Чернівецький національний університет

імені Юрія Федьковича

СОПРОНЮК Тетяна Миколаївна

УДК 517.928

КОЛИВАННЯ ІМПУЛЬСНИХ

БАГАТОЧАСТОТНИХ СИСТЕМ

01.01.02 – диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Чернівці – 2003

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі прикладної математики і механіки Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича.

Науковий керівник – доктор фізико-математичних наук, професор

ПЕТРИШИН Роман Іванович,

Чернівецький національний університет

імені Юрія Федьковича, декан математичного

факультету

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

БОЙЧУК Олександр Андрійович,

Інститут математики НАН України,

провідний науковий співробітник відділу

диференціальних рівнянь та теорії коливань;

кандидат фізико-математичних наук,

доцент КЛЕВЧУК Іван Іванович,

Чернівецький національний університет

імені Юрія Федьковича, доцент кафедри

математичного моделювання

Провідна установа – Київський національний університет ім. Тараса Шевченка, м. Київ.

Захист відбудеться “_18 ” ___04__________ 2003 р. о 1400 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради К 76.051.02 в Чернівецькому національному університеті імені Юрія Федьковича за адресою: 58012, м.Чернівці, вул. Університетська, 28.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича (58012, м. Чернівці, вул.Л.Українки, 23).

Автореферат розісланий “_14__” ______03_______ 2003.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Садов’як А.М.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальнiсть теми. Серед важливих прикладних задач, якi приводять до диференцiальних рiвнянь, особливе мiсце займають задачi, математичними моделями яких є багаточастотнi системи звичайних диференцiальних рiвнянь з iмпульсною дiєю. Такi системи виникають при вивченнi iмпульсних систем автоматичного регулювання, при математичному моделюваннi рiзноманiтних механiчних, радiотехнiчних, фiзичних, бiологiчних та iнших процесiв. Cкладнiсть дослiдження цих систем пов’язана з тим, що крiм iмпульсної дiї, яка вiдiграє суттєву роль, вони мiстять одночасно швидкi та повiльнi рухи.

На даний час вивчено широке коло задач, що пов’язанi iз звичайними диференцiальними рiвняннями з iмпульсною дiєю. Цi задачi отримали широкий розвиток у працях представникiв київської школи з нелiнiйної механiки: М.М. Крилова, М.М. Боголюбова, Ю.О. Митропольського, А.М. Самойленка, М.О. Перестюка та iн. Основнi результати теорiї систем звичайних диференцiальних рiвнянь з iмпульсною дiєю викладенi в монографiї А.М. Самойленка i М.О. Перестюка Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействи-ем. – К.: Вища школа, 1987.– 288 с.. Тут показано, що класичнi якiснi методи дослiдження звичайних диференцiальних рiвнянь в основному природним чином переносяться на динамiчнi системи з розривними траєкторiями. Разом з тим наявнiсть iмпульсної дiї породжує ряд нових специфiчних задач. Асимптотичнi методи для iмпульсних систем вивчалися в роботах А.М. Самойленка, М.О. Перестюка, C.I. Трофiмчука, О.А. Бойчука, Ю.М. Теплiнського, М.У.  Ахметова та iнших.

Дослiдження багаточастотних систем в свою чергу ускладнюється через наявнiсть в них явищ резонансу. Вперше такi системи iз сталим вектором частот дослiдили Ю.О. Митропольський i А.М. Самойленко. У випадку змiнного вектора частот спочатку були вивченi одно- i двочастотнi системи (працi В.I. Арнольда, В.I. Бахтiна, А.I.Нейштадта, В.Є. Прончатова), а при бiльшому числi частот вiдомi результати Д.А. Аносова, Є.О. Гребенiкова i Н.I. Попової, А.М. Колмогорова, Н.Н. Нехорошева, В.О. Плотнiкова, А.М. Самойленка i Р.I. Петришина, М.М. Хапаєва.

Одними iз найефективнiших методiв дослiдження коливних систем з повiльно змiнними частотами є методи усереднення та iнтегральних многовидiв, викладенi в монографiї А.М. Самойленка i Р.I. Петришина Самойленко А. М., Петришин Р. I. Багаточастотнi коливання нелiнiйних систем. – К.: Iн-т ма-тематики НАН України, 1998.- 340 c. . Застосування цих методiв до зазначених систем ґрунтується на рiвномiрних оцiнках осциляцiйних iнтегралiв, за допомогою яких аналiзуються резонанснi зони.

Системи, якi є одночасно i iмпульсними, i багаточастотними, в даний час вивчено недостатньо. Це пов’язано як iз наявнiстю специфiчних ефектiв, властивих iмпульсним системам, так i зi складною поведiнкою багаточастотних систем через появу резонансних спiввiдношень мiж координатами змiнного вектора частот. Накладання цих фактiв приводить до якiсно нових задач, якi тiльки почали вивчатися. Вiдмiтимо, що в цьому напрямку першi результати отриманi А.М. Самойленком, Р.I. Петришиним, М.М. Астаф’євою, Я.Р. Петришиним, Л.М. Лакустою.

Дисертацiйна робота присвячена поєднанню методик дослiджень багаточастотних та iмпульсних систем i вивченню специфiчної поведiнки резонансних систем з iмпульсною дiєю.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослiдження дисертацiйної роботи розпочатi в рамках теми "Якiснi i конструктивнi методи дослiдження систем з пiслядiєю та їх застосування" (N держреєстрацiї 0199U001909), що виконувалась на кафедрi прикладної математики i механiки Чернiвецького унiверситету в 1996—2000 роках, i були продовженi в рамках науково дослiдної роботи "Обгрунтування асимптотичних методiв дослiдження нелiнiйних диференцiальних та диференцiально-функцiональних рiвнянь" (N держреєстрацiї 0100V005501), яка входить до координацiйного плану наукових дослiджень мiнiстерства освiти i науки України з напрямку "Геометричнi та аналiтичнi методи в математицi та їх застосування".

Мета i задачi дослiдження. Метою роботи є якiсне дослiдження багаточастотних iмпульсних систем.

Методи дослiдження: метод усереднення та метод iнтегральних многовидiв.

Об’єкт дослiдження: системи диференцiальних рiвнянь з повiльними та швидкими змiнними з фiксованими i нефiксованими моментами iмпульсної дiї, яким властиве явище резонансу.

Предмет дослiдження: рiвномiрнi оцiнки осциляцiйних iнтегралiв i сум та обґрунтування асимптотичних методiв для коливних систем з повiльно змiнними частотами та iмпульсним збуренням.

Задачi дослiдження: вивчення властивостей фундаментальної матрицi для лiнiйних систем зазначеного типу, встановлення умов стiйкостi розв’язкiв для нелiнiйних систем, обґрунтування методу усереднення i побудова iнтегрального многовиду для багаточастотних систем, що пiдлягають iмпульснiй дiї у фiксованi моменти часу.

Наукова новизна одержаних результатiв. У дисертацiї вперше одержано такi науковi результати: —

встановлено рiвномiрнi оцiнки осциляцiйних iнтегралiв i сум, якi використовуються при обґрунтуванні асимптотичних методiв; —

одержано експоненцiальнi оцiнки фундаментальної матрицi лiнiйної багаточастотної системи з iмпульсною дiєю, а також оцiнки частинних похiдних матрицанту для лiнiйної багаточастотної системи без iмпульсної дiї; —

дослiджено стiйкiсть нелiнiйних багачастотних систем з фiксованими i нефiксованими моментами iмпульсної дiї; —

оцiнено похибки методу усереднення на вiдрiзку для нелiнiйних iмпульсних багаточастотних систем, доведено аналог теореми Банфi-Фiлатова про обґрунтування методу усереднення на пiвосi для таких систем, методом послiдовного застосування крайових задач дослiджено усереднення iмпульсних систем на всiй осi; —

встановлено умови iснування iнтегрального многовиду для багаточастотних нелiнiйних коливних систем з iмпульсною дiєю i вивчено властивостi функцiї, яка визначає iнтегральний многовид.

Практичне значення одержаних результатiв. Одержанi результати i методика дослiджень мають, в основному, теоретичне значення i можуть бути використанi при вивченнi практичних задач теорiї нелiнiйних коливань. Встановленi теореми i твердження в подальшому можуть бути поширенi на новi класи диференцiальних рiвнянь.

Особистий внесок здобувача. Всi основнi результати дисертацiї отриманi автором самостiйно. Частина дослiджень проведена автором разом з керiвником. Зокрема, в спiльних з науковим керiвником роботах [1-3,7,8] Р.I.Петришину належить постановка задач, визначення загальної схеми дослiдження та аналiз одержаних результатiв.

Апробацiя результатiв дисертацiї. Результати дослiджень, що включенi до дисертацiї, були представленi на таких Мiжнародних конференцiях:

VIII Мiжнародна конференцiя iм. академiка М.Кравчука (Київ, 2000 р.), "Диференцiальнi та iнтегральнi рiвняння" (Одеса, 2000 р.), "Диференцiальнi рiвняння i нелiнiйнi коливання" (Чернiвцi, 2001 р.), "Теорiя еволюцiйних рiвнянь. П’ятi Боголюбовськi читання " (Кам’янець-Подiльський, 2002 р.), VI Кримська Мiжнародна математична школа "Метод функций Ляпунова и его приложения" ( Алушта, 2002

Вони також доповiдались на наукових семiнарах математичного факультету та кафедри прикладної математики i механiки Чернiвецького унiверситету (Чернiвцi, 2000—2002 рр.).

Публiкацiї. Основнi результати дисертацiйної роботи опублiкованi в 10 працях, з них 5 статей — в наукових журналах i збiрниках наукових праць, 5 — у матерiалах мiжнародних конференцiй. Серед публiкацiй 5 праць у наукових фахових виданнях з перелiку N ВАК України вiд 9.06.1999 р.

Структура i обсяг роботи. Дисертацiя складається з вступу, чотирьох роздiлiв, висновкiв, додатку i списку використаної лiтератури, який мiстить 132 найменування. Повний обсяг роботи становить 158 сторiнку, а основний змiст викладено на 139 сторiнках, додаток становить 7 сторiнок.

Автор висловлює щиру подяку науковому керiвнику професору Петришину Р.I. за постанов-ку задач, конструктивнi поради i цiкавi iдеї.

ЗМIСТ РОБОТИ

У вступi обгрунтовується актуальнiсть теми, визначаються мета i конкретнi задачi дослiдження, вказується на зв’язок дисертацiї з науковими темами кафедри, де вона виконувалась, наводяться основнi результати, вiдзначається їх новизна i практичне значення, вказується, де вiдбувалася апробацiя результатiв.

У першому роздiлi зроблено огляд основних напрямкiв наукових дослiджень, що стосуються коливних багаточастотних систем та систем звичайних диференцiальних рiвнянь з iмпульсною дiєю. Особливу увагу звернуто на тi методики дослiджень, якi далi використовуються в дисертацiї.

Другий роздiл присвячено вивченню властивостей нормальної фундаментальної матрицi лiнiйної системи iз швидко осцилюючими коефiцiєнтами та питанням стiйкостi розв’язкiв багаточастотних систем з iмпульсною дiєю.

У пiдроздiлi 2.1 розглядаються осциляцiйнi iнтеграли i суми, на рiвномiрних оцiнках яких грунтуються дослiдження всiєї дисертацiї.

Нехай:

А) функцiя та її похiднi до деякого порядку рiвномiрно неперервнi на i

Тут через позначено вiдповiдно l m-матрицю i транспоновану матрицю, – стала;

Б) для всiх , – часові моменти iмпульсної дiї.

При виконаннi А) i досить малому одержана оцiнка (лема 2.1.3)

(1)

для всіх а при виконанні А), Б) для довільного можна вибрати таке що (наслідок 2.1.1)

(2)

для всіх Тут k - цiлочисловий ненулевий вектор, i - уявна одиниця, (k,) -скалярний добуток в , а сталi не залежать вiд , але залежить вiд L.

Зазначимо, що оцiнка, аналогiчна (1), була встановлена в монографiї А.М.Самойленка i Р.I.Петришина[2]. Тепер вона покращена вiдносно порядку по k. Оцiнка типу (2) також була одержана М.М. Астаф’євою i Я.Р. Петришиним, але вони розглядали випадок, коли послiдовнiсть періодична по j. При таких обмеженнях була отримана точна вiдносно порядку по оцiнка осциляцiйної суми (2).

Розглянемо далi осциляцiйнi iнтеграл i суму

(3)

(4)

При виконаннi припущення A) у випадку гладкої матрицi Ф в монографiї А.М.Самойленка, Р.І. Петришина[2] одержана оцiнка вигляду Такого ж характеру оцiнки встановленi нами (теореми 2.1.2 i 2.1.3, лема 2.1.4) для кусково гладких матриць:

(5)

(6)

при виконаннi наступних умов: матриця для кожного фiксованого неперервно диференцiйовна по за виключенням точок ; на кожному пiвiнтервалi матриця задовольняє умову Лiпшиця по y зi сталою , незалежною вiд j, причому

моменти часу для задовольняють умову , а для умову , де – додатна стала, незалежна вiд . Якщо ж замiсть останньої умови вимагати виконання припущення Б), то в оцiнцi (6) треба замiнити на .

Оцiнки осциляцiйних iнтегралiв i сум з ненульовим вектором k з цiлочисловими координатами, розглянутi вище, використовуються при дослiдженнi багаточастотних iмпульсних систем з перiодичними по кутових змiнних правими частинами. У даному пiдроздiлi встановлено також оцiнки таких iнтегралiв та сум з довiльним вектором k0 (леми 2.1.1 i 2.1.2), що дозволяє вивчати випадок майже перiодичних по систем.

У пiдроздiлi 2.2 одержано оцiнки норми фундаментальної матрицi лiнiйної системи iз швидко осцилюючими коефiцiєнтами без iмпульсноi дiї (теорема 2.2.1) i для таких же систем з фiксованими моментами iмпульсної дiї з "великими" i "малими" вiдстанями мiж ними (вiдповiдно теореми 2.2.2 i 2.2.3). В перших двох випадках необхiднi оцiнки отриманi за допомогою оцiнок осциляцiйних iнтегралiв для гладких функцiй, а у випадку фiксованих моментiв iмпульсної дiї з "малими" вiдстанями мiж моментами iмпульсної дiї використовувались оцiнки осциляцiйних iнтегралiв i сум для розривних функцiй, отриманi в пiдроздiлi 2.1.

Розглянемо останнiй найскладнiший з трьох випадкiв. Нехай задано лiнiйну систему диференцiальних рiвнянь з iмпульсною дiєю

(7)

де –– малий параметр, матрицi сталi, матрицi неперервнi по – перiодичнi по кожнiй iз координат вектора , причому

(8)

для всiх . Тут — коефiцiєнти Фур’є при гармонiках матриць i , i — уявна одиниця, — скалярний добуток векторiв, , норма матрицi узгоджена з евклiдовою нормою вектора, числа i —досить малi, .

Припустимо, що – розв’язок iмпульсної задачi Кошi

,

(9)

де функцiї — неперервнi по i обмеженi сталою , а частоти задовольняють умову A) при .

Вважатимемо, що матрицант , лiнiйної iмпульсної системи

задовольняє нерiвнiсть

, (10)

з деякими додатними сталими K i , незалежними вiд . Наступна теорема встановлює оцiнку нормальної фундаментальної матрицi системи (7), в якiй — розв’язок задачi Кошi (9).

Теорема 2.2.3. Якщо виконуються умови (8), (10), припущення А) , то для кожного додатного iснують такi досить мале i досить велике , що справджується оцiнка

(11)

У випадку, коли норми матриць та досить малi, оцiнку (11) встановлено в монографiї А.М. Самойленка i М.О. Перестюка[1]. Ми ж вимагаємо, щоб малими були лише середнi значення i цих матриць в кубi перiодiв . Оцiнка (11) залишається правильною, якщо розглянути моменти iмпульсної дiї, для яких справджується припущення Б) при .

У пiдроздiлi 2.3 для лiнiйних резонансних систем без iмпульсної дiї встановлено ефективнi оцiнки частинних похiдних фундаментальної матрицi по параметру i по кутових початкових даних (теореми 2.3.1, 2.3.2 i 2.3.3).

У пiдроздiлi 2.4, використовуючи експоненцiальнi оцiнки матрицанту лiнiйної iмпульсної системи зi швидко осцилюючими коефiцiєнтами (пiдроздiл 2.3), розглядається проблема стiйкостi нульового розв’язку нелiнiйної багаточастотної системи з фiксованими (теорема 2.4.1) i нефiксованими (теореми 2.4.2 i 2.4.3) моментами iмпульсної дiї.

Теорема 2.4.1. Нехай виконуються припущення A), Б) при i нерiвностi (8), (10), а функцiї , неперервнi та задовольняють умови

Тодi iснує таке , що для всiх при досить малих

нульовий розв’язок системи

асимптотично стiйкий.

У третьому роздiлi розвинуто метод усереднення для багаточастотних коливних систем. У пiдроздiлi 3.1 на пiдставi покращених оцiнок осциляцiйних iнтегралiв (пiдроздiл 2.1) встановлено оцiнки похибки методу усереднення на вiдрiзку i пiвосi для багаточастотних коливних систем без iмпульсної дii з повiльно змiнними частотами та майже перiодичними по кутових змiнних правими частинами. Теореми 3.1.1 – 3.1.4 є поширенням результатiв, отриманих в монографiї А.М. Самойленка i Р.I. Петришина[2], на новi класи систем.

У пiдроздiлi 3.2 вивчається система

(12)

в якiй D – обмежена область, , – додатна стала, незалежна від , для всiх .

Нехай функцiя а функцiя -перiодична за кожною iз змiнних , розкладається в рiвномiрно по збiжний в G ряд Фур'є причому

(13)

Припустимо, що рiвномiрно по iснує границя

(14)

в якiй функцiя перiодична за кожною iз змiнних , розкладається в ряд Фур'є, а коефiцiєнти Фур'є справджують нерiвнiсть

. (15)

Нехай

(16)

де Поставимо у вiдповiднiсть системi (12) усереднену за всiма кутовими змiнними систему

(17)

Теорема 3.2.1. Нехай:

1)

2) виконуються умови (13)-(16);

3) функцiї задовольняють в G умову Лiпшиця по всiх аргументах i обмеженi;

4) для крива лежить в D разом iз своїм -околом.

Тодi для довiльного можна вказати таке , що для кожних справедлива оцiнка

(18)

де

Тут та розв'язки задач вiдповiдно (12) та (17), якi в початковий момент часу набувають значення

Теорема 3.2.1 обгрунтовує метод усереднення на вiдрiзку [0,1]. Наступна теорема обгрунтовує метод усереднення на пiвосi для повiльних змiнних.

Теорема 3.2.3.Нехай:

1) виконуються припущення 2), 3) теореми 3.2.1 при ;

2), а функцiї рiвномiрно неперервнi на

3) iснує рiвномiрно асимптотично стiйкий розв'язок рiвнянь

який мiститься в D разом iз своїм -околом при

Тодi:

а) можна вказати такi досить мале і що для всiх , і з -околу повiльнi змiннi кожного розв'язку системи (12) рiвномiрно обмеженi;

б) для довiльного iснує таке, що для всiх i виконується нерiвнiсть

Результати такого плану при бiльш жорстких умовах на правi частини системи (12) при умовi, що послiдовностi де перiодичнi по j, отриманi в працях М.М.Астаф’євої i Я.Р.Петришина.

У пiдроздiлi 3.3 для багаточастотних коливних систем з iмпульсною дiєю (12) на пiдставi рiвномiрних оцiнок осциляцiйних iнтегралiв та сум, встановлених в пiдроздiлi 2.1, одержано оцiнку частинних похiдних по початкових даних вiдхилення розв’язкiв задачi Кошi для вихiдних та усереднених рiвнянь з послабленими умовами на моменти iмпульсної дiї. При накладаннi на функцiї, що визначають правi частини системи (12), бiльш сильних, нiж в теоремi 3.2.1 обмежень, на вiдрiзку [0,L] доведено оцiнку (теорема 3.3.1)

У пiдроздiлi 3.4 дослiджено застосування методу усереднення за швидкими змiнними до розв’язання крайових задач для багаточастотних коливних iмпульсних систем. За його допомогою обгрунтовано метод усереднення на всiй осi для повiльних змiнних iмпульсної системи (теорема 3.4.2). Такий нестандартний пiдхiд використано в монографiї А.М.Самойленка i Р.I. Петришина[2] для дослiдження багаточастотних систем без iмпульсної дiї.

Для таких же систем з iмпульсною дiєю дослiдження розв’язностi крайових задач за допомогою методу усереднення ускладнюється в зв’язку з тим, що, крiм резонансних явищ, властивих багаточастотним системам, в момент iмпульсної дiї розв’язки можуть розщеплюватись або зливатися. В теоремi 3.4.1 i наслiдку 3.4.1 встановлено iснування єдиного розв’язку iмпульсної крайової задачi та одержано оцiнку близькостi розв’язкiв iмпульсної i усередненої гладкої крайових задач.

В останньому четвертому роздiлi дослiдження iснування iнтегрального многовиду для багаточастотних нелiнiйних коливних систем, розглянуте в роботах А.М. Самойленка i Р.I.Петришина для гладких систем, поширено на такi ж системи з iмпульсною дiєю. За допомогою методу iнтегральних многовидiв якiсне дослiдження вихiдної системи зводиться до аналiзу системи меншої розмiрностi.

У пiдроздiлi 4.1 за допомогою замiни змiнних вихiдну систему зведено до системи, iнтегральний многовид якої можна знайти методом послiдовних наближень. Вихiдна система має вигляд

(19)

де - обмежена область, дiйснi вектор-функцiї і b визначенi i - перiодичнi по кожнiй iз змiнних , на множинi , а середнi по в кубi перiодiв функцiй тотожно дорiвнюють нулю. На моменти iмпульсної дії тут накладається така умова:

Поряд з системою (19) розглянемо допомiжну систему

i припустимо, що вона має визначений i обмежений на всiй осi розв’язок , для якого система у варiацiях є рiвномiрно по гiперболiчною.

У пiдроздiлi 4.2 для вивчення такої системи доведено ряд допомiжних тверджень (леми 4.2.1-4.2.5), якi встановлюють властивостi розв’язку деякої задачi Кошi для швидких змiнних, а також одержано оцiнки осциляцiйних iнтегралiв та сум, якi є специфiчними для дослiджень iснування i властивостей iнтегральних многовидiв.

У пiдроздiлi 4.3 методом послiдовних наближень будується многовид допомiжної системи. Для цього в теоремi 4.3.1 вивчаються властивостi наближень многовидiв.

У пiдроздiлi 4.4 встановлено умови (теорема 4.4.1), при яких для досить малого виконуються наступнi твердження:

а) iснує iнтегральний многовид системи (19), який лежить в -околi кривої для всіх ;

б) функцiя-перiодична по , задовольняє умову Лiпшиця по зi сталою, пропорцiйною , кусково-неперервна по з розривами першого роду при ;

в) на iнтегральному многовидi система (19) набуває вигляду

У додатку на тестових модельних прикладах проiлюстровано застосування методу усереднення для розв’язування задачi Кошi i крайової задачi для багаточастотної iмпульсної системи. В системi MathCad створено нову функцiю, за допомогою якої знаходиться числовий розв’язок iмпульсної задачi. Побудовано графiки розв’язкiв iмпульсної i усередненої систем. Отриманi практичнi результати продемонстрували i пiдтвердили теоретичнi висновки про близькiсть розв’язкiв вихiдної i усередненої систем.

ВИСНОВКИ

Дисертацiйна робота присвячена вивченню багаточастотних коливних систем з iмпульсною дiєю. Такi динамiчнi системи з розривними траєкторiями мають широке застосування в нелiнiйнiй механiцi. На пiдставi оцiнок осциляцiйних iнтегралiв i сум дослiджено рiзнi аспекти теорiї iмпульсних багаточастотних систем.

Основними новими результатами дисертацiї є наступнi: —

встановлено рiвномiрнi оцiнки осциляцiйних iнтегралiв i сум; —

одержано експоненцiальнi оцiнки фундаментальної матрицi лiнiйної багаточастотної системи з iмпульсною дiєю, а також оцiнки частинних похiдних матрицанту для лiнiйної багаточастотної системи без iмпульсної дiї; —

дослiджено стiйкiсть нелiнiйних багачастотних систем з фiксованими i нефiксованими моментами iмпульсної дiї; —

оцiнено похибку методу усереднення на вiдрiзку для нелiнiйних iмпульсних багачастотних систем; доведено аналог теореми Банфi-Фiлатова про обгрунтування методу усереднення для повiльних змiнних на пiвосi для таких систем; методом послiдовного застосування крайових задач дослiджено усереднення iмпульсних систем на всiй осi; —

встановлено умови iснування iнтегрального многовиду для багаточастотних нелiнiйних коливних систем з iмпульсною дiєю i вивчено властивостi функцiї, яка визначає iнтегральний многовид.

Достовiрнiсть отриманих результатiв випливає з їх строгого математичного обгрунтування. Одержанi результати i методика дослiджень мають, в основному, теоретичне значення i можуть бути використанi при вивченнi практичних задач теорiї нелiнiйних коливань. Встановленi теореми i твердження в подальшому можуть бути поширенi на рiзнi класи диференцiальних рiвнянь.

Основнi результати дисертацiї опублiкованi в працях:

1. Петришин Р.I., Сопронюк Т. М. Про фундаментальну матрицю лiнiйної системи iз швидко осцилюючими коефiцiєнтами // Нелiнiйнi коливання.— 2000.— , N4.— C.497—504.

2. Петришин Р. I., Сопронюк Т.М. Експоненцiальна оцiнка фундаментальної матрицi лiнiйної iмпульсної системи // Укр. мат. журн. – 2001.– , N8.– С.1101–1108.

3. Петришин Р. I., Сопронюк Т.М. Оцiнки похибки методу усереднення для багаточастотних коливних систем. // Наук. вiсник Чернiвецького ун-ту: Зб. наук. пр. Вип.134. Математика.— Чернiвцi: Рута, 2002.– С.92–96.

4. Сопронюк Т.М. Асимптотична стiйкiсть розв’язкiв нелiнiйної iмпульсної системи з малим параметром. // Наук. вiсник Чернiвецького ун-ту: Зб. наук. пр. Вип.111. Математика.— Чернiвцi: Рута, 2001.– С.113–120.

5. Сопронюк Т.М. Iснування розривного iнтегрального многовиду багаточастотної iмпульсної системи // Наук. вiсник Чернiвецького ун-ту: Зб. наук. пр. Вип.150. Математика.— Чернiвцi: Рута, 2002.– С.98–102.

6. Сопронюк Т.М. Про оцiнку матрицанта лiнiйної системи з iмпульсним впливом зi швидко осцилюючими коефiцiєнтами // VIII Мiжнар. наук. конф. iм. акад. М.Кравчука (11—14 травня 2000 р., Київ): Матерiали конф.— Київ, 2000.— С.190.

7. Петришин Р.I., Сопронюк Т. М. Властивостi фундаментальної матрицi лiнiйної системи з iмпульсним впливом зi швидко осцилюючими коефiцiєнтами // Мiжнар. наук. конф. "Диференцiальнi та iнтегральнi рiвняння" (12—14 вересня 2000 р., Одеса): Тез. доп.— Одеса, 2000.— С.216.

8. Петришин Р. I., Сопронюк Т.М. Рiвномiрна оцiнка осциляцiйного iнтеграла // Диференцiальнi рiвняння i нелiнiйнi коливання: Тези доповiдей Мiжнародної конференцiї (Чернiвцi, 27-29 серпня 2001 р.) – Київ . 2001.– С.127.

9. Сопронюк Т.М. Метод усереднення для iмпульсних систем // Теорiя еволюцiйних рiвнянь. Мiжнародна конференцiя. П’ятi Боголюбовськi читання (Кам’янець- Подiльський, 22-24 травня 2002 р.): Тези доповiдей.— Кам’янець-Подiльський: Абетка-НОВА, 2002.— С.158.

10. Сопронюк Т.М. Крайова задача для багаточастотної iмпульсної системи // VI Кримська Мiжнародна математична школа "Метод функций Ляпунова и его приложения"(Крым, Алушта, 8-15 сентября 2002 г. )— Сiмферо-

поль, 2002.— С.133.

Анотацiя

Сопронюк Т.М. Коливання iмпульсних багаточастотних систем.— Рукопис.

Дисертацiя на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-математичних наук за спецiальнiстю 01.01.02 — диференцiальнi рiвняння. Чернiвецький нацiональний унiверситет, Чернiвцi, 2002.

Дисертацiйна робота присвячена дослiдженню багаточастотних систем з iмпульсною дiєю. У роботi одержано новi рiвномiрнi оцiнки осциляцiйних iнтегралiв i сум. За їх допомогою встановлено експоненцiальнi оцiнки фундаментальної матрицi лiнiйної багаточастотної системи з iмпульсною дiєю, а також оцiнки частинних похiдних матрицанту для лiнiйної багаточастотної системи без iмпульсної дiї. Дослiджено стiйкiсть нелiнiйних багаточастотних систем з фiксованими i нефiксованими моментами iмпульсної дiї. Одержано оцiнки похибки методу усереднення на вiдрiзку i пiвосi для нелiнiйних iмпульсних багаточастотних систем. Методом послiдовного застосування крайових задач дослiджено усереднення iмпульсних коливних систем на всiй осi. Встановлено iснування єдиного розв’язку крайової задачi iмпульсної системи методом її усереднення по швидких змiнних. Отримано умови iснування iнтегрального многовиду для багаточастотних нелiнiйних коливних систем з iмпульсною дiєю i вивчено властивостi функцiї, яка визначає iнтегральний многовид.

Ключовi слова: система з iмпульсною дiєю, багаточастотна система, стiйкiсть розв’язкiв, метод усереднення, iнтегральний многовид.

Abstracts

Sopronyuk T.N. Oscillations of impulse multifrequency systems.— Manuscript.

The thesis for obtaining the scientific degree of the candidate of physical and mathematical sciences on the speciality 01.01.02 - differential equations. Chernivtsy National University, Chernivtsy, 2002.

The thesis is devoted to the study of multifrequency systems with impulse influence. In the dissertation the uniform estimations of oscillatory integrals and sums have been obtained. With their help the exponental estimation of fundamental matrixes of linear multifrequency system with pulse influence as well as the estimation of matrizant partial derivatives for linear multifrequency system without pulse influence have been established. We have investigated the stability of nonlinear multifrequency systems with fixed and non- fixed moments of pulse action and received the estimation of an error of the method of averaging on a piece and half-axis for nonlinear pulse multifrequency systems. By means of the method of consecutive application of boundary value problem it was investigated the averaging of pulse oscillationg systems on the whole axes. We have established the existence of the unique decision of a boundary value problem of pulse system by the method of its averaging on fast variable, received the conditions of existence of integrated manifold for multifrequency nonlinear oscillatory systems with pulse influence and have studied the properties of the function which determines integrated manifold.

Key words: system with impulse influence, multifrequency system, stability of solutions, method of averaging, integral manifolds.

Аннотация

Сопронюк Т.Н. Колебания импульсных многочастотных систем.— Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 — дифференциальные уравнения. Черновицкий национальный университет, Черновцы, 2002.

Диссертационная работа посвящена исследованию многочастотных систем с импульсным воздействием. Системы такого типа имеют широкое применение в нелинейной механике. Они описывают движение слабо связанных осцилляторов с медленно меняющимися частотами и импульсным воздействием в фиксированные моменты времени и возникают при переходе к амплитудно фазовым переменным. Сложность изучения резонансных импульсных систем связана с одной стороны с тем, что решения уравнений движения содержат периодические члены с коэффициентами, знаменатели которых стремятся к нулю, а с другой стороны необходимо учитывать специфику импульсных воздействий. Объединяя методики исследований систем обыкновенных дифференциальных уравнений с импульсным воздействием и многочастотных систем без него, изучен широкий круг вопросов.

В диссертации получены равномерные оценки осцилляционных интегралов и сумм. Методика получения таких оценок состоит в делении промежутка временной оси на ограниченное количество резонансных зон малой ширины и нерезонансную зону. На полученных зонах оцениваются соответствующие осцилляционные интегралы и суммы. Резонансными зонами для сумм в случае равных, зависящих от малого параметра интервалов между моментами импульсного воздействия, считаются такие участки временной оси, на которых скалярное произведение вектор-функции частот на показатель Фурье равно целому числу или близко к нему, а в случае осцилляционного интеграла – равно нулю или близко к нему. В работе получены оценки осцилляционных интегралов и сумм от кусочно-непрерывных функций с разрывами первого рода в случае, когда последовательность интервалов между точками разрывов является сходящейся.

С помощью найденных оценок обосновано ряд эффективных асимптотических методов исследования резонансных импульсных систем. В диссертации получены экспоненциальные оценки фундаментальной матрицы линейной многочастотной системы с импульсным воздействием, а также оценки частных производных матрицанта для линейной многочастотной системы без импульсного воздействия. В свою очередь, основываясь на оценках матрицанта линейной импульсной системы, исследована устойчивость нелинейных многочастотных систем с фиксированными и нефиксированными моментами импульсного воздействия. Получены оценки погрешности метода усреднения на отрезке и полуоси для нелинейных импульсных многочастотных систем. Изучены вопросы существования и единственности решения краевой задачи импульсной резонансной системы и получена количественная зависимость от величины малого параметра погрешности метода усреднения по быстрым переменным импульсной краевой задачи. Методом последовательного применения краевых задач исследовано усреднение импульсных колебательных систем на всей оси. Найдены условия существования интегрального многообразия для многочастотных нелинейных колебательных систем с импульсным воздействием и изучены свойства функции, определяющей интегральное многообразие.

Ключевые слова: система с импульсным воздействием, многочастотная система, устойчивость решений, метод усреднения, интегральное многообразие.