Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет

імені Івана Франка

Процах Наталія Петрівна

УДК 517.95

ЗАДАЧІ ДЛЯ ЕВОЛЮЦІЙНИХ РІВНЯНЬ ТА СИСТЕМ

ВИСОКОГО ПОРЯДКУ З ВИРОДЖЕННЯМ

01.01.02 — диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико – математичних наук

Львів — 2003

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі диференціальних рівнянь Львівського націо-нального університету імені Івана Франка, Міністерство освіти і науки України.

Науковий керівник — доктор фізико – математичних наук,

професор Лавренюк Сергій Павлович,

професор кафедри диференціальних рівнянь

Львівського національного університету

імені Івана Франка.

Офіційні опоненти: доктор фізико – математичних наук,

доцент Копитко Богдан Іванович,

професор кафедри математики і статистики

Львівського банківського інституту НБУ;

кандидат фізико – математичних наук,

доцент Ільків Володимир Степанович,

доцент кафедри обчислювальної математики

та програмування Національного

університету “Львівська політехніка”.

Провідна установа — Інститут прикладної математики і механіки

НАН України (м. Донецьк), відділ рівнянь

математичної фізики.

Захист відбудеться “ 20 ” лютого 2003 р. о 15.20 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради К 35.051.07 у Львівському національному університеті імені Івана Франка за адресою: 79000, м. Львів, вул. Університетська, 1, аудиторія 377.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка (м. Львів, вул. Драгоманова, 5).

Автореферат розісланий “ 20 ” січня 2003 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Бокало М. М.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Виродженими еволюційними рівняннями з першою та другою похідною за часовою змінною описуються деякі явища фізики, механіки, біології та інших областей науки. Наприклад, вироджені гіперболічні рівняння виникають у теорії безмежно малих згинів поверхонь обертання, в газовій динаміці; вироджені параболічні — у процесах опріснення морських вод; ультрапараболічні — у деяких задачах дифузійних процесів та розсіювання електронів.

У цій дисертаційній роботі досліджено задачі для деяких класів еволюційних рівнянь та систем з виродженням, ультрапараболічних рівнянь, а також для нелінійних рівнянь високих порядків з другою похідною за часовою змінною в узагальнених просторах Лебега та Соболєва.

Вперше вироджені гіперболічні рівняння другого порядку розглянув Г. Дарбу (Darboux G.) ще у XIX столітті. Пізніше вони активно вивчалися у XX-му столітті в працях Глазатова С. Н., Барановського Ф. Т., Вайнермана Л. І., Брюханова В. А., Маловічка В. А., Катишева В. В., Дерябіної  А. В., Смірнова М. М. та ін.

Параболічні рівняння з першою похідною за часовою змінною і високих порядків за просторовими змінними, які мають два параметри виродження розглянуто у працях Івасишена С. Д., Возняк О. Г., Мединського І. П.. Дослідженню систем параболічних за І. Г. Петровським з похідними високих порядків (і 2) за часовою змінною і одним параметром виродження присвячені праці Богатової В. П., Глушка В. П., а праці Лавренюка С. П. – дослідженню гіперболічних рівнянь та систем високих порядків з виродженням. Крім того, знайдено класи єдиності розв'язку мішаної задачі в нециліндричній області для еволюційних систем з виродженням на початковій гіперплощині з другою похідною за часом (Лавренюк С.П.). Системи мають два параметри виродження, містять, як частковий випадок, деякі лінійні системи, параболічні за Петровським і вироджуються в еліптичні. Існування розв'язків та їх гладкість для таких задач доведено не було, що є зроблено у цій дисертаційній роботі.

Мішані задачі для нелінійних рівнянь високих порядків з другою похідною за часовою змінною вивчені мало. Вкажемо лише праці Лавренюка С. П., Аджалової Н. А., Абулова М. А., Максудова Ф. Г., Худавердієва Ф. К., Якубова С. Я., Алієва Ф. А., Мухиєва Б..

У 1991 році в праці Ковачіка О. (Kovбиik О.) і Ракосніка Й. (Rбkosnic J.) простори Соболєва та Лебега узагальнено на випадок змінного показника, тобто введено і вивчено властивості функцій, інтегровних зі степенем, який є функцією. Це дозволило вивчати більш складні нелінійні рівняння. Цим зумовлена поява досліджень задач для параболічних рівнянь в узагальнених просторах Соболєва. Це праці Самохіна В. Н., Лавренюка С. П., Бокала М. М., Сікорського В. М., Бугрія О. М.. Але задачі для рівнянь з другою похідною за часовою змінною в узагальнених просторах Соболєва не вивчалися. У цій дисертаційній роботі розглянуто мішані задачі для нелінійних рівнянь з другою похідною за часовою змінною в узагальнених просторах Соболєва.

Ультрапараболічні рівняння вперше ввів Колмогоров А. М. для опису випадкових рухів. Ці рівняння виникають в деяких задачах теорії ймовірностей, дифузійних процесів, теорії бінарних електролітів, біології та інших областях науки. Вони є одним з класів вироджених параболічних рівнянь.

Різноманітні задачі для лінійних ультрапараболічних рівнянь вивчено у працях Ейдельмана С. Д., Івасишена С. Д., Малицької Г. П., Городецького В. В., Житарюка І. В., Терсенова С. А., Пяткова С. Г., Ільїна С. А., Орлової С. А., Генчева Т. Г., Амірова Ш., Паскальова І. Г.. Невелика кількість праць присвячена мішаним задачам для нелінійних ультрапараболічних рівнянь в обмежених областях. Згадаємо тут лише праці Халмурадова Ч. Г., Суворова С. Г., Жуо Кун Ву (Zhuo Qun Wu), Ф. Ласціалфарі (F. Lascialfari) та Д. Морбіделлі (D. Morbidelli). Задачі для нелінійних ультрапараболічних рівнянь в необмежених областях за часовою чи за просторовими змінними раніше не вивчалися.

У 1984 році Брезіс Х. (Brezis H.), Херреро М. (Herrero M.), Піерре М. (Pierre) вперше довели однозначну розв'язність мішаної задачі для деяких нелінійних параболічних рівнянь в необмежених областях за просторовими змінними незалежно від поведінки розв'язку на нескінченності. У цьому ж році Бокало М. М. одержав єдиність розв'язку без умов на нескінченності, а пізніше й існування розв'язку без припущень на зростання вихідних даних при t ® -Ґ задачі Фур'є. Стосовно нелінійних ультрапараболічних рівнянь подібних результатів не було. Це зроблено в даній роботі.

Відзначимо, що рівняння та їх системи з виродженням характерні тим, що немає загальної теорії для їх дослідження. У кожному конкретному випадку до них потрібно шукати окремий підхід, модифікацію вже відомих методів.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації передбачена планами наукової роботи Львівського національного університету імені Івана Франка і є складовою частиною завдання держбюджетної теми “Побудова математичних моделей та розробка методів дослідження крайових задач для диференціальних рівнянь та випадкових еволюцій” (номер держреєстрації 0100U001411).

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є визначення умов існування та єдиності розв'язків мішаних задач та задач без початкових умов для деяких типів еволюційних рівнянь та систем. Для досягнення цієї мети вирішуються такі задачі:

1) визначити умови існування розв'язку мішаної задачі для системи з другою похідною за часовою змінною виродженої в нециліндричній області, дослідити гладкість цього розв'язку;

2) знайти класи існування та єдиності розв'язку в узагальнених просторах Соболєва та Лебега задач для нелінійних еволюційних рівнянь з другою похідною за часовою змінною та для нелінійних ультрапараболічних рівнянь;

3) дослідити існування та єдиність розв'язків для нелінійних ультрапараболічних рівнянь в необмежених за просторовими змінними областях та задачі Фур'є для цих рівнянь в обмежених за просторовими змінними областях.

Об'єкт дослідження: задачі для еволюційних рівнянь та їх систем.

Предмет дослідження: однозначна розв'язність мішаних задач та задач без початкових умов для рівнянь та систем рівнянь високих порядків з другою похідною за часовою змінною та ультрапараболічних рівнянь.

Методи досліджень: метод Гальоркіна, метод регуляризації, метод штрафу, метод кінцево-різницевих відношень, методи монотонності та компактності.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертаційній роботі одержано такі нові результати:

1. Визначено умови існування розв'язку в нециліндричній області мішаної задачі для вироджених систем з другою похідною за часовою змінною і високого порядку за просторовими змінними та з двома параметрами виродження. Одержано умови гладкості розв'язку за просторовими та часовою змінними у циліндричній області. Умови єдиності розв'язку такої задачі одержано у працях Лавренюка С. П..

2. Знайдено умови існування єдиного розв'язку в узагальнених просторах Соболєва та Лебега мішаних задач для нелінійних рівнянь з другою похідною за часовою змінною (які містять, як частковий випадок, деякі рівняння, параболічні за І. Г. Петровським), а також для нелінійних ультрапараболічних рівнянь. Такі рівняння в узагальнених просторах Соболєва та Лебега розглянуто вперше.

3. В необмеженій за просторовими змінними області вперше знайдено умови існування та єдиності розв'язку мішаної задачі для нелінійних ультрапараболічних рівнянь в узагальнених просторах Соболєва.

4. Вперше доведено існування та єдиність розв'язку задачі Фур'є (задачі без початкових умов) для нелінійних ультрапараболічних рівнянь.

Практичне значення одержаних результатів. Результати досліджень мають теоретичний характер. Їх можна використати при подальших дослідженнях рівнянь математичної фізики та в теорії диференціальних рівнянь в частинних похідних.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації одержані автором самостійно. У спільних з науковим керівником роботах [3, 6, 10] С. П. Лавренюку належать формулювання задач і аналіз одержаних результатів.

Апробація результатів дисертації. Результати досліджень, що включені до дисертації, доповідалися та обговорювалися на: VIII міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (Київ, 2000 р.), II Всеукраїнській науковій конференції “Нелінійні проблеми аналізу” (Івано - Франківськ, 2000 р.), міжнародній конференції “Nonlinear Partial Differential Equations” (Київ, 2001р.), міжнародній науковій конференції “Нові підходи до розв'язування диференціальних рівнянь” (Дрогобич, 2001 р.), міжнародній конференції “Functional Analisys and its applications”, присвяченій 110-ій річниці Стефана Банаха (Львів, 2002 р.), Львівському міському семінарі з диференціальних рівнянь (Львів, 1999–2002 рр.), науковому семінарі з питань математичного моделювання Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича (Чернівці, 2002 р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 7 працях [1 - 7] у наукових фахових виданнях з переліку ВАК України та додатково висвітлені у 4 тезах і матеріалах конференцій [8 - 11].

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел і додатку та викладена на 195 сторінках машинописного тексту. Список літератури містить 199 найменувань і займає 21 сторінку. Обсяг додатку — 9 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано актуальність теми, показано зв'язок роботи з науковими темами, виділено мету і задачі дослідження та методи їх розв'язувань, вказано наукову новизну результатів, їх апробацію, практичне значення, кількість публікацій та структуру дисертації.

У першому розділі дисертації подано огляд праць, які стосуються коректності задач для еволюційних рівнянь та систем високих порядків з виродженням або з різноманітними нелінійностями, задач для ультрапараболічних рівнянь та описано результати дисертації.

У другому розділі розглянуто мішану задачу для еволюційних систем високого порядку з виродженням на гіперплощині задання початкових даних у еліптичні. Системи містять два параметри виродження, від співвідношення яких залежать умови розв'язності цієї задачі.

У підрозділі 2.1 в обмеженій області Q М Еn+1 (не обов'язково циліндричної форми), яка лежить в шарі {0 < t < T}, одержано існування розв'язку мішаної задачі

(1)

(2)

де l=1; m=1; 0 = p= l; m0=max{m,l}; уl =0, якщо l=m, уl =1, якщо l>m; Ф, Абв (|б|=|в|? m), Bбв (|б|=|в|? l), Gб (1?|б|? m), Cб (1?|б|? l) – квадратні матриці порядку N; u= colon(u1, …,uN); Fб=colon(F,…,F), (|б|? p); x=(x1,…,xn); Dб = , |б| = б1+ …+ бn, ?ф = Q?{t=ф}, S=. Нехай wОС([0,T]), w(0)= 0, w строго монотонно зростає і Вважаємо И(t)є1, якщо і И О С([0,T]) З С1((0,T]), И(0)=0, И строго монотонно зростає, якщо

Прикладами області Q є область, яка “розширюється” або “звужується” з часом. Єдиність розв'язку для цієї задачі доведено у працях Лавренюка С. П.

Введемо простір функцій як замикання множини нескінченно диференційовних функцій в , які дорівнюють нулю в околі S за нормою

Означення. Функцію назвемо узагальненим розв'язком задачі (1), (2), якщо вона задовольняє умову (23) і рівність

для довільної такої функції , що v(x,T)=0.

Припустимо, що для коефіцієнтів системи (1) виконуються такі умови:

1) {Ц, Aбв, Aбвt, Bбв} М LҐ(Q) для всіх a, b, які входять в (1); Цt О LҐ(Qе,T) "е>0;

2) (Ц(x,t)о,о)? ц(t)|о|2 для майже всіх (x,t)Q і "оОЕN, цОC([0,T]), ц(0) = 0, ц(t) > 0, "tО(0,T], ОC((0,T]), (t) = 0 "tО(0,T], Ц(x,t)= Ц*(x,t) для майже всіх (x,t)Q, (Цt(x,t)о,о)?ц1(t)|о|2 для майже всіх (x,t)Q і "оОЕN,ц1ОC((0,T]), ц1(t)= 0 "tО(0,T];

3) Aab(x,t) = Aba(x,t), Aab(x,t) = A(x,t) для майже всіх (x,t) Q, |б| = |в| ? m; a0тWtS|a|=m|Dav|2dx ЈтWtS|a|=|b|Јm(Aab(x,t)Dbv, Dav)dx для майже всіх t(0,T) і будь-яких a0 — додатна стала;

4) тWtS|a|=|b|Јl(Bab(x,t)Dbv, Dav)dx іb0y(t)тWtS|a|=l|Dav|2dx для майже всіх t(0,T) і будь-яких b0 – додатна стала, шОC([0,T]), ш(0) ? 0, ш(t) > 0, "tО(0,T].

Тут — замикання за нормою простору .

Позначимо

Gl , gl,0 – функції з нерівності Фрідріхса, які залежать тільки від області Wt і числа l.

За допомогою методів регуляризації, Гальоркіна і штрафу доведено таку теорему.

Теорема 2.1. Нехай коефіцієнти системи (1) задовольняють умови 1) – 4) та їх можна продовжити в деяку циліндричну область, яка містить Q, зі збереженням цих умов, {Gб (1= |б|? m), Cб (1? |б|? l)} М LҐ(Qе,T) " е > 0. Нехай, крім того, виконується одна з умов:

1. Якщо ?0 > 0, то {с0 , g0}М LҐ(0,T); н1< +Ґ; тQ 1/[j(t)]k1е|a|Јp|Fa(x,t)|2/y(t) dxdt<Ґ

або

2. Якщо ?0=0, то {с0, g0} М LҐ(0,T); inf[0,T]sup[0,t](Gl(t)c0(t)gl,0(t))<b0;

тQе|a|Јp|Fa(x,t)|2/y(t) dxdt<Ґ .

Тоді існує узагальнений розв'язок задачі (1), (2).

Показано, що для деяких типів рівнянь, які входять в (1), умови на поведінку функцій Fб при t®0 цієї теореми є непокращувальними (зауваження 2.2).

У підрозділі 2.2 для задачі (1), (2) за додаткових умов гладкості коефіцієнтів системи одержано диференціальні властивості розв'язку за t в циліндричній області (теорема 2.2) та за змінною x в циліндричній області (зауваження 2.4). При цьому застосовано метод, запропонований Вішиком М. І., який полягає в диференціюванні наближень Гальоркіна та знаходженні їх апріорних оцінок, метод кінцево – різницевих відношень.

Третій розділ дисертації присвячено дослідженню умов розв'язності мішаних задач для нелінійних рівнянь в обмежених циліндричних областях в узагальнених просторах Соболєва та Лебега.

Нехай Щ - обмежена область з простору Rn, p(x), xО W — вимірна функція, 1<p(x)<8, xО?. Узагальненим простором Лебега Lp(x)(Щ) називатимемо простір функцій {v: тW|v|p(x) dx<+Ґ} з нормою inf{m>0:тW|v|p(x)/mp(x)dxЈ1} }.

Введемо позначення: Q=Щґ(0,T), S=?Щґ(0,T); Hk(Q), Wk,l(Q) — простори Соболєва.

У підрозділі 3.1 в області Q розглянуто мішану задачу

(3)

Dau|S=0, |a|Јmax{l,m}-1=m0 - 1, u(x,0)=u0(x), ut(x,0)=u1(x). (4)

Тут l0<l, l=1, m=1.

Теорема 3.1. Нехай виконуються умови 1) – 4); aбвtt LҐ(Q), Daaбв(x,0) LҐ(Щ0),, |б|=|в|?m; bбвt LҐ(Q), Dabбв(x,0) LҐ(Щ0),, |б|=|в|?l; cбt LҐ(Q), |б|?m; kбt LҐ(Q), |б|=l; gt LҐ(Q), et LҐ(Q), {f, ft}М L2(Q), Daf(Ч, 0) L2(Щ), |б|? l0; u1H2l (Щ0) L2p(x)-2(Щ0), u0 H2m (Щ0) L2q(x)-2(Щ0) та одна з таких умов:

1) 4p(x) - 2q(x) - p(x)q(x)> 0 і 2< q(x)<2(n-m)/(n-2m) при n > 2m та q2<+Ґ при n=2m, xО ?;

або

2) 2q(x)p(x) - 5p(x)+2> 0 і 1<2(q(x)-2)p(x)/(p(x)-2)<2n/(n-2m) 2< q(x) < , якщо n > 2m та q2<+Ґ, якщо n=2m, xО ?.

Тоді існує такий розв'язок задачі (3), (4), що uttОLҐ((0,T);L2(Щ)).

Теорема 3.2. Нехай виконуються умови 1) - 4) і, крім того, 2< q(x)= q2, xО ?, де , якщо n > 2m, n>2l; , якщо 2l > n, 2m < n і q2 < +Ґ в інших випадках. Тоді задача (3) – (4) не може мати більше одного узагальненого розв'язку.

У підрозділі 3.2 розглянуто мішану задачу для рівняння (3) при m=2, l=1 та з нелінійним доданком , g=0, e=0. За подібних припущень до 1) – 4), умов p2 = np1 / (n – p1), якщо n > p1, f О L2(Q), u1 О L2(Щ), u0 О W2,2(Щ) одержано існування розв'язку цієї задачі (теорема 3.3), а за додаткових умов на гладкість коефіцієнтів рівняння і функцію p(x) отримано єдиність цього розв'язку (теорема 3.4). Підвищуючи гладкість коефіцієнтів, функції p, на певних проміжках зміни цієї функції, величина яких залежить від n, одержано умови, коли цей розв'язок є гладшим (зауваження 3.2) та його єдиність (зауваження 3.4).

У підрозділі 3.3 досліджено мішану задачу для рівняння (3), в якому m=2, l=1, kб =0, e=0, aбв(x,t) = aбв(x). У випадку однорідних початкових умов одержано існування такого узагальненого розв'язку цієї задачі, що uС([0,T]; W), utL2((0,T); W)n Lp(x)(Q) n C([0,T]; L2(W)) (теорема 3.5). У цьому випадку 1<p(x)<+Ґ, коефіцієнти рівняння належать до простору C([0,T]; LҐ(W)).

У четвертому розділі дисертації розглянуто мішані задачі та задачу Фур'є для нелінійних ультрапараболічних рівнянь. Використовуватимемо такі позначення: Q=, — межа області ?, .

У підрозділі 4.1 в обмеженій області Q простору Еn+2 досліджено умови розв'язності мішаної задачі

(5) . (6)

Припускатимемо виконання таких умов:

1) aiО LҐ(Щ ґ (0,T)), ai(x,t)>0, " (x,t)О Щ ґ (0,T), iО {1,…, n};

2) {л, лy}М LҐ(Q), л(x,y,t)і 0 " (x,y,t)О Q, л ? 0;

3) pО LҐ(Щ), 1 < p(x)<Ґ .

Узагальненим розв'язком задачі (5), (6) назвемо функцію u, яка задовольняє (5) в сенсі інтегральної рівності.

Теорема 4.1. Якщо виконуються умови 1) – 3), то задача (5), (6) не може мати більше одного узагальненого розв'язку.

Нехай крім того, {f, fy}М L2(Q), {u0, uoy} М L2() , uo "Symbol"), iО{1,…,n}, u0|G=0, . Тоді існує узагальнений розв'язок задачі (5), (6).

Теорема 4.2. Нехай виконуються умови 1), 2), G), L), P), 2<p2 <2n/(n-1), якщо n>1 і p2>2, якщо n=1. Тоді задача (7), (8) не може мати більше одного узагальненого розв'язку.

Теорема 4.3. Якщо виконуються умови 1), 2), G), L), P), f О L, u0 О L , 1/p(x)+1/p'(x)=1; xО Щ, 2< p2 < 2n/(n-2), якщо n>2 і p2>2, якщо nО{1,2}, то існує узагальнений розв'язок задачі (7), (8).

У підрозділі 4.3 розглянуто задачу Фур'є (задачу без початкових умов) для рівняння (7), в якому коефіцієнт л залежить ще і від x, та виконуються умови

(9)

Тут позначатимемо Q=.

Нехай виконуються умови 1), 2), G) , P) попереднього підрозділу в довільній строго внутрішній (скінченній за t) підобласті області Q, W – обмежена область простору Еn і крім того,

L1) {л, лy} М LҐ(Q), л(x,y,t) ? 0 "(x,y,t) О Q, л(x,y0,t) > 0 " (x,t)О Щ ґ (0,T).

Теорема 4.4. Нехай виконуються умови 1), 2), G), L1), P), 2< p2 <+Ґ. Тоді задача (7) , (9) не може мати більше одного узагальненого розв'язку.

Якщо, крім того, {ailt, aily, biy, bit, cy, ct} М , {i,l}М{1,…,n}; існують такі сталі G0 і 0, g1, g2, що |gо(x,y,t,x)| = G0|x|p(x)-2, |gy(x,y,t,x)| = g2|x|p(x)-1, |gt(x,y,t,x)| = g1|x|p(x)-1; f О L, 1/p(x)+1/p'(x)=1; xО Щ, {fy, ft} М L, f(x,y0, t)= 0, p2 = 2+2/n. Тоді існує узагальнений розв'язок задачі (7), (9).

ВИСНОВКИ

У дисертації знайдено умови існування та єдиності розв'язків мішаних задач та задачі Фур'є для деяких типів еволюційних рівнянь та систем. В окремих випадках досліджено гладкість розв'язку.

Отримано такі нові результати.

1) Доведено існування розв'язку мішаної задачі для еволюційних систем високого порядку за просторовими змінними і другого порядку за часовою змінною в обмеженій області нециліндричної форми з виродженням (на гіперплощині задання початкових даних) у еліптичні. Також одержано гладкість розв'язку для цієї задачі в циліндричній області. Єдиність розв'язку цієї задачі доведено у працях Лавренюка С. П..

2) Досліджено існування єдиного розв'язку в узагальнених просторах Соболєва та Лебега мішаних задач для деяких типів нелінійних еволюційних рівнянь з другою похідною за часовою змінною, які містять, як частковий випадок, деякі параболічні за І. Г. Петровським рівняння та для нелінійних ультрапараболічних рівнянь.

3) Доведено однозначну розв'язність мішаної задачі для слабко нелінійних ультрапараболічних рівнянь в необмежених за просторовими змінними областях. Знайдені умови не залежать від поведінки розв'язку на нескінченності.

4) Визначено умови існування єдиного розв'язку задачі без початкових умов (задачі Фур'є) для слабко нелінійних ультрапараболічних рівнянь, які не залежать від поведінки розв'язку при .

Для одержання цих результатів застосовано методи, відомі для рівнянь гіперболічного та параболічного типів та їх модифікацію (методи Гальоркіна, регуляризації, штрафу, кінцево-різницевих відношень, монотонності та компактності).

Результати досліджень дисертаційної роботи мають теоретичний характер. Їх можна використати при подальших дослідженнях рівнянь математичної фізики та в теорії диференціальних рівнянь в частинних похідних.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Процах Наталія. Існування розв'язку однієї еволюційної системи з виродженням // Вісник Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 1999. – Вип. 54. – С. 159 - 170.

2. Процах Наталія. Внутрішня гладкість розв'язку мішаної задачі для еволюційної системи з виродженням // Вісник Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 2000. – Вип. 56. – С. 157 - 169.

3. Лавренюк С. П., Процах Н. П. Мішана задача для одного нелінійного параболічного рівняння // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 2000. – Т. 43, № 3. – С. 56-63.

4. Процах Н. П. Мішана задача для нелінійного еволюційного рівняння з другою похідною за часом в узагальнених просторах Лебега // Математичні студії. – 2001. – Т. 16, № 2. – С. 157 - 168.

5. Процах Наталія. Існування та єдиність розв'язку мішаної задачі для одного параболічного нелінійного рівняння // Вісник Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 2001. – Вип. 59. – С. 148 - 157.

6. Лавренюк С. П., Процах Н. П. Мішана задача для ультрапараболічного рівняння в необмеженій області // Укр. мат. журн. – 2002. – Т.54 , № 8. – С. 1053 - 1066.

7. Процах Н. П. Мішана задача для нелінійного ультрапараболічного рівняння // Наук. вісник Чернів. ун-ту: зб. наук. пр. Математика. Чернівці. ЧДУ. – 2002. – Вип. 134. – С. 97 – 103.

8. Процах Н. П. Про коректність мішаної задачі для еволюційної системи з виродженням // VIII міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука. Матеріали конференції (11-14 травня 2000 р.). - Київ, 2000. – С. 351.

9. Процах Наталія. Про мішану задачу для параболічного нелінійного рівняння в узагальнених просторах Соболєва // Міжнародна наукова конференція “Нові підходи до розв'язування диференціальних рівнянь” 1-5 жовтня 2001 р., Дрогобич, 2001. – С. 105.

10. Lavrenyuk Serhiy, Protsakh Natalia. The mixed problem for one ultraparabolic equation in an unbounded domain // Nonlinear Partial Differential Equations. Books of abstracts. International Conference. Kyiv, August 22-28, 2001, P. 77.

11. Protsakh N. P. Mixed problem for nonlinear ultraparabolic equation // International Conference on Functional Analisys and its applications. Dedicated to 110-th anniversary of Stephan Banach. Books of abstracts. May 28-31, 2002, Lviv, Ukraine, P. 164-165.

АНОТАЦІЇ

Процах Н. П. Задачі для еволюційних рівнянь та систем високого порядку з виродженням. — Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико – математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. Львівський національний університет імені Івана Франка. Львів, 2002.

У дисертації досліджено розв'язність мішаних задач і задачі без початкових умов для деяких типів еволюційних рівнянь і систем з виродженням та рівнянь з різними нелінійностями.

За допомогою модифікацій методу Гальоркіна та методів регуляризації, штрафу, кінцево-різницевих відношень, монотонності й компактності одержано умови існування узагальненого розв'язку мішаних задач для: лінійних еволюційних систем високого порядку з виродженням на початковій гіперплощині у нециліндричній області; нелінійних рівнянь з другою похідною за часом в узагальнених просторах Соболєва; нелінійних ультрапараболічних рівнянь в обмеженій або в необмеженій за просторовими змінними області, а також задачі без початкових умов для слабко нелінійних ультрапараболічних рівнянь. Крім того, для систем з виродженням доведено гладкість розв'язку за всіма змінними у циліндричній області, для нелінійних рівнянь досліджено єдиність розв'язку, в окремих випадках знайдено умови існування гладшого розв'язку.

Ключові слова: еволюційні рівняння та системи високих порядків, нелінійні ультрапараболічні рівняння, метод Гальоркіна, мішана задача, задача без початкових умов, виродження на початковій гіперплощині, узагальнені простори Соболєва, існування та єдиність розв'язку.

Protsakh N. P. Probelms for evolutionary higher order equations and systems with degeneration. — Manuscript.

Thesis for obtaining Сandidate of Science (Physics and Mathematics) degree (Ph.D.), specialization 01.01.02 – Differential equations. – Ivan Franko National University. Lviv, 2002.

The solubility results for mixed problems and for Fourier problem (problem without initial data) for some classes of evolutionary equations and systems with degenerations and for equations with different nonlinearities are obtained in the dissertation.

Modifications of Galerkin method and methods for evolutionary equations permitted to obtain some conditions of existence of weak solution for mixed problems for: linear higher order evolutionary systems with degeneration on initial plane in noncylindrical domain; nonlinear equations with second derivative on time in generalized Sobolev spaces; nonlinear ultraparabolic equations in the bounded and unbounded on the spase variables domain, and also for the Fourier problem for semi-linear ultraparabolic equations. Besides, smoothness of the solution on all variables is proved for the systems with degeneration in a cylindrical domain, the uniqueness of the solution is investigated for nonlinear equations, in some cases are founded conditions of the existence of smoother solution.

Key words: evolutionary higher order equations and systems, nonlinear ultraparabolic equations, Galerkin method, mixed problem, problem without initial data, degeneration on the initial plane, generalized Sobolev spaces, existence and uniqueness of solution.

Процах Н. П. Задачи для эволюционных уравнений и систем высокого порядка с вырождением. — Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико – математических наук по специальности 01.01.02 – дифференциальные уравнения. Львовский национальный университет имени Ивана Франко. Львов, 2002.

В диссертации исследовано разрешимость смешанных задач и задачи без начальных условий для некоторых классов эволюционных уравнений и систем с вырождением, уравнений с нелинейностями степенного вида с функцией в показателе, нелинейных ультрапараболических уравнений.

Получены такие результаты:

1. Доказано существование решения смешанной задачи для эволюционных систем высокого порядка по пространственным переменным и второго порядка по времени в нецилиндрической ограниченной области с вырождением (на гиперплоскости задания начальных данных) в эллиптическую. Частичными примерами области, в которой рассматривается задача, есть область, которая “расширяется” или “сужается” со временем. В этом случае применено метод штрафа для нецилиндрических областей, который позволяет рассматривать задачи для эволюционных систем со штрафом в некоторой цилиндрической области, а затем получить условия существования исследуемой системы в нецилиндрической области. Исследовано также гладкость решения по пространственным и временной переменным. При этом использовано метод конечно-разностных отношений.

2. Доказано существование единственного решения в обобщенных пространствах Соболева и Лебега смешанных задач для некоторых нелинейных эволюционных уравнений со второй производной по времени (уравнения с нелинейностями степенного вида с функцией в показателе), которые содержат, как частичный случай, некоторые параболические по И. Г. Петровскому уравнения. А также доказано разрешимость смешанной задачи для нелинейных ультрапараболических уравнений в ограниченной области в обобщенных пространствах Соболева. Эти уравнения содержат, как частичный случай, уравнение А. Н. Колмогорова.

3. Доказано однозначную разрешимость смешанной задачи в пространствах Соболева для слабо нелинейных ультрапараболических уравнений в неограниченных по пространственным переменным областях пространства Еn+2. Полученые условия не зависят от поведения решения на бесконечности. Уравнения могут вырождатся на части боковой поверхности.

4. Получены условия существования единственного решения задачи без начальных условий (задачи Фурье) для слабо нелинейных ультрапараболических уравнений. Эти условия не зависят от поведения решения при .

При получении этих результатов применено методы, известные для уравнений гиперболического и параболического типов и их модификацию (методы Галёркина, регуляризации, штрафа, конечно-разностных отношений, монотонности и компактности).

Результаты исследований этой диссертационной работы имеют теоретический характер. Они применимы при дальнейших исследованиях уравнений математической физики и в теории дифференциальных уравнений в частных производных.

Ключевые слова: эволюционные уравнения и системы высоких порядков, нелинейные ультрапараболические уравнения, метод Галёркина, смешанная задача, задача без начальных условий, вырождение на начальной гиперплоскости, обобщенные пространства Соболева, существование и единственность решения.

Підписано до друку 3.01.2003р.

Папір друк.№1. Спосіб друку – офсет.

Формат 60х84/16. Умовн. друк. аркушів 1,0

Тираж 100 прим.

Замовл. №12.

Друк ВКП фірма "ВМС"

м.Львів, вул. Вузька,3

тел./факс(0322)97-05-67, 76-26-65