Щербовських Сергій Володимирович

УДК 621.3.019:51.001

МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ НАДІЙНОСТІ РЕМОНТОВАНИХ ОБ’ЄКТІВ

НА ОСНОВІ РОЗШИРЕННЯ ПРОСТОРУ СТАНІВ

01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Львів 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Національному університеті "Львівська політехніка" Міністерства освіти та науки України

Науковий керівник: | доктор технічних наук, професор

Лозинський Орест Юліанович,

Національний університет "Львівська політехніка", завідувач кафедри електроприводу та автоматизації промислових установок

Офіційні опоненти: | доктор технічних наук, професор

Недоступ Леонід Аврамович,

Національний університет "Львівська політехніка", професор кафедри теоретичної радіотехніки та радіовимірювання

кандидат фізико-математичних наук

Ісаєв Ігор Юрійович,

Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка Національної академії наук України, старший науковий співробітник відділу відбору та обробки стохастичних сигналів

Провідна установа: | Вінницький національний технічний університет, кафедра електромеханічних систем автоматизації, Міністерства освіти та науки України, м. Вінниця

Захист відбудеться 28 жовтня 2005 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д .052.05 у Національному університеті "Львівська політехніка" (79013, м.Львів-13, вул. С. Бандери, 12).

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Національного університету "Львівська політехніка" (79013, м.Львів-13, вул. Професорська, 1).

Автореферат розісланий 23 вересня 2005 р.

Учений секретар спеціалізованої вченої ради,

доктор технічних наук, професор Р.А. Бунь

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Важливим показником, який необхідно забезпечити під час проектування відповідальних ремонтованих технічних об’єктів, є коефіцієнт готовності. Він є тією характеристикою якості об’єкта, досягнувши високого рівня якої, можна підвищити його конкурентоспроможність на ринку. Для виконання такого розрахунку необхідний математичний апарат, який ґрунтується на аналізі відповідної моделі надійності об’єкта, яка гарантує задану ефективність та адекватність моделювання.

Актуальність теми. Розрахунок коефіцієнта готовності ремонтованих об’єктів, який ґрунтується на застосуванні однорідних марковських моделей надійності, не дає високої точності внаслідок низької адекватності таких моделей. Це пов’язано із тим, що імовірнісні характеристики напрацювання та ремонту досліджуваних об’єктів часто не вдається з високим ступенем точності апроксимувати експоненціальним законом розподілу. З допомогою неоднорідних марковських моделей надійності лише в окремих випадках вдається досягти вищого рівня адекватності, причому нерідко це призводить до зниження ефективності. Моделі надійності ремонтованих об’єктів, реалізовані на основі методу Монте-Карло, навіть за сучасного рівня розвитку обчислювальної техніки також неефективні, а результати їх розрахунку містять стохастичну похибку. Іншими відомими у літературі підходами також не вдається досягти бажаного результату. Таким чином, пошук моделей надійності, які за умов забезпечення заданої адекватності дозволяють ефективно розраховувати коефіцієнт готовності, є актуальною задачею теорії надійності. Розв’язання цієї проб-леми дасть можливість скоротити термін проектування ремонтованих об'єктів та оптимізувати кількість резервних елементів.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тема дисертаційної роботи відповідає напрямку наукових досліджень Національного університету "Львівська політехніка", який затверджено Вченою Радою Національного університету "Львівська політехніка", протокол №14 від 28 січня  р.: "Ресурсозберігаючі технології та інтелектуальні системи керування в енергозабезпеченні об’єктів економічної діяльності", а саме розділ "Математичне моделювання, автоматизоване проектування та розробка електромеханічних перетворювачів та систем керування ними. Розробка методів і засобів неруйнівного контролю та технічної діагностики електричних машин, трансформаторів і апаратів".

Мета та задачі дослідження. Мета дисертації – розробити спосіб побудови моделей надійності ремонтованих об’єктів на основі розширення простору станів.

Для її досягнення необхідно розв’язати такі задачі.

1. Встановити причини, які перешкоджають на основі існуючих у науковій літературі підходів виконати високоефективний та високоадекватний розрахунок коефіцієнта готовності для ремонтованих об’єктів, в яких протікають процеси напрацювання та ремонту із довільними імовірнісними характеристиками, та запропонувати шляхи уникнення цих труднощів.

2. Синтезувати та проаналізувати аналітичні вирази простих фазових розподілів з метою пошуку таких характеристик, які будуть корисні для побудови моделей надійності ремонтованих об’єктів на основі розширення простору станів.

3. Визначити таку підмножину фазових законів розподілу, для якої, по-перше, можна ефективно апроксимувати вихідні дані, і, по-друге, за якою можна формувати розширені однорідні марковські моделі надійності із мінімальною кількістю фіктивних станів та переходів з максимальним урахуванням виду характеристик випадкових процесів.

4. Сформулювати правила, за якими необхідно синтезувати розширені однорідні марковські моделі надійності ремонтованих об’єктів.

5. Використовуючи моделі надійності на основі методу Монте-Карло, підтвердити коректність та ефективність запропонованих моделей надійності, що ґрунтуються на розширенні простору станів.

6. Запропонувати альтернативні підходи, з допомогою яких можна ефективно розраховувати коефіцієнт готовності простого ремонтованого об’єкта.

Об’єкт дослідження: моделі надійності ремонтованих електромеханічних об’єктів.

Предмет дослідження: методи побудови моделей надійності ремонтованих електромеханічних об’єктів із довільними імовірнісними характеристиками напрацювання та ремонту на основі розширення простору станів.

Методи досліджень, що використовуються в роботі, ґрунтуються на принципах теорій надійності, імовірності та теорії випадкових процесів.

Наукова новизна одержаних результатів.

1. Вперше виявлено властивість оборотності фазових законів розподілу один від-носно одного, яка буває трьох видів: однозначною, напіводнозначною та багатозначною. Користуючись цією властивістю можна еквівалентно перетворювати фазові закони розподілу однакового порядку.

2. Вдосконалено метод простору станів шляхом розробки набору правил для побудови моделей надійності ремонтованих об’єктів, що визначає на скільки фаз розкладаються стани об’єкта, як обчислити початкові умови фаз і як сполучати ці фази між собою. Користуючись поданими правилами можна, на відміну від методу фаз Ерланга, еквівалентно трансформувати неоднорідну марковську модель надійності ремонтованого об’єкта із послідовним сполученням елементів, паралельним та заміщувальним резервуванням для різних стратегій ремонту у відповідну розширену однорідну марковську модель надійності.

3. Досліджено ефективність застосування спрощеної канонічної підмножини фазових законів розподілу для побудови моделей надійності ремонтованих об’єктів на основі розширення простору станів. У порівнянні із гіперекспоненціальною, зваженою гіпоекспоненціальною, коксіанівською та іншими широко використовуваними підмножинами, застосування такої підмножини дозволяє будувати моделі надійності із мінімальною кількістю фаз та фіктивних переходів.

4. Користуючись властивістю оборотності та моделлю надійності простого ремонтованого об’єкта на основі розширення простору станів, доведено можливість створення моделі надійності простого ремонтованого об’єкта на основі переда-вальних функцій.

Практичне значення одержаних результатів. Результати виконаних досліджень є основою для підготовки методичного забезпечення для розрахунку коефіцієнта готовності ремонтованих об’єктів із довільними імовірнісними характеристиками напрацювання та ремонту.

Запропонований та обґрунтований спосіб побудови моделей надійності на основі розширення простору станів можна застосовувати для розробки підсистеми автоматизованого розрахунку коефіцієнта готовності в системах автоматизованого проектування RELAX, ITEM, ISOGRAPH або в подібному програмному забезпеченні.

Результати роботи впроваджені на підприємстві "Перетворювач"(м. Запоріжжя) та у навчальному процесі кафедри електроприводу та автоматизації промислових установок Національного університету "Львівська політехніка" в курсі "Надійність електромеханічних пристроїв та систем", що підтверджено відповідними документами.

Особистий внесок здобувача. Результати, викладені в роботі, отримано автором особисто. В наукових працях, що написані у співавторстві, автору належить: [1] – обґрунтування недоцільності використання (на прикладі об’єкта із двократним заміщувальним резервом) неоднорідних марковських моделей надійності для аналізу ремонтованих об’єктів; [2, 9] – аналіз застосування загального алгоритму синтезу фазових законів розподілу для опису процесу напрацювання до відмови об’єктів із одним та двома типами відмов; [3] – класифікаційна система фазових законів розподілу, синтез аналітичних виразів простих фазових законів розподілу, встановлення властивості оборотності та дослідження її різновидів; [4] – встановлення ефективності спрощеної канонічної фазової підмножини для апроксимації імовірнісних характеристик та для побудови моделей надійності на основі розширення простору станів; [5] – формування способу синтезу моделі надійності простого ремонтованого об’єкта на основі передавальних функцій; [6, 11] – визначення особливостей, що виникають під час синтезу розширених однорідних марковських моделей надійності типових ремонтованих об’єктів для заданих стратегій ремонту; [8] – встановлення, в загальному випадку, залежності функції інтенсивності переходу неоднорідної марковської моделі надійності узагальненого ремонтованого об’єкта, від часу та стану, із якого здійснюється такий перехід; [10] – формулювання загальних правил синтезу розширених однорідних марковських моделей надійності багатоелементних ремонтованих об’єктів.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи представлені, обговорені та дістали схвалення на: Міжнародній науково-технічній конференції "Сучасні проблеми радіоелектроніки, телекомунікацій, комп’ютерної інженерії" TCSET'2004 (Львів, 2004), науковому семінарі НАН України "Моделі та методи комп’ютерного аналізу електричних кіл та електромеханічних систем" (Львів, 2004), 8-й Міжнародній науково-технічній конференції "Досвід розробки та застосування САПР в мікроелектроніці" CADSM'2005 (Поляна, 2005), 1-й Міжнародній науково-технічній конференції молодих вчених " Перспективні технології та методи в проектуванні MEMS" MEMSTECH'2005 (Поляна, 2005).

У повному обсязі робота доповідалась та обговорювалась на засіданнях кафедри електроприводу та автоматизації промислових установок Національного університету "Львівська політехніка" у 2002 – 2005 роках.

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи висвітлено в 11 публікаціях, із них 8 – у наукових фахових виданнях України, 3 – у матеріалах міжнародних науково-технічних конференцій.

Структура роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, переліку літератури із 163 найменувань та семи додатків. Загальний обсяг дисертації складає 201 сторінку, із них 147 сторінок основного тексту, 74 рисунка, 5 таблиць.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційного дослідження, сформульовано мету та задачі роботи, наведено наукову новизну та практичне значення одержаних результатів.

У першому розділі подано огляд літератури, присвяченої синтезу моделей надійності ремонтованих об’єктів. Показано, що для забезпечення високої адекватності моделювання необхідно враховувати такі імовірнісні характеристики елементів технічних об’єктів, які відрізняються від характеристик експоненціального закону розподілу. Наявні сьогодні способи розрахунку коефіцієнта готовності за моделлю надійності, що дозволяє визначати його аналітично, однорідною та неоднорідною марковськими моделями надійності, моделлю надійності на основі методу Монте-Карло та ін. не забезпечують повною мірою розв’язання цієї проблеми через низьку їх адекватність або ефективність, що обумовлює важливість досліджень у цій сфері.

У другому розділі розглянуто концептуальні засади застосування простору станів у теорії надійності. Проаналізовано постулати Пуассона на основі узагальненого багатоелементного ремонтованого об’єкта і показано, що обмеження експонен-ціальним законом розподілу в однорідних марковських моделях надійності спричинено постулатом про імовірність переходу між станами. Виведені диференціальні рівняння простору станів без цього постулату, які дійсні для довільних законів розподілу. Виводячи такі рівняння, вводимо функцію інтенсивності переходу, яка залежить від імовірнісних характеристик елементів об’єкта і є засобом врахування передісторії випадкових процесів [8]. Вона залежить від часу і стану, із якого здійснюється перехід, а тому одному і тому ж випадковому процесу може відповідати декілька функцій інтенсивності переходу.

Проблема застосування цих функцій полягає в тому, що не існує загального алгоритму їх визначення, і навіть тоді, коли це вдається зробити, неоднорідні марковські моделі надійності виявляються неефективними порівняно із альтернативними. Це твердження обґрунтовано в [1] на прикладі моделі надійності об’єкта з двократним загальним заміщувальним резервом (рис.1), для якої на основі методу згортки визначили функції інтенсивності переходу ha(t), hb(t) та hc(t), які загалом не піддаються ефективному розрахунку:

де fa(t), fb(t), fс(t), Ra(t), Rb(t), Rс(t) – функції густини розподілу відмов та безвідмовності елементів "а", "b" та "с"; 1, 2 – змінні інтегрування.

Подальший розвиток концепції простору станів наштовхується на протиріччя, яке полягає в тому, що, з одного боку, функції інтенсивності переходу повинні бути сталими, щоб забезпечити ефективність моделей надійності, а з іншого – змінними, щоб забезпечити адекватність. Розв’язати це протиріччя можна застосувавши принцип розширення простору станів, тобто ввівши додаткові фіктивні стани та переходи, перейти від неоднорідної до еквівалентної розширеної однорідної марковської моделі надійності.

Третій розділ присвячено синтезу та аналізу властивостей простих фазових законів розподілу. Фазовим законом розподілу називають такий, що відображає імовірність переходу в єдиний погли-нальний стан процесу, який описується однорідною марковською моделлю. Для класифікації фазових законів розподілу доцільна система, що ґрунтується на кількості фаз та переходів (табл.1). Також показано, що для опису характеристики безвідмовності об’єктів з двома типами відмов діаграму станів та переходів фазового закону розподілу необхідно сформувати так, щоб вона містила два поглинальних стани відповідно до кількості типів відмов [2, 9]. Згідно з класифікаційною системою синтезовано аналітичні вирази простих фазових законів розподілу, окремі з яких подано в табл.2.

Найпростішим фазовим законом є експоненціальний закон розподілу, що відображає здатність простору станів розширюватись в себе. Шляхом аналізу наведених розподілів вдалось встановити невідому властивість оборотності одного фазового закону розподілу відносно іншого [3]. Ця властивість полягає в тому, що заданий фазовий закон розподілу можна виразити через будь-який інший такого ж самого порядку. Формули перетворення синтезуємо на основі принципу ортогональності, прирівнюючи відповідні показники експонент та коефіцієнти при них. Властивість оборотності може бути трьох видів: однозначною, напіводнозначною та багатозначною. Однозначна оборотність існує між фазовими законами розподілу, в яких кількість фіктивних переходів однакова і рівна кількості фаз. Напіводнозначна – між фазовим законом розподілу із кількістю переходів, що дорівнює кількості фаз, та законом розподілу із кількістю переходів, більшою за кількість фаз. Особливість їх перетворення полягає в тому, що під час трансформації до розподілу з більшою кількістю переходів необхідно довільно задаватись частиною параметрів. Багатозначна – між фазовими законами розподілу, в яких кількість переходів більша за кількість фаз, а тому під час трансформації як в один, так і в інший бік необхідно довільно задаватись частиною параметрів. Кількість параметрів, що задається довільно, рівна різниці кількості переходів та кількості фаз закону розподілу.

Встановлено [4], що з допомогою канонічної спрощеної підмножини фазових законів розподілу можна ефективно досліджувати коефіцієнт готовності ремонто-ваних об’єктів. Такий розподіл отримуємо, якщо прийняти, що в канонічному фазовому розподілі усі інтенсивності переходів рівні. На основі R1(t) для другого порядку та R5(t) для третього дістаємо:

.

Переваги проявляються в тому, що, по-перше, для підмножини цих фазових законів розподілу легко виконати багатопараметричну апроксимацію даних, по-друге, нарощуванням кількості фаз вдається суттєво зменшити квадратичну інтегральну похибку, що показує апроксимування тестового закону розподілу (рис.2.а, де 1 – крива функції безвідмовності, 2 – густини розподілу відмов, 3 – інтенсивності відмов, 4 – безвідмовності, за відсутності зламу) фазовими законами розподілу із спрощеної канонічної підмножини (рис.2.б-д), штрихова крива – задана, суцільна – отримана). Зі збільшенням порядку N на одиницю, квадратична інтегральна похибка Q зменшується в 3 - 6.5 рази. І, по-третє, результуючі розширені однорідні марковські моделі надійності містять мінімальну кількість фаз та фіктивних переходів.

У четвертому розділі подано правила формування моделей надійності на основі розширення простору станів та синтезовані розширені однорідні марковські моделі надійності типових ремонтованих об’єктів. Брались різні фазові закони розподілу однакового порядку, а потім для різних об’єктів формувались гіпотетичні розширені однорідні марковські моделі надійності.

Оскільки на основі оборотності можна виразити один фазовий закон розподілу через інший, то усі гіпотетичні моделі надійності повинні давати однаковий результат розрахунку. Математичними експериментами емпірично віднайдено такі правила синтезу розширених однорідних марковських моделей [10].

Правило 1 визначає, на скільки фаз розкладаються стани неоднорідної марковської моделі надійності (рис.3). Це число формується як добуток між собою кількостей непоглинальних фаз діаграм випадкових процесів, які стосуються такого стану об’єкта. Випадковий процес стосується стану тоді, коли він протікає в ньому, або, якщо необхідно врахувати в цьому стані передісторію протікання процесу в попередніх станах. Простір станів зручно розширювати, користуючись допоміжними діаграмами фаз. Допоміжну діаграму фази формуємо накладанням усіх діаграм законів розподілу випадкових процесів, які стосуються такого стану, із перетином у фазі, в якій перебуває кожний із цих процесів. Тобто, для певного стану об’єкта отримуємо таку кількість фаз, яка відповідає усім можливим комбінаціям накладання діаграм випадкових процесів.

Правило 2 визначає початкові ймовірності фаз розширеного простору станів. Фази, утворені під час розкладання станів із нульовими початковими умовами, мають теж нульові початкові умови. Для стану, в якому перебуває об’єкт у початковий момент, початкова одинична імовірність розподіляється між усіма його фазами. Числове значення початкової імовірності окремої фази визначаємо як добуток початкових ймовірностей тих фаз діаграм випадкових процесів, в яких вони перебувають у даній фазі діаграми об’єкта, тобто де діаграми процесів перетнулись.

Правило 3 визначає фіктивні переходи, які з’єднують фази одного і того ж стану (рис.4). Для цього в кожній допоміжній діаграмі позначаємо усі початки та кінці переходів, які виходять і входять відповідно у спільну фазу. Виявляється, що такі ж початки та кінці переходів так само виходитимуть та входитимуть відповідно в саму фазу розширеної діаграми, якій відповідає така допоміжна діаграма. Надалі необхідно з’єднати такі початки і кінці у переходи, здійснення яких “перетворить” одну допоміжну діаграму в іншу. Параметр такого переходу рівний параметру початку цього переходу, або параметру кінця, оскільки вони рівні між собою.

Правило 4 визначає фіктивні переходи, які з’єднують фази різних станів. Після виконання попереднього етапу частина початків переходів залишається вільною. Завдання цього етапу – встановити, як переходи, які мають такі вільні початки, входитимуть у фази наступних станів. Основна проблема синтезу розширених однорідних марковських моделей надійності полягає в тому, що лише неоднорідної марковської моделі надійності недостатньо для перетворення, оскільки вона не відтворює кількість та характер процесів, що розпочинаються в наступному стані. Лише розуміючи алгоритм функціонування об’єкта, можна правильно сформувати його розширену однорідну марковську модель надійності, оскільки зовні однакові неодно-рідні марковські моделі можуть описувати різні випадкові процеси. Виділяємо два різновиди таких переходів.

До першого належать такі переходи, що не породжують жодного нового процесу. Такі переходи утворюють між фазами попереднього стану, в якому відбувається N процесів, та фазами наступного стану, в якому відбувається N-1 процесів, які усі розпочаті в попередніх станах. Для формування такого переходу необхідно вільний початок переходу завести в таку фазу наступного стану, для якої допоміжну діаграму можна утворити відкиданням діаграми випадкового процесу, закінчення якого обумовлює цей перехід, від допоміжної діаграми тієї фази, із якої здійснюється перехід. Параметр переходу рівний параметру початку цього переходу. Приклад формування переходу за умови, що в попередньому стані відбуваються процеси “a” та “b”, а в наступному – лише “b”, подано на рис.5.а.

Іншим різновидом переходів є такі, здійснення яких відповідає перериванню в попередньому стані усіх старих процесів і виникненню в наступному нових. Такі переходи утворюють між фазами попереднього стану, в якому відбувається N процесів і внаслідок завершення одного із них решта переривається, та фазами наступного, в якому розпочинається M нових процесів, причому величини M та N не пов’язані. Встановлено, що такі переходи повинні непрямо задавати початкові умови усьому сукупному випадковому процесу, який розпочинається у фазах наступного стану. Оскільки початкові імовірності фазових законів розподілу випадкових процесів розподілені між окремими фазами, виникає потреба у розщепленні цих переходів. Для формування такого переходу необхідно вільний початок розщепити на кількість фаз наступного стану, а потім кожну розщеплену складову завести у кожну із таких фаз. Параметр заданого розщепленого переходу визначаємо як добуток параметра початку цього переходу на добуток початкових ймовірностей тих фаз діаграм випадкових процесів, що стосуються відповідної фази розширеної діаграми об’єкта, в яку здійснюється цей перехід. Приклад формування переходу за умови, що в попередньому стані відбуваються процеси “a” та “b”, "а" закінчується, “b” переривається і в наступному стані процес “с” починається, подано на рис.5.б.

Решта переходів між фазами різних станів поєднують ознаки цих двох різновидів і формуються шляхом застосування обох правил побудови.

Далі необхідно сформувати рівняння Колмогорова – Чепмена, інтегруючи які, визначаємо імовірності фаз. Коефіцієнт готовності об’єкта обчислюємо як суму ймо-вірностей тих фаз, які відповідають його справним станам. Для перевірки ко-ректності цих правил в роботі синтезовано моделі надійності типових ремонтованих об’єктів на основі розширення простору станів та відповідні їм моделі на основі методу Монте-Карло, які є найуживанішими в світовій практиці.

Модель надійності простого ремонтованого об’єкта складається із справного стану S1, в якому перебуває об’єкт на початку, та несправного S0 (рис.6).

Напрацювання об’єкта характеризується функцією безвідмовності R(t), а ремонт – функцією відновлення М(t). Для цієї та інших моделей надійності, що розглядаються в роботі, прийнято, що після відновлення елементи є "як нові". Вважаємо, що характеристики випадкових процесів, які протікають в об’єкті, означені фазовими законами розподілу (рис.3.в). Розширену однорідну марковську модель надійності формуємо так. Згідно з правилом 1, стан S1 розкладаємо на три фази, а S0 – на дві (рис.7.а). Початкова одинична імовірність, згідно з правилом 2, розподіляється між фазами стану S1. З’єднуємо, згідно з правилом 3, фази однакових станів (рис.7.б), а потім, згідно з правилом 4 – фази різних станів (рис.7.в).

Таким чином, згідно з синтезованою розширеною однорідною марковською моделлю надійності (рис.7.г), коефіцієнт готовності простого ремонтованого об’єкта A(t) визначаємо як суму ймовірностей фаз Ph5, Ph4 та Ph3.

Для простого ремонтованого об’єкта, користуючись фазовими законами розподілу, запропоновано [5] реалізацію моделі надійності на основі передавальних функцій. Коефіцієнт готовності такого об’єкта можна подати виразом

,

де f(s) – густина розподілу відмов об’єкта; g(s) – густина розподілу його відновлень.

Цей вираз трактуємо як лінійну передавальну функцію моделі випадкових процесів (рис.8). Передавальні функції f(s), g(s) та R(s) визначаємо на основі перетворення Лапласа. "Керуючий" вплив в таких моделях надійності задається одиничною початковою умовою у вхідному інтеграторі R(s), як показано на рис.9.

Криві коефіцієнтів готовності, отримані шляхом розрахунку розширеної однорідної марковської моделі надійності, моделі на основі передавальних функцій та моделі на основі методу Монте-Карло, збігаються, що підтверджує коректність запропонованих моделей надійності. Перевага моделі на основі передавальних функцій полягає в тому, що, замінюючи характеристики об’єкта, необхідно замінити лише відповідні передавальні функції без трудомісткого формування розширеного простору станів; недолік – невідомо, як їх формувати для інших об’єктів.

Модель надійності двоелементного ремонтованого об’єкта для поелементної стратегії ремонту (рис.10.а та б) містить один справний стан S3, в якому об’єкт перебуває на початку, та два несправних: S2, в якому ремонтують несправний елемент "b", та S1, в якому ремонтують "а".

Напрацювання елементів “а” та "b" характеризується функціями безвідмовності Ra(t) та Rb(t), а ремонт – функціями відновлення Ма(t) та Мb(t), відповідно, що означені фазовими законами розподілу (рис.10.в). Згідно з поданими вище правилами сформуємо розширену однорідну марковську модель надійності (рис.11). Коефіцієнт її готовності визначаємо як суму ймовірностей фаз Ph11…Ph16. Також у роботі до-сліджено модель надійності двоелементного ремонтованого об’єкта для поелементно-загальної стратегії ремонту [6], особливість якої в тому, що після відмови елемента “b”, замінюються обидва елементи об’єкта.

Криві коефіцієнтів готовності, отримані шляхом розрахунку розширених однорідних марковських моделей надійності об'єкта для поелементно-загальної і поелементної стратегій ремонту та відповідних моделей надійності на основі методу Монте-Карло, при збільшенні кількості реалізацій поступово збігаються, що підтверджує коректність запропонованих моделей надійності. За допомогою класичної однорідної марковської моделі надійності та моделі надійності на основі фаз Ерланга не можна відобразити різні стратегії ремонту.

Модель надійності ремонтованого об’єкта із загальним паралельним резервом для обмеженої стратегії ремонту [7] містить три справних стани (рис.12): S5, в якому об’єкт перебуває на початку, S4, в якому ремонтують елемент "b", і S3, в якому ремонтують елемент "а"; та два несправних стани: S2, в якому продовжується ремонт елемента "а"; та S1, в якому продовжується ремонт елемента "b".

Напрацювання елементів “а” та "b" характеризується функціями безвідмовності Ra(t) та Rb(t), а ремонт – функціями відновлення Ма(t) та Мb(t) відповідно. Вважаємо, що характеристики випадкових процесів, які протікають в об’єкті, означені тими ж фазовими законами розподілу, як і в попередньому випадку (рис.10.в), проте з іншими числовими параметрами. Коефіцієнт готовності такого об’єкта визначаємо як суму ймовірностей фаз Ph20… Ph5 розширеної однорідної марковської моделі надійності (рис. 13), яку формуємо ґрунтуючись на поданих вище правилах. Також розглянуто модель надійності об’єкта із загальним заміщу-вальним резервом для необмеженої стратегії ремонту. Криві коефіцієнтів готовності, розраховані за розширеними однорідними марковськими моделями надійності об'єкта для обмеженої і необмеженої стратегій ремонту та відповідними моделями надійності на основі методу Монте-Карло, при збільшенні числа реалізацій збігаються, що підтверджує коректність запропонованих моделей даного об’єкта.

Окрім того, в дисертаційній роботі синтезовано розширену однорідну марковську модель надійності ремонтованого об’єкта із загальним заміщувальним резервом для обмеженої стратегії ремонту [11]. Для цієї моделі так само, користуючись відповідною моделлю надійності на основі методу Монте-Карло, вдалось підтвердити її коректність.

Таким чином, для усіх розглянутих у дисертаційній роботі об’єктів криві коефіцієнтів готовності, що отримані шляхом розрахунку розширених однорідних марковських моделей надійності та відповідних їм моделей надійності на основі методу Монте-Карло, збіглись в межах стохастичної похибки моделювання, що підтверджує коректність поданих правил розширення простору станів. Розширені однорідні марковські моделі надійності порівняно із моделями надійності на основі методу Монте-Карло ефективніші, що проявляється у вищій швидкості обчислення та відсутності спотворення результатів стохастичною похибкою, яка породжена генератором випадкових чисел. Проти класичних однорідних марковських моделей надійності та моделей надійності на основі фаз Ерланга, які часто незастосовні для даних об’єктів, розширені однорідні марковські моделі забезпечують вищу адекватність моделювання за відносно незначного ускладнення.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі розв’язано наукову задачу з визначення способу побудови моделей надійності ремонтованих електромеханічних об’єктів на основі розширення простору станів. Користуючись такими моделями можна здійснювати ефективний та адекватний розрахунок коефіцієнта готовності об’єктів із довільним імовірнісними характеристиками напрацювання та ремонту. Основні наукові та практичні результати, одержані в роботі, такі.

1. Для досягнення високої точності розрахунку коефіцієнта готовності ремонтованих об’єктів необхідно забезпечити адекватне врахування імовірнісних характеристик процесів напрацювання та ремонту. Показано, що в багатьох випадках вони відрізняються від характеристик експоненціального закону розподілу.

2. Наявні в літературі способи розрахунку коефіцієнта готовності не дозволяють повною мірою здійснити це через низьку ефективність або(і) недостатню адек-ватність моделювання. Зокрема, класичні однорідні марковські моделі надійності строго обмежені експоненціальним законом розподілу; для неоднорідних марковських моделей надійності невідомий спосіб синтезу функцій інтенсивності переходу, які є параметрами таких моделей; а моделі надійності на основі методу Монте-Карло для ремонтованих об’єктів малоефективні внаслідок громіздких проміжних обчислень, до того ж результати їх розрахунку спотворюються стохастичною похибкою.

3. Запропоновано для розрахунку коефіцієнта готовності досліджуваних об’єктів застосовувати розширені однорідні марковські моделі надійності, які здатні забезпечити для заданого класу об’єктів необхідній рівень адекватності зі збереженням високої ефективності моделювання.

4. Подано для фазових законів розподілу класифікаційну систему на основі кількості фаз та переходів. Згідно з нею синтезовано аналітичні вирази простих фазових законів розподілу. Обґрунтовано спосіб синтезу фазових законів розподілу для опису напрацювання об’єктів з двома типами відмов.

5. Встановлено властивість оборотності фазових законів розподілу. Показано, що ця властивість може бути: однозначною, напіводнозначною та багатозначною. Користуючись нею утворено базу правил для розширення простору станів.

6. Показано, що, користуючись спрощеною канонічною підмножиною фазових законів розподілу, можна ефективно досягти бажаної точності апроксимації і синтезувати модель надійності ремонтованого об’єкта із мінімальною кількістю фіктивних станів та переходів.

7. Сформульовано правила, за якими необхідно здійснювати перехід від неоднорідної марковської моделі надійності ремонтованого об’єкта до його еквівалентної розширеної однорідної марковської моделі надійності.

8. Для перевірки достовірності результатів сформовано розширені однорідні марковські моделі надійності простого ремонтованого об’єкта, двоелементного ремонтованого об’єкта, ремонтованого об’єкта із загальним паралельним резервом, ремонтованого об’єкта із загальним заміщувальним резервом для різних стратегій ремонту, та відповідні їм моделі надійності на основі методу Монте-Карло. В кожному випадку результати розрахунку обох моделей надійності збігались у межах стохастичної похибки моделювання. Цей факт підтверджує достовірність поданого у роботі способу синтезу моделей надійності на основі розширення простору станів.

9. На прикладі простого ремонтованого об’єкта реалізовано модель надійності на основі передавальних функцій, яка так само забезпечує високу ефективність та адекватність моделювання даного ремонтованого об’єкта. Для цієї моделі надійності, окрім того, легко здійснити корекцію імовірнісних характеристик випадкових процесів, що протікають в об’єкті.

ПУБЛІКАЦІЇ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Лозинський О.Ю., Щербовських С.В. Проблеми визначення функцій переходу для математичної моделі надійності електротехнічного об’єкта // Вісник Національного університету “Львівська політехніка”. Електроенергетичні та електромеханічні системи. – Львів, 2004. – №511. – С.51-57.

2. Лозинський О.Ю., Щербовських С.В. Спосіб синтезу законів розподілу для побудови математичних моделей надійності на основі розширення простору станів // Вісник Національного університету “Львівська політехніка”. Радіоелектроніка та телекомунікації. – Львів, 2004. – №508. – С.250-256.

3. Лозинський О.Ю., Щербовських С.В. Класифікація, синтез та аналіз властивостей простих фазових законів розподілу // Математичні методи та фізико-механічні поля. – Львів, 2005. – Т.48, №1. – С.170-178.

4. Лозинський О.Ю, Щербовських С.В. Визначення ефективної підмножини фазових законів розподілу для утворення математичних моделей надійності ремонтованих об’єктів // Відбір і обробка інформації. – 2004. – №21(97). – С.17-22.

5. Лозинський О.Ю., Щербовських С.В. Проблеми розрахунку коефіцієнта готов-ності простого ремонтованого об’єкта // Вісник Національного університету “Львівська політехніка”. Автоматика, вимірювання та керування. – Львів, 2004. – №500. – С.24-30.

6. Лозинський О.Ю., Щербовських С.В. Розрахунок методом фаз коефіцієнта готов-ності об’єкта зі швидкозношуваним елементом // Відбір і обробка інформації. – 2004. – №20(96). – С.32-37.

7. Щербовських С.В. Розрахунок методом фаз коефіцієнта готовності інформаційної системи із загальним сталим резервом при обмеженому відновленні // Інформаційні технології і системи. – 2004. – Т.7, №2. – С.32-40.

8. Лозинський О.Ю., Щербовських С.В. Формування рівнянь простору станів для довільних законів розподілу відмов та відновлень // Вісник Національного університету “Львівська політехніка”. Електроенергетичні та електромеханічні системи. – Львів, 2004. – №511. –
С.58-63.

9. Lozynsky O.Yu., Shcherbovskykh S.V. Synthesis of the extended state space distribution laws / Proc. Int. Conf. "Modern Problems of Radio Engineering, Telecommunications and Computer Science"(TCSET'05). – Lviv-Slavsko, Ukraine. – 2004. – P.609-610.

10. Lozynsky O.Yu., Shcherbovskykh S.V. Extended homogeneous Markov reliability models synthesis algorithm for multi-component repaired items / Proc. Int. Conf. "Experience of Designing and Application of CAD Systems in Microelectronics" (CADSM'05). – Lviv-Polyana, Ukraine. – 2005. – P.344-346.

11. Lozynsky O.Yu., Shcherbovskykh S.V. Availability calculation of the repairable item with whole standby redundancy on the basis of state space extension / Proc. Int. Conf. of a Young Scientists "Perspective Technologies and Methods in MEMS Design" (MEMSTECH'05). – Lviv-Polyana, Ukraine. – 2005. – P.16-17.

АНОТАЦІЯ

Щербовських С.В. Математичні моделі надійності ремонтованих об’єктів на основі розширення простору станів. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук зі спе-ціальності 01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи. – Національний університет "Львівська політехніка". – Львів, 2005.

Дисертаційна робота присвячена розв’язанню наукової задачі синтезу ефективних та адекватних моделей надійності ремонтованих об’єктів на основі розширення простору станів. Такі моделі дозволяють розраховувати коефіцієнт готовності об’єктів, в яких характеристики випадкових процесів означені, наприклад, законом розподілу Вейбула, Релея, або мають вигляд типової ?-характеристики.

У роботі запропоновано класифікаційну систему фазових законів розподілу. Встановлено невідому досі властивість оборотності цих законів розподілу, яка може бути трьох видів: однозначною, напіводнозначною та багатозначною. Показано ефективність спрощеної канонічної підмножини фазових законів розподілу для побудови розширених однорідних марковських моделей надійності. Сформульовано правила перетворення неоднорідної марковської моделі надійності в еквівалентну їй розширену однорідну марковську модель. Синтезовано моделі надійності типових ремонтованих об’єктів на основі розширення простору станів та на основі методу Монте-Карло. В кожному випадку моделі надійності на основі розширення простору станів забезпечили задану адекватність зі збереженням високої ефективності. Запропоновано спосіб формування моделі надійності простого ремонтованого об’єкта на основі передавальних функцій.

Ключові слова: математична модель надійності, коефіцієнт готовності, фазовий закон розподілу, метод простору станів, метод Монте-Карло.

АННОТАЦИЯ

Щербовских С.В. Математические модели надежности ремонтируемых объектов на основе расширения пространства состояний. – Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата технических наук по специальности 01.05.02 – математическое моделирование и вычислительные методы. – Национальный университет "Львовская политехника". – Львов, 2005.

Диссертационная работа посвящена решению научной задачи синтеза эффективных и адекватных моделей надежности ремонтируемых объектов на основе расширения пространства состояний. Такие модели надежности не ограничены исключительно экспоненциальным законом распределения и позволяют рассчитывать коэффициент готовности объектов, в которых протекают процессы наработки и ремонта, чии вероятностные характеристики определены, например, законом распределения Вейбула, Релея, или имеют вид типовой ?-характеристики.

Данную проблему на основе имеющихся в литературе подходов не удается решить в полной мере из-за низкой эффективности и/или адекватности моделирования. В частности, классические однородные марковские модели надежности ограничены только экспоненциальным законом распределения. Для неоднородных марковских моделей неизвестен способ синтеза функций интенсивности перехода, а приближенные способы их синтеза не всегда обеспечивают необходимую точность.

На примере объекта с общим двукратным резервом показано, что даже в тех случаях, когда удается найти точные выражения функций интенсивности перехода, неоднородные марковские модели надежности оказываются неэффективными и уступают конкурирующим моделям надежности. Модели надежности на основе метода Монте-Карло для ремонтируемых объектов тоже малоэффективны, поскольку требуют громоздких вычислений, к тому же результаты их расчета искажаются стохастической погрешностью. Противоречие, состоящее в том, что, с одной стороны, марковские модели надежности должны иметь постоянные коэффициенты переходов, чтобы быть эффективными, а с другой – переменные, чтобы быть адекватными, предлагается избежать с помощью расширения пространства состояний. То есть предлагается перейти от неоднородных марковских моделей надежности к эквивалентным расширенным однородным моделям с помощью введения фиктивных состояний и переходов. Такие модели будут одновременно сочетать адекватность и эффективность. Для их построения необходимо использовать фазовые законы распределения, которые исследуются в работе. Предложен способ синтеза фазовых законов распределения для описания характеристик наработки объектов с двумя типами отказов. Предложена классификационная система фазовых законов распределения, в основу которой положено количество фаз и количество переходов, что содержит диаграмма закона распределения. Исходя из классификационной системы, синтезированы аналитические выражения простых фазовых законов распределения. Анализируя эти выражения, установлено свойство оборотности фазовых законов распределения один относительно другого. Показано, что это свойство может быть трех видов: однозначная оборотность, полуоднозначная и многозначная. Показано, что с помощью упрощенного канонического подмножества фазовых законов распределения можно эффективно достичь желаемой точности аппроксимации и синтезировать модель надежности объекта с минимальным количеством фиктивных состояний и переходов. Используя свойство оборотности, сформулированы правила, на основе которых необходимо осуществлять переход от неоднородной марковской модели надежности ремонтируемого объекта к его эквивалентной расширенной однородной марковской модели надежности.

Пользуясь этими правилами, были построены расширенная однородная марковская модель надежности простого ремонтируемого объекта; модель надежности двухэлементного ремонтируемого объекта при поэлементной и поэлементно-общей стратегиях ремонта; модель надежности ремонтируемого объекта с общим параллельным резервом при ограниченной и неограниченной стратегиях ремонта; модель надежности ремонтируемого объекта с общим замещающим резервом при ограниченной стратегии ремонта. Для проверки достоверности, а также сравнения адекватности и эффективности, синтезированы соответствующие модели надежности на основе метода Монте-Карло и классические однородные марковские модели надежности. В каждой из рассматриваемых моделей надежности, результаты расчета подтвердили достоверность предложенного способа синтеза на основе расширения пространства состояний, а также способность таких моделей обеспечить заданную адекватность при сохранении высокой эффективности. На примере простого ремонтируемого объекта реализована модель надежности на основе передаточных функций, которая также обеспечивает высокую эффективность и адекватность моделирования данного ремонтируемого объекта. Для этой модели надежности, кроме того, легко осуществить коррекцию вероятностных характеристик случайных процессов.

Ключевые слова: математическая модель надежности, коэффициент готовности, фазовый закон распределения, метод пространства состояний, метод Монте-Карло.

ABSTRACT

Shcherbovskykh S.V. Mathematical reliability models for repairable items on the basis of state space extension. – Manuscript.

The thesis for Ph.D. degree on the specialty 01.05.02 – mathematical modeling and calculation methods is presented. – Lviv Polytechnic National University, 2005.

The thesis is devoted to scientific problem for synthesis of effective and adequate reliability models of repairable items on the basis of state space extension. Such models allow us to calculate the availability of items where the random processes characteristics can be defined by Weibull, Relay distribution or similar to bathtube characteristic, for example.

Phase-type distributions classification system is offered in the thesis. The phase-type distributions property of convertibility is found for the first time. This property can be of three kinds: unambiguous, semi-unambiguous, and ambiguous. The efficiency of simplified canonical phase-type distribution subset which can be used for extended homogeneous Markov reliability models construction