НАЦІОНАЛЬНА МЕТАЛУРГІЙНА АКАДЕМІЯ УКРАЇНИ

Філіпович Олег Вікторович

УДК 519.87: 658.52.011.56

МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ ФУНКЦІОНУВАННЯ БАГАТОПОТОКОВИХ

ГНУЧКИХ АВТОМАТИЗОВАНИХ ЛІНІЙ І ОПТИМІЗАЦІЯ

ПАРАМЕТРІВ ЇХ МІЖОПЕРАЦІЙНИХ НАКОПИЧУВАЧІВ

01.05.02 – Математичне моделювання та обчислювальні методи

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Дніпропетровськ – 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Севастопольському національному технічному університеті Міністерства освіти і науки України на кафедрі автоматизованих приладних систем.

Науковий керівник: доктор технічних наук, професор

Копп Вадим Якович,

Севастопольський національний технічний університет,

завідувач кафедри автоматизованих приладних систем,

м. Севастополь

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор

Любчик Леонід Михайлович,

Національний технічний університет України

“Харківський політехнічний інститут”,

завідувач кафедри комп'ютерної математики

та математичного моделювання (м. Харків)

кандидат технічних наук, доцент

Цвіркун Леонід Іванович

Національний гірничий університет (м. Дніпропетровськ),

доцент кафедри автоматизації та комп'ютерних систем

Провідна установа: Харківський національний університет радіоелектроніки

Міністерства освіти і науки України (м. Харків)

Захист відбудеться "14" червня 2006 р. о 1230 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д.08.084.01 при Національній металургійній академії України за адресою: 49600, м. Дніпропетровськ, просп. Гагаріна, 4.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Національної металургійної академії України за адресою: 49600, м. Дніпропетровськ, просп. Гагаріна, 4.

Автореферат розісланий " 12 " травня 2006 р.

Вчений секретар спеціалізованої

вченої ради, к.т.н., доцент О.І. Дерев'янко

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність роботи. На сьогодні гнучкі автоматизовані лінії (ГАЛ) – один з могутніших засобів автоматизації механоскладального виробництва. У свою чергу, багатопотокові гнучкі автоматизовані лінії (БГАЛ) – це складні технічні системи з ієрархічно організованою структурою. Ключовими взаємозалежними факторами, що визначають показники функціонування ГАЛ, є надійність і продуктивність. Існує безліч методів підвищення надійності автоматизованих ліній, однак найбільш перспективним вважається застосування часового резервування (ЧР) технологічного устаткування міжопераційними накопичувачами. Як на етапі проектування ліній, так і при їх переналагодженні на випуск виробів нової номенклатури повинні бути вирішені завдання оптимального ЧР, що полягають у знаходженні потрібної місткості накопичувальних пристроїв. Вирішення таких завдань, а також кількісна оцінка параметрів надійності і продуктивності БГАЛ та їх елементів, процеси функціонування яких носять стохастичний характер і визначаються ймовірнісними закономірностями, можливі тільки на базі адекватних математичних моделей.

Сучасні аналітико-ймовірністні моделі ГАЛ повинні задовольняти такі вимоги: урахування взаємного впливу й існуючих зв'язків між елементами як одного, так і різних ієрархічних рівнів; відкритість, що забезпечує стикування елементів різних рівнів; можливість оперувати з розподілами випадкових величин (ВВ) загального вигляду.

Існуючі моделі БГАЛ не завжди відповідають перерахованим вище особливостям, що значно знижує їх адекватність, тому завдання побудови таких моделей є актуальним, а його вирішення дозволить підвищити ефективність експлуатації гнучкого автоматизованого виробництва.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами і темами. Робота виконувалась у рамках науково-дослідних робіт кафедри автоматизованих приладних систем Севастопольського національного технічного університету за держбюджетною тематикою: “Міра” (№ держ. реєстрації 0197U008963), “Міра-1” (№ держ. реєстрації 0101U001237), “Міра-2” (№ держ. реєстрації 0103U001420).

Об'єкт дослідження – багатопотокові гнучкі автоматизовані лінії механоскладального виробництва.

Предметом дослідження є математичні моделі процесів функціонування БГАЛ та їх елементів нижніх ієрархічних рівнів.

Мета і завдання досліджень

Мета дисертації – побудова системно організованих математичних моделей БГАЛ механоскладального виробництва для оцінки показників їх функціонування й оптимізації параметрів міжопераційних накопичувачів.

Для досягнення поставленої мети були вирішені такі завдання:–

побудова математичних моделей роздільного і спільного функціонування міжопераційних накопичувачів (Н) і гнучких виробничих модулів (технологічних комірок – ТК);–

побудова ітераційних моделей БГАЛ на базі ітераційної моделі однопотокової лінії (ОГАЛ) і розроблених моделей їх структурних елементів нижніх ієрархічних рівнів;–

оцінка адекватності побудованих моделей на основі порівняльного аналізу теоретичних положень роботи з експериментальними даними і даними імітаційного моделювання;–

постановка і вирішення оптимізаційних завдань на базі розроблених математичних моделей функціонування ГАЛ при обмеженнях, що накладаються на параметри ліній;–

розробка пакета прикладних програм для розрахунку параметрів функціонування ГАЛ.

Методи досліджень. Для вирішення поставлених завдань використано математичний апарат теорій: масового обслуговування, відновлення, марковських і напівмарковських процесів, надійності, інтегральних рівнянь, а також математичної статистики та імітаційного моделювання. При побудові моделі БГАЛ застосовано обчислювальний ітераційний метод.

Наукова новизна одержаних результатів

1. На основі ітераційного алгоритму вперше побудована аналітико-ймовірністна модель багатопотокової гнучкої автоматизованої лінії, що оперує з функціями розподілу (ФР) випадкових величин загального вигляду і дозволяє: враховувати взаємозв'язок елементів та ієрархічних рівнів; обчислювати ФР довжин черг і середні величини довжин черг у накопичувачах; визначати ФР часів напрацювання на відмову, відновлення та обслуговування одиниці продукції лінії в цілому, що дає змогу обчислювати продуктивність лінії зважаючи на надійність її елементів.

2. Модифікована математична модель системи масового обслуговування (СМО) типу G/G/1/K, що побудована на базі дифузійної апроксимації й описує функціонування міжопераційного накопичувача ГАЛ у стаціонарному режимі, з метою можливості використання перших трьох моментів розподілу параметрів випадкових процесів надходження й обслуговування заявок. Отримана модель дозволяє визначати ФР довжини черги в накопичувачі та середнє значення цієї випадкової величини.

3. Розроблена нова напівмарковська модель системи ТК – накопичувач (ділянка лінії), що дає змогу враховувати стохастичність міжопераційного запасу продукції.

4. Побудована нова математична модель ТК узагальненої структури, яка враховує особливості роботи внутрішньоопераційних завантажувальних пристроїв. Вона дозволяє за параметрами надійності та продуктивності еквівалентно заміняти технологічну комірку найпростішим елементом, що має два факторних стани, й оперує з ФР загального вигляду.

5. Модифікована ітераційна модель ОГАЛ шляхом використання побудованих моделей елементів нижніх ієрархічних рівнів (ТК, Н, ділянок лінії).

Практичне значення одержаних результатів. На базі розроблених моделей і узагальненого економічного критерію вирішене завдання параметричної оптимізації конвеєрної ГАЛ, що полягає у виборі місткостей міжопераційних накопичувачів, які забезпечують її максимальну продуктивність при обмеженні тягового навантаження конвеєра і припустимі місткості накопичувачів. Комплекс математичних моделей для одно- і багатопотокових ГАЛ реалізований у вигляді прикладних програм, що можуть застосовуватися для розрахунків і вирішення завдань параметричного синтезу реальних виробничих систем. Запропоновано спосіб керування місткостями міжопераційних накопичувачів ГАЛ, що забезпечує одержання їх потрібних величин і максимальних значень продуктивності ліній. Отримано ряд результатів, які мають окреме значення для моделювання систем, пов'язаних з побудовою моделей СМО та елементів з ЧР.

Результати роботи впроваджені на ЗАО “Корпорация Игросервис” і в навчальний процес кафедри автоматизації технологічних процесів і виробництв Севастопольського національного технічного університету.

Особистий внесок здобувача. Автором особисто виконано побудову моделі БГАЛ на базі ітераційної процедури, а також отримано аналітичні вирішення завдань, зв'язаних з побудовою моделей елементів БГАЛ нижніх ієрархічних рівнів.

Апробація роботи. Основні положення дисертації доповідалися й обговорювалися на таких науково-технічних конференціях: міжнародні науково-технічні конференції "Автоматизація: проблеми, ідеї, рішення", м. Севастополь (травень 2002-го, 2003-го і 2004-го років); 11 міжнародна конференція з автоматичного керування "Автоматика-2004", м. Київ (вересень 2004 р.).

Публікації. За темою дисертаційної роботи опубліковано 13 друкованих праць: 9 статей у наукових журналах ВАК України і 4 у збірниках матеріалів наукових конференцій.

Структура і обсяг роботи. Дисертаційна робота складається із вступу, 4 розділів, висновків, бібліографії і додатків. Загальний обсяг роботи включає 146 сторінок, 65 рисунків, 20 таблиць і 5 додатків на 22 сторінках. Список літератури – 115 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовані важливість і актуальність розглянутих складних питань, сформульовані мета і завдання досліджень. Викладені основні положення і результати, досягнуті під час виконання дисертаційної роботи, а також їх наукова новизна.

Перший розділ присвячений аналізу структурних особливостей гнучких автоматизованих ліній і методів побудови їх математичних моделей.

Гнучкі автоматизовані лінії підприємства подані низкою ієрархічних рівнів: БГАЛ, ОГАЛ, ділянки лінії, технологічні комірки, технологічні пристрої. Показано, що стрижнем ГАЛ, яка з'єднує їх елементи, служить транспортно-накопичувальна система – основне джерело резерву часу.

Наведена класифікація ГАЛ, що дозволяє виявити їх основні структурні схеми, визначений зв'язок між основними показниками їх функціонування. Розглянуті структури і склад елементів ГАЛ, зокрема, технологічних комірок і транспортно-накопичувальної системи.

Теоретичний огляд досліджень у галузі побудови математичних моделей автоматизованих ліній дозволив зробити такі висновки.

1. У роботах, присвячених побудові аналітико-ймовірнісних моделей багатопотокових ГАЛ, недостатньо врахований той факт, що параметри надійності їх елементів і час обслуговування продукції мають розподіли загального вигляду.

2. Ряд існуючих моделей елементів ГАЛ досить адекватно описує їх функціонування, однак, беручи до уваги фактори, що впливають на роботу таких систем, їх можна модифікувати.

Це обґрунтовує актуальність розробки нових і модифікації існуючих моделей ГАЛ. У результаті проведеного аналізу сформульовані мета і завдання досліджень.

У другому розділі розглядаються завдання побудови математичних моделей елементів ГАЛ, що містять накопичувачі.

Для побудови моделі накопичувача ГАЛ досліджувалося функціонування одноканальної СМО з обмеженням за довжиною черги (К місць), структура якої показана на рис. 1.

Рис. 1. Структура СМО: Нi – i-й міжопераційний накопичувач; ТКi-1 (ТКi) – технологічна

комірка, що формує потік надходжень (обслуговування) заявок

У цілому час надходження заявок у систему і час їхнього обслуговування мають розподіли загального вигляду. Відомий підхід, що дозволяє апроксимувати дану дискретну СМО неперервною, застосовуваний у випадку її функціонування за умов великого навантаження. При цьому ФР кількості заявок у системі визначається з рівняння

, (1)

де – інфінітезимальні моменти порядку n процесу перебування заявок у системі. Виключення всіх членів нескінченного ряду в правій частині (1), крім перших двох, є дифузійна апроксимація розглянутого процесу, для якої уже виведені формули визначення . Дану модель можна уточнити шляхом використання наближення третього порядку. Тоді за умови функціонування системи в стаціонарному режимі рівняння (1) набуде вигляду:

, (2)

де ; ; ; , , – інтенсивності, дисперсії і треті центральні моменти процесів надходжень заявок у систему і їх віходів із системи відповідно. Крайові умови, за яких розв’язується (2), відповідають за своїм фізичним змістом функціонуванню накопичувачів

(3)

а сам розв’язок має вигляд

, (4)

де ; ;

; .

Дана модель дозволяє уточнити модель СМО, побудовану на базі дифузійної апроксимації, при визначенні математичного сподівання довжини черги в Н приблизно на 1,5...2%.

Побудована напівмарковська модель системи ТК-Н, що називається у літературі ділянкою ГАЛ. Розрізняють два види ділянок, структури яких показані на рис. 2. Математичний опис структур обох типів майже ідентичний, різниця полягає лише у визначенні ФР часу резерву, створюваного накопичувачем Нi.

а б

Рис. 2. Структура ділянок ГАЛ: а – сполучена; б – основна

Вихідні дані для побудови моделі: ФР часу напрацювання на відмову ТК , ФР часу відновлення ТК , а також щільності розподілу (ЩР) часу обслуговування комірками одиниці продукції. Показано, що стохастичний резерв основної ділянки, яка працює на приймання продукції у зв’язку з припущенням про сталість черги в накопичувачі в умовах стаціонарного режиму функціонування, має ФР R(t)

,

а ФР часу резерву сполученої ділянки, що працює на видачу продукції, визначається за формулою

,

де , – ЩР часу обслуговування ТКi-1 і ТКi відповідно.

Часова діаграма функціонування структур обох типів у випадку абсолютної надійності накопичувача наведена на рис. 3.

Рис. 3. Часова діаграма функціонування ділянок

Напівмарковські стани на діаграмі: S0 – об'єкт відновився і почав функціонувати (стан працездатний); S1 – об'єкт відмовив, почав витрачатися резерв часу (стан працездатний); S2 – резерв часу вичерпаний, у системі виникла відмова (стан відказний). ФР часу перебування напівмарковського процесу в підмножині працездатних станів і визначаються із системи рівнянь марковського відновлення:

(5)

де ; ; ; .

Вирішення системи рівнянь (5) для , що є ФР часу напрацювання на відмову ділянки в цілому, знайдено методом послідовних наближень

(6)

де ( – оператор n-кратної композиції функцій); .

ФР часу відновлення ділянки визначається співвідношенням

, (7)

а коефіцієнт готовності ділянки

; ; . (8)

Вирази (6)...(8) дозволяють замінити ділянку ГАЛ найпростішим еквівалентним елементом для якого визначені ФР часу напрацювання на відмову і відновлення. Функція розподілу часу обслуговування ділянки дорівнює аналогічному параметру ТК, що входить у ділянку.

Також у даному розділі модифікований відомий підхід визначення аналогічних ФР з урахуванням надійності міжопераційного накопичувача.

Отримані вирази для визначення композицій найчастіше використовуваних при моделюванні законів розподілу випадкових величин, зокрема законів Ерланга, що дозволяє спростити розрахунки за формулою (6).

Розглянута ТК складання узагальненої структури, що містить бункерні завантажувальні пристрої (БЗП) з внутрішньоопераційними накопичувачами, маніпулятори, технологічний пристрій (ТП) складання і пристрій відвода складеного вузла. Проаналізоване функціонування системи БЗП – накопичувач. Показано, що середнє значення довжини черги в Н є напівсума максимально можливої і мінімально гарантованої кількості деталей при припущенні про детермінованість часу видачі деталей БЗП і складання вузла ТП. Модель ТК в цілому була побудована з використанням розробленої моделі сполученої ділянки і відомих еквівалентних перетворень.

Дано результати моделювання накопичувачів, ділянок ГАЛ і гнучких ТК.

У третьому розділі вирішуються завдання побудови моделей БГАЛ.

Наведено опис процедури побудови моделей ГАЛ на базі ітераційного підходу. Центральним питанням при моделюванні є визначення ФР довжин черг у накопичувачах. Відомо, що черга у кожному Н залежить не тільки від розподілів параметрів ТК, що стоять праворуч і ліворуч, але і від довжин черг в інших накопичувачах лінії. Крім цього, модель повинна бути відкритою, що забезпечує її стикування з моделями елементів верхніх ієрархічних рівнів. Для подолання зазначеної складності використовується обчислювальний метод, сутність якого полягає у такому.

1. Виконується модульний опис елементів лінії на всіх рівнях ієрархії або без урахування впливу інших, або з урахуванням обмеженого впливу найближчих.

2. Зважається на взаємопроникнення накопичувачів з одного модуля в інший, тому що Н повинні працювати як з попереднім, так і з наступним модулями.

3. Багаторазово використовується повторювана ієрархічна процедура розрахунку, початкове наближення для якої дає п. 1. Процедура верхнього рівня включає процедури нижніх.

Метод дозволяє вирішити протиріччя між модульним описом складових елементів системи і необхідністю врахування їх взаємовпливу.

Вихідними даними для проведення розрахунків як для одно-, так і для багатопотокових ліній є ФР ВВ часу напрацювання на відмову і відновлення всіх ТК і Н, ФР часу обслуговування одиниці продукції на кожній комірці, а також місткості накопичувачів. Передбачається, що розглянуті випадкові величини мають кінцеві моментні характеристики і розподіли загального вигляду.

Вихідні дані моделей – ФР довжини черги в кожному накопичувачі, а також ФР напрацювання на відмову, відновлення і час обслуговування найпростішого елемента, що еквівалентно замінює лінію в цілому. Останні три параметри дозволяють визначити продуктивність ГАЛ з урахуванням надійності елементів, що входять до неї.

Модифікована відома ітераційна модель ОГАЛ, що є основою моделі БГАЛ. Модифікація полягає у використанні при розрахунках і еквівалентних перетвореннях аналітичних моделей елементів ГАЛ (накопичувачів, ділянок), розроблених у розділі 2. Розглянута однопотокова лінія, у якій n ТК з'єднані одна з одною тільки через накопичувачі (рис. 4), при цьому нумерація ділянок і СМО проводиться відповідно до номера накопичувачів, що у них входять.

Рис. 4. Вихідна структура однопотокової гнучкої автоматизованої лінії

Ітераційна процедура реалізована в такий спосіб.

1. На нульовій ітерації окремо виконується розрахунок i-ї (i=2..n) СМО (див. структуру кожної на рис. 1), при цьому ФР довжини черги в Нi визначаються відповідно до формули (4).

2. На першій і наступних ітераціях ураховується вплив усіх накопичувачів один на одного. Для цього здійснюється "згортання" частин лінії, що знаходяться до і після i-го накопичувача (). Під "згортанням" розуміється еквівалентна заміна групи елементів одним з визначенням його параметрів: функцій розподілу часу напрацювання на відмову, відновлення, обслуговування одиниці продукції. Першим перетворенням сполучені ділянки до накопичувача та основні ділянки після накопичувача заміняються еквівалентними елементами (рис. 5,а) з використанням формул (6)...(8). Далі ланцюги без накопичувачів із застосуванням відомої напівмарковської моделі розрахунку надійності синхронної ГАЛ заміняються еквівалентними елементами (ЕЕ) ліворуч і праворуч від накопичувача (рис. 5,б).

а б

Рис. 5. Структура ОГАЛ: після першого (а) і другого (б) еквівалентних

перетворень відносно i-го накопичувача

ФР часу обслуговування одиниці продукції елементом еквівалентної заміни групи ТК береться рівною ФР часу обслуговування комірки, що входить до групи і має найгіршу продуктивність.

Після цього елементи і замінюються абсолютно надійними (за відомою моделлю ТК із незнецінюваними відмовами), ФР часу обслуговування одиниці продукції яких враховують параметри надійності. Знаючи вид цих функцій можна розрахувати коефіцієнти рівняння (2) для i-ї СМО (рис. 5,б) і визначити ФР довжини черги в накопичувачі Нi. Подібну СМО необхідно розглянути щодо кожного накопичувача лінії.

Наступні ітерації аналогічні першій, вихідними даними для виконання ітерації j є вихідні дані ітерації j-1. Критерієм закінчення ітераційної процедури служить виконання умови відносно кожного накопичувача ОГАЛ:

, (9)

де – задана точність обчислення; – середньостатистичний заділ у i-му накопичувачі; j – номер ітерації.

Після закінчення обчислювальної процедури, коли вже відомі довжини черг і часові резерви накопичувачів на приймання і на видачу продукції, уся лінія з використанням розглянутих перетворень зводиться до одного елемента з розрахованими параметрами, у тому числі продуктивністю і надійністю.

Для побудови моделі БГАЛ із збіжними потоками її ієрархічна структура зображена складеною з вузлів, гілок і ділянок гілок.

Вузлові ТК – комірки , до яких сходяться два чи більше вхідних потоків продукції, наприклад, з наступним складанням на них комплектуючих і формуванням вихідного потоку. Накопичувач , до входу якого приєднана , називається вузловим. Гілка – це частина БГАЛ, що містить послідовно з'єднані через накопичувачі ТК, укладена між двома вузловими ТК (проміжна), а також між вхідною і вузловою ТК (вхідна) чи між вузловою і вихідною комірками (вихідна). Гілки також підрозділяються на сполучені (починаються коміркою, закінчуються накопичувачем), основні (починаються накопичувачем, закінчуються коміркою) і повні (починаються і закінчуються коміркою). Фактично кожна повна гілка являє собою ОГАЛ. Під вузлом розуміється частина БГАЛ, що складається з вузлової ТК і приєднаних до неї сполучених гілок. Останній вузол БГАЛ містить крім цього основну вихідну гілку. У цілому вузол p (p=1...Q, Q – кількість вузлів у лінії) має структуру (рис. 6), що містить k вхідних гілок і одну вихідну.

Для побудови моделі БГАЛ також основним є питання визначення ФР довжин черг у міжопераційних накопичувачах, для вирішення якого служить багаторівнева ітераційна процедура. Якщо Q вузлів у БГАЛ розташовуються послідовно (рис. 7, на якому вузлові комірки обведені квадратами), то досить трьох рівнів ітерацій: зовнішня ітераційна процедура проводиться між вузлами, проміжна – між гілками, внутрішня – між ділянками.

Рис. 6. Структура вузла р БГАЛ з вихідною гілкою

Рис. 7. Схема БГАЛ з послідовним розташуванням вузлів

1. На зовнішніх ітераціях (ітерації за вузлами) розраховуються ФР довжин черг у вузлових накопичувачах ( ), що дозволяє "згортати" БГАЛ щодо входів будь-якого з вузлів. Ітерації відносно вузлів виконуються, коли на ітераціях більш низьких рівнів розраховані параметри вузлів і зроблені їх заміни найпростішими еквівалентними елементами. Лінія з послідовною структурою розташування вузлів зводиться до ОГАЛ (рис. 7). На нульовій ітерації даного рівня розглядаються такі СМО: попередній вузол вузловий накопичувач наступний вузол. При розрахунку визначаються ФР довжин черг у , а також відносно кожного найпростішого елемента, що заміняє вузол, "згортаються" частини лінії, що стоять до нього ліворуч і після нього праворуч. На першій і наступній ітераціях при моделюванні кожного з вузлів ураховується вплив на них усіх модулів лінії. Для цього окремий вузол обчислюється з приєднаними до його входу і виходу іншими частинами БГАЛ, заміненими найпростішими елементами й утримуючими всі інші вузли, параметри яких беруться з попередньої ітерації. Параметри еквівалентної заміни вузла після кожної ітерації містять тільки параметри технологічного обладнання, що знаходиться всередині нього без урахування пристикованих інших частин лінії.

2. Проміжні ітерації (відносно гілок вузла) виконуються за умови, що еквівалентні елементи, приєднані до входів і виходу розглянутого вузла, а також ФР довжин черг у вузлових накопичувачах залишаються незмінними (вони змінюються на вузлових ітераціях). Мета даного рівня ітераційної процедури – аналіз взаємного впливу гілок усередині вузла і визначення ФР довжин черг у накопичувачах, що з'єднують вхідні гілки з вузловою , а для вихідного вузла – також ФР довжин черг в накопичувачі, що з'єднує вузлову комірку з вихідною гілкою). Для структури вузла, показаної на рис. 6, на нульовій ітерації окремо розраховуються k двофазних структур: вхідна гілка накопичувач , а також одна структура вихідна гілка. На першій ітерації також розраховуються дані СМО, але на відміну від нульової ітерації до стикується еквівалентний елемент. Для будь-якої вхідної g-ї гілки даний елемент утворюється рівнобіжним спільним "згортанням" зверху і знизу структур: вхідна гілка i накопичувач і вузлова комірка. Далі здійснюється послідовне "згортання" отриманого елемента зі структурою, що містить накопичувач і вихідну гілку. Для визначення ФР довжин черг в накопичувачі паралельно і спільно "згортаються" елементи: вхідна гілка накопичувач . Дані операції можна робити, якщо відомі ФР довжин черг у накопичувачах гілок. Еквівалентні перетворення при цьому аналогічні виробленим при побудові моделі ОГАЛ. Функція розподілу часу обслуговування на будь-якому еквівалентному елементі визначається як ФР часу обслуговування ТК, що бере участь у процедурі спільного "згортання", з найгіршою продуктивністю. Після того як проміжні ітерації закінчуються, вузол заміняється одним елементом і визначаються його параметри: ФР часу напрацювання на відмову, відновлення, обслуговування продукції. Отримані загальні формули, що дозволяють формалізувати запис операцій "згортання" вузла.

3. Ітераційна процедура за ділянками гілок подібна до використаної при побудові моделі ОГАЛ і має на меті визначити довжини черг у накопичувачах гілок. На початковій ітерації гілки розглядаються самостійно як однопотокові лінії. На наступних ітераціях перша та остання комірки гілок повинні бути "згорнуті" через вузловий (перша) і вихідний (остання) накопичувачі гілок з приєднаними до неї іншими частинами БГАЛ.

Критерієм закінчення процедури для кожного рівня ітерацій служить виконання умови (9) для кожного накопичувача БГАЛ. По закінченні розрахунку лінія зводиться до одного елемента, для якого визначаються параметри надійності і продуктивність. Алгоритм побудови моделі БГАЛ наведений на рис. 8.

Розглянуті підходи до побудови моделей БГАЛ, у структурах яких вузли розташовані не послідовно (кількість рівнів ітерацій збільшується). Також розглянутий варіант зниження кількості рівнів ітерацій у ліній з послідовним розташуванням вузлів при невеликій їх кількості.

У розділі наведені результати моделювання ОГАЛ і БГАЛ при різних параметрах функціонування технологічного устаткування. Прикладом може служити визначення ФР часу напрацювання на відмову і відновлення (рис. 9) ЕЕ заміни багатопотокової лінії, вихідна структура якої зображена на рис. 10.

Рис. 8. Алгоритм побудови моделі БГАЛ з

послідовним розташуванням вузлів

Рис. 9. Графіки залежностей від часу функцій розподілу часів напрацювання на відмову і відновлення ЕЕ заміни БГАЛ | Рис 10. Вихідна структурна схема БГАЛ

Як вихідні взяті такі дані: накопичувачі абсолютно надійні і мають рівні місткості (К=20 місць); час напрацювання на відмову комірок розподілений експоненціально з однаковими математичними сподіваннями 1,5(ч); час відновлення й обслуговування одиниці продукції ТК розподілений відповідно до законів Ерланга другого порядку з рівними математичними сподіваннями 0,1(ч) і 0,015(ч) відповідно. Точність обчислень =0,01. Розрахунковий коефіцієнт готовності БГАЛ склав 0,866, а її продуктивність з урахуванням надійності – 57,721 (шт./год).

У четвертому розділі розглянуті питання оцінки адекватності побудованих моделей, а також постановки і вирішення завдань параметричної оптимізації ГАЛ.

З метою перевірки адекватності моделі ОГАЛ аналітичні результати порівнювалися з результатами пасивного виробничого експерименту, проведеного на лінії складання гідророзподільників Р-80 тракторів (складальний цех заводу тракторних гідроагрегатів, м. Мелітополь, Україна). Докладно розглянута статистична обробка результатів експерименту, за наявними даними побудовані гістограми розподілу часу напрацювання на відмову і відновлення основного технологічного устаткування. З використанням критерію згоди Пірсона за коефіцієнтом значущості =0,1 підтверджена правильність апроксимації реальних законів розподілу узагальненими законами Ерланга другого порядку. Емпіричні та теоретичні результати зведені в табл. 1.

Таблиця 1

Розрахункові і фактичні показники функціонування ГАЛ

Розрахункові | Фактичні

Коефіцієнт

готовності | Продуктивність, шт./год | Коефіцієнт

готовності | Продуктивність, шт./год

0,543 | 54,32 | 0,540 | 56,20

З таблиці видно, що відносна похибка визначення коефіцієнта готовності дорівнює 0,55%, продуктивності – 3,35%.

Перевірка адекватності моделі БГАЛ здійснювалася шляхом порівняння теоретичних результатів з даними імітаційної моделі, реалізованої мовою GPSS. Проведений двофакторний машинний експеримент, як фактори обране математичне сподівання часу напрацювання на відмову ТК і математичне сподівання часу її відновлення. Зазначені параметри, а також час обслуговування одиниці продукції для всіх комірок лінії приймалися однаковими, накопичувачі вважалися абсолютно надійними і мали однакові місткості. За результатами експерименту відповідно до критерію Стьюдента оцінювалися довірчі межі середніх значень продуктивності БГАЛ за коефіцієнтом значущості 0,05. Результати обробки імітаційних експериментів і аналітичних досліджень зведені в табл. 2.

Таблиця 2

Результати аналітичних та імітаційних досліджень БГАЛ

Номер експерименту | Продуктивність, шт./год

Довірчий інтервал, побудований за результатами імітаційного моделювання | За аналітичною моделлю

1 | 21,29 | 21,68 | 21,31

2 | 15,51 | 15,81 | 15,53

3 | 21,51 | 21,72 | 21,35

4 | 24,93 | 25,13 | 24,96

Порівняння даних імітаційного й аналітичного моделювання показує, що в трьох випадках з чотирьох (першому, другому і четвертому) продуктивність лінії, що визначена за аналітичною моделлю, входить у довірчий інтервал, у третьому випадку значення даного параметра відстоїть від нижньої межі інтервалу на величину 0,16.

Отримані результати дозволяють зробити висновок про достатню адекватність побудованих моделей.

Для ГАЛ, транспортно-накопичувальними системами яких є конвеєри, поставлене таке оптимізаційне завдання: вибрати обсяги міжопераційних накопичувачів , що забезпечують максимум коефіцієнта готовності , а отже, і продуктивності лінії

(10)

при обмеженнях на

1) максимально припустиме навантаження М на тягові елементи конвеєра

;

2) максимально припустиму кількість місць в i-му накопичувачі

,

де – вага палети і вузла на ній, що знаходяться в i-му накопичувачі ( , n – кількість накопичувачів); – середнє значення довжини черги в i-му накопичувачі.

Завдання розв’язувалося з використанням побудованих моделей ОГАЛ і МГАЛ. Для пошуку екстремуму цільової функції (10) застосовувався метод сіток. Вихідні дані та результати вирішення завдання оптимізації параметрів накопичувачів МГАЛ із трьома конвеєрами (рис. 10) наведені в табл. 3 при аналогічних параметрах функціонування її елементів, що розглянуті вище.

Таблиця 3

Вихідні дані та результати вирішення завдання оптимізації |

Вихідні дані | Результати рішення

, кг | , місць | М, кг | , шт. | , шт. | , шт./год

5 | 15 | 50 | 3,84 | 6,17 | 0,796 | 53,048

8 | 10 | 3,01 | 5,89

9 | 10 | 0,73 | 1,51

3 | 9 | 30 | 7,03 | 8,92

1,5 | 5 | 8 | 2,77 | 4,96

Розроблений спосіб керування місткостями міжопераційних накопичувачів ГАЛ, що дозволяє одержати оптимальні значення місткостей накопичувачів, отриманих у результаті вирішення завдання оптимізації, і, тим самим, забезпечити максимальні значення показників функціонування ліній.

Також у даному розділі запропоновані принципи реалізації програмного комплексу розрахунку параметрів функціонування гнучких ліній і їх елементів у середовищі Maple.

У висновках сформульовано основні результати, які отримані у роботі.

У додатках наведені: статистична обробка результатів виробничого і машинного експериментів, а також інші допоміжні матеріали, що доповнюють основний зміст дисертації.

ВИСНОВКИ

Загальним підсумком роботи є створення комплексу взаємозалежних моделей гнучких автоматизованих ліній і їх елементів, що працюють у стаціонарному режимі. Конкретні результати роботи полягають у такому.

1. Зроблена модифікація моделі накопичувача ГАЛ, побудованої на базі математичного опису стаціонарного режиму роботи дискретної СМО з використанням неперервних ймовірнісних наближень. Модифікована модель використовує наближення третього порядку, дозволяє визначати функцію розподілу кількості заявок у черзі системи й уточнює математичне сподівання даної величини в середньому на 1,5...2 % порівняно з базовою моделлю.

2. Побудована напівмарковська модель технологічної комірки з часовим резервуванням, що враховує стохастичність часу резерву і дозволяє еквівалентно заміняти ділянки ГАЛ найпростішими елементами з визначенням ФР часу їх напрацювання на відмову, відновлення та обслуговування одиниці продукції.

3. Побудована математична модель ТК узагальненої структури, що дозволяє еквівалентно з точки зору надійності і продуктивності заміняти її структуру одним елементом. Модель оперує з розподілами випадкових величин загального вигляду і враховує реальні режими роботи завантажувальних пристроїв.

4. Отримані аналітичні вирази, що дозволяють визначати n-кратні композиції законів розподілу найчастіше використовуваних на практиці невід’ємних випадкових величин, зокрема законів Ерланга. Дані вирази застосовуються при побудові моделей ділянок ліній і дозволяють зменшити час розрахунку їх параметрів на 50...60 %.

5. Модифікована ітераційна модель ОГАЛ шляхом використання моделей елементів нижніх ієрархічних рівнів (ТК, Н, ділянок).

6. На базі ітераційного підходу побудовані нові моделі багатопотокових ліній із збіжними потоками, в основі яких лежить розроблений математичний опис елементів ГАЛ нижніх рівнів ієрархії. Моделі оперують з функціями розподілу випадкових величин загального вигляду, а також враховують взаємний вплив елементів ГАЛ. Вони дозволяють обчислювати продуктивність ліній зважаючи на надійність їх елементів і значення середніх довжин черг у накопичувачах, що дає можливість провести параметричну оптимізацію ліній. Моделі є відкритими, що необхідно для стикування БГАЛ з елементами більш високих ієрархічних рівнів.

7. Вирішене оптимізаційне завдання максимізації продуктивності ліній з конвеєрною транспортно-накопичувальною системою при обмеженнях на максимально припустиме тягове навантаження конвеєрів і граничні місткості накопичувачів. Отримане оптимальне рішення уможливлює підвищення продуктивності ліній на 3...5 %. Розроблений спосіб керування місткостями міжопераційних накопичувачів ГАЛ, що дозволяє забезпечити їх оптимальне значення і додатково підвищити продуктивність ліній до 0,8 %.

8. Проведена оцінка адекватності побудованих аналітичних моделей ОГАЛ і МГАЛ за результатами виробничого і машинного експериментів, що виявила достатній збіг теоретичних і експериментальних даних.

Розроблений програмний комплекс розрахунку параметрів ГАЛ і їх елементів. Результати дисертаційної роботи впроваджені у навчальний процес Севастопольського національного технічного університету, а також у ЗАО “Корпорация Игросервис” (м. Сімферополь).

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Филипович О.В., Копп В.Я., Заморенов М.В., Гаджибеков А.Н. Использование уравнения Фоккера-Планка при анализе СМО типа G/G/1/K //Оптимизация производств. процессов: Сб. науч. тр. – Севастополь, 2000. – Вып. 3 – С. 56-60.

Особистий внесок – визначив коефіцієнти рівняння при наближенні третього порядку, одержав розв’язок рівняння.

2. Филипович О.В., Копп В.Я., Галкина Л.В. Моделирование участков автоматизированных линий с учетом стохастического характера межоперационных заделов //Сб. науч. тр. СИЯЭиП. Севастополь: СИЯЭиП, 2001 . Вып. 5. С. 213217.

Особистий внесок – одержав аналітичні вирази для визначення ФР часу резерву, склав напівмарковське ядро процесу марковського відновлення.

3. Филипович О.В., Копп В.Я. Модель параметрической оптимизации асинхронных автоматизированных линий //Оптимизация производств. процессов: Сб. науч. тр. – Севастополь: Изд-во СевГТУ, 2002. – Вып. 5. – С. 17-24.

Особистий внесок – розробив алгоритм вирішення оптимізаційного завдання.

4. Филипович О.В., Копп В.Я., Обжерин Ю.Е. Моделирование участков автоматизированных линий //Вестник СевГТУ: Автоматизация процессов и управление: Сб. науч. тр. – Севастополь, 2003. – Вып. 49. – С. 195-200.

Особистий внесок – одержав практичні результати моделювання ділянок ГАЛ.

5. Карташов Л.Е., Копп В.Я., Филипович О.В., Заморенов М.В. К вопросу об использовании закона Эрланга при моделировании автоматизированных производственных систем //Оптимизация производств. процессов: Сб. науч. тр. – Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2003. – Вып. 6. – С. 163-171.

Особистий внесок – отримав аналітичні вирази, що дозволяє визначати n-кратні композиції законів Ерланга.

6. Филипович О.В., Копп В.Я., Галкина Л.В. Алгоритм моделирования однопоточных асинхронных автоматизированных линий и его программная реализация //Оптимизация производств. процессов: Сб. науч. тр. – Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2004. – Вып. 7. – С. 37-42.

Особистий внесок – програмно реалізував ітераційну модель ОГАЛ, одержав результати моделювання.

7. Копп В.Я., Филипович О.В., Фисун С.Н. Оценка адекватности полумарковской модели однопоточной гибкой автоматизированной линии на основе результатов пассивного производственного эксперимента //Вестник СевГТУ: Автоматизация процессов и управление: Сб. науч. тр. – Севастополь, 2005. – Вып. 63. – С. 3-11.

Особистий внесок – зробив статистичну обробку результатів експерименту, модифікував ітераційну модель однопотокової гнучкої автоматизованої лінії.

8. Копп В.Я., Филипович О.В., Скидан А.А. Итерационное моделирование процесса функционирования многопоточной гибкой автоматизированной линии //Сб. науч. тр. СНИЯЭиП. Севастополь: СИЯЭиП, 2004. Вып. 13. С. 191197.

Особистий внесок – розробив алгоритм еквівалентної заміни вузлів багатопотокових гнучких автоматизованих ліній.

9. Копп В.Я., Филипович О.В., Брюховецкий А.А., Сергеев Г.Г. Алгоритм итерационного моделирования многопоточных гибких автоматизированных линий с последовательным расположением узлов //Оптимизация производств. процессов: Сб. науч. тр. – Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2005. – Вып. 8. – С. 50-57.

Особистий внесок – розробив алгоритм побудови ітераційної моделі багатопотокової гнучкої автоматизованої лінії з послідовним розташуванням вузлів.

10. Копп В.Я., Филипович О.В., Балакин А.И. Способ управления объемами межоперационных накопителей автоматизированных линий дискретного производства //Матеріали ХІ міжнар. конф. з автоматичного управління "Автоматика-2004". – К.: КНУХТ, 2004. – Т.2. – С. 31.

Особистий внесок – розробив спосіб керування місткостями міжопераційних накопичувачів.

АНОТАЦІЯ

Філіпович О.В. Математичні моделі функціонування багатопотокових гнучких автоматизованих ліній і оптимізація параметрів їх міжопераційних накопичувачів. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук зі спеціальності 01.05.02 – Математичне моделювання та обчислювальні методи. – Національна металургійна академія України, Дніпропетровськ, 2006.

Дисертаційна робота присвячена розробці математичних моделей багатопотокових гнучких автоматизованих ліній та їх елементів нижніх ієрархічних рівнів.

Побудовані математичні моделі роздільного і спільного функціонування міжопераційних накопичувачів і гнучких виробничих модулів (технологічних комірок).

Модифікована ітераційна модель однопотокової гнучкої автоматизованої лінії шляхом використання розроблених моделей її елементів нижніх ієрархічних рівнів. На базі ітераційного підходу побудовані моделі багатопотокових ліній із збіжними потоками, що оперують з функціями розподілу випадкових величин загального вигляду і дозволяють обчислювати їх параметри надійності і продуктивності.

Вирішене оптимізаційне завдання максимізації продуктивності конвеєрних ліній, розроблений спосіб керування місткостями їх міжопераційних накопичувачів.

Створене методичне і програмне забезпечення аналізу параметрів функціонування гнучких автоматизованих ліній, ефективність якого підтверджена впровадженнями.

Ключові слова: математична модель, ітераційна процедура, багатопотокова гнучка автоматизована лінія, функція розподілу, надійність, продуктивність.

АННОТАЦИЯ

Филипович О.В. Математические модели функционирования многопоточных гибких автоматизированных линий и оптимизация параметров их межоперационных накопителей. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.05.02 – Математическое моделирование и вычислительные методы. – Национальная металлургическая академия Украины, Днепропетровск, 2006.

Диссертационная работа посвящена разработке математических моделей многопоточных гибких автоматизированных линий (ГАЛ) и их элементов нижних иерархических уровней.

Рассмотрено стационарное функционирование межоперационного накопителя линии ограниченной емкости. Построена его модель (с применением аппарата теории массового обслуживания), позволяющая использовать в качестве исходных данных первые три центральные момента распределения параметров случайных процессов поступления и обслуживания заявок. Полученная модель делает возможным нахождение функции распределения длины очереди в накопителе и среднего значения этой случайной величины.

Разработана полумарковская модель системы технологическая ячейка – накопитель (участка линии), учитывающая стохастичность межоперационного задела продукции. Построена модель сборочной ячейки обобщенной структуры с учетом реальных режимов работы загрузочных устройств. Обе модели оперируют с функциями распределения случайных величин общего вида и позволяют эквивалентно заменять соответствующие структуры одним элементом с двумя факторными состояниями.

Произведена модификация итерационной модели однопоточной ГАЛ путем использования разработанных моделей ее элементов нижних иерархических уровней.

На базе итерационного подхода построены модели многопоточных ГАЛ со сходящимися потоками, в основе которых лежит разработанное математическое описание их элементов. Модели оперируют с функциями распределения случайных величин общего вида и позволяют вычислять производительности линий с учетом надежности и взаимовлияния элементов, а также определять значения средних длин очередей в накопителях. Модели являются открытыми, что необходимо для стыковки многопоточных линий с элементами более высоких иерархических уровней.

С использованием построенных моделей решена оптимизационная задача максимизации производительности линий с конвейерной транспортно-накопительной системой при ограничениях на максимально допустимую тяговую нагрузку конвейеров и предельные емкости накопителей. Разработан способ управления объемами межоперационных накопителей ГАЛ, который позволяет обеспечить их оптимальное значение.

Проведена оценка адекватности построенных аналитических моделей линий по результатам производственного и машинного экспериментов. Разработан программный комплекс расчета параметров гибких автоматизированных линий и их элементов.

Ключевые слова: математическая модель, итерационная процедура, многопоточная гибкая автоматизированная линия, функция распределения, надежность, производительность.

ABSTRACT

Filipovich O.V. Mathematical models of functioning of the multi-stream flexible automated lines and optimization of parameters of their stores. - Manuscript.

Thesis on competition of a scientific degree of candidate of engineering sciences in speciality 01.05.02 - Mathematical models and numerical methods. National metallurgical