Інститут прикладних проблем

механіки і математики ім. Я.С. Підстригача

КУНЕЦЬ

Ярослав Іванович

УДК 539.3

ДИНАМІЧНІ ЗАДАЧІ ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ ДЛЯ ТІЛ

З ТОНКИМИ ПРУЖНИМИ ВКЛЮЧЕННЯМИ

01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико–математичних наук

Львів – 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України.

Науковий консультант – член-кореспондент НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор Кіт Григорій Семенович, Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, завідувач відділу математичних методів механіки руйнування і контактних явищ.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Попов Геннадій Якович, Одеський національний університет ім. І.І. Мечнікова МОН України, завідувач кафедри методів математичної фізики;

доктор фізико-математичних наук, професор Бабаєв Арташес Едуардович, Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, головний на-уковий співробітник відділу теорії коливань;

доктор фізико-математичних наук, професор Сулим Георгій Теодорович, Львівський національний університет ім. Івана Франка МОН Ук-ра-їни, завідувач кафедри механіки;

Провідна установа Донецький національний університет, кафедра прикладної механіки і комп’ютерних технологій, Міністерство освіти і науки України, Донецьк.

Захист відбудеться “8” лютого 2006 року о “15” годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д .195.01 в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України за адресою: 79060, м. Львів, вул. Наукова, 3-Б.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України за адресою: 79060, м. Львів, вул. Наукова, 3-Б.

Автореферат розісланий “30” грудня 2005 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради,

доктор фізико-математичних наук Р.М. Мартиняк

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Розвиток технологій отримання композитних матеріа-лів, вдосконалення засобів неруйнівного контролю та дефектоскопії, сучасні проблеми динамічної механіки руйнування, медицини, геофізики, сейсмології, океанології значно розширили сферу вивчення контактної взаємодії тонких деформівних тіл з оточуючим середовищем. Тонкі пружні неоднорідності є не тільки концентраторами напружень, але й широко використовуються як наповнювачі композитів, резонатори, хвилеводи, розсіювачі звуку, вузли систем вимірюваль-ної техніки. В цих випадках, окрім вирішення традиційних проблем оцінки міц-ності та деформативності структур, важливого значення набуває дослідження спектральних характеристик розсіяних полів, чутливості пружних систем до динамічного збурення, в тому числі й нестаціонарного. Стають також більш різноманітними режими експлуатації конструкцій з тонкостінними елементами, модифікуються умови контакту фаз неоднорідної пружної системи та ускладнюється їх топологія тощо.

Актуальною, як з точки зору багатьох застосувань, так і в теоретичному пла-ні є проблема дистанційного визначення геометричних та механічних параметрів тонкостінних неоднорідностей в ізотропному пружному середовищі за допомогою розсіяних пружних полів. Вирішення цієї проблеми складається із двох етапів: на першому етапі розробляються методи дослідження прямих контактних задач динамічної теорії пружності, а на другому будуються алгоритми роз-в’я-зан-ня відповідних обернених задач. Однак побудова останніх наштовхується на принципові труднощі теоретичного та обчислювального харак-теру, зумовлені нелінійністю та некоректністю обернених задач, а також недостатнім вивченням відповідних прямих задач. Це спонукає до вдосконалення відомих та розробки нових алгоритмів вирішення таких проблем.

Що стосується прямих задач динамічної взаємодії тонкостінних пружних включень з оточуючим середовищем, то проблема їх розв’язання актуальна з точки зору механіки руйнування, конструювання нових композитних матеріалів тощо. Теоретична сторона цієї проблеми передбачає математичне моделювання динамічної взаємодії складових композиту, а також розробку нових числово-аналітичних алгоритмів дослідження механічних явищ, які при цьому виникають. Передумови для проведення таких досліджень закладені сучасними здобутками різних наукових центрів і шкіл в області математичних методів мішаних задач механіки суцільного середовища та моделей деформування тонкостінних елементів, проміжкових шарів та покрить з урахуванням впливу на них полів різної природи. Зокрема, розроблено різні підходи для отримання ефективних граничних умов, що визначають взаємодію тонкостінної пружної неоднорідності з матрицею. Проте математично обґрунтованішим для механіки тонких тіл є асимптотичний підхід, який ґрунтується на використанні малого параметра, що характеризує відношення товщини до характерного лінійного розміру об’єкту. Використання такого підходу часто дозволяє спростити не тільки умови контакту, але і скоротити та полегшити шляхи їх отримання. Більшість робіт в цьому напрямку відноситься до випадку статичних задач теорії пружності, а також до досліджень напружено-деформованого стану тонких пластин та оболонок при статичних та динамічних навантаженнях. Слід зазначити, що кількість наукових праць, спрямованих на використання асимптотичних методів при описі динамічної поведінки композитів з тонкими неоднорідностями, порівняно нечисленна. Розширення класу задач пружно-динамічної взаємодії тіл з тонкими пружними включеннями в свою чергу стимулює розвиток числово-аналітичних алгоритмів дослідження хвильових явищ в таких структурах. Усе сказане свідчить про недостатню вивченість означених вище проблем та їх актуальність з огляду на сучасні потреби науки і техніки.

Метою дисертації є розробка моделей пружно-динамічної взаємодії тонкостінних пружних включень з матрицею та встановлення якісних та кількісних закономірностей поведінки таких композитів як під усталеними, так і нестаціонарними навантаженнями. Досягнення вибраної мети передбачає вирішення такого комплексу питань:

отримання ефективних граничних умов взаємодії тонких неоднорідностей з матрицею як за ідеального, так і неідеального (випадки одностороннього відшарування чи жорсткого підкріплення включення) контакту при різних співвідношеннях їх жорсткостей за дії усталених динамічних навантажень;

розробка нових та розвиток існуючих математичних методів розв’язання сформульованих динамічних мішаних задач механіки суцільного середовища;

виявлення закономірностей розподілів полів, дифрагованих тонкою пружною неоднорідністю, як у її околі, так і в дальній зоні (зоні Фраунгофера), а також полів, розсіяних у рідину тонкими пружними сферичними оболонками з отвором;

створення на основі отриманих розв’язків прямих задач алгоритмів дистанційного визначення геометричних та механічних параметрів тонкостінних включень певної жорсткості в однорідному ізотропному необмеженому пружному середовищі.

Об’єктами дослідження є динамічний напружено-деформований стан тіл, що містять тонкі неоднорідності, а також хвильове поле, розсіяне в рідині тонкостінним пружним сферичним резонатором з отвором.

Предметом досліджень є динамічні задачі теорії пружності для тіл з тонкими пружними включеннями за різних умов контактної взаємодії між матрицею та неоднорідністю. Розроблені в дисертації моделі, математичні методи та проведений теоретичний і числовий аналіз націлені на всебічне вивчення хвильових процесів в середовищах з тонкими неоднорідностями у рамках лінійної теорії пружності, а також на застосування запропонованих в роботі методів до розв’язання окремих задач гідропружності.

Методи досліджень. Для загального аналізу перехідних та усталених процесів у дво- та тривимірних композитах в дисертаційній роботі використовувалась низка методів. Зокрема, під час вивчення перехідних процесів в структурах з тонкими неоднорідностями застосовувався метод інтегрального перетворення Фур’є за часом, в результаті чого отримані відповідні стаціонарні задачі. Наближені моделі динамічної взаємодії між складовими композиту побудовані в рамках теорії сингулярних збурень. При дослідженні дифракційних полів в пружних структурах для двовимірних задач теорії пружності застосовувалась теорія сингулярних інтегральних рівнянь з подальшим використанням методів ортогональних многочленів та механічних квадратур. Крім цього, наближені розв’язки інтегральних рівнянь у високочастотній області будувались за допомогою методу складених асимптотичних розкладів на основі розв’язків відповідних інтегральних рівнянь типу Вінера–Хопфа. Для визначення хвильових полів у дальній зоні Фраунгофера модифіковано ефективний у цьому випадку метод нульового поля (метод Т-матриць), а також частковий його випадок – метод напівобернення (при розгляді відповідних задач гідропужності). Дослідження динамічного напружено-деформованого стану необмеженого тіла, що містить тонке просторове включення низької жорсткості, проводилось шляхом зведення, за допомогою методу потенціалів, відповідної контактної задачі до системи граничних інтегральних рівнянь.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами і темами. Дослідження за темою дисертації виконувалися в рамках держбюджетних наукових тем Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України за відомчими замовленнями НАН України (1993–1996 рр.: „Розробка методу акустодіагностики пружно-деформованого стану і внутрішньої структури твердих тіл в рідині або газі з використанням ефекту недзеркального відбиття обмеженого звукового пучка”, № державної реєстрації 0193U033343, дисертант – виконавець; 1997–2001 рр.: „Дослідження методом граничних інтегральних рівнянь впливу геометричних параметрів дефектів типу тріщин на пружно-деформований стан тіл під дією статичних та динамічних силових і теплових навантажень”, № державної реєстрації 0197U008954, дисертант – відповідальний виконавець; 1997–2002 рр.: „Розробка методів і алгоритмів побудови розв’язків прямих і обернених задач термопружності та гідропружності стосовно до оптимізації та відтворення напруженого стану в неоднорідних тілах”, № державної реєстрації 0197U017671, дисертант – відповідальний виконавець); 2002–2005 рр.: „Дослідження дифракції пружних хвиль та концентрації напружень на тріщинах і тонких включеннях у тривимірних та кусково-однорідних тілах на основі гранично-інтегрального формулювання відповідних задач механіки”, № державної реєстрації 0102U000450, дисертант – співавтор проекту і відповідальний виконавець), проектів Державного фонду фундаментальних досліджень (1992–1993 рр.: „Розробка методів аналізу ехо-сигналів від тіл неканонічної форми в рідині чи пружному середовищі”, № 1/174, дисертант – відповідальний виконавець; 2001–2005 рр.: „Розробка методів дослідження динамічних процесів у тривимірних пружних тілах з дефектами типу тріщин і тонких включень”, № державної реєстрації 0103U006116, дисертант – співавтор проекту і відповідальний виконавець), пошукової науково-дослідної теми „Дослідження напружено-деформованого стану пружних тіл з тонкими пружними включеннями при статичних та динамічних навантаженнях” (1992, № 21/152, дисертант – керівник теми), цільових наукових програм НАН України (2002–2004 рр.: „Математичне моделювання динамічного деформування і термомеханічної взаємодії неоднорідних структур з тріщинами, тонкостінними включення-ми та контактними недосконалостями”, № державної реєстрації 0102U001617, ди-сертант – відповідальний виконавець; 2005 р.: „Розробка аналітично-числових методів дослідження неоднорідностей структури пружних тіл на основі вивчення їх взаємодії з акустичними полями”, № державної реєстрації 0105U000232, дисертант – відповідальний виконавець), науково-технічного інноваційного проекту НАН України „Прогнозування нафтогазоносності гірських порід за комплексом їх геофізичних параметрів” (2005 р., № державної реєстрації 0105U006544, дисертант – виконавець), а також у рамках науково-дослідних договорів ІППММ ім. Я.С. Підстригача НАН України з різними зацікавленими організаціями.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в тому, що:

запропоновано новий підхід для дослідження пружно-динамічної взаємодії тонкостінних пружних включень з оточуючим середовищем (як при ідеальному механічному контакті компонент пружної системи, так і при односторонньому відшаруванні чи жорсткому підкріплені неоднорідності), який передбачає вирішення такого комплексу задач:

– розробку нових та розвиток існуючих асимптотично наближених (за малий параметр приймається відношення товщини дефекту до характерного лінійного розміру його серединної поверхні (лінії)) моделей контакту тонкої неоднорідності з матрицею, що справедливі в окремих діапазонах відношень між пружними сталими складових композиту, але які у сукупності охоплюють всю область зміни механічних параметрів компонент;

– створення на цій основі об’єднаної моделі контакту складових пружного середовища, справедливої при довільних пружних властивостях цих складових;

– постановку та розв’язання відповідних еталонних статичних задач теорії пружності, що дозволяють описати поведінку напружено-деформованого стану композиту безпосередньо поблизу краю включення в залежності від форми цього краю;

сформульовано новий та розширено існуючі класи задач динаміки тіл з тонкими неоднорідностями за різних умов механічного контакту між компонентами пружних систем та розроблено підходи до їх дослідження, основні положення яких полягають у:

– детальному математичному вивченні особливостей поведінки полів зміщень та напружень у композиті, передовсім у околі краю тонкого включення;

– поданні полів дифрагованих хвиль через стрибки зміщень та напружень в матриці на серединній поверхні неоднорідності;

– зведенні задач до систем граничних інтегро-диференціальних рівнянь відносно цих стрибків;

вперше отримано низку числово-аналітичних розв’язків нових двовимірних та просторових задач еластодинаміки для тіл, що містять тонкостінні включення, та проведено комплекс досліджень закономірностей розподілу хвильових полів, дифрагованих тонкими неоднорідностями в оточуюче середовище, зокрема:

– досліджено динамічну концентрацію напружень поблизу краю тонких плоских неоднорідностей низької жорсткості в залежності від механічних властивостей складових композиту, форми включень та вигляду імпульсних навантажень пружної системи;

– виявлено основні властивості усталених та нестаціонарних хвильових полів, дифрагованих тонкими криволінійними тунельними пружними включеннями змінної товщини у дальню зону (зону Фраунгофера) при ідеальному механічному контакті складових композиту та при односторонньому жорсткому підкріпленні неоднорідності;

– вивчено явище різкої зміни розподілу напружень поблизу вершини гострокінцевого тонкого дефекту при прямуванні його жорсткості до нуля;

– досліджено структуру ехо-сигналів, перевипромінених в рідину тонкими сферичними пружними оболонками з отвором в залежності від механічних та геометричних параметрів розсіювача,

вперше сформульовано та розв’язано обернені задачі розсіяння усталених пруж-них хвиль – визначення форми та механічних властивостей тонкостінних плоских включень для широкого діапазону зміни пружних сталих складових композиту.

Вірогідність основних наукових положень та отриманих результатів забезпечується: використанням достовірних моделей механічних процесів у деформівних тілах; строгістю математичної постановки задач та методів їх роз-в’я-зання; оперуванням із класом розв’язків, що мають фізичне трактування і забезпечують математичні умови обернення рівнянь; переходом динамічних розв’яз-ків під час стабілізації процесу в статичні; збігом числових результатів, отриманих в роботі різними методами; узгодженням часткових результатів із відомими в літературі; відповідністю висновків та результатів фізичній суті досліджуваних явищ.

Практичне значення отриманих результатів полягає у створенні комплексу методів для розрахунку та дослідження хвильових полів (як усталених, так і нестаціонарних), розсіяних тонкостінними пружними оболонковими включеннями в навколишнє середовище. Запропонований комплекс дає змогу: вивчати концентрацію напружень поблизу неоднорідностей, що важливо при розрахунку, проектуванні та оцінці міцності пружних систем з тонкими пружними елементами; аналізувати ехо-сигнали від цих неоднорідностей, що створює підґрунтя для розв’язання відповідних обернених задач дистанційного визначення геометричних та механічних параметрів тонких об’єктів. Запропоновані в дисертації результати можуть використовуватись як базові при розв’язуванні більш складних задач (наприклад, для включень ускладненої топології за інших умов контакту з матрицею), а також бути корисними при тестуванні результатів розрахунків, отриманих за допомогою інших методів. Вони можуть знайти застосування у машинобудуванні, будівельній індустрії, енергетиці, при вирішенні проблем дефектоскопії, гідропружності тощо.

Окремі теоретичні і прикладні результати, викладені в дисертації, були використані при виконанні низки госпдоговорів практичного спрямування.

Апробація результатів роботи. Результати досліджень доповідались і обговорювались на 2-ій та 3-ій Всесоюзних конференціях “Механіка неоднорідних структур” (Львів, 1987, 1991), 4-ій Всесоюзній науково-технічній конференції “Электрический разряд в жидкости и его применение в промышленности” (Миколаїв, 1988), Всесоюзному симпозіумі “Взаимодействие акустических волн с упругими телами” (Таллінн, 1989), 4-ій Всесоюзній конференції “Смешанные задачи механики деформируемого тела” (Одеса, 1989), 4-ій Міжнародній конференції з механіки неоднорідних структур (Тернопіль, 1995), 3-ому, 4-ому, 6 – 9–их Міжнародних семінарах “Direct and inverse problems of electromagnetic and acoustic wave theory” (Львів–Тбілісі, 1998, 1999, 2001–2004), 2-ому міжнародному симпозіумі “Механіка і фізика руйнування будівельних матеріалів” (Львів, 1996), Міжнародній конференції “Сучасні проблеми механіки і математики” (Львів, 1998), 4-ому, 5-ому, 6-ому Міжнародних симпозіумах Українських інженерів-механіків (Львів, 1999, 2001, 2003), 3-ій, 5-ій та 6-ій Міжнародних наукових школах–семінарах “Импульсные процессы в механике сплошных сред” (Коблево, 1999, 2003, 2005), Міжнародних конференціях “Dynamical system modeling and stability investigation” (Київ, 1999, 2003), Міжнародних конференціях “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (Луцьк, 2000; Львів, 2003), 10-ій Міжнародній конференції “System modeling control” (Закопане, Польща, 2001), Міжнародній конференції “Механіка руйнування матеріалів і міцність конструкцій” (Львів, 2004).

У повному обсязі робота доповідалася на семінарі відділу математичних методів механіки руйнування та контактних явищ Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України; на науковому семінарі „Математичні проблеми механіки руйнування і контактних явищ” Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України під керівництвом члена-кореспондента НАН України Г.С. Кіта; на науковому семінарі відділу теорії коливань Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка під керівництвом академіка НАН України В.Д. Кубенка; на науковому семінарі „Математичні проблеми механіки” Одеського національного університету ім. І.І. Мечнікова МОН України під керівництвом професора Г.Я. Попова; на семінарі кафедри механіки Львівського національного університету ім. Івана Франка МОН України під керівництвом професора Г.Т. Сулима; на об’єднаному науковому семінарі кафедри прикладної механіки і комп’ютерних технологій та кафедри теорії пружності й обчислювальної математики Донецького національного університету під керівництвом професора С.О. Калоєрова.

Публікації та особистий внесок здобувача. Основні наукові результати ди-сертації опубліковані у 36 наукових роботах, в тому числі у 24 статтях [1–24] у журналах і збірниках, які відповідають вимогам ВАК України до фахових видань. Всього за темою дисертації опубліковано 56 наукових праць.

Основні результати роботи отримані автором самостійно. У всіх працях, опублікованих у співавторстві, автору належать постановки задач, розвиток і реалізація підходів до їх розв’язання, інтерпретація отриманих результатів. Зокрема, у статті [4] автор брав участь у математичному моделюванні розглядуваного явища та розробці комплексу методів його дослідження у тій частині, де використовувалась теорія сингулярних збурень; у працях [2, 3, 5, 17, 27] автор приймав участь у створенні числово-аналітичних ме-то-дів дослідження розглядуваних проблем та інтерпретації отриманих результатів; в статтях [8-11, 18-21, 23, 30-32, 34, 35] – у формулюванні проблеми, її аналітичній і числовій реалізації. В роботах [6, 12-16, 22, 25, 26, 28, 33, 36] автору належить ідея дослідження, її аналітична реалізація та участь в інтерпретації отриманих результатів.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, шести розділів, які містять 93 рисунки та одну таблицю, висновків, списку використаних джерел із 369 найменувань. Загальний обсяг роботи становить 288 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі розкрито сутність і стан вивчення наукової проблеми, обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету і задачі досліджень, висвітлено новизну отриманих результатів та їх практичне значення, наведено дані про апробацію отриманих результатів і публікації, що відображають основний зміст роботи.

У першому розділі на підставі аналізу літературних джерел висвітлено пе-редумови виникнення та сучасний стан розглянутих в дисертації проблем, які з одного боку є теоретичним відображенням потреб практики, а з іншого постають як закономірний етап розвитку механіки пружних тіл з тонкими неоднорідностями; обґрунтовано необхідність їх подальшого вивчення. Вирішення в дисертаційній роботі цих проблем базувалось на використанні методів механіки суцільного середовища, в тому чис-лі методів динамічної теорії пружності, значний вклад в розвиток яких внесли Дж. Ахенбах, А.Е. Бабаєв, В.А. Бабешко, Я.Й. Бурак, Й.І. Ворович, О.Р. Гач-кевич, В.Т. Головчан, О.Л. Гольденвейзер, Я.М. Григоренко, О.Я. Григоренко, В.Т. Грінченко, О.М. Гузь, О.Ю. Жарій, С.О. Калоєров, Г.С. Кіт, О.С. Космодаміанский, В.С. Крутіков, В.Д. Кубенко, В.Д. Купрадзе, В.В. Мелешко, С. Мов, Ю.М. Неміш, В.І. Сторожев, Й. Пао, В.З. Партон, О.П. Піддубняк, Я.С. Підстригач, Ю.М. Подільчук, Г.Я. Попов, В.М. Сеймов, І.Т. Селєзов, Г.Т. Сулим, А.Ф. Улітко, М.А. Черевко, М.О. Шульга, Є.Г. Янютін та інші вчені. Проблема визначення напружено-де-формованого стану тіл з тонкостінними включеннями належить до класу контактних задач те-орії пружності і вимагає розвитку специфічних математичних методів, пов’я-за-них зі змішаними граничними умовами, що виникають при наближеному моделюванні контакту тонких тіл з оточуючим середовищем (в загальному випадку це можуть бути тонкі вирізи, пружні та абсолютно жорсткі включення, прошарки, плівки, підкріплення тощо). Математичні моделі та методи розв’язання контактних задач теорії пружності, термопружності, електропружності викладені в працях В.М. Александрова, М. Аліабаді, О.Є. Андрейківа, В.А. Бабешка, М.М. Бо--ро-да-чо-ва, А. Бострьома, Є.В. Глушкова, Н.В. Глушкової, Р.В. Гольдштейна, А.Г. Горш-кова, Е.І. Григолюка, Д.В. Гриліць-кого, О.М. Гузя, Ф.Е. Ердогана, О.О. Євтушенка, В.Ф. Ємця, Ч. Жанга, В.В. Зозулі, А.О. Камінського, Б.Я. Кантора, Г.С. Кіта, Ю.М. Коляно, В.Д. Кубенка, Р.М. Кушніра, В.В. Лобо-ди, М.Д. Мартиненка, Р.М. Мартиняка, В.В. Михаськіва, М.Ф. Мо-ро-зо-ва, В.І. Мос-саковського, С.М. Мхітаряна, З.Т. Назарчука, М.М. Николишина, Р. Ол-сона, В.А. Осадчука, В.К. Опанасовича, В.В. Панасюка, Б.Л. Пелеха, Я.С. Під-стригача, Ю.З. Повстенка, Г.Я. Попова, В.Г. Попова, М.П. Саврука, В.П. Си-ло-ванюка, В. Сладека, Я. Сладека, Л.І. Слє-пяна, М.Г. Стащука, С.А. Сми-р-нова, Г.Т. Сулима, Л.А. Фільштинського, А.Ф. Уліт-ка, М.В. Хая, Р.М. Швеця, В.П. Шев-ченка, П.Р. Шевчука, Г.П. Черепанова та інших дослідників.

При розгляді контактних задач для середовищ з тонкостінними неоднорідностями важливе значення посідає проблема математичного моделювання механічної взаємодії тонкого включення з оточуючим середовищем. На даний час для вирішення цієї проблеми найбільш поширеними є два підходи, які часто доповнюють один одного. Згідно з першим поведінка включення моделюється з використанням математичних чи механічних припущень, або відомих співвідношень теорії пластин та оболонок. В розвиток цього підходу значний вклад внесли вчені В.М. Алєксандров, О.Є. Андрейків, С. Аткінсон, Р. Вестман, Д.В. Гриліцький, Г. Гупта, Ф. Ердоган, А.І. Каландія, Г.С. Кіт, Е. Мелан, Г.А. Морарь, С.М. Мхітарян, Т. Мура, В.К. Опанасович, О.П. Піддубняк, Я.С. Підстригач, Г.Я. Попов, В.Г. Попов, М.В. Радіолло, В.С. Саркісян, Ш. Секіне, О.В. Соткілава, М.М. Стадник, І.Д. Суздальницький, Г.Т. Сулим, А.А. Сяський, Р. Томпсон, Л.Ф. Фільштинський, Г.П. Черепанов, К.С. Чобанян, М.В. Хай, А.С. Хачикян та інші. Такий підхід, зокрема, застосовувався при вивченні гідропружної взаємодії тонких пружних оболонок з рідиною, в розвиток якого суттєвий вклад внесли І.Я. Аміро, А.Е. Бабаєв, Н.Д. Векслер, В.Т. Грінченко, А.Г. Горшков, Е.І. Григолюк, О.М. Гузь, В.О. Заруцький, В.Д. Кубенко, Я.Л. Метсавеер, О.П. Піддубняк, Я.С. Підстригач та інші. В основу другого, асимптотичного підходу покладено методи теорії сингулярних збурень, згідно з якими розв’язки задач подаються у вигляді асимптотичних (зовнішніх) розкладів з подальшим додатковим їх вив-ченням (побудовою пограничних шарів, внутрішніх асимптотичних розкладів) в областях швидкої зміни розглядуваних механічних процесів. Цей підхід започатковано та розвинуто в працях В.Ф. Бутузова, М.Д. Ван–Дайка, Й.І. Воровича, А.Л. Гольденвейзера, Р.Дреслера, І.Є. Зино, І.С. Зоріна, А.М. Ільїна, Д. Калеріе, С.К. Канауна, Ю.Д. Каплунова, Г.С. Кіта, В.Г. Мазьї, О.Б. Мовчана, С.А. Назарова, В.Ю. Новокшенова, О.П. Піддубняка, Б.О. Пламєнєвского, Е. Санчес–Па-ленсії, І.Б. Симоненко, І.В. Симонова, Д.Ф. Сі-монса, Е.А. Тропа, К.О. Фрідріхса, Г.П. Черепанова та інших вчених.

Для розв’язання змодельованих динамічних задач теорії пружності для тіл з кінцевими тонкими дефектами та аналізу дифракційних явищ, що виникають в них, в даний час є низка потужних та ефективних числово-ана-лі-тич-них методів, зокрема, методи граничних інтегральних рівнянь, сингулярних інте-г-ральних рівнянь, розривних розв’язків, функцій стрибка, нульового поля (метод Т-мат-риць), інтегральних перетворень та інші методи. У становлення та розвиток цих підходів суттєвий вклад внесли згадані вище вчені. Що стосується обернених задач дистанційного визначення геометричних та механічних параметрів тонких неоднорідностей та аналогічних споріднених питань, то тут кількість ви-рішених проблем, в порівнянні з відповідними прямими задачами, суттєво мен-ша. В цьому зв’язку слід відзначити праці О.Є Андрейківа, І.В. Баранова, Н.Д. Век-слера, В.Ф. Ємця, Д. Колтона, Р. Кресса, М.В. Лисака, З.Т. Назарчука, В.Р. Скальского, А.Н. Соловйова, В.Ф. Чекуріна та інших вчених.

З огляду літератури, наведеного в розділі, видно, що на сьогодні дослід-жен-нями не охоплено низки важливих аспектів явища дифракції хвиль тонкими пружними об’єктами. Зокрема, відсутній загальний підхід до моделювання пружно-динамічної взаємодії тонкостінного включення з навколишнім середовищем незалежно від їх механічних властивостей та форми неоднорідності. Недостатньо вивчено особливості полів, дифрагованих включеннями різних форм з довільними механічними характеристиками. Розробка методів розв’язання обернених задач дистанційного визначення геометричних та механічних параметрів тонких недосконалостей перебуває, практично, на початковому етапі. Цим і був зумовлений вибір теми дисертаційного дослідження.

В другому розділі зроблено математичну постановку динамічних і відповідних стаціонарних задач теорії пружності для тіл з тонкими неоднорідностями, що розглядаються в роботі, та подано загальну схему методу зрощування асимптотичних розкладів, за допомогою якого досліджуються ці задачі. Отримано моделі динамічної взаємодії тонкого пружного просторового включення з матрицею при ідеальному контакті складових композиту.

Нехай в однорідному пружному середовищі з модулями Ляме, і густиною знаходиться тонкостінне пружне включення змінної товщини з відповід-ними параметрами, , , що займає область

,

. (1)

Тут координати точок в околі неоднорідності у тривимірному просторі подано в триортогональній системі за допомогою рівності, де – декартові координати, – радіус-вектор серединної поверхні, обмеженої гладким контуром, – нормаль до, – товщина включення, – достатньо гладка додатно визначена функція, – характерний розмір поверхні, – малий безрозмірний параметр, що характеризує малу відносно товщину включення.

Переміщення в пружній системі задовольняють динамічні рівняння Ляме. В роботі розглянуто три випадки умов механічного контакту неоднорідності з оточуючим середовищем. При ідеальному механічному контакті складових композиту граничні умови на поверхні включення мають вигляд:

, (2)

де – повне поле зміщень у матриці; та– зміщення у дифрагованому неоднорідністю полі та у включенні відповідно; – час; пружна система збурюється заданим навантаженням з розподілом зміщень; – компоненти тензорів напружень, що відповідають зміщенням, і; – зовнішня нормаль до поверхні включення.

У випадку одностороннього відшарування або жорсткого підкріплення включення по частині його поверхні маємо (на поверхні виконуються співвідношення (2)):

, (3)

у випадку відшарування по, та

(4)

у випадку жорсткого підкріплення включення.

Для повної постановки задач слід враховувати також нульові початкові умови.

Для розв’язання поставлених вище задач використано інтегральне перетворення Фур’є за часом, в результаті чого у другому підрозділі отримуються відповідні стаціонарні постановки. Тоді спектри зміщень в композиті та (– параметр перетворення Фур’є) задовольняють відповідні стаціонарні рівняння Ламе, умови спряження (2)–(4) та умови випромінювання на безмежності.

В наступному підрозділі для моделювання пружно-динамічної взаємодії включення і матриці при ідеальному їх контакті у випадку усталених коливань тіла викладена загальна схема методу зрощування асимптотичних розкладів. Основна ідея цього методу полягає в тому, що розв’язки задач шукаються у ви-гляді асимптотичних (зовнішніх) розвинень за малим параметром у всьому композиті з подальшим їх вивченням (побудовою пограничних шарів, внутрішніх асимптотичних розкладів) поблизу країв тонкого включення. Схема пояснена на прикладі задачі поздовжнього зсуву при ідеальному контакті складових композиту. У цьому випадку форму включення (1) можна подати у вигляді (– ортогона-ль-на система координат, зв'язана із серединною лінією включення). Причому припускається, що асимптотика функції при має вигляд

, (5)

де – локальна система координат з початком в одній із точок (), введена таким чином, що вісь напрямлена по дотичній до, вісь напрямлена по граничній нормалі до. Параметр у співвідношення (5) визначає вигляд кінців неоднорідності. Надалі розглядаються чотири якісно різні форми кінців включення: затуплені; гладкі; у формі кута малого розхилу та гострі (рис. 1).

Рис. 1

Відмінні від нуля компоненти векторів зміщень у матриці та у включенні та задовольняють рівняння Гельмгольца, умову випромінювання Зоммерфельда та умови спряження складових композиту (2), які запишемо у вигляді

. (6)

Надалі вважаємо також, що, де – хвильові числа поперечних хвиль в матриці та у включенні відповідно.

Зовнішні асимптотичні розклади шукаємо у вигляді розвинень за малим параметром

, ,

, . (7)

Підставивши ряди (7) в рівняння руху і умови (6) та прирівнявши вирази при однакових степенях, отримаємо спрощені умови контакту складових пружної системи, знесені на серединну лінію включення, для знаходження головних членів розкладів (7). Форма цих умов визначається співвідношенням між параметром механічної контрастності неоднорідності та величиною. Тому розглянуто три різні діапазони зміни величини:

1.; 2.; 3.. (8)

Діапазон 1 відповідає випадку неоднорідності слабої контрастності (припускається, що при). Діапазон 2 описує випадок, коли жорсткість включення набагато менша від жорсткості оточуючого середовища порівняно з (при). Діапазон 3 описує випадок включення великої жорсткості (при ). Причому показано існування зон перетину результатів, отриманих в сусідніх діапазонах жорсткості неоднорідності.

З точністю до головних членів вперше отримані умови динамічної взаємодії мають вигляд ():

діапазон 1 –

,

, (9)

;

діапазон 2 –

,

, (10)

;

діапазон 3 –

,

, , (11)

,

при. (12)

Умова (12) забезпечує однозначність розв’язку задачі і означає, що дією з боку матриці на торець тонкого включення великої жорсткості можна знехтувати.

Крім цього, головний член розкладу (7) в матриці задовольняє рівняння Гельмгольца та умову випромінювання на безмежності.

Зауважимо, що застосувавши метод складених асимптотичних розкладів до умов спряження (9)–(11) можна отримати модель динамічної взаємодії вклю-чення з матрицею при довільних їх пружних властивостях. У випадку задачі поздовжнього зсуву вона має вигляд

,

, , (13)

при.

Таким чином, за ідеального механічного контакту тонких пружних неоднорідностей з оточуючим середовищем виділяються три діапазони (8) співвідношень між пружними властивостями складових композиту, які приводять до різних класів контактних задач з відповідними типами граничних умов, записаних на серединній поверхні недосконалості. Це включення малої жорсткості, які характеризуються стрибком зміщень та неперервністю напружень на серединній поверхні; включення великої жорсткості, коли неперервні зміщення та наявний стрибок напружень; включення слабої контрастності, що характеризуються відомими стрибками зміщень і напружень, визначеними через прикладені до композиту навантаження.

Співвідношення (9)–(11) з точністю до величин порядку визначають розв’язок задачі всюди, за винятком малих околів кінців включення, де виникають пограничні шари внаслідок знесення умов контакту на серединну лінію неоднорідності. Для врахування форми краю дефекту в цих околах розв’язок шукаємо у вигляді внутрішніх асимптотичних розкладів, що узгоджуються із зовнішніми розкладами за допомогою принципу узгодження. Зауважимо, що у випадку пограничних шарів не виникає. Внутрішні поправки при визначаються поведінкою зовнішнього розв’язку в околі краю неоднорідності. Для прикладу розглянемо випадок включення малої жорсткості із затупленим кінцем. У цьому випадку володіє асимптотикою (– сталі, що визначаються в процесі розв’язання зовнішніх задач, а у випадку тріщини коефіцієнт безпосередньо зв’язаний із коефіцієнтом інтенсивності напружень)

, . (14)

Ввівши внутрішні змінні, спрямувавши та скориставшись принципом зрощування асимптотичних розкладів, бачимо (із врахуванням (14)), що кінець неоднорідності трансформується в напівбезмежну прямокутну область. Тоді внутрішні асимптотичні розклади зміщень в композиті слід шукати у вигляді рядів ()

,

,

де функції пограничного шару є розв’язками статичних граничних задач

, ,

, (15)

. (16)

Таким чином, напружено – деформований стан тіла в малій прикінцевій області включення визначається відповідними статичними задачами з однорідними умовами контакту складових композиту на границі їх розділу (15), навантаження в яких задаються умовами на безмежності (16).

У четвертому підрозділі з метою ілюстрації достовірності наведених вище моделей розглянуто тестову задачу розсіяння плоских SH – хвиль на пружному шарі сталої товщини між двома півпросторами при ідеальному механічному контакті між ними (рис. 2). Точний розв’язок такої задачі відомий в літературі (див. наприклад монографії Л.М. Бреховских, І.А. Вікторова). В підрозділі дано порівняння цього розв’язку із відповідними результатами, коли динамічна поведінка шару моделюється співвідношеннями (9)–(12), (13). Однак слід зазначити, що наведені нижче розв’язки, отримані за допомогою граничних умов, знесених на серединну лінію неоднорідності, полегшують процес аналізу явища розсіяння пружних хвиль на тонких прошарках і тому мають самостійне значення.

Оскільки в цьому випадку характерний розмір неоднорідності, за малий безрозмірний параметр можна прийняти відношення, – довжина падаючої на шар хвилі. Тобто, проміжковий шар вважається тонким у тому розумінні, що його хвильовий розмір (відношення його товщини до довжини падаючої хвилі) малий. Припускається, що на шар набігає плоска хвиля (– кут падіння хвилі), а відбита від нього хвиля має вигляд,. На рис. зображено залежності модуля коефіцієнта відбиття від параметра. Штрихова, штрих–пунктирна, суцільна та марковані криві відповідають моделям поведінки включень (10), (11), (13) та точному розв’язку задачі відповідно.

Аналіз наведених закономірностей показує хороший збіг між точними значеннями коефіцієнта відбиття та результатами, отриманими за допомогою асимптотично наближених умов поведінки тонкого включення у відповідному діапазоні.

Рис. 2 Рис. 3

В інших підрозділах даного розділу з допомогою запропонованого вище підходу змодельовано пружно-динамічну взаємодію просторових тонких оболонкових включень змінної товщини з оточуючим середовищем. Розглянуто випадки неоднорідностей слабої контрастності, малої та великої жорсткості і в кожному випадку побудовано пограншарові поправки, що уточнюють характер поведінки зміщень та напружень в околі краю включення в залежності від геометричної структури цього краю.

В третьому розділі метод асимптотичного моделювання поширено на випадок неідеального контакту складових композиту. Запропоновано моделі взаємодії односторонньо жорстко підкріпленого (умова контакту (4)) або відшарованого (умова (3)) тонких пружних включень з матрицею у випадку динамічної задачі поздовжнього зсуву. Як і у випадку ідеального контакту окремо розглянуто три діапазони зміни параметра контрастності (8). Зокрема, при односторонньому жорсткому підкріпленні у випадку неоднорідності слабої контрастності чи високої жорсткості з точністю до головних членів зовнішніх розкладів (7) маємо

, ,

.

Таким чином, жорсткість тонкостінного включення у випадку діапазонів 1 та 3 слабо впливає на напружено-деформований стан композиту, за винятком малих околів кінців дефекту, де необхідно будувати відповідні внутрішні розклади. Головний член зовнішнього асимптотичного розкладу (7) можна трактувати як розв’язок задачі для необмеженого тіла з абсолютно жорстким включенням при дії на нього збуджуючого навантаження. У випадку неоднорідності низької жорсткості її динамічна поведінка асимптотично наближено моделюється співвідношеннями

, ,

; (17)

з відповідними пограншаровими поправками в прикінцевій зоні включення. З допомогою цих умов також наближено визначається напружено-деформований стан композиту при довільних значеннях параметра.

Аналогічним чином в роботі розглянуто випадок одностороннього відшарування включення. З метою проілюструвати достовірність отриманих результатів та показати межі застосування запропонованих моделей розглянуто задачу розсіяння плоских SH – хвиль на пружному жорстко підкріпленому шарі постійної товщини, що покриває півпростір, при ідеальному механічному контакті між ним та шаром. Спостерігається хороше співпадіння розв’язку такої задачі із відповідними результатами, отриманими за допомогою моделей взаємодії тонкого пружного односторонньо жорстко підкріпленого включення з оточуючим середовищем.

В цьому ж розділі показана можливість застосування методу зрощування асимптотичних розкладів при дослідженні задачі віброакустичного збудження двошарового пакету, ослабленого горизонтальною тріщиною. Вивченню напружено-деформованого стану багатошарових пластин з розшаруванням присвячено багато публікацій. Однак, викладена методика в деяких випадках суттєво спрощує дослідження задач такого класу. Зокрема, розглянуто випадок, коли жорсткість однієї складової двошарової пластини (покриття) набагато менша від іншої, в ній знаходиться розшарування (або на границі розділу матеріалів) і границя якої над областю розшарування перебуває під дією усталеної в часі зосередженої нормальної сили. Показано, що в цьому випадку амплітуда коливань пакету найбільш суттєва в області покриття, розміщеній над розшаруванням, і з достатньою для практики точністю визначається рівнянням згинних коливань цієї області при умові жорсткого закріплення її контуру. Запропонована методика та отримані висновки спрямовані на теоретичне обґрунтування застосування резонансного віброакустичного методу контролю дефектів типу відшарувань у покриттях із пінополіуританових матеріалів.

В наступних розділах на основі запропонованих вище моделей досліджено ряд нових двовимірних та просторових динамічних задач теорії пружності для тіл з тонкостінними пружними включеннями. В четвертому розділі метод нульового поля (метод Т-матриць) розвинуто щодо стаціонарних та нестаціонарних задач розсіяння пружних хвиль на тонкостінних криволінійних включеннях змінної товщини, коли пружна система перебуває в умовах плоскої деформації або поздовжнього зсуву. Розглядаються випадок ідеального контакту включення та матриці, або випадок односторонньо жорстко підкріпленого включення. Суть запропонованого числово-аналітичного алгоритму пояснимо на прикладі стаціонарної задачі поздовжнього зсуву та включення низької жорсткості. Загальну її схему зображено на рис. 4. Припускається, що на тонкостінну неоднорідність низької жорсткості, яка знаходиться в необмеженому сере-довищі, набігає під кутом плоска хвиля. Нехай – доповнення серединної лінії включення до замкнутої лінії; об-ласть розміщена зовні, область обмежена нею. Як відомо із загальних положень методу нульового поля (див. роботи таких авторів як P.C., P. Olsson, V.V. Va-radan, V.K. Varadan та інших) граничні значення шуканих функцій та їх нормальних похідних на задовольняють співвідношення

, (18)

,

,

де, – значення функцій в областях. Подамо шукані функції у вигляді розкладів

,

. (19)

Вибір форми подань продиктований структурою граничних умов (10). З урахуванням розкладів (19), умов неперервності зміщень та напружень на та співвідношень (10) із (18) отримуємо систему лінійних алгебричних рівнянь безмежного порядку для визначення коефіцієнтів, яку розв’язуємо методом редукції.

Зазначимо, що суттєвим недоліком запропонованого підходу є те, що за його допомогою трудно визначити напружено-деформований стан в околі пружного включення. Однак, при визначенні хвильових полів в дальній зоні, що важливо для задач неруйнівного контролю, його переваги незаперечні завдяки простішим математичним викладкам та значно більшій швидкості розрахунків значень досліджуваних механічних величин в порівняння з іншими методами.

В другому підрозділі за допомогою запропонованого алгоритму у випадку задачі поздовжнього зсуву досліджено закономірності поведінки стаціонарних та нестаціонарних хвильових полів, дифрагованих тонкими криволінійними включеннями малої жорсткості та змінної товщини в дальню зону, де розподіл зміщень згідно з умовою випромінювання має вигляд

, ,. (20)

На рис. 5 наведено модулі амплітуд розсіяння, у локаційному напрямку. Рисунок ілюструє випадок прямолінійного пружного включення товщини, (,– довжина включення). Суцільні, штрих-пунктирні та штрихові лінії відповідають значенням, а символами “ґ” наведено відповідні числові значення, отримані за допомогою методу сингулярних інтегральних рівнянь, викладеного нижче. З аналізу графіків випливає, що