НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

К А Р А Н Д Ж У Л О В
Людмил Іванов

УДК 517.9

НЕТЕРОВІ КРАЙОВІ ЗАДАЧІ ДЛЯ СИСТЕМ ЗВИЧАЙНИХ

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ З РЕГУЛЯРНИМ І

СИНГУЛЯРНИМ ЗБУРЕННЯМИ

01.01.02 - диференціальні рівняння

А в т о р е ф е р а т

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Київ - 2004

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті математики НАН України

Науковий консультант :

академік НАН України, доктор фіз-мат. наук, професор

Самойленко Анатолій Михайлович,

Інститут математики НАН України, директор.

Офіційні опоненти :

доктор фіз.-мат. наук , професор

Плотніков Віктор Олександрович,

Одеський національний университет ім.І.І. Мечникова,

завідувач кафедри оптимального керування та економічної

кібернетики;

доктор фіз.-мат. наук, професор

Петришин Роман Іванович,

Чернівецький національний університет ім. Ю. Федьковича,

декан факультету прикладної математики;

доктор фізико-математичних наук, професор

Яковець Василь Павлович,

Ніжинський державний педагогічний університет імені

Миколи Гоголя, ректор.

Провідна установа: Київський національний університет імені Тараса

Шевченка, кафедра математичної фізики.

Захист відбудеться “_14_”_грудня_________2004 р. о 15__ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.02 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України (01601, м.Київ , вул. Терещенківська, 3 ).

Автореферат розісланий __8___ _листопада______ 2004 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Пелюх Г.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Математичне моделювання різних розділів науки і техніки приводить до необхідності вивчення регулярно та сингулярно збурених крайових задач звичайних диференціальних рівнянь.

Теорія регулярних збурень для звичайних диференціальних рівнянь пов’язана перш за все з іменами А.Пуанкаре та О.М.Ляпунова. Якщо покласти значення малого параметра рівним нулю, то порядок рівняння зберігається, і побудова асимптотичного розкладу розвязків здійснюється за схемою розкладу в степеневий ряд за малим параметром.

Теорія сингулярних збурень для диференціальних рівнянь пов’язана з наявністю малого параметра при старшій похідній. Проблема побудови асимптотичного розкладу розвязків таких систем традиційно займає одне з центральних і принципово важливих місць у якісній теорії диференціальних рівнянь. Це обумовлено потребами практики в зв’язку з інтенсивним розвитком таких областей, як теорія автоматичного регулювання, теорія нелінійних коливань, теорія електричних ланцюгів, химічна і біологічна кінетика та інше.

Труднощі побудови асимптотичного розкладу розвязків для сингулярно збурених систем повязані з тим, що якщо покласти значення малого параметра рівним нулю, то порядок рівняння знижується, і розв’язок виродженого рівняння не може задовольнити всі допоміжні умови.

Кількість робіт, присвячених асимптотичному аналізу сингулярних систем, величезна. Найвідоміші із методів це асимптотичний метод нелінійної механіки М.М.Крилова, М.М.Боголюбова, Ю.О.Митропольського, А.М.Самойленка; метод примежових функцій М.І.Вишика, Л.А.Люстерника й А.М.Тихонова, А.Б.Васильєвої; метод асимптотичного інтегрування лінійних систем С.Ф.Фещенка, М.І. Шкіля. Специфічні особливості цих методів вивчались при дослідженні: релаксаційних коливань (Л.С. Понтрягін, Е.Ф.Міщенко, Н.Х.Розов); питань регуляризації (С.О.Ломов); рівнянь з багаточастотними коливаннями (А.М.Самойленко, Р.І. Петришин); диференціальних систем з включеннями (В.О. Плотніков).

Дисертаційна робота присвячена подальшому розвитку асимптотичних методів для лінійних, слабконелінійних і нелінійних сингулярно і регулярно збурених крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь і початкових та крайових задач для диференціальних систем з імпульсною дією. При цьому крайові умови задаються лінійним векторним функціоналом, кількість m компонент якого, взагалі кажучи, не збігається з порядком n диференціальної системи. Такого типу задачі для звичайних диференціальних систем є нетеровими і включають в себе найбільш складні і малодосліджені як недовизначені, так і перевизначені крайові задачі.

Цим обумовлюється актуальність дисертації, яка присвячена аналізу нетерових крайових задач для широкого класу сингулярно збурених систем звичайних диференціальних рівнянь, для сингулярно збурених систем з імпульсною дією і для регулярно збурених систем. Більшість робіт, присвячених вивченню таких задач, виконано за припущення їх фредгольмовості (m = n) (А.Б.Васильєва, В.Ф. Бутузов, М.І. Шкіль, В.П. Яковець, R. Conti, Jr.R.E.O’Malley) та регулярного збурення (О.А.Бойчук, Ю.А. Рябов, А.М. Самойленко) і, більш того, за припущення, що оператор лінійної частини початкової крайової задачі має обернений (Д.Байнов, Ю.О. Митропольський, М.О. Перестюк, М.Й. Ронто та інші)

Мета роботи. Розробити методи побудови асимптотичних розвязків сингулярно збурених систем нетерового типу для лінійних і нелінійних звичайних диференціальних рівнянь та новий підхід до дослідження узагальнених початкових і крайових задач з узагальненою імпульсною дією. Цілком розвязати деякі питання нетерових задач із регулярним збуренням. Дослідити лінійні та квазілінійні імпульсні системи з керуванням.

Загальні методи дослідження. Основні результати роботи отримано за допомогою асимптотичного методу примежових функцій, апарату узагальнених матриць, методів теорії збурень, методів теорії початкових і крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь, методів теорії імпульсних систем, методів теорії керування.

Наукова новизна одержаних результатів. Визначається наступними основними результатами, що отримані в дисертації:

Уперше досліджуються нетерові сингулярно збурені системи диференціальних рівнянь методом примежових функцій.

Для лінійних сингулярно збурених крайових задач отримано умови існування і побудовано єдиний асимптотичний розклад розвязку в некритичному випадку й умовно стійкому некритичному випадку.

Отримано асимптотичний розклад розвязку лінійних сингулярно збурених крайових задач у критичних випадках. Уперше вивчаються випадки, які раніше не розглядались. Розроблено оцінки формального розкладу асимптотичного ряду.

Детально вивчаються слабконелінійні і нелінійні сингулярно збурені крайові задачі як у некритичних, так і в критичних випадках. Уперше досліджено нелінійну крайову задачу умовно стійкого типу в критичному випадку.

Показано, що методи аналізу початкових і крайових задач, які розроблені для сингулярно збурених систем звичайних диференціальних рівнянь, застосовуються для широкого класу сингулярно збурених диференціальних систем з імпульсною дією у фіксовані моменти часу.

Розроблено новий підхід до відшукання асимптотичного розкладу розвязків син-гулярних систем з узагальненими імпульсними умовами в фіксованих моментах часу в критичному і некритичному випадках для початкових і крайових задач.

Отримано ефективні коефіцієнтні достатні умови існування розвязків для регулярно збурених лінійних і слабконелінійних крайових задач в аналітичному випадку і крайових задачах з параметрами.

Побудовано розвязок регулярно збуреної узагальненої задачі Коші і крайової задачі з імпульсною дією.

Досліджено імпульсні лінійні і слабконелінійні нетерові крайові задачі з керуванням.

Теоретична і практична цінність. Результати роботи мають теоретичний характер. На основі апарату псевдообернених матриць і проекторів запропоновано нові констру-ктивні методи аналізу початкових та крайових задач для лінійних і нелінійних сингулярно збурених систем звичайних диференціальних рівнянь, що істотно поглиблюють уявлення про досліджувані задачі і розширюють можливості їх застосування. Практична цінність досліджень обумовлена широким застосуванням асимптотичної теорії початкових і кра-йових задач у багатьох розділах науки і техніки теорії коливань, теорії керування, теорії автоматичного регулювання, задач кінетики,задач теорії напівпровідників тощо. Крім цього, нові підходи, розроблені у роботі, дозволяють по-іншому розглядати цілий ряд питань, які займають принципово важливе місце у якісній теорії диференціальних рівнянь.

Особистий внесок здобувача. Загальний план роботи та постановка основних задач визначені науковим консультантом А.М. Самойленком. Із робіт [10 13, 20 24], які написані у співавторстві, в дисертацію включено лише результати, які отримані автором самостійно.

Апробація роботи. Результати дисертації доповідалися й обговорювалися на

міжнародних конференціях та семінарах:

Моделювання та дослідження стійкості систем” (Київ, травень, 1992 і 1994)

Боголюбовські читання (Київ, 28 вересня – 02 жовтня 1993; Київ,18-23 серпня, 1997; Ужгород, 14-19 вересня, 1998; Кам’янець-Подільський, 22-24 травня, 2002)

Nonlinear Differential Equations”, Kyiv, August 21-27, 1995

Кримська міжнародна математична школа „Метод функції Ляпунова та його застосування” (Крим, Алушта, вересень 1998 і 2000)

Диференціальні та інтегральні рівняння (Одеса , 12-14 вересня 2000 )

Український математичний конгрес (2001) „Диференціальні рівняння і нелінійні коливання”(Київ, Чернівці, 27-29 серпня, 2001)

”Dynamical system modelling and stability investigation”( Kyiv, May 22 - 25, 2001 and May 27 - 30, 2003)

XXI і XXVIII конференції „Математика і математична освіта” ( Софія, 1992 і Монтана, 1999)

International XX - XXIX Summer School Applications of Mathematics in Engineering(Sozopol, Bulgaria,1994 – 2003 )

з диференціальних рівнянь та теорії коливань (керівник академік НАН України, професор А.М.Самойленко, Інститут математики НАН України),

з інтегральних та диференціальних рівнянь (керівник член-кореспондент НАН України, професор М.О.Перестюк, механіко-математичному факультеті Київського національного університету імені Тараса Шевченко),

з диференціальних рівнянь (керівник академік БАН П.Попиванов, Інститут математики й інформатики БАН),

з диференціальних рівнянь (керівник зав. кафедрою диференціальних рівнянь Технічного університету, Софія).

Публікації. Основні результати роботи опубліковано в 35 працях . Серед них 20 статей [2 18, 20, 23, 24] в наукових фахових виданнях, що входять в перелік № 1 ВАК України від 9. 06. 1999 р., 2 статті [1, 19] в працях Міжнародних математичних конференцій , 2 статті [21, 22] в працях Міжнародних математичних шкіл та 11 тез

[25 35] у збірниках матеріалів наукових конференцій.

Структура й обсяг робіт. Дисертація складається зі вступу, чоторьох розділів, висновку і списку літератури. Вона містить 319 сторінок, включаючи бібліографічний список із 183 робіт.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Перший розділ є вступним. У ньому викладаються відомості, що стосуються теорії узагаль-нено обернених матриць, і представлено алгебраїчний апарат, який вико-ристовується в дисертації. Дано короткий огляд літератури по темі дисертації, наведено анотацію одержаних результатів.

У другому розділі (§§ 2.1 2.5) розглядаються лінійні і нелінійні сингулярно збурені крайові задачі з загальними крайовими умовами в залежності від спектра відповідного граничного оператора. Розмірність диференціальних систем дорівнює n , крайових умов m. Досліджується випадок, коли m № n, тобто вивчаються нетерові крайові задачі. Нетеровість досліджуваних крайових задач приводить до одержання нових умов існування та єдиності асимптотичного розкладу розвязку. Результати цього дослідження опубліковано в роботах [4, 5, 9, 10, 13, 18, 20, 22, 24].

У § 2.1 другого розділу розглядається некритичний випадок для лінійних сингулярно збурених крайових задач

= Ax + A1( t ) x+j (t),  t О [a,b], 0<<<1, (1)

l x () = h, hО , (2)

де коефіцієнти системи (1) та (2) задовольняють умови :

(У1.1) A1(t) (n n)-матриця, A1 (t)О C[a,b] , j(t) n-вимірна вектор-функція,

j (t) О C[a,b] ;

(У1.2) A стала (n n)-матриця. Якщо li власні числа матриці A кратності , то припускаємо, что Re li < 0 ;

(У1.3) l лінійний m- вимірний обмежений векторний функціонал

l = col.

Вироджене рівняння A x0 + j ( t ) = 0 має єдиний розвязок ,

t О [a, b]. Це показує, що розглядається некритичний випадок. Шукається розвязок x( t, ) такий, що при О(0,0 ] і tО (a,b] виконано

.

Спочатку конструюється формальний асимптотичний розклад розвязку вигляду

(3)

де PI (t ) примежові функції в правому околі точки  a.

Коефіцієнти розкладу xi (t) знаходяться з рекурентних співвідношень, а примежові функції – з лінійних крайових диференціальних систем вигляду

Загальний розвязок цих задач залежить від довільних сталих векторів ci , що визначаються з алгебраїчних систем вигляду

D () ci = hi (), i = 0, 1, 2, ··· , ci О Rn,

де D() = l X(), а X(t) – фундаментальна матриця розвязків системи dx/dt = Ax,  X ( a ) =

=E . При цьому D() ( m n)-матриця, що містить експоненціально малі елементи вигляду

.

Розглядаються два випадки:

(4a)

, (4б)

де Di ,i = сталі (m n)-матриці, а і тут і далі матриці відповідних розмірностей, компоненти яких є нескінченно малими довільного степеня .

У випадку (4а) матриця має вигляд

,

де матриці поліноми по відношенню до степеня не вище k 1, . Оскільки , то шукаємо у вигляді

.

Коефіцієнти цього розкладу знаходимо з системи вигляду

,

де

-вимірний вектор,

-вимірні вектори ,

-матриця , .

У залежності від рангу матриці сформульовано дві теореми .

Якщо виконано умову

(У1.4) rank = qm = (s + 1) n ,

то .

Доведено теорему 2.1.1.

Теорема 2.1.1. Нехай виконано умови (У1.1) (У1.4). Крайова задача (1), (2) має єдиний формальний розклад розв’язку вигляду (3). Коефіцієнти розкладу і мають вигляд

де – диференціальний оператор x = x – A(t)x , i

,

Примежові функції Pі(t) експоненціально збігаються при ® 0 .

Якщо виконано умову

(У1.5) rank,

то для вектора ci одержуємо вираз

, ,

де , ,

.

Вектори визначаються із системи вигляду

,

де -матриця, -вимірні вектори. У , d = r і не фігурують експоненціально малі елементи .

Якщо виконано умову

(У1.6) ,

то .

Теорема 2.1.2. Нехай виконано умови (У1.1) (У1.3), (У1.5), (У1.6) . Крайова задача (1), (2) має єдиний формальний асимптотичний розклад розв’язку вигляду (3). Коефіцієнти мають вигляд

а примежові функції зображуються у вигляді

,

і експоненціально убувают при .

Теореми 2.1.3 і 2.1.4 пов’язані припущенням, що експоненціально малими елементами в матриці з (4а) можна знехтувати. Тоді в залежності від рангу матриці й умови отримано єдиний формальний розклад розвязку задачі (1), (2) .

У випадку (4б) вектор i шукається у вигляді і за допомогою (4б) одержано алгебраїчні системи вигляду  Q = bi , де Q є ((2s +1)m(s +1)n)-матриця, а . Розглянуто випадок, коли матриця  Q є  квадратною та невиродженою і розвязок системи має вигляд .Теорема 2.1.5 доводить існування єдиного розкладу розвязку в цьому випадку.

У § 2.1 оцінюється залишковий член асимптотичного ряду для розвязку крайової задачі (1), (2). З урахуванням особливостей розглянутої задачі доведено (теорема 2.1.6), що при t О [a, b] і

де Xn(t, ) n-та кускова сума ряду (3).

Наприкінці параграфа наведено приклад. Цей параграф опубліковано у роботах [9,10,18].

У § 2.2 , який опубліковано у [5], розглядається задача (1), (2) в умовно стійкому випадку. Нехай коефіцієнти системи (1), (2) задовольняють умови (У1.1), (У1.3), а замість умови (У1.2) розглянемо умову

(У2.2) A стала (n n)-матриця, det A № 0. Якщо lі власні числа матриці A, то припускаємо, що

Умова (У2.2) показує, що ми розглядаємо умовно стійкий випадок. Тоді розвязок шукаємо у вигляді

(5)

де Pі(t) і Qi(n) примежові функції відповідно в околі точок t = a і t = b. Наявність

двох примежових шарів створює ряд труднощів при дослідженні асимптотичного

розкладу розвязку системи (1), (2).

Додаткові умови для примежових функцій одержуємо при визначенні

послідовних примежових функцій Pі(t), Qi(n) і Pі+1(t), Qi+1(n) за допомогою системи

,

де D() = [()   ()] (m n)-, () = – (m k)- і () = (m n k)-матрицi, hi () відомі вирази.

Знайдено умови, при яких існує єдиний формальний асимптотичний розклад розвязку у випадках (4а, б). Отримано асимптотичну оцінку розвязку (теореми 2.2.1, 2.2.2, 2.2.3).

У § 2.3 розглядається критичний випадок для сингулярно збурених нетерових крайових задач (1), (2). Цей параграф опубліковано у роботах [13, 25]. Окремі випадки розглянуто в [4].

Умови (У1.1) і (У1.3) зберігаються, а замість умови (У1.2) розглянемо умову

(У3.2) A стала (n n)-матриця, власні числа lі якої такі, що

причому нульовому власному числу відповідає  k лінійно незалежних власних векторів матриці A.

Критичний випадок маємо тоді, коли виконано умову

(У3.4) Вироджена ( = 0) для (1) система Ax0 + j (t) = 0 є розв’язною відносно  x0.

Нехай A+ єдина (n n)-матриця, псевдообернена за Муром Пенроузом до матриці A (внаслідок (У3.2) det A = 0). Через PA і позначимо ортопроектори: PA: Rn ® ker (A) ; :Rm ® kerA*)  , A* = AT . З огляду на умову (У3.2) rank A = n k і rank PA = rank = k. Через будемо позначати (n k)-матрицю, яка складається з k лінійно незалежних стовпців матриці PA , а через (k n)-матрицю , яка складається з k лінійно незалежних рядків матриці .

Вироджена система розв’язна відносно x0 тоді і тільки тоді, коли j (t) = 0 для кожного t О [a,b], і має розвязок

x0 (t) = a0(t) A+ j(t), (6)

де a0(t) довільна k-вимірна вектор-функція.

У §2.3 при виконанні умов (У1.1), (У1.3), (У3.2), (У3.4) знайдено умови існування розвязку x(t, ): x( ,)О C 1[a,b], x(t, ) О C (0, 0] крайової задачі (1), (2) у вигляді асимптотичного ряду за малими степенями і при наявності примежового шару в точці t = a . Шуканий розв’язок x(t, ) при ® 0 повинен прямувати до одного з розвязків x0(t) виродженої системи для всіх tО(a,b]. Цей розвязок будується у вигляді (3). Тоді коефіцієнти xi(t) визначаються зі співвідношень

(7)

Вектор-функції a0(t) з (6) і  aі(t), і =1,2,··· , з (7) визначаються послідовно з рівнянь вигляду

, (8)

де C =. Оскільки власному числу   відповідає k лінійно незалежних власних векторів матриці A, то det C № 0 .

Примежові функції задовольняють систему лінійних диференціальних рівнянь

. (9)

Із крайової умови (2) випливає, що розвязок системи (9) і aі(t) задовольняють рівняння вигляду

(10)

де m-вимірний функціонал, , є лінійно незалежних стовпців нормованої фундаментальної матриці однорідної системи .

Умова розв’язку крайової задачі (8), (10) приводить до одержання умов, при яких коефіцієнти розкладу (3) визначаются однозначно.

Теорема 2.3.1. Нехай виконано умови (У1.1), (У1.3), (У3.2), (У3.4) (У3.7) і . Тоді крайова задача (1), (2) має єдине формальне асимпто-тичне зображення розв’язку вигляду (3). Коефіцієнти розкладу xi (t) і PI (t) мають вигляд

де

,

,

Крім того, примежові функції експоненціально убувають при ® 0 .

Традиційний шлях доведення оцінок залишкового члена ряду (3)

обумовлюється особливостями, пов’язаними з нетеровістю і критичністю задачі (теорема 2.3.3).

Випадок, коли , відображено в теоремі 2.3.4.

У цьому ж параграфі досліджено другий критичний випадок. Система (1), (2) розглядається при виконанні умов (У1.1), (У1.3), (У3.4), а умову (У3.2) замінено умовою

(У3.2)1 A стала (n n)-матриця. Якщо власні числа матриці A , то припускаємо, що Власному числу lі = 0 відповідають pp < k ) лінійно незалежних власних векторів матриці A , а тому для li = 0 існують приєднані вектори.

Позначимо через n1, n2, ··· , np довжину ланцюгів Жордана: Розглядаємо випадок n1> n2>··· >ns, ns+1= ns+2=··· =np-1=np=1, тобто матриця A має блочно-діагональний вигляд

A = diag ,

де ((n-k) (n-k))-вимірна матриця, власні числа якої мають від’ємні дійсні частини; (ni ni)-вимірні жорданові блоки, ((p-s) (p-s))-вимірна матриця з нульовими елементами.

Вектор-функції a0(t) з (6) і  ai ( t ), і =1,2,···, з (7) визначаються послідовно з рівнянь вигляду (8). У цьому випадку матриця з (8) має розмірність ( p p), де p число лінійно незалежних власних векторів матриці  A. При цьому доводиться (лема 2.3.5), що rank C = p s. Тоді система (8) є виродженою.

Розглянуто випадок  p s. Тоді система (8) зводиться до центральної канонічної форми. За допомогою рівняння вигляду (10) і деяких додаткових умов знаходяться коефіцієнти розкладу асимптотичного ряду .

Теорема 2.3.5. Нехай виконано умови (У1.1), (У3.2)1, (У1.3), (У1.4), (У3.12), (У3.13), p№ s Тоді крайова задача (1), (2), diag(A,J1,···,Js,Qp-s ) має єдине асимптотичне зображення розв’язку вигляду (3). Коефіцієнти розкладу xi (t) і PI (t ),  і=0,1,···, мають вигляд

де

Крім того, примежові функції Pі(t ) експоненціально убувают при ® 0 і при tО(a,b]

У § 2.4 другого розділу розглянуто слабконелінійну систему

<<1, (11)

з крайовою умовою (2), де A, j(t) і l задовольняють умови з § 2.1, а n-вимірна вектор-функція f(t, x, ) належить простору C Ґ(W), де

W є {(t, x, )| a Ј t Ј b, |x |Ј r, 0 Ј Ј 0} .

Побудовано асимптотичний розклад розвязку  x(t, ) задачі (11), (2) такий, що

, де x0(t) – розвязок виродженої системи. Асимптотичний розклад розвязку x(t, ) має вигляд (3).

За допомогою формули Тейлора для функції f(t, x, ) в околі точки (x0,0) одержуємо вигляд правих частин відповідних систем для визначення примежових функцій у розкладі (3). Як і в попередніх параграфах, розглядаються два випадки для матриці  D() = lX().

Теорема 2.4.1 стверджує, що за певних умов крайова задача (11), (2) має формальний асимптотичний розклад розвязку вигляду (3). Показано, що сталий вектор cir, який визначає примежові функції, знаходиться з нелінійних алгебраїчних систем при  і = 0 і з лінійних систем при і=1,2,···.

Умови, при яких формальний ряд є асимптотичним, визначено в теоремі 2.4.3.

Цей параграф завершується двома показовими прикладами, що ілюструють резуль-тати застосовані до двох випадків. Результати параграфа опубліковано у [20, 22].

Критичний випадок для нелінійних систем вигляду

(12)

із крайовою умовою (2) розглянуто в §2.5. Коефіцієнти задачі (12), (2) задовольняють умови:

(У5.1) Вектор-функція f(t,x,) має неперервні частинні похідні по всіх аргументах до (n+2)-го порядку в області

(У5.2) l m-вимірний лінійний обмежений векторний функціонал, l = col(l1,···,lm), lО(x:C[a,b]® Rn, Rm), h О Rm відомий сталий вектор.

(У5.3) Вироджена система (= 0) f (t , x , 0) = 0 має розвязок вигляду

(13)

де j(t,a0) функція від t і довільної r-вимірної вектор-функції a0(t), заданої в області

(У5.4) Вектор-функція j(t,a0(t)) має неперервні частинні похідні по всіх аргументах до (n+2)-го порядку в області W2.

(У5.5) Матриця fx (t, x0(t), 0) має власні значення l і ( t, a0 ), , що задовольняють у (t,a0(t)) О W2 умови Re lі(t,a0 )< 0, lі (t,a0 ) є 0, Re lі (t,a0 ) > 0, Число лінійно незалежних власних векторів, що відповідають lі (t,a0 ) є 0, дорівнює r (r < k).

Умова (У5.5) показує, що матриця fx (t, x0(t), 0) має p власних чисел, які мають відємні дійсні частини, k нульових власних чисел і q власних чисел з додатними дійсними частинами. При цьому p+k+q = n. Таким чином, розглядаємо систему (12), (2) в умовно стійкому критичному випадку.

Обчислено асимптотичний розклад розвязку x(t,) задачі (12), (2), який виявився таким, що і при ® 0 він прямує до одного з розвязків (13) виродженої системи. Результати цього параграфа опубліковано в [24].

Формальний асимптотичний розклад розвязку задачі (12), (2) будується у вигляді (5), де xi(t), Pі(t) і Qi(n) невідомі вектор-функції.

Функція f(t, x, ) має вигляд

де

,

Функції , P f(t, ) i Qf(n, ) розкладаються в ряди Тейлора відповідно в околі точок (t, x0(t), 0), (a, x(a) + P0(t), 0) і (b, x0(b) + Q0(n), 0). Ці розклади підставляємо в систему (12), прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях , причому окремо залежні від t, t і n. Члени регулярного ряду визначаються з алгебраїчної системи

(14)

Для примежових функцій в околі точки t = a отримуємо диференціальні системи

(15)

i = 1, 2, 3, .

а для примежових функцій в околі точки t = b системи

(16)

і = 1, 2, 3, … .

За допомогою (14) (16) і умови (2) одержуємо нелінійну систему

(17)

Функцію x0 ( t ) з (14) визначаємо з системи, що зпівпадає з виродженою системою. Розвязок цієї системи на підставі умови (У5.3) має вигляд x0 ( t ) = j ( t , a0 ( t ) ), де a0 ( t ) довільна r-вимірна вектор-функція.

Повністю функція x0 ( t ) визначиться при розв’язанні системи (14) при і = 1 і умови (17 ). Для a0 ( t ) одержуємо диференціальну систему

(18)

Якщо виконано умову rank B(t,a0(t)) = r1 < r " ( t , a0 ( t )) О W2 , то з (18) маємо

(19)

(20)

де a01 ( t ) і a02 ( t ) такі ( r - r1 )- і r1-вимірні вектори, що a0 ( t ) = ( a01 ( t ), a02 ( t ) )T, а

E0 (t, a01 ( t ), a02 ( t )) і E0 ( t , a01 ( t ), a02 ( t )) відповідно відомі ( r - r1 )- і r1 -вимірнi вектор-функції.

Нехай система (19) має єдиний розвязок a01 ( t ) = ( t, a02 ( t )) в області W2 , який підставляємо в (20). Одержуємо

. (21)

Припустимо, що система (21) з початковою умовою має розвязок a02(t) і ||a0(t)|| Ј r2 при t О [a,b]. Отже, для повного визначення головного члена x0 ( t ) регулярного ряду необхідно знайти сталий вектор. Для цього розглянемо послідовно перші рівняння з (15) і (16).

Визначення , P03(0) і Q03(0) здійснюється за допомогою крайових умов (17). Позначимо

тоді

(22)

Система (22) є m-вимірною нелінійною системою відносно r1 + p + q < n компонент. Ця система або може мати єдиний розвязок, або взагалі не мати його.

Теорема 2.5.2. Нехай виконано умови (У5.1) (У5.6) і rank B ( t,a0 ( t ))= r1 < r

(t,a0 ( t ))W2. Тоді функція a0(t) визначається з рівнянь (19), (20) з початковою умовою , а експоненціально убуваючі примежові функції P0(t) і Q0(n) визначаються з диференціальних систем (15), (16) при і=0 відповідно при початкових умовах P01(0) і Q03(0). При цьому сталі вектори , P01(0) і Q03(0) задовольняють систему (22).

Функції x1(t), P1(t), Q1(n) визначаються аналогічним способом. Із викладеного вище, наприклад, при додаткових умовах = (l1a1(), P11(0),   Q13(0) )T одержуємо систему

(23)

Матриця і вектор мають вигляд

,

де q О N, g > 0,  стала (m (r+p+q))-матриця, h10 m-вимірний сталий вектор.

Нехтуючи експоненціально малими елементами в i , систему (23) переписуємо у вигляді

(24)

Нехай виконано умову

(У5.7) rank = p < min(m , p+q+r).

Лінійна система (24) має розвязок

тоді і тільки тоді, коли виконано умову

(У5.8) .

Одержуємо

(25)

Розглянемо-матрицю

і -вимірний вектор

.

Нехай матриця і вектор мають вигляд

.

Теорема 2.5.3. Нехай виконано умови ( У 5.1) ( У 5.8 ) та умови теореми 2.5.1,

rank R0 ( x1 ) = m2 Ј min (m, p + q + r) і систему

можна звести до центральної канонічної форми. Тоді , a (t ) і

мають вигляд ( 25 ). Сталий вектор x1 визначається з нелінійного рівняння

(26)

Для примежових функцій виконуються нерівності

||P1 ( t ) || Ј exp( t ) , t і 0, || Q1 ( n ) || Ј exp( a1* n ) , n Ј 0 ,

де c1 , c1*, a1 і a1* додатні сталі

Далі показано, что xi ( t ), Pi ( t ) і , і = 2 , 3,··· , визначаються з лінійних систем. Маємо

(27)

Справедливим є наступне твердження.

Лема 2.5.7. Компоненти вектора визначаються з системи нелінійних рівнянь

, (28)

де є стала -матриця, - вімірний вектор, стала.

Якщо розвязок (28), то елементи x2 ( t ), P2 (t ) і Q2 (n ) з (27) набувають вигляду

, (29)

Вектори xi , і = 3 , 4 , 5 , ... , визначаються з умови розвязності лінійних систем

(30)

Оскільки hi+1,0 мають вигляд де стала -матриця, а m-вимірний вектор, то рівності (30) записуються у вигляді

(31)

де стала -матриця. Нехай rank V = d2 = q2. Тоді система (31) має єдиний розвязок

,

де . Для коефіцієнтів xi(t), Pі(t), Qi(n), і = 3,4,5, ··· , ряду (5) з (27) отримуємо

(32)

i = 3, 4, 5, ... .

Оцінка залишкового члена ряду (5) доводиться при додатковій умові

(У5.9) для кожного i .

Теорема 2.5.4. Нехай виконано умови (У5.1) - (У5.9), теореми 2.5.1, 2.5.2 і 2.5.3 та rank V = = . Задача (12), (2) при tО [a,b] і має асимптотичний розклад розв’язку вигляду (5). Перші елементи розкладу визначаються з (13), (15), (16), (19), (20), (22), другі з (25) і де x1 задовольняє (26). Наступні елементи розкладу мають вигляд (29) і (32), де x2 задовольняє (28). Для примежових функцій справджуються нерівності

exp.

Результати цього параграфа проілюстровано на прикладах.

У третьому розділі (§§ 3.1 3.4) розглядаються сингулярно збурені системи з імпульсною дією. У цьому розділі встановлено умови існування і структуру загального розвязку узагальненої задачі Коші і крайової задачі для сингулярно збурених лінійних систем з імпульсною дією у фіксовані моменти часу.

У § 3.1 розглянуто узагальнену задачу Коші в некритичному випадку. Знайдено  n-вимірну вектор-функцію , що задовольняє систему

(33)

a є t 0 < t 1 < ··· < t p < t p+1 є b ,

з узагальненими початковими умовами

D x(a) = v (34)

і з узагальненими імпульсними умовами у фіксовані моменти часу

(35)

Коефіцієнти задачі (33) (35) задовольняють умови:

(У1.1) стала -матриця. Якщо , то припускаємо, що .

(У1.2) -матриця , елементи якої неперервно диференційовні функції довільного порядку на інтервалі [a,b].

(У1.3) Вектор-функція j (t): [a,b] ® Rn належить класу кусково-неперервних функцій з точкою розриву першого роду в , тобто

(У1.4) -матриця зі сталими елементами, а v s-вимірний сталий вектор.

(У1.5) сталі -матриці, а -вимірний сталий вектор.

З урахуванням умови (У1.1) вироджена система  A x + j( t ) = 0 має єдиний розвязок

x0 ( t )= A -1j( t ), t № tі.

Шукаємо тепер n-вимірну вектор-функцію x(t, ) таку, що

яка задовольняє систему (33) (35) та умову

Результати цього параграфу опубліковано у [21].

Формальний асимптотичний розклад розвязку задачі (33) (35) шукається у вигляді

(36)

де - елементи регулярного ряду , а примежові функції в правому околі точки , .

На підставі умов (У1.1) (У1.5) показано (теорема 3.1.1), коли задача (33) (35) має неєдиний параметричний формальний асимптотичний розвязок вигляду (36).

У схемі оцінювання залишкового члена ряду (36) існують деякі особливості, що виникають внаслідок наявності узагальнених імпульсних умов (У1.4), (У1.5). Ці особливості з’являються тому, що в цьому випадку неможливо побудувати фундаментальну матрицю імпульсної системи. Тоді виконується модифікація імпульсної задачі, що покладена в основу доведення як теореми для формального ряду (теорема 3.1.1), так і теореми для оцінки залишкового ряду (36) (теорема 3.1.2).

Початкова умова (34) та імпульсні умови (35) поєднуються у такий спосіб:

(37)

де

а , , - , -матриці з нульовими елементами,

-вимірний вектор, = s+k1+···+kp .

Замість задачі (33) (35) досліджуємо модифіковану задачу (33), (37).

У § 3.2 розглянуто узагальнену імпульсну початкову задачу в критичному випадку. Нехай коефіцієнти задачі (33) (35) задовольняють умови (У1.2) (У1.5), а замість умови (У1.1) виконано умову

(У2.1) A (n n)-матриця зі сталими елементами. Вона має r нульових власних чисел, яким відповідають r лінійно незалежних власних векторів. Інші nr власних чисел мають відємні дійсні частини, тобто

У цьому критичному випадку (див. §2.3) вироджена система

має розвязок

де a0(t) – довільна r-вимірна вектор-функція, тоді і тільки тоді, коли виконано умови

(У2.6)

Теореми 3.2.1 і 3.2.2 доводять існування асимптотичного розкладу розвязків і дають оцінки залишкових членів . Цей параграф повязаний із роботами [12, 23] .

У § 3.3 розглянуто крайову задачу (33), (2) з узагальненими імпульсними умовами вигляду (34). Досліджується некритичний випадок. Параграф опубліковано в [7], [17].

Критичний випадок для імпульсних крайових задач вигляду (33), (35), (2) розглянуто в §3.4. Результати цього параграфу опубліковано в [11].

Нехай виконано умови: (У1.2), (У1.3), (У1.5) і (У4.1), (У4.4), де

(У4.1) Система (33) розглядається в критичному випадку (див. розд. 2, § 2.3, пункт 4), тобто A має нульові власні числа кратності k (k < n), яким відповідають r ( r < k) лінійно незалежних власних векторів. Інші nk власні числа задовольняють нерівність .

Тодi матриця має вигляд diag.

(У4.4) l m-вимірний лінійний обмежений векторний функціонал,

l = col (l1, l2··· lm), lО( xО C[a,b]® Rn, Rm), ||l(y)||Ј ||y||, де додатна стала, dОRm.

Шукається неперервно диференційовна за змінною t на проміжках [t0,t1], (tі-1,tі], , функція така, щоб i щоб вона задовольняла крайову імпульсну задачу (33), (35), (2).

Розвязок крайової задачі шукається у вигляді ряду (36).

Теорема 3.4.1 стверджує існування єдиного асимптотичного розкладу розвязку поставленої задачі на основі наведених вище умов.

Деякі питання, що пов’язані з регулярним збуренням для нетерових початкових і крайових задач, розглядаються в четвертому розділі (§§ 4.1 - 4.4) дисертації.

У § 4.1 досліджуються слабконелінійні диференціальні системи

(38)

(39)

з крайовими умовами вигляду

(40)

Передбачається, что n-вимірні вектор-функції i , мають вигляд

,

Функції z, j n-вимірні вектор-функції, j(t)О C [a,b], A (t) – неперервна -матриця на [a,b]; l0, l1,··· лінійні обмежені функціонали, що діють на n-вимірні функції в Rm; hО Rm. Цей параграф опубліковано у [1].

Теорема 4.1.1. Нехай виконано умови:

1) rank D0 = < min (m,n), де D0 = l0,, F(t), F(a)=E, нормована фундаментальна матриця системи ;

2) d = r і det B0 № 0, де -матриця. Матриця складена з d= m-n1 лінійно незалежних рядків матриці-ортопроектора ;

3)

Тоді крайова задача (38) - (40) має єдиний розв’язок , що при = 0 переходить у породжуючий розв’язок

.

Вектор-функція x(t, ) , , зображується у вигляді збіжного при ряду

де

,

Теорема 4.1.3 показує, коли розвязок системи (38), (40) можна зобразити у вигляді частини ряду Лорана.

Теорема 4.1.4 стверджує, що за певних умов крайова задача (39), (40) має єдиний розвязок, зображуваний рядом, що збігається :

Наведено формули для визначення коефіцієнтів xi (t) розкладу . Лінійні системи

, (41)

і слабконелінійні системи (39) при крайових умовах

, (42)

розглядаються в § 4.2, результати опубліковано у [3].

Введемо -матриці D0 = l0 F ( t ) і D 1 = l1 F ( t ).

Теорема 4.2.1. Нехай виконано умови:

1) rank D1 = n1 Ј min ( m , n) ,

2) l не є власним числом матриці (-1) D1+ D0 ,

3)

Загальний розв’язок крайової задачі (41), (42) визначається формулою

,

де , тоді і тільки тоді, коли

За допомогою кінцевих мажоруючих рівнянь Ляпунова доведено теорему 4.2.2. Зазначено умови, при яких крайова задача (39), (42) має єдиний і неперервний відносно своїх аргументів розвязок , що дорівнює нулю при = 0. Розв’язок визначається за допомогою збіжного на [ 0, 0] і [ 0, 1] ітераційного процесу.

Результати § 4.3. отримано при об’єднанні крайових і імпульсних умов в одну, як це зроблено в третьому розділі дисертації. Такий підхід у регулярному випадку вперше було застосовано у роботах [14, 15], а потім у [19].

Узагальнену задачу Коші

(43)

a = t0 < t1 < ··· < tp < tp+1 = b ,

D x (a) = v,

, (44)

розглянуто в першому пункті цього параграфа. Зазначено умови, при яких на кожному з підінтервалів існує однопараметрична сім’я розвязків (теорема 4.3.1) і єдиний розвязок на кожному з підінтервалів, крім першого (теорема 4.3.2). Розглянуто приклад.

У пункті 2 цього параграфа послідовно вивчаються лінійні крайові задачі. Цей пункт пов’язаний з роботами [2, 14, 8] .

Задача (43), (44) із крайовими умовами

,

модифікується в задачу

(45)

яка називається узагальненою імпульсною крайовою задачею.

Побудовано узагальнену матрицю Гріна, з використанням якої сформульовано теорему 4.3.3 про можливість розв’язання і вигляд розвязку задачі (43), (45).

Результати цього пункту застосовано до двоточкових крайових задач.

У пункті 2.4 розглянуто цікавий неформальний приклад з теорії коливань. Математична модель задачі про обертальні коливання стрижня, покритого оболонкою з іншого матеріалу, при синусоїдальному збуренні поверхні розділу „ядро-оболонка” зводиться до еквівалентної лінійної системи вигляду (43) з одним імпульсом і крайовими умовами.

Параграф 4.3 завершує дослідження питань, пов’язаних з умовами існування і структурою розвязків лінійних