НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Іванова Наталія Миколаївна

УДК 517.958

КЛАСИФІКАЦІЙНІ ЗАДАЧІ

ДЛЯ РІВНЯНЬ КОНВЕКЦІЇ–ДИФУЗІЇ

ТА РІВНЯНЬ ШРЬОДІНГЕРА

01.01.03 — математична фізика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ — 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті математики НАН України.

Науковий керівник

доктор фіз.-мат. наук, професор,

НІКІТІН Анатолій Глібович,

Інститут математики НАН України,

завідувач відділу прикладних досліджень

Офіційні опоненти:

доктор фіз.-мат. наук, професор

Білоколос Євген Дмитрович,

Інститут магнетизму НАН України (Київ),

завідувач відділу теоретичної фізики

доктор фіз.-мат. наук, професор

Лагно Віктор Іванович,

Полтавський державний педагогічний

університет ім. В.Г. Короленка,

завідувач кафедри математичного аналізу та інформатики

Провідна установа: Київський національний університет

імені Тараса Шевченка

Захист відбудеться “29” ,березня 2005 р. о 15 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ-4, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий 22 лютого 2005 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради РОМАНЮК А.С.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. При дослідженні будь-якого явища дослідник має справу з ієрархією моделей, яка складається, як правило, шляхом послідовного урахування різних факторів і містить нелінійні диференціальні рівняння з частинними похідними. В ієрархії моделей завжди можна прослідкувати ієрархію симетрії, що описується групами перетворень. Знання таких груп дає досліднику значну інформацію для вивчення математичних моделей. Наприклад, групові властивості системи диференціальних рівнянь дозволяє генерувати нові розв’язки з вже відомих, будувати для моделі закони збереження, виділяти класи інваріантно-групових розв’язків, знаходження яких є більш простою задачею порівняно із знаходженням загального розв’язку тощо. Все це набуває особливо великої цінності при вивченні нелінійних моделей, де кожен точний розв’язок відіграє важливу роль. Навіть якщо він не є розв’язком реальної крайової задачі, його доцільно використовувати як тестовий для розроблених в рамках інших підходів чисельних або наближених алгоритмів.

У випадку звичайних диференціальних рівнянь з інваріантності відносно однопараметричної групи симетрій випливає можливість пониження порядку рівняння на одиницю, причому розв’язки вихідного рівняння відновлюються за розв’язками редукованого за допомогою однієї квадратури. Для одного рівняння першого порядку цей метод дає явну формулу для загального розв’язку. Багатопараметричні групи симетрій приводять до подальшого пониження порядку, але не завжди можна відновити розв’язки вихідного рівняння за розв’язками редукованого шляхом лише квадратур, за винятком випадку, коли сама група симетрії задовольняє додатковій вимозі розв’язності.

У випадку диференціальних рівнянь з частинними похідними повна група симетрій не допомагає відшукати загальний розв’язок. У багатьох випадках знання групи симетрій дозволяє вказати, коли рівняння можна перетворити на такі, що легше розв’язуються, наприклад лінійні. Однак групи симетрій можна використовувати, щоб явно знайти часткові класи розв’язків, які є інваріантними відносно деякої підгрупи повної групи симетрій. Для багатьох нелінійних рівнянь та систем це єдині відомі точні розв’язки, тому вони відіграють важливу роль і в математичних дослідженнях, і в фізичних застосуваннях.

Другою важливою задачею групового аналізу є застосування симетрійних методів для групової класифікації рівнянь. Розв’язання цієї задачі цікаве не лише з математичної точки зору, але має й прикладне значення. Диференціальні рівняння математичної фізики часто містять параметри або функції, які знаходяться експериментально і тому не є строго фіксованими. В той же час рівняння математичної моделі повинні бути достатньо простими для аналізу і розв’язання. Груповий підхід дозволяє прийняти за критерій простоти вимогу, щоб з вибраним довільним елементом моделююче диференціальне рівняння допускало групу з певними властивостями, або взагалі, найбільш широку групу.

Корисною і цікавою є також задача про можливі перетворення в заданому класі диференціальних рівнянь. Зокрема, якщо відома група еквівалентності для класу, то для конкретного рівняння за її допомогою можна шукати такі перетворення змінних, щоб модифіковане рівняння мало найбільш просту і зручну для дослідження диференціальну структуру. І навпаки, використовуючи перетворення еквівалентності, з відомих для простих рівнянь властивостей можна легко отримати їх аналоги для більш складних систем.

Ще одним застосуванням апарату групового аналізу є знаходження законів збереження, які відіграють важливу роль у вивченні рівнянь математичної фізики. Їх знання корисне для чисельного інтегрування рівнянь з частинними похідними, наприклад, для контролю чисельних похибок. Дослідження законів збереження рівняння Кортевега–де Фріза було початковою точкою для відкриття нових підходів до розв’язання еволюційних рівнянь (перетворення Міури, пари Лакса, метод оберненої задачі розсіювання, бі-гамільтонові структури). Існування достатньої кількості нееквівалентних законів збереження для (систем) диференціальних рівнянь з частинними похідними є показником їх можливої інтегровності. Закони збереження є надзвичайно важливими у теорії некласичних перетворень і теорії нормальних форм та асимптотичної інтегровності.

Перераховані вище і деякі інші, більш спеціальні задачі утворюють широку область застосування теорії і методів групового аналізу диференціальних рівнянь.

Серед фундаментальних рівнянь математичної фізики чільне місце належить рівнянням еволюційного типу другого порядку. Так, рівняння конвекції–дифузії успішно використовуються для моделювання проблем у математичній фізиці, хімії і біології. Вони описують рух рідини у пористому середовищі, перенос енергії в плазмі, розподіл розчинів у грунті і т. і.

Нелінійні рівняння Шрьодінгера відіграють виключно важливу роль в теорії розвитку слабо змінних хвильових шлейфів в стійких слабо нелінійних системах і зустрічаються в цілому ряді галузей фізики, включаючи фізику плазми і нелінійну оптику. Вони використовуються в геометричній оптиці, нелінійній квантовій механіці і теорії конденсації Бозе–Ейнштейна.

У зв’язку з цим актуальною постає задача групової класифікації та подальшого дослідження у класах рівнянь конвекції–дифузії і нелінійних рівнянь Шрьодінгера.

Різні класи квазілінійних еволюційних рівнянь другого порядку з двома незалежними змінними та нелінійних рівнянь Шрьодінгера досліджувалися за допомогою симетрійних методів в роботах П. Вінтерніца, Л. Ганьона, Г.А. Голдіна, Г.-Д. Дойбнера, Р.З. Жданова, В.І. Лагна, П. Наттермана, У. Нідерера, А.Г. Нікітіна, Р.О. Поповича, М.І. Сєрова, В.І. Фущича, Р.М. Черніги, В.М Штеленя та інших. У даній роботі поряд з уточненням та узагальненням отриманих раніше результатів, вводяться нові поняття та розвиваються нові методи групового аналізу, які дозволяють значно спростити знаходження законів збереження та розширити область застосування вже відомих методів групового аналізу, знаходяться закони збереження, проводиться групова класифікація та досліджуються інші симетрійні властивості широких класів рівнянь.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана у відділі прикладних досліджень Інституту математики НАН України в рамках теми “Теоретико-груповий аналіз нелінійних проблем математичної фізики, хімії, біології та економіки” (номер держреєстрації 0101U000098).

Мета і задачі дослідження. Метою даної роботи є розробка та вдосконалення симетрійних методів побудови законів збереження, застосування їх до класу рівнянь конвекції–дифузії, а також знаходження потенціальних симетрій та потенціальних перетворень еквівалентності рівнянь конвекції–дифузії і розв’язання задач групової класифікації у класі рівнянь конвекції–дифузії та нелінійних рівнянь Шрьодінгера. Для цього поряд з використанням класичних методів групового аналізу введено низку нових понять, вдосконалено прямий метод знаходження локальних та ітераційний метод побудови нелокальних (потенціальних) законів збереження систем диференціальних рівнянь з частинними похідними.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати, які визначають наукову новизну та виносяться на захист, такі:

1. Узагальнено прямий метод знаходження законів збереження. Сформульовано нові поняття еквівалентності законів збереження відносно локальної групи перетворень та локальної залежності потенціалів, які дозволяють значно спростити знаходження законів збереження та розширити область застосування вже відомих методів групового аналізу. Виконано класифікацію всіх локальних законів збереження для класу (1+1)-вимірних рівнянь конвекції–дифузії. Припускаючи можливість залежності законів збереження від кількох потенціалів, узагальнено ітераційну процедуру знаходження потенціальних законів збереження. За допомогою прямого ітераційного методу побудовано нелокальні (потенціальні) закони збереження для класу (1+1)-вимірних рівнянь конвекції–дифузії та відповідні їм потенціальні системи.

2. Побудовано потенціальні перетворення еквівалентності і потенціальні симетрії для класу (1+1)-вимірних рівнянь конвекції–дифузії та досліджено зв’язок між потенціальними і класичними симетріями за допомогою потенціальних перетворень еквівалентності. Показано, що нелокальні перетворення, які лінеаризують відомі рівняння Бюргерса, Фокаша–Йортсоса та -дифузії, є потенціальними перетвореннями еквівалентності.

3. Виконано повну групову класифікацію (1+1)-вимірних рівнянь конвекції–дифузії зі змінними коефіцієнтами відносно як загальної групи еквівалентності, так і усіх допустимих перетворень. З використанням отриманих класифікаційних результатів проведено симетрійну редукцію і знайдено точні розв’язки деяких рівнянь, що належать до даного класу.

4. Досліджено різні види (умовні та частинні) додаткових перетворень еквівалентності на підкласах класу (1+1)-вимірних рівнянь конвекції–дифузії зі змінними коефіцієнтами.

5. Виконано групову класифікацію (1+1)-вимірних рівнянь Шрьодінгера з довільним потенціалом та степеневою нелінійністю. Знайдено всі можливі перетворення еквівалентності між рівняннями у даному класі. Показано, що всі такі перетворення змінних належать до групи еквівалентності вихідного класу. Знайдено достатні умови існування та єдиності глобального розв’язку та розв’язку із загостренням задачі Коші для деяких класів нелінійних рівнянь Шрьодінгера з потенціалом.

6. Проведено групову класифікацію -вимірних рівнянь Шрьодінгера з потенціалом типу гармонійного осцилятора та нелінійністю вигляду .

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота носить теоретичний характер. Отримані результати є новими і можуть бути використаними для розв’язування ряду конкретних задач теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними, а також у квантовій механіці, теорії дифузійних процесів та теорії броунівського руху.

Особистий внесок здобувача. Визначення загального плану діяльності та постановка задач належать науковому керівнику — А.Г. Нікітіну. Подальше уточнення планів дослідження досягнуто у співпраці з Р.О. Поповичем. Доведення всіх результатів дисертації, винесених на захист, проведено дисертантом самостійно. В роботах, які опубліковано разом з співавторами, особистий внесок дисертанта такий. У роботах,7,4,5] Р.О. Поповичу належить уточнення постановки задач, розробка методів дослідження та застосування прямого методу до знаходження перетворень еквівалентності, дисертанту — доведення результатів класифікацій, симетрійна редукція та знаходження точних розв’язків рівнянь, що розглядаються. У роботі] Р.О. Поповичу належить доведення еквівалентності законів збереження лінійного рівняння теплопровідності. Х. Ешрагі в роботах [4,5] належить перевірка складних технічних обчислень.

Апробацiя результатів дисертації. Результати дисертацiйної роботи доповідалися і обговорювалися на семінарах відділу прикладних досліджень Інституту математики НАН України (2000–2004, керівник семінару — професор А.Г. Нікітін), об’єднаному семінарі з математичної фізики Інституту математики НАН України (2004, керівники семінару — член-кореспондент НАН України Д.Я. Петрина, професор М.С. Гончар, професор Є.Д. Білоколос, професор А.У. Клімик, професор А.Г. Нікітін), на семінарах факультету математики і статистики Університету Кіпра (2003–2004, Нікосія, Республіка Кіпр, керівник семінару — професор Е. Папародітіс), на IV та V Міжнародних конференціях “Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics” (Київ, 2001, 2003), на V Міжнародній конференції “Авіа-2003” (Київ, 2003), на ІІІ літній школі з сучасної математичної фізики (Златібор, Сербія та Чорногорія, 2004).

Публiкацiї. Основні результати дисертації опубліковано в п’яти роботах та додатково висвітлено у трьох препринтах. З них три статті опубліковано без співавторів.

Структура та об’єм дисертації. Дисертаційна робота викладена на 129 сторiнках, складається зі вступу, п’яти роздiлiв, висновків та переліку цитованої літератури, який містить 148 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми, проаналізовано сучасний стан досліджуваної проблеми, сформульовано задачі дослідження та коротко викладено основні результати роботи.

У першому розділі проводиться докладний огляд літератури, пов’язаної з темою дисертації.

У другому розділі дисертації наведено деякі теоретичні відомості і описано методи знаходження симетрій та розв’язання задач групової класифікації. У цьому ж розділі розроблено поняття еквівалентності законів збереження відносно групи перетворень, введено поняття лінійної залежності законів збереження та локальної залежності потенціалів, узагальнено прямий метод знаходження локальних та ітераційний метод побудови нелокальних (потенціальних) законів збереження.

У третьому розділі виконано класифікацію всіх локальних законів збереження для класу (1+1)-вимірних рівнянь конвекції–дифузії

(1)

За допомогою прямого ітераційного методу побудовано нелокальні (потенціальні) закони збереження та відповідні потенціальні системи для даного класу рівнянь. Підсумовуючи отримані результати, можна побудувати вичерпну ієрархію законів збереження (включаючи локальні) для даного класу рівнянь з точністю до групи еквівалентності, яка виглядає наступним чином

· “загальний” локальний закон збереження для довільних значень параметр-функцій та вигляду (тут і надалі , — оператори повного диференціювання за змінними та відповідно, , );

· два незалежні локальні закони збереження: один “загальний” локальний закон збереження та один локальний закон збереження вигляду якщо або якщо ;

· один “загальний” локальний та один найпростіший потенціальний закон збереження вигляду , якщо (потенціальна змінна визначається як );

· нескінченна серія локальних законів збереження для лінійного рівняння теплопровідності вигляду , де — довільний розв’язок лінійного рівняння теплопровідності ;

· один “загальний” локальний закон збереження та нескінченна серія найпростіших потенціальних законів збереження для рівняння Бюргерса вигляду , де потенціальна змінна визначається як , а — довільний розв’язок лінійного рівняння теплопровідності ;

· два незалежні локальні закони збереження для рівняння -дифузії та рівняння Фокаша–Йортсоса як підкласів з та та додатково нескінченна серія найпростішіх потенціальних законів збереження ( для рівняння -дифузії і для рівняння Фокаша–Йортсоса). Тут потенціальна змінна визначається як , — довільний розв’язок лінійного рівняння теплопровідності .

У дисертації показано, що ієрархія законів збереження генерує повний перелік локально нееквівалентних потенціальних систем для класу):

· “загальна” потенціальна система ;

· додаткові найпростіші потенціальні системи або , якщо або відповідно;

· потенціальні системи другого рівня та (які, фактично, еквівалентні об’єднанню потенціальних систем першого рівня) при або відповідно;

· система з довільною кількістю локально незалежних потенціалів для лінійного рівняння теплопровідності.

Для потенціальної системи, що відповідає спільному для всіх значень параметр–функцій закону збереження виконано повну групову класифікацію. Знайдено 8 нееквівалентних випадків розширення алгебри Лі ядра основних груп , оператори симетрії з яких генерують лише ліївські симетрії вихідного рівняння та 12 нееквівалентних випадків розширення алгебри , оператори симетрії з яких генерують потенціальні симетрії вихідного рівняння. Побудовано потенціальні перетворення еквівалентності і потенціальні симетрії для даного класу рівнянь та досліджено зв’язок між потенціальними і класичними симетріями за допомогою потенціальних перетворень еквівалентності. Доведено, що всі потенціальні симетрії можна отримати з ліївських симетрій рівнянь вигляду) за допомогою продовження на потенціал і застосування потенціальних перетворень еквівалентності.

Четвертий розділ присвячено розв’язанню задачі групової класифікації та побудові точних розв’язків рівнянь вигляду

де , , і — довільні гладкі функції своїх аргументів, . Використовуючи перетворення , , , можна звести це рівняння до рівняння з . Тому, не обмежуючи загальності, надалі розглядаємо клас

(2)

Результат класичної групової класифікації для класу рівнянь) можна підсумувати наступним чином.

Теорема 1. Алгеброю Лі ядра основних груп класу рівнянь) є алгебра

Теорема 2. Алгеброю Лі групи еквівалентності класу) є алгебра

Тоді група містить наступні неперервні перетворення:

де  — довільні сталі. Для класу) також існує нетривіальна група дискретних перетворень еквівалентності, яка генерується чотирма перетвореннями зміни знаку у множинах і Використовуючи прямий метод, можна довести, що співпадає з групою, яка генерується наведеними неперерв-ними та дискретними перетвореннями. Знайдено всі нееквівалентні відносно перетворень з  рівняння з класу), для яких . З точністю до  існує 35 випадків розширення ядра основних груп класу рівнянь). Серед прокласифікованих рівнянь є рівняння з густиною , локалізованою у просторі змінної , які інваріантні відносно більш широкої ніж алгебри Лі. Знайдено всі додаткові перетворення еквівалентності, що зводять рівняння до більш простого вигляду. Фактично, рівняння з) прокла-сифіковано з точністю до двох різних відношень еквівалентності, що генеруються групою еквівалентності та множиною всіх можливих пе-ретворень. Сукупність отриманих результатів описує твердження.

Теорема 3. Якщо рівняння вигляду) інваріантне відносно алгебри Лі розмірності не менше 4, його можна звести локальними перетвореннями до рівняння з .

Для деяких підкласів редукованих рівнянь побудовано оптимальну систему нееквівалентних підалгебр, відповідні ліївські анзаци та точні інваріантні розв’язки. За допомогою додаткових перетворень еквівалентності отримані розв’язки переведено у розв’язки більш цікавих та складних рівнянь з локалізованою густиною.

П’ятий, останній, розділ присвячено розв’язанню задач групової класифікації у класі -вимірних нелінійних рівнянь Шрьодінгера з потенціалом вигляду

(3)

та -вимірних рівнянь

(4)

(,  — довільні гладкі комплекснозначні функції своїх аргументів, і  — дійсні сталі).

Фактично, для класу рівнянь) розв’язується три суттєво різні задачі класифікації: класифікація потенціалів, що залежать тільки від  (підрозділ .2), класифікація стаціонарних потенціалів (підрозділ .3) та класифікація у загальному випадку (підрозділ .1). У підрозділі .1 також доведено, що сталу можна вважати фіксованою.

Теорема 4. [5] Група еквівалентності  класу) генерується сім’єю неперервних перетворень

(5)

і двома дискретними перетвореннями: просторовим віддзеркаленням ( ) та часовим віддзеркаленням Вігнера ( ). Тут , і  — довільні гладкі функції змінної , , .

Теорема 5. Повний перелік нееквівалентних випадків потенціалів , які допускають розширення максимальної алгебри Лі інваріантності рівнянь (3), вичерпується потенціалами, наведеними у табл. .

Таблиця 

Результати класифікації. ,

N | Базис алгебри

0

1

2

3 |

4 |

5 |

|

6

7 |

Запропонований метод класифікації дозволяє сформулювати необхідні і достатні умови взаємної еквівалентності для випадків розширення максимальної алгебри інваріантності в алгебраїчних термінах. Класичні стаціонарні потенціали (вільної частинки, гармонійного і репульсивного осцилятора, вільного падіння, радіальної вільної частинки, радіального гармонійного і репульсивного осциляторів) природно виникають у груповій класифікації в класі стаціонарних потенціалів відносно групи еквівалентності цього класу. Використовуючи повну групу еквівалентності класу), побудовано у явному вигляді перетворення, що зводять ці -залежні потенціали до -незалежних.

В підрозділі .4 проведено групову класифікацію узагальненого -вимірного нелінійного рівняння Шрьодінгера з потенціалом типу гармонійного осцилятора).

В підрозділі .5, використовуючи перетворення еквівалентності, знайдено достатні умови існування та єдиності глобального розв’язку задачі Коші та розв’язку із загостренням задачі Коші вигляду

(6)

(, ) у просторі Соболева  з початковою функцією .

Доведено, що у до- та суперкритичному випадках глобальність існування розв’язку задачі Коші не залежить від вибору початкової функції. А саме, у докритичному випадку () задача Коші) має єдиний глобальний розв’язок для довільної початкової умови. У суперкритичному випадку () задача Коші) має єдиний розв’язок із загостренням для довільної початкової умови.

ВИСНОВКИ

1. Узагальнено прямий метод знаходження законів збереження. Сформульовано нові поняття еквівалентності законів збереження відносно локальної групи перетворень та локальної залежності потенціалів, які дозволяють значно спростити знаходження законів збереження та розширити область застосування вже відомих методів групового аналізу. Виконано класифікацію всіх локальних законів збереження для класу (1+1)-вимірних рівнянь конвекції–дифузії. Припускаючи можливість залежності законів збереження від кількох потенціалів, узагальнено ітераційну процедуру знаходження потенціальних законів збереження. За допомогою прямого ітераційного методу побудовано нелокальні (потенціальні) закони збереження для класу (1+1)-вимірних рівнянь конвекції–дифузії та відповідні їм потенціальні системи.

2. Побудовано потенціальні перетворення еквівалентності і потенціальні симетрії для класу (1+1)-вимірних рівнянь конвекції–дифузії та досліджено зв’язок між потенціальними і класичними симетріями за допомогою потенціальних перетворень еквівалентності. Показано, що нелокальні перетворення, які лінеаризують відомі рівняння Бюргерса, Фокаша–Йортсоса та -дифузії, є потенціальними перетвореннями еквівалентності.

3. Виконано повну групову класифікацію (1+1)-вимірних рівнянь конвекції–дифузії зі змінними коефіцієнтами відносно як загальної групи еквівалентності, так і усіх допустимих локальних перетворень. З використанням отриманих класифікаційних результатів проведено симетрійну редукцію і знайдено точні розв’язки рівнянь, що належать до даного класу.

4. Досліджено різні види (умовні та частинні) додаткових перетворень еквівалентності на підкласах класу (1+1)-вимірних рівнянь конвекції–дифузії зі змінними коефіцієнтами.

5. Виконано групову класифікацію (1+1)-вимірних рівнянь Шрьодінгера з довільним потенціалом та степеневою нелінійністю. Знайдено всі можливі перетворення еквівалентності між рівняннями у даному класі. Показано, що всі такі перетворення належать до групи еквівалентності вихідного класу. Знайдено достатні умови існування та єдиності глобального розв’язку та розв’язку із загостренням задачі Коші для деяких класів нелінійних рівнянь Шрьодінгера з потенціалом.

6. Проведено групову класифікацію -вимірних рівнянь Шрьодінгера з потенціалом типу гармонійного осцилятора та нелінійністю вигляду .

Список опублікованих праць за темою дисертації

[1] Ivanova N. Symmetry of nonlinear Schrцdinger equations with harmonic oscillator type potential // ?раці Ін-ту математики НАН України. — 2002. — Т. — C. 149–150.

[2] Ivanova N. Conservation laws and potential systems of diffusion–convection equations // Праці Ін-ту математики НАН України. — 2004. — T. — C. 149–153 (see also math-ph/0404025).

[3] Popovych R.O., Ivanova N.M. New results on group classification of nonlinear diffusion–convection equations // J. Phys. A.: Math. Gen. — 2004. — V. . — P. 7547–7565 (see also math-ph/0306035).

[4] Popovych R.O., Ivanova N.M., Eshraghi H. Lie symmetries of (1+1)-dimensional cubic Schrцdinger equation with potential // ?раці Ін-ту математики НАН України. — 2004. — T. — C. 219–224 (see also math-ph/0310039).

[5] Popovych R.O., Ivanova N.M., Eshraghi H. Group classification of (1+1)-dimensional Schrцdinger equations with potentials and power nonlinearitiesJ. Math. Phys. — 2004. — V. , ? . — P. 3049–3057 (see also math-ph/0311039).

[6] Іванова Н.М. Груповий аналіз нелінійних моделей реакції–дифузіїМатеріали V-ї науково-техн. конф. “Авіа-2003” — 2003. — Т. II. — С. 22.25–22.28.

[7] Popovych R.O., Ivanova N.M. Potential equivalence transformations for nonlinear diffusion–convection equations // math-ph/0402066. — 8

[8] Popovych R.O., Ivanova N.M. Hierarchy of conservation laws of diffusion–convection equations // math-ph/0407008. — 24

АНОТАЦІЇ

ІВАНОВА Н.М. Класифікаційні задачі для рівнянь конвекції–дифузії та рівнянь Шрьодінгера. — Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико–математичних наук зі спеціальності 01.01.03 — математична фізика. — Інститут математики НАН України, Київ, 2005.

Запропоновано новий підхід для знаходження законів збереження. Сформульовано поняття еквівалентності законів збереження відносно локальної групи перетворень. Введено поняття локальної залежності потенціалів.

Прокласифіковано локальні закони збереження для класу рівнянь конвекції–дифузії, знайдено всі потенціальні закони збереження та побудовано нееквівалентні потенціальні системи. Знайдено потенціальні перетворення еквівалентності і потенціальні симетрії, досліджено зв’язок між потенціальними і класичними симетріями за допомогою потенціальних перетворень еквівалентності. Проведено групову класифікацію у класі рівнянь конвекції–дифузії зі змінними коефіцієнтами. Для деяких підкласів побудовано точні інваріантні розв’язки.

Розв’язано задачі групової класифікації у класах нелінійних рівнянь Шрьодінгера з потенціалом. Знайдено достатні умови існування та єдиності розв’язку задачі Коші для деяких підкласів таких рівнянь.

Ключові слова: закон збереження, групова класифікація, потенціальна симетрія, рівняння конвекції–дифузії, рівняння Шрьодінгера, перетворення еквівалентності, задача Коші.

ИВАНОВА Н.Н. Классификационные задачи для уравнений конвекции–диффузии и уравнений Шрёдингера. — Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико–математических наук по специальности 01.01.03 — математическая физика. — Институт математики НАН Украины, Киев, 2005.

Предложен новый подход для нахождения законов сохранения. Сформулировано понятие эквивалентности законов сохранения относительно локальной группы преобразований. Введено понятие локальной зависимости потенциалов.

Проклассифицированы локальные законы сохранения для класса уравнений конвекции–диффузии, найдены все потенциальные законы сохранения и построены неэквивалентные потенциальные системы. Найдены потенциальные преобразования эквивалентности и потенциальные симметрии, исследована связь между потенциальными и классическими симметриями при помощи потенциальных преоб-разований эквивалентности. Проведена групповая классифи-кация в классе уравнений конвекции–диффузии с переменными коэффици-ентами. Для некоторых подклассов построены точные инвариантные решения.

Решены задачи групповой классификации для классов урав-нений Шрёдингера с потенциалом. Найдены достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши для некоторых под-классов нелинейных уравнений Шрёдингера с потенциалом.

Ключевые слова: закон сохранения, групповая классификация, потенциальная симметрия, уравнение конвекции–диффузии, урав-нение Шрёдингера, преобразования эквивалентности, задача Коши.

Ivanova N.M. Classification problems for diffusion–convection equations and Schrцdinger equations. — Manuscript.

Thesis for the degree of candidate of physical and mathematical sciences by speciality 01.01.03 — Mathematical Physics. — Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2005.

The thesis is devoted to classification problems of group analysis for nonlinear diffusion–convection and Schrцdinger equations.

An extended review of literature concerned with subject of the thesis is presented in Chapter 1.

In Chapter 2 some theoretical notions and methods which are used in the work, are adduced. There are also introduced the notion of equivalence of conservation laws with respect to groups of point transformations and the notion of local dependence of potentials. To construct conservation laws, we develop and apply the most direct method which is very effective to use. Admitting possibility of dependence of conserved vectors on a set of potentials, we generalize the iteration procedure proposed by Bluman and Doran-Wu for finding nonlocal (potential) conservation laws.

Asof using the developed approach, in Chapter 3 potential conservation laws (including arbitrary order local ones) of diffusion–convection equations of form

up to the equivalence group are completely classified. An exhaustive list of locally inequivalent potential systems corresponding to these equations is constructed. All possible potential symmetries arising from the common potential system are classified. A theorem describing their connection with local ones via potential equivalence transformations is proved. It is shown that the known non-local transformations between equations under consideration (the Burgers equation, the linear heat equation, the Fokas–Yortsos equation, the -diffusion equation) are nothing but potential equivalence transformations.

Using a new method and additional equivalence transformations, in a group classification of -dimensional nonlinear diffusion–convection equations of the general form

is performed. New interesting cases of such equations with the localized in space density that have non-trivial invariance algebra are obtained. Exact solutions of these equations are constructed. We also consider the problem of investigation of the possible local transformations for an arbitrary pair of equations from the class under consideration, i.e. of describing all the possible partial equivalence transformations in this class.

In Chapter the complete group classification of -dimensional nonlinear Schrцdinger equations

with arbitrary potential and power nonlinearity and -dimensional Schrцdinger equations

with harmonic oscillator type potential and arbitrary nonlinearity (here and are arbitrary complex-valued functions of their variables, and are real constants) is performed. All the possible inequivalent potentials for which these equations have non-trivial Lie symmetries are constructed with using a combination of algebraic methods and investigation of compatibility of determining equations. Sufficient conditions for existence and uniqueness of solution for the Cauchy problem

are found.

Key words: conservation law, group classification, potential symmetry, diffusion–convection equation, Schrцdinger equation, equivalence transformations, Cauchy problem.

Підписано до друку 10.02.2005. Формат 6090/16. Папір офс. Офс. друк. Фіз. друк. арк. 1,31. Умов. друк. арк. 1,22. Тираж 100 пр. Зам. 38. Безкоштовно. Інститут математики НАН України, 01601, м. Київ-4, вул. Терещенківська, 3.