НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧНОЇ ФІЗИКИ ІМ. М.М. БОГОЛЮБОВА

Томченко Максим Дмитрович

УДК 538.941; 538.971

ХВИЛЬОВІ ФУНКЦІЇ ОСНОВНОГО ТА ЗБУДЖЕНОГО СТАНІВ

ГЕЛІЮ-ІІ: ВРАХУВАННЯ ТРЬОХЧАСТИНКОВИХ

ТА ЧОТИРЬОХЧАСТИНКОВИХ КОРЕЛЯЦІЙ

01.04.02 – теоретична фізика

А в т о р е ф е р а т

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ - 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у відділі астрофізики та елементарних частинок Інституту теоретичної фізики ім. М. М. Боголюбова НАН України.

Науковий керівник доктор фізико-математичних наук,

професор, член-кореспондент НАН України

Фомін Петро Іванович,

Інститут теоретичної фізики

ім. М. М. Боголюбова НАН України,

завідувач відділу астрофізики та

елементарних частинок.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,

професор Вільчинський Станіслав Йосипович,

Київський національний університет

ім. Тараса Шевченка, фізичний факультет,

завідувач кафедри квантової теорії поля;

доктор фізико-математичних наук,

професор Лев Богдан Іванович,

Інститут фізики НАН України,

головний науковий співробітник.

Провідна установа: Львівський національний університет ім. Івана Франка.

Захист відбудеться „ 8 ” червня 2006 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.191.01 в Інституті теоретичної фізики ім. М. М. Боголюбова НАН України, за адресою: 03143, м. Київ, вул. Метрологічна 14-б, ауд. 322.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Інституту теоретичної фізики ім. М. М. Боголюбова НАН України (03143, м. Київ, вул. Метрологічна 14-б).

Автореферат розісланий „ 5 ” травня 2006 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Д 26.191.01

доктор фізико-математичних наук Кузьмичев В. Є.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дослідження в галузі фізики низьких температур займають важливе місце в сучасній фізиці. Активно досліджуються надплинні He-3 та He-4, надпровідники, розріджені бозе-конденсати у „магнітних пастках”, отримано нові та цікаві експериментальні і теоретичні результати. За останні 10 років Нобелівська премія з фізики тричі присуджувалась за дослідження в цих галузях.

Дисертація присвячена теоретичному дослідженню мікроскопічної структури надплинного гелію-4 (далі - He-II). Таке дослідження становить самостійний науковий інтерес, також його результати можуть бути використані в інших галузях фізики, зокрема у надпровідності, гідродинаміці, астрофізиці, космології і навіть, можливо, для опису властивостей фізичного вакууму.

З нашої точки зору, найважливішими задачами з фізики гелію-ІІ є наступні три задачі:

1) побудова задовільної мікромоделі He-II, у якій всі розклади здійснюються за малими параметрами і не використовуються підгоночні параметри; наскільки ми зараз розуміємо, тільки у теоретико-польовому формалізмі існує шанс побудувати таку модель;

2) побудова мікромоделі л-переходу; ця задача є дуже складною з огляду на необхідність одночасного врахування всіх видів збуджень, а саме фононів, ротонів та вихорних кілець;

3) на наш погляд, сюрпризи можна очікувати від вихорних кілець – не виключено, що буде встановлена важлива роль кілець у л-переході, і буде виміряна дисперсійна крива для кілець малих (до найменшого) радіусів.

В дисертаційній роботі певною мірою розглянуті всі ці три питання.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана в Інституті теоретичної фізики ім. М. М. Боголюбова НАН України, згідно держтемі „Фундаментальні взаємодії і непертурбативна динаміка кварків і лептонів та кооперативні процеси в макрофізичних та астрофізичних системах”, реєстр. номер 0103U000103.

Мета і завдання дослідження. Основною метою дисертаційної роботи є побудова мікроскопічної моделі надплинного гелію-4 при температурах поблизу абсолютного нуля. Задача полягає в обчисленні повних N-частинкових хвильових функцій основного () та збудженого однофононного станів гелію-ІІ. Із цих хвильових функцій можна знайти величини, що вимірюються на експерименті, а саме спектр квазічастинок, енергію основного стану, структурний фактор, кількість одно- та двохчастинкового конденсатів. Також у дисертації вивчаються термодинамічні властивості ансамблю вихорних кілець та можлива роль вихорних кілець у л-переході.

Наукова новизна одержаних результатів.

1) Вперше знайдено чисельний розв’язок для хвильової функції основного стану гелію-ІІ з врахуванням чотирьохчастинкових кореляцій у підході з модельним потенціалом, та з врахуванням трьохчастинкових кореляцій - у підході зі структурним фактором.

2) Вперше знайдено чисельний розв’язок для хвильової функції першого збудженого стану (з одним фононом) і для спектра квазічастинок гелію-ІІ з врахуванням трьохчастинкових кореляцій, у підходах з модельним потенціалом та зі структурним фактором.

3) Вперше одночастинковий та двохчастинковий конденсати у гелії-ІІ знайдені у „наближенні двох сум за хвильовим вектором” (далі - „наближенні двох сум”) для T=0.

4) Вперше обчислено вищі s-частинкові () конденсати у He-II при T=0: у „наближенні двох сум” ми аналітично отримали нульове значення для всіх вищих конденсатів.

5) Вперше отримано термодинамічні формули для ансамблю невзаємодіючих вихорних кілець у гелії-ІІ.

6) Вперше запропоновано експеримент для з’ясування того, чи суттєво впливають вихорні кільця на значення (температури л-переходу в гелії-ІІ).

Практичне значення одержаних результатів. За допомогою методу колективних змінних отримано розв’язок для основних вимірюваних характеристик гелію-ІІ у більш точних наближеннях порівняно з розглянутими до нас. Таке обчислення наступних поправок дозволяє краще бачити, як результати залежать від кількості врахованих поправок (це важливо, оскільки параметр розкладу у методі не зовсім малий, приблизно Ѕ), що дозволяє оцінити ефективність та перспективи самого методу колективних змінних та інших подібних квантово-механічних підходів.

Розроблені чисельні методи можуть бути використані для розв’язку інших подібних рівнянь.

Важливими є результати для складеного конденсату – вони можуть бути використані для побудови „ідеальної” мікроскопічної моделі гелію-ІІ в теоретико-польовому підході.

Проведення запропонованого в дисертації експерименту буде сприяти кращому розумінню ролі вихорних кілець у л-переході в гелії-ІІ.

Особистий внесок здобувача. Всі результати отримані здобувачем самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи обговорювались на наукових семінарах відділу астрофізики та елементарних частинок Інституту теоретичної фізики ім. М.М. Боголюбова НАН України, теоретичного відділу Інституту фізики НАН України, і доповідались на ІІ та ІІІ Міжнародних конференціях “Physics of Liquid Matter: Modern Problems” (Київ 2003, 2005).

Публікації. Результати дисертації опубліковано в 5 статтях [1-5] у реферованих журналах.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел із 227 найменувань, додатку А. Повний обсяг дисертації становить 141 сторінку тексту, враховуючи 23 рисунка і одну таблицю.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі показано актуальність проблеми, та стисло сформульовано основні результати роботи і вказано їх практичне значення.

У першому розділі будується мікроскопічна теорія гелію-ІІ у підході з модельним потенціалом взаємодії атомів He-4 з одним підгоночним параметром. При цьому ми спираємось на метод колективних змінних (КЗ), запропонований Боголюбовим та Зубарєвим, і розвинутий та обґрунтований в роботах Юхновського і Вакарчука.

Відмітимо, що на цей час запропоновано два основних підходи для опису мікроструктури He-II, а саме квантово-механічний (КМ) підхід та теоретико-польовий (ТП) підхід. ТП-підхід в свою чергу є двох видів – підхід з використанням операторів народження-знищення (цей підхід не виглядає наразі перспективним), та більш перспективний підхід, який виходить з розв’язку ланцюжка рівнянь для багаточастинкових функцій Гріна. КМ-підхід має наступні модифікації. „Аналітичні” варіанти пропонують певну аналітичну структуру розв’язку для N-частинкових хвильових функцій основного та збудженого станів He-II, а функціональні множники у цій структурі знаходяться чисельно; тут проблема в тому, що розв’язки шукаються у вигляді певних рядів, які доводиться обривати, але параметр розкладу не малий, порядку одиниці. У методі Монте-Карло розв’язок для хвильових функцій знаходиться чисельно, і аналітична структура розв’язку залишається невідомою (шукається одразу сума всього ряду, тому немає проблеми з малим параметром); вдається вивести експериментальні спектр квазічастинок та інші величини, проте доводиться використовувати підгоночні параметри у модельному потенціалі взаємодії атомів гелію. В дисертації розглянуто один з „аналітичних” варіантів КМ-підходу, а саме метод КЗ. Цей метод має певні переваги і певні недоліки, як буде видно нижче з результатів.

Згідно методу КЗ, логарифм хвильової функції основного стану He-II шукаємо у вигляді

де - колективні змінні. З N-частинкового рівняння Шредінгера виводиться ланцюжок нелінійних інтегральних рівнянь, які пов’язують невідомі функції і . Перше рівняння (для ) містить Фур’є-образ потенціалу U(r) взаємодії між двома атомами He-4. Форма потенціалу U(r) добре відома з експерименту для : , а для менших відстаней, при яких атоми вже перекриваються, потенціал взаємодії двох точкових атомів частково втрачає фізичний зміст, оскільки потрібно враховувати структуру атомів. Але, як показують результати, можна і для цих відстаней () розглядати атоми як точкові і вводити ефективний потенціал, тому що імовірність перекриття двох атомів виявляється дуже малою. Ми провели розрахунки з кількома потенціалами, і виявилось, що залежність від форми потенційного бар’єру не є дуже сильною, і можна вибирати прості функції з одним підгоночним параметром – висотою бар’єра. Для потенційного бар’єру отримано такі результати:

Рівняння для функцій і аналітично не розв’язуються, ми розв’язали їх чисельно. Знайдено в нульовому наближенні (- в (1)), та у більш точних першому () і другому () наближеннях. Як видно з Рис. 1, 2, у другому наближенні результати узгоджуються з експериментом при, причому енергія основного стану узгоджується з експериментом лише в другому наближенні, і структурний фактор саме в другому наближенні має правильну асимптоту при малих .

Згідно роботам Юхновського та Вакарчука, хвильову функцію першого збудженого стану гелію-ІІ (стану з одним фононом) шукаємо у вигляді

наступними поправками нехтуємо. З N-частинкового рівняння Шредінгера виводиться ланцюжок нелінійних інтегральних рівнянь, які пов’язують невідомі функції P, Q та спектр квазічастинок E(k). Ці рівняння ми розв’язали чисельно. Для наведеного вище потенціалу взаємодії отримано такі результати для спектру квазічастинок E(k):

Досліджено такі наближення для : нульове - P, Q = 0; перше - P 0,

Q = 0; друге - P, Q 0 у (2). Як видно з Рис. 3, результати для спектру квазічастинок у першому та другому наближеннях суттєво відрізняються від результату в нульовому наближенні, у бік кращого узгодження з експериментом, а от результати у другому і першому наближеннях вже не сильно відрізняються (у другому наближенні відновлюється асимптота, за рахунок врахування другої поправки, g, до логарифму), що свідчить на користь збіжності методу при розрахунку E(k), хоча параметр розкладу не малий (це функція, де). Раніше функції та, а також спектр E(k) гелію-ІІ були знайдені Редже та співавторами у першому наближенні.

З Рис. 1 - 4 видно, що теоретичні , S(k) та E(k) непогано узгоджуються з експериментом при майже одному й тому ж значенні підгоночного параметру:, що свідчить про самоузгодженість методу.

Зазначимо, що знаходження чисельних розв’язків для та у другому наближенні є досить складною задачею, яку вдалося розв’язати поєднанням чисельних методів квадратур та ітерацій.

У другому розділі будується мікроскопічна теорія гелію-ІІ в підході зі структурним фактором S(k), без застосування підгоночних параметрів.

У першому розділі базовою функцією, з якої виводяться хвильові функції , та спектр квазічастинок E(k), є модельний потенціал U(r). Як зазначалось, цей потенціал невідомий і не зовсім фізичний для , в ділянці, де атоми перекриваються; для цих відстаней важливим є врахування структури атомів, що дуже важко зробити. Частково цю проблему можна обійти, якщо виводити зі структурного фактору, в цьому разі знання потенціалу не потрібне, навпаки, потенціал може бути наближено відновлений зі структурного фактору. Правда, і в цьому підході структура атому не описується цілком задовільно, бо атоми вважаються точковими. Але такий підхід зовсім не містить підгоночних параметрів, що важливо.

Схема така. У ланцюжку рівнянь для перше рівняння, для , беремо не з N-частинкового рівняння Шредінгера, як у розділі 1, а з рівняння, яке пов’язує з S(k):

де - парна функція розподілу, а - двохчастинкова матриця густини. Як показав аналіз, проведений у дисертації, s-частинкова матриця густини, яка будується як певна згортка , у „наближенні двох сум” визначається за формулою

де функції та були знайдені раніше Вакарчуком (відповідає „наближенню одної суми”) , а - поправка, отримана в дисертації. З рівнянь (3), (4) виводимо наступне нелінійне інтегральне рівняння для :

тут та - певні інтегральні оператори від функцій та (див. (1)). Вираз для був знайдений раніше Вакарчуком, а знайдено з у дисертації. До цього часу рівняння (5) не було ніким розв’язане, знаходилось лише в наближенні . Рівняння (5) ми розв’язали чисельно за допомогою методу Ньютона; виявилось, що врахування і особливо помітно впливає на всі результати. Для енергії основного стану ми отримали , в той час як на експерименті . Знаючи у „наближенні двох сум” (з (5)), ми відновили потенціал взаємодії між атомами He-4, та знайшли спектр квазічастинок, Рис. 5, 6:

Як видно з Рис. 5, 6, потенціал взаємодії чутливий до наступних поправок, а спектр квазічастинок - менш чутливий, і в першому та другому наближеннях вже непогано узгоджується з експериментом. Оскільки при розрахунках підгоночні параметри не використовувались, можна зробити висновок, що метод „схоплює фізику системи” та дозволяє непогано описати спектр квазічастинок. Але наступні невраховані поправки не малі, взагалі кажучи, і невідомі, тому нажаль модель не дає цілком задовільного мікроскопічного опису надплинного гелію-4.

У третьому розділі досліджується структура складеного конденсату для гелію-ІІ при нульовій температурі. Складений конденсат – це сума одночастинкового (ОЧК), двохчастинкового (ДЧК) та вищих s-частинкових конденсатів (s = 3, 4, 5, …). Цікаво визначити, скільки атомів гелію знаходиться у кожному з конденсатів. Це потрібно знати і розуміти, оскільки конденсати – це одна із складових, які характеризують мікроструктуру He-II. Крім того, у теоретико-польових моделях конденсати різного порядку входять у рівняння явно, наприклад у рівняння для спектру квазічастинок. Тому обчислення цих конденсатів за допомогою нашого підходу може допомогти побудувати мікромодель у теоретико-польовому формалізмі.

Конденсати ми обчислюємо з матриць густини (4), які характеризуються наявністю недіагонального дальнього порядку, без якого конденсатів немає. Розв’язок для основного стану (функції) ми отримували аналогічно другому розділу, зі структурного фактору, а потім з функцій знаходили конденсати, без використання підгоночних параметрів. В ОЧК входять атоми з нульовим імпульсом, їх кількість визначається за формулою , де - повна кількість атомів у системі. Відповідна формула для була отримана Вакарчуком у „наближенні двох сум”, ми дещо уточнили цю формулу, врахувавши поправку у (4). В результаті у „наближенні двох сум” ми отримали , що узгоджується з експериментом, а у „наближенні одної суми” (на експерименті ).

Для розрахунку кількості ДЧК необхідно знайти імовірність того, що в основному стані He-II два довільні атоми гелію мають імпульси та . Згідно квантової механіки маємо

Для „наближення двох сум” визначається згідно (4). Для отримання ДЧК нам потрібна імовірність. Розрахунок показав, що у наближеннях „двох сум” та „одної суми” справедливо

де, - кількість атомів з імпульсом . У наближенні „одної суми”, і формула для переходить у формулу Рістіга. Детальніше позначення формули для у (6) пояснені в дисертації. Наявність в (6) доданку з означає, що в парах є кореляції - тобто є двохчастинковий конденсат. Кількість атомів у ДЧК, , означимо таким чином:

Результати розрахунків наступні: у „наближенні одної суми”, а у „наближенні двох сум”. Відмітимо, що раніше ДЧК розраховувався у роботі Непомнящего та Пашицького (але кінцевий результат тут не був отриманий), а також у роботах Рістіга. Рістіг ввів не дуже вдале означення для ДЧК, і обчислював ДЧК іншим методом у „наближенні одної суми”, причому вибиралась в грубому підгоночному наближенні МакМіллана. Оскільки Рістіг вводив інше означення для ДЧК, його результати не наводимо.

Для вищих s-частинкових конденсатів (s = 3, 4, 5,…) ми знайшли, що у „наближенні двох сум” та у „наближенні одної суми” вищі конденсати (точніше, їх незвідна частина) відсутні в основному стані гелію-ІІ. Слід зазначити, що „наближення двох сум” враховує трьохчастинкові кореляції у , але при цьому трьохчастинковий конденсат дорівнює нулеві. Це був для нас несподіваний результат, але з іншого боку, наявність ДЧК – теж неочевидна річ. Коли ми визначали ДЧК, ми фіксували значення імпульсів двох атомів, , а згідно співвідношенню невизначеностей це означає, що координати цих атомів повністю невизначені, а отже, наскільки ми розуміємо, неможливо встановити „розмір” (в r-просторі) для пар, навіть інтегруючи по всім. Наявність ДЧК, очевидно, пов’язана з дальнім порядком у системі. Ми не можемо пояснити „на пальцях”, чому є ДЧК, але нема вищих конденсатів. Ці властивості є тонкими, і вони не наочні. Відмітимо тільки, що згідно нашим розрахункам кореляції є лише в парах атомів, та, а в парах атомів з іншими довільними імпульсами кореляції відсутні. Це певною мірою пояснює відсутність трьохчастинкового конденсату: як легко впевнитись, неможливо знайти таку трійку атомів, в якій кореляції були б в усіх парах, і для якої та (виключаємо „нижчі” конденсати), для всіх .

У четвертому розділі розглядаються деякі властивості вихорних кілець у гелії-ІІ, а саме ми знаходимо формули для опису термодинаміки ансамблю невзаємодіючих вихорних кілець, а також пропонуємо певний експеримент для з’ясування того, чи суттєво впливають вихорні кільця на значення - температури л-переходу в гелії-ІІ.

Для строгого опису мікроскопічного вихорного кільця (МВК) потрібно знаходити відповідний розв’язок N-частинкового рівняння Шредінгера. Це ніким не зроблено, знайдено лише розв’язок в наближенні середнього поля (Джонс, Робертс, 1986), але він залежить від невизначеного параметру, який може бути ототожненим з радіусом серцевини вихоря. При певному , близькому до експериментального, отримана Джонсом і Робертсом дисперсійна крива для МВК є близькою до кривої класичних кілець, для яких енергія та імпульс визначаються за формулами

У (8) - маса атому He-4, - певна ефективна густина. Для великих кілець близька до.

Оскільки і на експерименті властивості малих МВК () близькі до класичних, будемо використовувати при розрахунку термодинамічних формул ансамблю МВК класичні формули (8).

Енергія МВК значно більша за температуру (при ), тому для розподілу МВК за енергією використовуємо формулу Больцмана , де - радіус кільця, - імпульс, - постійна Планка, помножена на, - об’єм системи. З відомих формул квантової статистики знаходимо розподіл та теплоємність для ансамблю невзаємодіючих кілець:

Ці формули подібні до відповідних формул для ротонів, бо кільця мають скінчений розмір, тобто і енергію – як і ротони. Така мінімальна енергія є аналогом щілини в спектрі квазічастинок.

При наближенні температури до взаємодія між кільцями вже важлива, але для оцінки можна використати формули для невзаємодіючих МВК (врахувати взаємодію важко), і цікаво подивитись, як поводить себе ансамбль кілець поблизу. Виявляється, що при наближенні (знизу) температури до концентрація та радіус кілець необмежено зростають. Реально це означає, що поблизу утворюється вихорний клубок, що й може бути причиною л-переходу в гелії-ІІ.

Моделювати л-перехід скільки-небудь коректно – складна задача, існуючі моделі л-переходу дуже грубі. Ще у 1949 році Онзагер висунув припущення, що важливу роль у л-переході можуть відігравати МВК. Механізми для цієї ролі пропонувались різні, але ніким не був запропонований експеримент, який би дозволив визначити, впливають МВК на значення, чи ні. Ми запропонували такий експеримент. Ідея полягає в наступному. Розгляньмо тонкі плівки гелію-ІІ. Коли товщина плівки менша за розмір найменшого кільця, кільця не вміщуються у плівці, і тому відсутні. Отже, в плівках товщиною кільця вже не впливають на значення , і якщо в товстих плівках на значення суттєво впливають кільця, то на кривій залежності повинна бути особливість у формі згладженого стрибка, при. Величину стрибка можна приблизно оцінити теоретично, наближена форма кривої зображена на Рис. 7. Розмір найменшого кільця, очевидно, має бути рівним двом-трьом розмірам серцевини вихоря, тобто.

Якщо кільця не впливають на значення об’ємного He-II, то ніякої аномалії на кривій не буде, а будемо мати плавне зменшення зі зменшенням d (зменшення обумовлено скінченно-розмірним скейлінгом). Сучасні експериментальні дані недостатньо повні та точні для виявлення передбачуваної аномалії. Знаходження на експерименті цієї аномалії було б досить важливим результатом - воно означало б доведення важливої ролі кілець у л-переході, а також стимулювало б як розвиток моделей л-переходу, так і подальші дослідження вихорних кілець. Як відомо, за останні кілька десятиріч досягнуто певного прогресу в теоретичному описі властивостей вихорних кілець, а от на експерименті ніяких суттєво нових результатів щодо МВК не отримано після дослідів Райфілда та Райфа (1960-ті роки).

ВИСНОВКИ

У дисертації побудовано квантово-механічний опис мікроструктури гелію-ІІ в більш точному наближенні порівняно з дослідженими раніше: у хвильових функціях гелію-ІІ враховано ще одну кореляційну поправку, а також отримано нові результати для багаточастинкових конденсатів і для мікроскопічних вихорних кілець. Знайдені результати сприяють кращому розумінню мікроструктури гелію-ІІ. Основні результати дисертації наступні:

1) Знайдено чисельний розв’язок для хвильової функції основного стану гелію-ІІ з урахуванням чотирьохчастинкових кореляцій у підході з модельним потенціалом, та з урахуванням трьохчастинкових кореляцій - у підході зі структурним фактором.

2) Знайдено чисельний розв’язок для хвильової функції збудженого однофононного стану і для спектра квазічастинок гелію-ІІ з врахуванням трьохчастинкових кореляцій, у підходах з модельним потенціалом та зі структурним фактором.

3) У „наближенні двох сум” знайдено формулу для кількості двохчастинкового конденсату у гелії-ІІ при T=0.

4) Знайдено конкретне значення для кількості вищих s-частинкових () конденсатів у He-II при T=0 - у „наближенні двох сум” ми отримали нульове значення для всіх вищих конденсатів.

5) Отримано термодинамічні формули для ансамблю невзаємодіючих вихорних кілець у гелії-ІІ.

6) Вперше запропоновано експеримент для з’ясування того, чи суттєво впливають вихорні кільця на значення температури л-переходу в гелії-ІІ.

Підведемо підсумки. Як видно з результатів дисертації, розглянутий метод колективних змінних є ефективним інструментом для опису мікроскопічної структури гелію-II, основного та слабко збуджених (фононних) станів. Отримано непогане узгодження з експериментом, і для основного стану, і для спектру квазічастинок, - у підходах з модельним потенціалом та зі структурним фактором. Правда, теоретичні значення для конденсатів (одно- та двохчастинкового) суттєво залежать від кількості врахованих поправок. Цей недолік властивий усім відомим нам підходам до опису гелію-II, крім методу Монте-Карло. Недавно в работі Вакарчука (2005 р.) були уточнені формули для одночастинкового конденсату при ненульовій температурі. Інтерес становить знаходження формул для залежності одночастинкового конденсату від температури в наступному, більш точному наближенні, з доведенням результату до числа та оцінкою величини . Крім того, метод КЗ може бути ефективним для аналітичного обчислення кількості вищих конденсатів. У решті застосувань, на наш погляд, розглянутий метод КЗ в значній мірі себе вичерпує - знаходження наступних поправок є не дуже актуальним, оскільки все рівно будуть залишатись невраховані поправки, немалі (взагалі кажучи) та невідомі.

Ми вважаємо, що серед існуючих методів теоретичного дослідження мікроструктури гелію-II найбільш перспективними є два методи: 1) чисельний метод Монте-Карло, та 2) теоретико-польовий підхід, в якому ланцюжок рівнянь для одно-, двох- та багаточастинкових функцій Гріна коректно обриваєтся (з відкиданням лише малих поправок), а потім розв’язується без використання підгоночних параметрів - є надія, що таку модель можна побудувати. Методом Монте-Карло цікаво було б обчислити двохчастинковий та вищі конденсати, і подивитись, чи сильно відрізняються результати для двох значень висоти бар’єру відштовхування атомів He-4: для та (наш потенціал та потенціал Азіза). Основним слабким місцем методу Монте-Карло є імовірна залежність результатів від значення, яке невідоме.

Що стосується мікроскопічної моделі л-переходу в гелії-ІІ та опису МВК, то тут перспективи важко визначити. Для опису л-переходу ефективними можуть бути ренормгрупові аналітичні методи, та швидше за все, лише чисельне моделювання дозволить отримати задовільний кількісний опис. Для опису мікроскопічних вихорних кілець наразі існує лише чисельний розв’язок для наближення середнього поля, і є сумніви, що вдасться знайти більш точний розв’язок – N-частинкову хвильову функцію для вихорного кільця. Не виключено, що єдиним „розв’язком” для дисперсійної кривої найменших кілець буде експеримент.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Томченко М. Д. Вычисление волновых функций основного и слабо возбуждённых состояний He-II // Журн. эксп. теор. физ.- 2006.- Т. 129, вып. 1.- С. 157-169.

2. Томченко М. Д. Обчислення спектру квазічастинок He-II методом колективних змінних // Укр. фіз. журн.- 2005.- Т. 50, № 7.- С. 722-728.

3. Томченко М. Исследование структуры составного конденсата для He-II при T=0 // Физ. низк. темп.- 2006.- Т. 32, № 1.- С. 53-64.

4. Томченко М. Д. Возможный экспериментальный тест для определения роли микроскопических вихревых колец в л-переходе в гелии-II // Физ. низк. темп.- 2005.- Т. 31, № 5.- С. 483-489.

5. Tomchenko M. D. Possible experiment for determination of the role of microscopic vortex rings in the л-transition in He-II // J. Low Temp. Phys.- 2005.- V. 140, No. 1/2.- P. 3-9.

Томченко М. Д. Хвильові функції основного та збудженого станів гелію-ІІ: врахування трьохчастинкових та чотирьохчастинкових кореляцій. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.02 – теоретична фізика. – Інститут теоретичної фізики ім. М.М. Боголюбова НАН України, Київ, 2006 р.

Методом колективних змінних чисельно знайдено N-частинкові хвильові функції основного () та збудженого однофононного () станів гелію-ІІ, при цьому враховано чотирьохчастинкові кореляції для та трьохчастинкові – для . Спектр квазічастинок E(k), енергія основного стану та структурний фактор S(k) гелію-ІІ, знайдені з та , узгоджуються з експериментом. Обчислено одно-, двох- та s-частинкові конденсати для T = 0 в наближенні, яке враховує трьохчастинкові кореляції; без підгоночних параметрів отримано , , (). Знайдено термодинамічні формули для ансамблю невзаємодіючих вихорних кілець у гелії-ІІ, та запропоновано експеримент для з’ясування того, чи суттєво впливають вихорні кільця на значення .

Ключові слова: гелій-ІІ, хвильові функції, спектр квазічастинок, конденсати, вихорні кільця.

Tomchenko M. D. Wave Functions of the Ground and Excited States of Helium II: Inclusion of the Three-Particle and Four-Particle Correlations. – Manuscript.

Thesis for a candidate’s degree by speciality 01.04.02 – theoretical physics. – Bogolyubov Institute for Theoretical Physics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kiev, 2006.

The N-particle wave functions of the ground () and excited one-phonon () states of helium-II are determined numerically by the collective-variable method for higher-order approximations compared with those investigated earlier: the four-particle correlations are taken into account for , and the three-particle ones for . The quasiparticle spectrum E(k), the ground-state energy and the structure factor S(k) of He-II, calculated from and , are in agreement with the experimental values. The amount of single-, two- and s-particle condensates are derived for T = 0 in the approximation which includes the three-particle correlations; without free parameters, we have obtained, accordingly, , , (). We also found thermodynamic formulas for an ensemble of noninteracting vortex rings in He-II and proposed an experiment for determining whether the vortex rings substantially influence the value of. .

Key words: helium-ІІ, wave functions, quasiparticle spectrum, condensates, vortex rings.

Томченко М. Д. Волновые функции основного и возбужденного состояний гелия-ІІ: учет трехчастичных и четырехчастичных корреляций. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.02 – теоретическая физика. – Институт теоретической физики им. Н. Н. Боголюбова НАН Украины, Киев, 2006 г.

В диссертации исследуется микроскопическая структура сверхтекучего гелия-ІІ с помощью метода коллективных переменных (КП), который был предложен Боголюбовым и Зубаревым, и развит в работах Юхновского и Вакарчука. Метод КП - это один из квантово-механических (КМ) методов для описания He-II, в нем сначала вычисляются полные N-частичные волновые функции основного () и возбужденного однофононного () состояний He-II, затем из волновых функций выводятся наблюдаемые величины. Как и в других “аналитических” КМ-методах, функции и ищутся в виде рядов по корреляционным поправкам, но в методе КП ряды выражены через коллективные переменные (фактически это Фурье-переход от -представления к -представлению), и параметр разложения в этих рядах оказывается немалым, порядка 1/2. Из N-частичного уравнения Шредингера Юхновский и Вакарчук раньше вывели цепочку нелинейных интегральных уравнений для неизвестных корреляционных слагаемых в разложениях и . В диссертации получены эквивалентные, но несколько упрощенные, уравнения для первого и второго приближений - это позволило уменьшить погрешность численного метода.

Волновые функции и найдены в диссертации в двух подходах: из модельного потенциала взаимодействия атомов He-4 и из структурного фактора. В первом случае в задаче используется один подгоночный параметр – высота барьера отталкивания , во втором – нет подгоночных параметров. Интегральные уравнения для и решены численно, и вычислены спектр квазичастиц гелия-II, E(k), энергия основного состояния , структурный фактор S(k) (в подходе с модельным потенциалом) и одночастичный конденсат. В подходе с модельным потенциалом теория согласуется с экспериментом при , в подходе со структурным фактором результаты также приближенно согласуются с експериментом. Такое согласие говорит о том, что модель, несомненно, правильно отражает микроструктуру гелия-II, хотя немалость неучтенных поправок ослабляет результат. Наиболее чувствительными к следующим поправкам оказываются конденсаты, поскольку для них ряды, которые нужно обрывать, стоят в экспоненте, но спектр квазичастиц мало меняется при учете трехчастичной поправки к . Новый результат состоит в

учете четырехчастичных корреляций для в подходе с модельным потенциалом, и трехчастичных – в подходе со структурным фактором, а также в учете трехчастичных корреляций для и спектра квазичастиц.

Кроме того, мы исследовали структуру составного конденсата в He-II при . Составной конденсат - это сумма одно-, двухчастичного и высших s-частичных ( ) конденсатов. Значительный интерес с точки зрения общей теории, а также применения в теоретико-полевых моделях, представляет знание структуры составного конденсата. В “приближении одной суммы по волновому вектору” (которое учитывает только двухчастичные корреляции) мы получили, что в одночастичном конденсате находится около 27% атомов He-II, в двухчастичном –

около 53% атомов; в “приближении двух сумм по волновому вектору” (которое учитывает также и трехчастичные корреляции) мы получили соответственно 6% (это согласуется с экспериментом) и 16%. Высшие конденсаты отсутствуют в He-II, согласно расчету для обоих приближений (все это для ). Мы использовали подход со структурным фактором, без подгоночных параметров. Отметим, что высшие конденсаты раньше никем не вычислялись.

Также в диссертации исследованы некоторые свойства микроскопических вихревых колец (МВК) в He-II. Найдены термодинамические формулы для ансамбля невзаимодействующих МВК, при этом использовались классические формулы для зависимостей энергии и импульса колец от радиуса. Согласно полученным формулам, при росте температуры He-II до концентрация

колец неограниченно растет, что говорит об образовании вблизи вихревого клубка и о возможной важной роли колец в л-переходе. Мы впервые предложили эксперимент для выяснения того, существенно ли влияют МВК на значение гелия-II. Если МВК заметно влияют на значение в объемном гелии, тогда в пленках He-II на кривой зависимости от толщины пленки d должен быть скачок (или “ступенька”) при , где - размер наименьшего кольца. Предполагаемая особенность связана с тем, что в пленках толщиной вихревые кольца не помещаются, а значит отсутствуют. Имеющиеся экспериментальные данные недостаточно полны и точны для того, чтобы сказать, есть или нет на кривой предполагаемая особенность. Обнаружение такой особенности было бы первым свидетельством того, что микроскопические вихревые кольца существуют в He-II как тепловые возбуждения и при этом существенно влияют на значение .

Ключевые слова: гелий-ІІ, волновые функции, спектр квазичастиц, конденсаты, вихревые

кольца.

Зам. 11 Формат 60x84.16 Обл.-вид. Арк. 1

Підписано до друку 3.04.2006 р. Тираж 100 прим.

Поліграфічна дільниця ІТФ ім. М.М. Боголюбова НАН України