ліній-ний топологічний простір або об’єднання таких просторів, К – деяка числова множина. Такі відо-браження називають ще абстрактними функціями параметра у просторі Х.

У розділі 3 розвивається теорія задачі Коші для рівняння

, (t, x)(0, T](0; ) +, (0.3)

де A – оператор Бесселя нескінченного порядку, побудований за функцією у припущенні, що – мультиплікатор у просторі і . Під розв’язком рівняння (0.3) розуміємо функцію u: 0, Tt, яка диференційовна по t і задовольняє (0.3).

У підрозділі 3.1 досліджуються властивості функції G(t, ):=, яка є фундаментальним розв’язком задачі Коші для рівняння (0.3). Основні результати, одержані тут, містяться в наступних твердженнях.

Лема 3.1. G(t, ) при кожному фіксованому t(0, T];

kZ+ a > 0 b > 0 dk > 0 s=+i:

, , R.

Лема 3.2. Функція G(t, ), t(0, T], як абстрактна функція параметра t із значеннями в просторі , диференційовна по t; при цьому правильна формула

, f, t(0, T].

Лема 3.3. Нехай узагальнена функція f – згортувач у просторі (R), (t, x):= (t, x), (t, x)+. Тоді граничне співвідношення (t, )f, t+0, виконується у просторі .

У підрозділі 3.2 знайдено оператор , спряжений до оператора A, який діє у просторі за правилом:

, , (R).

Звуження оператора на простір (R) має вигляд:

(R).

Отже, спряжений оператор до оператора A також можна розуміти як псевдодиференціальний оператор, побудований за певним аналітичним символом.

Підрозділ 3.3 присвячений встановленню коректної розв’язності задачі Коші для рівняння (0.3). Лема 3.3 дозволяє для рівняння (0.3) задати початкову умову у вигляді

, (0.4)

де f – узагальнена функція з простору .

Під розв’язком задачі Коші (0.3), (0.4) розумітимемо розв’язок рівняння (0.3), який задовольняє початкову умову (0.4) у тому сенсі, що u(t, )f при t+0 у просторі .

Символом позначимо сукупність узагальнених функцій з простору , які є згортувачами у просторі (R). Основним результатом цього пункту є наступне твердження.

Теорема 3.1. Задача Коші (0.3), (0.4) коректно розв’язна в класі узагальнених функцій . Розв’язок є функцією, диференційовною по t і зображується у вигляді

u(t, x) = (t, x), (t, x)+, f,

причому u(t, ·) (R) при кожному t(0, T].

Із теорем 2.5, 2.6 та 3.1 випливають необхідні і достатні умови коректної розв’язності задачі Коші (0.3), (0.4).

Теорема 3.2. Для того, щоб задача Коші (0.3), (0.4) була коректно розв’язною та:

1) її розв’язок u(t, ) при кожному фіксованому t(0, T] належав до простору (R);

2) u(t, x)= (t, x), (t, x)+,

необхідно і досить, щоб узагальнена функція була мультиплікатором у просторі (R).

У підрозділі 3.4 аналогічні результати одержано стосовно задачі Коші для еволюційного рівняння з оператором Бесселя нескінченного порядку у п-вимірному випадку, а також для еволюційного рівняння вищого порядку по t з оператором A.

У підрозділі 3.5 досліджується задача Коші для еволюційних рівнянь з оператором диференціювання-Бесселя нескінченного порядку.

Нехай задано функції М1(х1), ..., Мп(хп), 1(х1), ..., п(хп) такі, як у підрозділі 2.1 розділу 2. Позначимо символом (Cп)(Cп) сукупність цілих функцій : CпC, для яких

c>0 al>0 bl>0, l, …, n z=x+iy(x1+iy1, …, xn+iyn)Cп:

.

Припустимо тепер, що n2 і введемо позначення: x=(х1, ..., хk)Rk, x=(хk+1, ..., хn)Rn-k, 1 k n-1; x=(x, x)Rn, R:= RnRn-k={x=(x1, ..., хn) Rn: хk+1>0, ...,хn>0}.

Символом , 1 k n-1, позначатимемо сукупність усіх цілих функцій з простору (Cп), парних по змінних zk+1, ..., zn. Сукупність функцій, заданих на Rп, які допускають аналітичне продовження в Cп і, як функції комплексних змінних, є елементами простору , позначатимемо символом , 1 k n-1.

У просторі визначені, є лінійними і неперервними оператори Бесселя ( діє по змінній хj), порядку , jk+1, …, n}, а також оператор .

У просторі можна користуватися прямим і оберненим перетво-реннями Фур’є – Фур’є-Бесселя, яке надалі позначатимемо символом FD,B:

, ,

,

де , sk+1, …, n}, – нормована функція Бесселя -го порядку, , , . Простори перетворенням FD,B відображаються у простори такого самого типу, точніше, правильною є формула:

FD,B[]=,

оператор FD,B є неперервним (тут та – функції, двоїсті за Юнгом відповідно до функцій та , і, …, n

Нехай , z=(z1, …, zn)Cп, 1 k n-1, – деяка ціла функція, парна по змінних zk+1, ..., zn. Оператором диференціювання-Бесселя не-скін-чен-ного порядку в просторі називатимемо оператор

(DB):==

за умови, що для довільної основ-ної функції ряд

=

зобра--жає деяку основну функцію з простору .

Використовуючи методику, розроблену В.В.Городецьким та О.М.Ленюком1 при дослідженні властивостей оператора диференціювання нескінченного порядку, який діє у просторах типу W, та методику, розвинену у підрозділах 2.2 та 3.4 даної роботи у -одновимірному та п-вимірному випадках для операторів Бесселя нескінченного порядку, що діють у просторах типу , прийдемо до такого твердження.

Теорема 3.7. Якщо ціла функція : CпC, парна по змінним zk+1, ..., zn, – мульти-плі-катор у просторі , 1 k n-1, то у просторі визначений і є неперервним оператор диференціювання-Бесселя нескінченного порядку (DB).

Якщо A – звуження оператора (DB) на простір , 1 k n-1, то для довільної функції правильна рівність

Rп.

Далі вивчається задача Коші для рівняння

, (t, x)(0, T]R +, (0.5)

1Городецький В.В., Ленюк О.М. Множини початкових значень гладких розв’язків еволюційних рівнянь з оператором диференціювання нескінченного порядку // Крайові задачі для диференціальних рівнянь: Зб. наук. пр. – Київ: Ін-т математики НАН України, 2000. – Вип.5. – С. 47-82.

з оператором A та початковою функцією f, яка є елементом простору узагальнених функцій (). При цьому, попередньо, вивчаються властивості згорток, згортувачів та мультиплікаторів у таких просторах, властивості функції G(t,)= – ФРЗК (диференційовність по t функції G як абстрактної функції параметра t із значеннями в просторі , граничні властивості згортки (t, ) при t+0 у просторі (), оцінки ФР). Основним результатом цього підрозділу є теорема.

Теорема 3.9. Для того, щоб задача Коші для рівняння (0.5) була коректно розв’язною та:

1) її розв’язок u(t, ) при кожному фіксованому t(0, T] належав до простору , 1 k n-1;

2) u(t, x)= (t, x), (t, x)+,

3) u(t, ) f, t+0, у просторі (),

необхідно і досить, щоб узагальнена функція була мультиплікатором у просторі .

Висновки

Дисертація присвячена побудові теорії задачі Коші для еволюційних рівнянь з оператором Бесселя нескінченного порядку у класах початкових даних, які є узагальненими функціями з просторів типу (). Такі рівняння є природним узагальненням сингулярних параболічних рівнянь і важливі з точки зору застосувань у теорії рівнянь з частинними похідними.

У дисертаційній роботі вперше:

– знайдено необхідні й достатні умови, за яких оператор Бесселя нескінченного порядку коректно визначений і обмежений у просторах типу ; доведено нескінченну диференційованість операції узагальненого зсуву аргументу в просторах типу ;

– знайдено необхідні й достатні умови, які характеризують клас згортувачів – узагальнених функцій із просторів типу (); досліджені властивості перетворення Фур’є-Бесселя таких узагальнених функцій;

– встановлено оцінки ФРЗК та досліджено властивості ФРЗК як абстрактної функції часового параметра із значеннями у просторах типу , доведена диференційованість (по t) згортки ФРЗК з довільною уза-галь-неною функцією з простору типу () та одержана формула дифе-рен-ціювання такої згортки (по t), доведено існування граничного значення таких згорток при t+0 у просторах узагальнених функцій типу ();

– знайдено оператор, спряжений до оператора Бесселя нескінченного порядку;

– доведено теореми про коректну розв’язність задачі Коші у просторах узагальнених функцій типу (), знайдено необхідні й достатні умови, які повинна задовольняти початкова узагальнена функція f, щоб при їх виконанні розв’язок мав вигляд u(t,)=(t,) (G – ФРЗК), де u(t,) при кожному t(0, T] належить простору основних функцій типу , u(t, )f, t+0, у просторі узагальнених функцій типу (); аналогічні результати одержані для еволюційного рівняння вищого порядку по t з оператором Бесселя нескінченного порядку;

– розвинена теорія задачі Коші для еволюційного рівняння з оператором диференціювання-Бесселя нескінченного порядку; для таких рівнянь одержано результати, аналогічні до результатів, описаних вище.

Одержані результати і методика доведень мають теоретичне значення. Вони можуть знайти застосування і подальший розвиток у теорії рівнянь з частинними похідними, теорії узагальнених функцій, а також вони є повним математичним інструментарієм для дослідження нетрадиційних, некласичних розв’язків у таких областях фізики: нестаціонарні теплові процеси; дифузія носіїв струму в фото- і термоелектриці; теорії нестаціонарних квантових процесів.

Список опублікованих праць

за темою дисертації

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Анотація

Мартинюк О.В. Задача Коші для еволюційних рівнянь з оператором Бесселя нескінченного порядку. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. Чернівецький національний університет, Чернівці, 2003.

Дисертація присвячена побудові теорії задачі Коші для еволюційних рівнянь з оператором Бесселя нескінченного порядку в класах початкових умов, які є узагальненими функціями нескінченного порядку з просторів типу () і дослідженню властивостей фундаментального розв’язку. За допомогою методу перетворення Фур’є-Бесселя доведено існування і єдиність розв’язку задачі Коші у просторах узагальнених функцій типу (); знайдено необхідні й достатні умови, які повинна задовольняти початкова узагальнена функція f(), щоб при їх виконанні розв’язок мав вигляд (G - ФРЗК), де при кожному належить простору основних функцій типу .

Аналогічні результати одержано для еволюційного рівняння з оператором диференціювання-Бесселя нескінченного порядку.

Ключові слова: перетворення Фур’є-Бесселя, узагальнена функція, згортка, мультиплікатор, ціла функція, сингулярні параболічні рівняння, задача Коші.

ABSTRACT

Martynyuk O.V. The Cauchy problem for evolution equations with Bessel operator of infinite order. – Manuscript.

The thesis for obtaining the scientific degree of the candidate of physical and mathematical sciences on the speciality 01.01.02 – differential equations. Chernivtsy National University, Chernivtsi, 2003.

The thesis is devoted to the construction of the theory of the Cauchy problem for evolution equations with Bessel operator of infinite order in classes of entry conditions which are generalized functions of infinite order from the spaces of type (). The dissertation is also devoted to the investigation of properties of fundamental solution. With help of Fourier-Bessel transformation method the existence of the unique solution of the Cauchy problem in the spaces of generalized functions of type () has been proved; the necessary and sufficient conditions which entry generalized function f() satisfies have been found; under these conditions the solution looks like (G – is a fundamental solution of the Cauchy problem) and belongs to the space of base functions of the type for every .

Analogous results for the evolution equation with Bessel operator of differentiation of infinite order have been obtained.

Key words: Fourier-Bessel transformation, generalized function, convolution, multiplicator, entire function, singular parabolic equation, Cauchy problem.

АННОТАЦИЯ

Мартынюк О.В. Задача Коши для эволюционных уравнений с оператором Бесселя бесконечного порядка. – Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 – дифференциальные уравнения. Черновицкий национальный университет, Черновцы, 2003.

Диссертация посвящена построению теории задачи Коши для эволюционных уравнений с оператором Бесселя бесконечного порядка в классах начальных условий, которые являются обобщенными функциями бесконечного порядка из пространств типа () и исследованию свойств фундаментального решения. Такие уравнения являются естественным обобщением сингулярных параболических уравнений и есть важными с точки зрения применений в теории уравнений с частными производными.

С помощью метода преобразования Фурье-Бесселя найдены необходимые и достаточные условия, при которых оператор Бесселя бесконечного порядка, действующий в пространствах типа , будет ограниченным; при этом такой оператор понимается как псевдодифференциальний оператор, построенный по определенному аналитическому символу. Также в работе найдены необходимые и достаточные условия, которые характеризуют класс свертывателей – обобщенных функций из пространств типа (); исследованы свойства преобразования Фурье-Бесселя таких обобщенных функций. Установлены оценки фундаментального решения задачи Коши (ФРЗК) и исследованы свойства ФРЗК как абстрактной функции временного параметра со значениями в пространствах типа , доказана дифференцируемость (по t) свертки ФРЗК с произвольной обобщенной функцией из пространства типа () и установлена формула дифференцирования такой свертки (по t), изучено поведение указанных сверток при в пространствах обобщенных функций типа (). Доказано, что операция обобщенного сдвига аргумента определена и бесконечно дифференцируема в пространствах типа (то есть предельные соотношения вида , , выполняются в пространствах типа ; , - оператор обобщенного сдвига аргумента, который соответствует оператору Бесселя); а также найден оператор, сопряженный оператору Бесселя бесконечного порядка.

Одними из основных результатов являются теоремы, в которых доказано существование и единственность решения задачи Коши в пространствах обобщенных функций типа (); найдены необходимые и достаточные условия, которые должна удовлетворять начальная обобщенная функция f(), при выполнении которых решение имеет вид (G - ФРЗК) и при каждом принадлежит пространству основных функций типа .

Развита теория задачи Коши для эволюционного уравнения с оператором, действующим по одной группе независимых переменных как оператор дифференцирования бесконечного порядка, а по другой группе переменных – как оператор Бесселя бесконечного порядка; получены результаты, аналогичные результатам, описанным выше.

При получении этих результатов модифицированы методы теории задачи Коши для равномерно параболических и сингулярных параболических уравнений.

Полученные результаты и методика доказательств имеют теоретическое значение. Они могут найти применение и дальнейшее развитие в теории уравнений с частными производными, теории обобщенных функций, а также при исследовании задач математической физики неоднородных сред.

Ключевые слова: преобразования Фурье-Бесселя, обобщенная функция, свертка, муль-ти-пликатор, целая функция, сингулярные параболические уравнения, задача Коши.