ІНСТИТУТ МАГНЕТИЗМУ НАЦІОНАЛЬНОЇ АКАДЕМІЇ НАУК

ТА МІНІСТЕРСТВА ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

Дмитрієв Олександр Володимирович

УДК 538.915

ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДУ СКІНЧЕННО-ЗОННИХ ПОТЕНЦІАЛІВ ДЛЯ

РОЗРАХУНКІВ ЕЛЕКТРОННИХ ХАРАКТЕРИСТИК МЕТАЛІВ

01.04.02 - теоретична фізика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі математики та теоретичної радіофізики Київського національного університету імені Тараса Шевченка і у відділі теоретичної фізики Інституту магнетизму НАН та МОН України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор

Білоколос Євген Дмитрович,

Інститут магнетизму НАН та МОН України,

завідувач відділу теоретичної фізики

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Лось Віктор Федорович,

Інституту магнетизму НАН та МОН України,

відділ фізики магнітних матеріалів та нанокристалічних структур,

завідувач лабораторією магнітних матеріалів

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник

Єремко Олександр Олександрович,

Інституту теоретичної фізики ім. М.М. Боголюбова НАН України,

провідний науковий співробітник

відділу нелінійної фізики конденсованого стану

Захист відбудеться “ 25 ” жовтня, 2007 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.248.01 при Інституті магнетизму НАН та МОН України за адресою: 03142, м. Київ, бульвар академіка Вернадського, 36, конференц-зал Інституту металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України за адресою: 03142, м. Київ, бульвар академіка Вернадського, 36.

Автореферат розісланий “ 24 ” вересня 2007 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Д. 26.248.01

кандидат фізико-математичних наук Л.Є. Козлова

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Існує достатня кількість чисельних самоузгоджених методів, які дозволяють розрахувати одночастинковий спектр твердого тіла з високою точністю. Однак, крім цього, бажано мати точні розв'язки рівняння Шредінгера. Такі розв'язки для періодичних потенціалів корисні як в плані їх використання в нульовому порядку теорії збурень, так і для розвитку загальної теорії. Це дозволяє більш глибоко зрозуміти структуру спектра, хвильових функцій, їхні геометричні та аналітичні властивості, а також природу явища в цілому.

Серед одновимірних періодичних потенціалів найцікавішими та найбагатшими з точки зору фізичних результатів є скінченно-зонні потенціали. Рівняння Шредінгера з скінченно-зонним потенціалом має точний розв'язок, спектр та хвильові функції задаються аналітичними функціями. Як правило, в підручниках квантової механіки розглядається потенціал Кроніга-Пенні, який складається з прямокутних потенціальних ям. Однак, його спектр задається трансцендентним рівнянням, хвильові функції кусково-неперервні. Використовуючи ці хвильові функції, надзвичайно важко розрахувати матричні елементи будь-якої спостережуваної величини. Скінченно-зонні потенціали цих недоліків не мають. Використовуючи хвильові функції рівняння Шредінгера зі скінченно-зонним потенціалом можна аналітично, використовуючи теорію лишків, знайти матричні елементи будь-якої спостережуваної величини. Більш того, можна сказати, що скінченно-зонні потенціали в теорії твердого тіла відіграють ту ж саму роль, що й задача Кеплера в атомній фізиці. Відомо, що в загальному випадку довільний періодичний потенціал має у спектрі нескінченне число заборонених зон, ширина яких з ростом енергії швидко спадає. Якщо потенціал аналітичний, то швидкість спадання є експоненційною. Відповідно, не враховуючи щілини, які виникають при енергіях більших за деяке фіксоване значення, довільний аналітичний потенціал можна апроксимувати скінченно-зонним з будь-якою, наперед заданою точністю. Також треба зауважити, що потреба у фізиці твердого тіла в скінченно-зонних потенціалах існувала давно. Наприклад, відомий американський фізик Монтролл намагався побудувати скінченно-зонні потенціали у вигляді суми солітонних ям, але він не довів цю роботу до кінця.

Бар'яхтар, Білоколос, Коростіль запропонували розглядати тривимірний сепарабельний скінченно-зонний потенціал у вигляд суми скінченно-зонних потенціалів вздовж ортогональних напрямків. Рівняння Шредінгера з сепарабельним скінченно-зонним потенціалом має точний розв'язок, спектр та хвильові функції задаються аналітичними функціями. Параметри моделі зв'язані з відношенням ширини заборонених зон до ширини дозволених. Таким чином, вибираючи широкі заборонені зони вздовж певних напрямків, в рамках даної моделі можна легко отримати метали з електропровідністю вздовж одного або двох напрямків. Наближення слабкого і сильного зв'язку є граничними випадками даної моделі.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана на кафедрі математики та теоретичної радіофізики Київського національного університету імені Тараса Шевченка і у відділі теоретичної фізики Інституту магнетизму НАН і МОН України. Робота входила у науково-дослідну роботу з тем: "Нелінійні проблеми фізики конденсованого стану", затверджена рішенням БВФА НАН України від 27.11.2002, номер державної реєстрації 0103U000491; "Розвиток методів теоретичної фізики для розв'язування сучасних задач фізики твердого тіла", затверджена рішенням БВФА НАН України від 20.12.2005, номер державної реєстрації 0106U002039; "Теорія параметричного резонансу та проблема стабілізації (дестабілізації) динамічних станів", затверджена рішенням БВФА НАН України від 19.12.2006, номер державної реєстрації 0107U000815; "Точно розв'язувані моделі для квазічастинок в твердому тілі", затверджена рішенням БВФА НАН України від 19.12.2006, номер державної реєстрації 0107U000816.

Мета та завдання дослідження. Метою дослідження є використання одновимірних та тривимірних сепарабельних скінченно-зонних потенціалів з орторомбічною симетрією для розрахунків електронних характеристик твердих тіл і узагальнення цього методу на кристалічні гратки іншої симетрії. Для досягнення поставленої мети були визначені наступні завдання:

- докладно розглянути одновимірні однозонний та двозонний потенціали Ламе, знайти ефективні маси і побудувати залежності енергії від квазіімпульсу;

- розглянути рівняння Шредінгера зі скінченно-зонним одновимірним потенціалом Ламе, обмеженим потенціальним бар'єром у вигляді сходинки довільної висоти, знайти таммовський спектр, умови його існування, залежність енергії таммовських станів від точки, в якій періодичний потенціал обмежений потенціальним бар'єром;

- побудувати поверхню Фермі для кубічного кристалу, використовуючи тривимірний однозонний сепарабельний потенціал Ламе при різних значеннях ширини щілини на границях зони Бріллюена;

- в моделі однозонного потенціалу Ламе дослідити сингулярності електронної складової термодинамічних величин металів, пов'язані зі зміною топології поверхні Фермі, знайти вирази для густини електронних станів, термодинамічного потенціалу при абсолютному нулі температур, побудувати графіки залежності третьої похідної від термодинамічного потенціалу і другої похідної намагніченості парамагнетика Паулі від температури і хімічного потенціалу, для низькотемпературних надпровідників знайти залежність критичної температури надпровідного переходу від хімічного потенціалу;

- узагальнити метод скінченно-зонних потенціалів на випадок ГЩУ гратки, знайти спектр, побудувати поверхню Фермі берилію в першій подвоєній зоні.

- знайти зв'язок тричастинкового потенціалу Калоджеро-Мозера з потенціалом для гексагональної гратки браве.

Об'єкт дослідження - точно розв'язувані моделі у фізиці твердого тіла.

Предмет дослідження - метод скінченно-зонних потенціалів у фізиці твердого тіла. Для досягнення поставленої в роботі мети були використані наступні методи дослідження:

- методи теорії еліптичних функцій для застосування скінченно-зонних потенціалів;

- метод редукції Якобі-Вейєрштрасса-Пуанкаре для знаходження декількох параметричних представлень для двозонного спектру;

- методи спектральної теорії диференційних операторів для дослідження сингулярної задачі Штурма-Ліувілля;

- метод тривимірного сепарабельного скінченно-зонного потенціалу для опису твердих тіл з орторомбічною симетрією;

- наближення слабкого і сильного зв'язку для дослідження граничних випадків методу сепарабельного скінченно-зонного потенціалу;

- методи представлення аналітичних функцій рівномірно збіжними і асимптотичними рядами для дослідження сингулярностей термодинамічного потенціалу;

- метод усереднення по групі симетрій для узагальнення методу скінченно-зонних потенціалів на випадок гексагональної гратки;

- метод теорії збурень для знаходження наближеного спектру еліптичного потенціалу, що має гексагональну симетрію;

- метод ефективних мас для аналізу поведінки частинки біля екстремальних точок в спектрі скінченно-зонного потенціалу Ламе.

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертації дістало подальшого розвитку застосування одновимірних та тривимірних сепарабельних скінченно-зонних потенціалів для опису електронних властивостей твердих тіл, а також метод скінченно-зонних потенціалів узагальнено на випадок гексагональної щільно упакованої гратки.

Вперше знайдено таммовський спектр, умови його існування для рівняння Шредінгера зі скінченно-зонним потенціалом Ламе, обмеженим потенціальним бар'єром у вигляді сходинки довільної висоти, і встановлено залежність енергії таммовських станів від точки, в якій періодичний потенціал обмежений потенціальним бар'єром. Побудовано залежність енергії від квазіімпульсу і таблицю обернених мас для двозонного потенціалу Ламе на прямій для різних значень відношення ширини заборонених зон до ширини дозволених.

Вперше в моделі скінченно-зонних потенціалів Ламе досліджено сингулярності електронної складової термодинамічних величин металів, які пов'язані зі зміною топології поверхні Фермі. Отримано аналітичні вирази для функції густини електронних станів у металі та її першої похідної. Отримано аналітичний вираз для термодинамічного потенціалу при абсолютному нулі температури. Побудовано графіки залежності третьої похідної термодинамічного потенціалу і другої похідної намагніченості парамагнетика Паулі від температури і хімічного потенціалу. Проаналізовано швидкість розмивання сингулярності з температурою. Знайдено залежність критичної температури надпровідного переходу від хімічного потенціалу для низькотемпературних надпровідників. Використовуючи побудовані поверхні Фермі для кубічного кристалу в першій і другій зонах, вперше проілюстровано зміну топології поверхні Фермі при переході від граничного випадку вільних електронів до іншого граничного випадку сильного зв'язку в моделі сепарабельного скінченно-зонного потенціалу.

Вперше метод скінченно-зонних потенціалів узагальнено на випадок гексагональної щільно упакованої гратки. За допомогою теорії симетрій, побудовано еліптичний потенціал з гексагональною симетрією у вигляді суми скінченно-зонних потенціалів Ламе. Знайдено його наближений однозонний спектр і побудовано діркову поверхню Фермі берилію в першій подвоєній зоні. Її форма і розміри з високою точністю співпадають з експериментальними даними. На відміну від робіт, в яких ця поверхня розрахована чисельно, в даному підході спектр, який використовувався при побудові, а також наближені хвильові функції задаються аналітичними функціями. Вперше показано, що тричастинковий еліптичний потенціал Калоджеро-Мозера відповідає скінченно-зонному потенціалу для гексагональної ґратки Браве. Отримано вираз для двозонного спектру і знайдено ефективні маси біля дна першої зони.

Практичне значення одержаних результатів. В дисертації застосовується точно розв'язувана модель скінчено-зонних потенціалів для розв'язку певного кола задач фізики конденсованого середовища. Відомо, що точно розв'язувані моделі дають можливість описувати властивості системи в широкому інтервалі змін зовнішних і внутрішніх параметрів, а також дають більш глибоке розуміння природи явища.

Результати, отримані при розгляді однозонного та двозонного потенціалів Ламе, а також рівняння Шредінгера з потенціалом Ламе обмеженого потенціальним бар'єром у вигляді сходинки можуть бути використані при розрахунку спектру одновимірних наносистем, таких як, наприклад, вуглецеві нанотрубки.

Відомо, що чисельні розрахунки не дають розуміння механізму високо температурної надпровідності. В даний час існує багато робіт, в яких розглядається сценарій Ван Хова переходу в надпровідну фазу для високотемпературних надпровідників. Це дає можливість говорити про ефективне застосування отриманих результатів при розгляді сингулярностей електронної складової термодинамічних величин металів в даній області.

Отримані результати при узагальненні методу скінчено-зонних потенціалів на випадок гексагональної кристалічної гратки були застосовані для побудови поверхні Фермі берилію в першій подвоєній зоні. Її форма і розміри з високою точністю співпадають з експериментальними даними. На відміну від робіт, в яких ця поверхня розрахована чисельно, в даному підході спектр, а також наближені хвильові функції задаються аналітичними функціями. Результати четвертого розділу дають можливість побудувати каталог поверхонь Фермі для гексагональної щільно упакованої гратки. Цей каталог буде більш різноманітним, а також краще описувати метали з гексагональною щільно упакованою граткою, ніж це зроблено Харісоном, який для побудови поверхонь Фермі використовував наближення вільних електронів. Запропонований підхід є перспективним для розгляду сполуки , яка має аномально високу для даного класу речовин температуру надпровідності.

Особистий внесок здобувача. Усі наукові результати, положення і висновки, що виносяться на захист, отримані здобувачем особисто.

У роботі [1] постановка задачі належить В.Г. Бар'яхтару і Є.Д. Білоколосу. Автором запропоновано алгоритм розрахунку поверхонь Фермі в моделі сепарабельного скінченно-зонного потенціалу Ламе для орторомбічного кристалу. Г.В. Самар провела розрахунки і побудувала поверхні Фермі.

У роботі [2] постановка задачі належить Є.Д. Білоколосу. Автором знайдено спектр, власні функції і доведені твердження, які визначають існування таммовського спектру.

У роботі [3] постановка задачі належить Є.Д. Білоколосу. Автором побудований скінченно-зонний потенціал для гексагональної щільно упакованої гратки, отримані аналітичні вирази для спектру, проведені розрахунки і побудована поверхня Фермі берилію в першій подвоєній зоні.

У роботі [4] постановка задачі належить Є.Д. Білоколосу. Автором знайдені аналітичні вирази для густини електронних станів і її першої похідної, побудований графік залежності третьої похідної термодинамічного потенціалу від хімічного потенціалу і температури.

У роботі [5] автором встановлений факт, що тричастинковий еліптичний потенціал Калоджеро-Мозера співпадає з скінченно-зонним потенціалом для гексагональної гратки Браве, знайдений вираз для двозонного спектру і проведені всі розрахунки.

Апробація результатів дисертації. Результати досліджень оприлюднені на:

- П'ятій міжнародній конференції молодих вчених з прикладної фізики, 20-22 червня, 2005, Київ, Україна;

- Шостій міжнародній конференції "Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics", 20-26 червня, 2005, Київ, Україна;

- Шостій міжнародній конференції молодих вчених з прикладної фізики, 14-16 червня, 2006, Київ, Україна;

- Другій міжнародній конференції "Quantum Electrodynamics and Statistical Physics", 19-23 вересня, Харків, Україна.

Публікації. Результати дисертації опубліковані у 3 фахових наукових журналах [1-3], матеріалах конференцій [4-5], тезах конференцій [6].

Структура і обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел та одного додатку. Загальний обсяг дисертації складає 127 сторінок. Дисертація містить 16 рисунків і 1 таблицю. Список використаних джерел складає 121 найменування.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано актуальність теми, сформульовано основну мету і задачі роботи, зазначено її зв’язок із науковими темами, розкрито наукову новизну та практичне значення одержаних результатів, визначено особистий внесок дисертанта, наведено відомості про апробацію результатів дисертації, публікації автора та структуру роботи.

У першому розділі наведено огляд літератури за тематикою дисертаційних досліджень. Викладено основні відомості з теорії одновимірних скінченно-зонних потенціалів і багатовимірних сепарабельних скінченно-зонних потенціалів. Розглянуто фізичні задачі, для розв’язку яких, застосовувалися скінченно-зонні потенціали, і наведено основні результати отримані при цьому.

У другому розділі досліджено таммовський спектр скінченно-зонного потенціалу обмеженого потенціальним бар’єром у вигляді сходинки довільної висоти. Для двозонного потенціалу на прямій побудовано таблицю обернених ефективних мас і дисперсійні залежності для різних значень ширини заборонених зон.

Тамм був першим, хто на прикладі потенціалу Кроніга-Пенні показав, що на поверхні, яка обмежує кристал, можуть виникати локалізовані стани, які пізніше отримали назву таммовських. В даний час існує оглядова робота присвячена цій тематиці [1*].

Стац [6*] запропонував для дослідження поверхневих станів використовувати потенціал у вигляді косинуса, обмеженого потенціальним бар'єром у вигляді сходинки. Рівняння Шредінгера на прямій з потенціалом у вигляді косинуса має назву рівняння Мат'є. Енергія і хвильові функції шукаються у вигляді рядів по степенях амплітуди потенціалу. Ці ряди збігаються і вони протабульовані. Лєвін [3*] розвинув підхід Стаца, виконавши розрахунки для довільного положення границі.

Обезрозмірене рівняння Шредінгера з скінченно-зонним потенціалом Ламе на прямій має вигляд

,

де – число заборонених зон, а – еліптична функція Вейєрштрасса з дійсним та уявним півперіодами , якщо це не буде викликати непорозумінь ми будемо писати просто . Тут і далі використані стандартні позначення теорії еліптичних функцій.

Розглянемо оператор Шредінгера

, (1)

де деяка періодична функція, – константа (висота потенціального бар'єру), яка може приймати нескінченне значення. Виберемо деяке значення хвильового вектора таким чином, щоб . При існує розв'язок, який експоненційно спадає при , а при існує розв'язок який експоненційно спадає при . Гладко зшиваючи ці два розв'язки в точці , отримаємо умову на . Таким чином, оператор Шредінгера (1) крім неперервного зонного спектру має точковий (таммовський) спектр. При умовою на буде обертання хвильової функції в нуль при , що відповідає сингулярній задачі Штурма-Ліувілля на півпрямій.

Використання у якості періодичної функції скінченно-зонних потенціалів дозволяє, на відміну від інших робіт, отримати явні вирази для енергії таммовських станів, умов їхнього існування та залежності енергії таммовських станів від точки, в якій періодичний потенціал обмежений потенціальним бар'єром. Також треба зауважити, що при розкладі скінченно-зонного потенціалу в ряд Фур'є випадок, коли всі амплітуди крім першої малі, відповідає випадку рівняння Мат'є.

Розглянемо рівняння Шредінгера

, (2)

що відповідає сингулярній задачі Штурма-Ліувіля на півпрямій

. (3)

Наступне твердження визначає точковий спектр задачі Штурма-Ліувілля (3)

Твердження 1.

Необхідною і достатньою умовою існування власних значень задачі Штурма-Ліувілля (3) є

.

Власні значення задачі Штурма-Ліувілля (3) розташовані по одному в заборонених зонах оператора , і визначаються наступним чином

, ,

власна функція є , де є власною блохівською функцією оператора з додатнім квазіімпульсом, – нулі власних функцій оператора , які виражаються через еліптичні функції.

У роботі випадки однозонного і двозонного потенціалів Ламе розглянуто докладно.

Для однозонного потенціалу задача Штурма-Ліувіля (3) має вигляд

. (4)

Період потенціалу дорівнює , зрозуміло, що достатньо розглянути випадок, коли . Власне значення задачі (4) є

, .

На рисунку 1 зображено потенціал

На осі енергій позначено неперервний спектр і рівень Тамма .

Рис. 1. Одновимірний потенціал Ламе, обмежений потенціальним бар’єром і рівень Тамма, при розрахунках використовували .

Розглянемо рівняння Шредінгера

, (5)

при довільній висоті потенціального бар’єру . Гладко зшиваючи в точці розв’язки, один з яких спадає при , а інший спадає при , отримаємо рівняння, яке визначає таммовський спектр

, (6)

де – границь спектру скінченно-зонного потенціалу, – константа. При ліва частина рівняння (6) дійсна. Права частина дійсна тільки тоді, коли приймає значення в заборонених зонах потенціалу або на їх границях. Значення , які задовольняють рівнянню (6) і лежать в заборонених зонах потенціалу , належать до точковому спектра, ті які лежать на границі зон, належать до неперервного спектру. Наступне твердження визначає необхідні умови існування розв’язків рівняння (9).

Твердження 2.

Для того, щоб рівняння (9) мало розв’язки необхідно виконання наступних умов:

, при непарному ,

, при парному .

Випадки однозонного і двозонного потенціалів Ламе у роботі розглянуті докладно.

Рівняння Шредінгера з двозонним потенціалом Ламе на прямій має вигляд

(7)

Використовуючи явні вирази для спектру рівння (7), знайдено аналітичні вирази для ефективних мас біля нижньої і верхньої границі першої зони

, ,

, ,

де та ефективні маси на нижньому та на верхньому краях зони відповідно, і – сталі, пов’язані з функціями Вейєрштрасса. Видно, що ефективні маси залежать від усіх країв зон.

На рисунку 2 приведені графіки залежності для різних значень ширини заборонених зон, в залежності від безрозмірного параметру . Параметр пов’язан з відношенням ширини заборонених зон до ширини дозволених, при збільшенні , ширина заборонених зон збільшується.

Рис. 2. Дисперсійна залежність для двозонного потенціалу Ламе при різних значеннях параметру , період потенціалу .

У третьому розділі в моделі скінченно-зонних потенціалів досліджено сингулярності електронної складової термодинамічних величин металів в точках, в яких поверхня Фермі змінює свою топологію.

Густина електронних станів в кристалі

,

як функція енергії має особливості, які мають назву особливостей Ван Хова, вони виникають, коли групова швидкість електронів обертається в нуль, тобто . Для тривимірного кристалу функція в критичних точках є неперервною, але її похідна має розрив другого роду. І. Ліфшиць зв’язав особливості в густині електронних станів зі зміною топології поверхні Фермі і показав, що в критичній точці при абсолютному нулі температур має місце електронний перехід, при якому динаміка електронів має особливості, що призводять до аномалій електронних характеристик металу. При температурі більше за нуль, цей перехід розмивається.

Для того, щоб отримати перехід Ліфшиця роду, достатньо розглянути випадок, коли поверхня Фермі відкривається тільки на двох протилежних гранях зони Бріллюена. Розглянемо рівняння Шредінгера з однозонним сепарабельним потенціалом, який відповідає тетрагональній гратці Браве

,

,

де сталі і визначається співвідношеннями і . Виберемо параметри потенціалу і енергію Фермі таким чином, щоб поверхня Фермі в першій зоні мала вигляд гофрованого циліндра, витягнутого в напрямку вісі і знаходилась достатньо далеко від граней зони Бріллюена паралельних вісі . В цьому випадку ми можемо розкласти потенціал в ряд по степенях і обмежитися нульовим наближенням, тобто використати наближення вільних електронів вздовж напрямків і . Таким чином отримуємо наступний спектр

(8)

де – дзета-функція Вейєрштрасса, яка не є еліптичною, але пов’язана з -функцією наступним чином , стала визначається співвідношеннями . Функція в першій зоні має дві критичні точки: мінімум та сідлову точку, в другій зоні вона має одну критичну точку – мінімум. Значення енергії, при якій поверхня Фермі відкривається на гранях зони Бріллюена ортогональних вісі , позначимо .

Використовуючи спектр (8), знайдено явний вираз для густини електронних станів

, (9)

де – об’єм. Функція визначається наступним чином:

A. При , поклали .

B. При , поклали .

Для виразу (9) справедливий розклад по степенях

де введено наступні позначення , і стала визначається співвідношеннями .

Використовуючи вираз для знайдено похідну від густини електронних станів:

A. При , маємо

B. При , маємо

.

Сингулярність в точці відповідає виникненню поверхні Фермі в другій зоні. Сингулярність в точці відповідає мінімуму (зародженню поверхні Фермі в центрі зони Бріллюена). Сингулярність в точці відповідає сідловій точці (відкриттю поверхні Фермі на границях зони Бріллюена, ортогональних вісі ).

В дисертації отримано явний вираз для термодинамічного потенціалу при абсолютному нулі температур, але цей вираз є доволі громіздким. Для того щоб зробити його більш інформативним було отримано його розклад в ряд по степенях

(10)

були використані наступні позначення

, ,

де – інваріанти функції Вейєрштрасса.

З виразу (10) видно, що третя похідна від термодинамічного потенціалу при абсолютному нулі температур в критичній точці має розрив другого роду.

На рисунку 3 зображено графік залежності третьої похідної термодинамічного потенціалу від температури і хімічного потенціалу.

Рис. 3. Залежність від температури та хімічного потенціалу, при розрахунках використовували , відповідно .

Видно, що при , третя похідна від термодинамічного потенціалу має розрив другого роду і

, .

Також видно, що сингулярність в точці з ростом температури розмивається.

В присутності зовнішнього магнітного поля моменти електронів поляризуються і виникає повний магнітний момент

,

де - магнетон Бора, - зовнішнє магнітне поле. При можна легко провести інтегрування і отримати вираз

,

де - функція числа електронних станів. Зрозуміло, що друга похідна магнітного моменту по хімічному потенціалу при в точках буде мати розриви другого роду. На рисунку 4 зображена залежність магнітного моменту від температури і хімічного потенціалу.

Рис. 4. Залежність від температури і хімічного потенціалу, при розрахунках використовували , відповідно .

Бар’яхтар і Макаров [8*] вперше показали, що зміна топології поверхні Фермі у низькотемпературних надпровідниках під впливом зовнішнього тиску призводить до нелінійної залежності температури надпровідного переходу від хімічного потенціалу. Оскільки зміна топології поверхні Фермі під тиском пов’язана зі зміною хімічного потенціалу, тому необхідно знайти залежність від , що було зроблено в моделі однозонного потенціалу для випадку, коли поверхня Фермі відкривається на границі зони Бріллюена.

Рівняння, яке визначає температуру надпровідного переходу для низькотемпературних надпровідників, має вигляд

,

де - температура Дебая, - матричний елемент взаємодії. Використовуючи вираз (9) для функції густини електронних станів, побудовано залежність температури надпровідного переходу від хімічного потенціалу, що зображено на рисунку 5. Форма кривої добре співпадає з результатами, отриманими в роботі [8*], в якій подібні рисунки побудовані схематично.

Рис. 5. Залежність температури надпровідного переходу від хімічного потенціалу, при розрахунках поклали

У четвертому розділі метод скінченно-зонних потенціалів узагальнено на випадок кристалів з гексагональною симетрією.

Фєльдман, Кньорер і Трубовіц [2*] довели, що нетривіальних багатовимірних скінченно-зонних потенціалів не існує. Це означає, що єдиний спосіб побудувати тривимірний скінченно-зонний потенціал з заданою симетрією полягає у тому, щоб побудувати його у вигляді суми одновимірних скінченно-зонних потенціалів.

Кожний вузол довільної гратки Браве можна задати за допомогою добутку , де – матриця базисних векторів кристалічної гратки, – вектор з цілочисельними компонентами. Функцію, інваріантну відносно групи симетрій певної кристалічної гратки Браве, можна побудувати у вигляді суми , де сума береться по найближчим сусідам. Подіємо на цю функцію елементом групи симетрій цієї кристалічної гратки, отримаємо . Комірка Вігнера-Зейца інваріантна відносно групи симетрій кристалічної гратки, тому . В якості функції візьмемо скінченно-зонний потенціал Ламе

, (11)

отримаємо

. (12)

Також в якості функції можна взяти скінченно-зонний потенціал Ламе

, (13)

тоді отримаємо

. (14)

Потенціали (11) і (13), відповідно (12) і (14) виражаються один через інший.

В дисертаційній роботі докладно розглянуто випадок . Пораховане середнє значення гамільтоніану

(15)

при на хвильовій функції, яка є добутком власних функцій рівняння Шредінгера з кожним з чотирьох доданків потенціалу. Ця функція не є власною функцією гамільтоніану (15), але її квадрат модуля має ту ж саму просторову симетрію, що і потенціал. Знехтувавши в отриманому виразі доданком, який є малим в порівнянні з енергією Фермі металів, які розглядалися, отримано наближений спектр. Цей спектр був використаний для побудови поверхні Фермі берилію в першій подвоєній зоні, її форма і розміри з достатньою точністю співпадають з експериментальними даними. Берилій має ГЩУ гратку, яка складається з двох гексагональних граток Браве, зсунутих одна відносно іншої. Кожна з цих граток призводить до одніє і тієї ж дисперсії і при розрахунках спектру замість ГЩУ гратки можна розглядати гексагональну гратку Браве з подвоєним числом атомів на елементарну комірку. Для берилію величина доданку, яким ми знехтували, складає від енергії Фермі. Поверхня Фермі берилію була розрахована методом ОПХ в роботі [4*] і ab initio методом в роботі [7*]. На відміну від цих робот в даному методі спектр, який використовувався при побудові і наближена хвильова функція задаються аналітичними функціями і в дисертації вони приводяться в явному вигляді.

На рисунку 6 приведена поверхня Фермі розрахована в роботах [4*,7*], її форма і розміри з достатньою точністю співпадають з експериментальними даними. На рисунку 7 приведена поверхня Фермі, розрахована методом скінченно-зонних потенціалів. На обох рисунках використовуються позначення з робіт [4*,7*]. Рисунки наведені в різних масштабах.

Рис. 6. Діркова поверхня Фермі берилію в першій подвоєній зоні, взята з робіт [4*,7*].

Рис. 7. Діркова поверхня берилію, побудована методом скінченно-зонних потенціалів.

Видно, що топологічно поверхні повністю співпадають, але на рисунку 7 перехід від ребра ``корони'' до її шийки відбувається більш плавно ніж на рисунку 6. Нижче приводиться порівняння відносних розмірів поверхні Фермі побудованої методом скінченно-зонних потенціалів з експериментальними даними. Відношення максимальної висоти ребра ``корони'' до дорівнює , експериментальне значення дорівнює . Відношення дорівнює , експериментальне значення дорівнює . Відношення дорівнює , експериментальне значення є . Експериментальне значення дорівнює . Безпосередньо з рисунку 7 видно, що у поверхні розрахованій в даній роботі, розмір того ж порядку малості.

Також в дисертаційній роботі отримано зв'язок побудованого потенціалу для гексагональної гратки з тричастичним еліптичним потенціалом Калоджеро-Мозера. Еліптична модель Калоджеро-Мозера є квантовою одновимірною N-частичною системою, гамільтоніан якої має вигляд

. (16)

Спектр гамільтоніану (6) відомий. Інтегровність цієї моделі було доведено Ольшанецькім і Переломовим [5*]. Для тричастичного еліптичного потенціалу Калоджеро-Мозера можна розглядати змінні в якості просторових змінних однієї частинки, в цьому випадку отримаємо одночастинковий періодичний потенціал. Пряма є віссю симетрії третього порядку для цього потенціалу. Перейшовши у нову систему координат, таким чином, щоб вісь симетрії була направлена вздовж вісі і додавши до цього потенціалу скінченнозонний потенціал Ламе вздовж вісі ми отримаємо потенціал

, (17)

який співпадає з потенціалом (14), але аргументи функції Вейєрштрасса не зсунуті на уявний півперіод. Використовуючи той факт, що спектр потенціалу (4) відомий, побудовано двозонний спектр оператора Шредінгера з потенціалом (7) і знайдено ефективні маси біля дна першої зони.

ВИСНОВКИ

В дисертації використано одновимірні та тривимірні сепарабельні скінченно-зонні потенціали для розрахунків електронних характеристик металів. Це дало змогу для опису ряду фізичних величин отримати явні аналітичні вирази, які легко аналізувати. Всі параметри, що містять ці вирази мають прозорий фізичний зміст. Також метод скінченно-зонних потенціалів узагальнено на випадок кристалів з гексагональною симетрією.

1. Знайдено спектр і власні функції рівняння Шредінгера з скінченно-зонним одновимірним потенціалом Ламе, обмеженим потенціальним бар’єром у вигляді сходинки довільної висоти. Встановлено умови існування таммовського спектру, отримано явні вирази для енергії таммовських станів і її залежності від точки, в якій періодичний потенціал обмежений потенціальним бар’єром.

Для двозонного потенціалу Ламе на прямій побудовано таблицю обернених ефективних мас і дисперсійні залежності для різних значень відношення ширини заборонених зон до ширини дозволених.

2. В моделі однозонного потенціалу Ламе досліджено сингулярності електронної складової термодинамічних величин металів при зміні топології поверхні Фермі. Отримано аналітичні вирази для функції густини електронних станів в металі та її першої похідної. Отримано аналітичний вираз для термодинамічного потенціалу при нулі градусів Кельвіна. Усі вирази, які було отримано, залежать тільки від границь спектру, які встановлюються з експерименту. Побудовано графіки залежності третьої похідної термодинамічного потенціалу і другої похідної намагніченості парамагнетика Паулі від температури і хімічного потенціалу. Проаналізовано швидкість розмивання сингулярності з температурою. Знайдено залежність критичної температури надпровідного переходу від хімічного потенціалу для низькотемпературних надпровідників.

Використовуючи однозонний сепарабельний потенціал, побудовано поверхні Фермі для кубічного кристалу в першій і другій зонах для різних значень ширини забороненої зони на границі зони Бріллюена: від вузької забороненої зони, що відповідає наближенню вільних електронів, до широкої забороненої зони, що відповідає наближенню сильного зв’язку.

3. За допомогою теорії симетрії побудовано еліптичний потенціал для гексагональної ґратки Браве у вигляді суми скінченно-зонних потенціалів Ламе. Знайдений його наближений однозонний спектр. Використовуючи цей спектр, побудовано діркову поверхню Фермі берилію в першій подвоєній зоні. Її форма і розміри добре узгоджуються з експериментальними даними. На відміну від робіт, в яких ця поверхня розрахована чисельно, в даному підході спектр, а також наближені хвильові функції задаються аналітичними функціями.

Показано, що тричастинковий еліптичний потенціал Калоджеро-Мозера відповідає скінченно-зонному потенціалу для гексагональної гратки Браве. Використовуючи цей факт, отримано вираз для двозонного спектру і знайдено ефективні маси біля дна першої зони. Також показано, що чотиричастинковий еліптичній потенціал Калоджеро-Мозера відповідає скінченно-зонному потенціалу для об’ємоцентрованої кубічної гратки Браве.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1*. Davison S.G., Levin J.D. Surface states // Sol. St. Phys. – 1970. – Vol. 25. – P. 1-149.

2*. Feldman J., Knorrer G., Trubowitz E. There is no two-dimensional analogue of Lame’s equation // Math. Annalen. – 1992. – Vol. 294, № 2. – P. 295-324.

3*. Levine J.D. Ionic, covalent, and metallic surface states of a one-dimensional Mathieu potential with arbitrary termination // Phys. Rev. – 1968. – Vol. 174, №3. – P. 701-712.

4*. Loucks T. L., Cutler P. H. Band structure and the Fermi surface of Beryllium // Phys. Rev. – 1964. – Vol. 133, №3A. – P. A819-A829.

5*. Olshanetsky M.A., Perelomov A.M. Quantum integrable systems related to Lie algebras // Phys. Rep. – 1983. – Vol. 94, №6. – P. 313-404.

6*. Statz H. Surface states of a one-dimensional Mathieu potential // Zs. Naturforsch – 1950. – Vol. 5a. – P. 534-539.

7*. Terrell. J. H. The Fermi surface of Beryllium // Phys. Lett. – 1964. – Vol. 8, №3. – P. 149.

8*. Барьяхтар В.Г., Макаров В.И., Об аномалиях температуры сверхпроводящего перехода под давлением // ЖЭТФ. – 1965. – T. 48, № 6. – C. 1717-1722.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Бар’яхтар В.Г., Білоколос Є. Д., Самар Г. В., Дмитрієв О. В. До теорії руху електрона в кристалі // Наук. Вісті НТУУ КПІ. – 2006. - № 4. – С. 7-13.

2. Білоколос Е. Д., Дмитріев А. В. Рівні Тамма та скінченно-зонні потенціали Ламе // Вісник Київського університету, Серія: фіз.-мат. науки. – 2006. - №3. - С. 307-314.

3. Белоколос Е. Д., Дмитриев А. В. Применение метода конечнозонных потенциалов для расчетов электронного спектра металлов с ГПУ решеткой // Доклады академии наук Украины. – 2004. - № 2. – С. 72-77.

4. Belokolos E.D., Dmytriiev O.V. The Lifshits electron transformation of 2.5 kind and the Lame potentials // VI Int. Young Scientists Conference on Applied Physics. Kyiv, June 14-16, 2006. – Kyiv, 2006. – P. 120-121.

5. Dmytriiev O.V. Three-dimensional finite-gap potentials for hexagonal Bravais Lattice and their spectrum // V Int. Young Scientists Conference on Applied Physics. Kyiv, June 20-22, 2005. – Kyiv, 2005. – P. 251-252.

6. Baryakhtar V.G., Belokolos E.D., Dmytriiev O.V., Samar G.V. On the theory of electron motion in a crystal // II Inter. Confer. on Quantum Electrodyn. and Stat. Phys. Kharkov, September 19-23, 2006. – Kharkov, 2006. – P. 166.

АНОТАЦІЯ

Дмитрієв О.В. Застосування методу скінченно-зонних потенціалів для розрахунків електронних характеристик металів. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.02 - теоретична фізика. – Інститут магнетизму НАН України та МОН України, Київ, 2007.

Дисертація присвячена розвитку метода скінченно-зонних потенціалів і застосуванню його для розрахунків електронних характеристик металів.

Дослідженно таммовський спектр рівняння Шредінгера з скінченно-зонним одновимірним потенціалом Ламе, обмеженим потенціальним бар’єром у вигляді сходинки довільної висоти. Встановлено умови існування таммовського спектру і отримано явні вирази для енергії таммовських станів.

В моделі однозонного потенціалу Ламе досліджено сингулярності електронної складової термодинамічних величин металів при зміні топології поверхні Фермі. Отримано ряд аналітичних виразів, які в якості параметрів містять тільки границі спектру.

Метод скінченно-зонних потенціалів узагальнено на випадок кристалів з гексагональною симетрією. Отримано еліптичний потенціал, що має гексагональну симетрію, знайдено його спектр, побудовано діркову поверхню Фермі берилію в першій подвоєній зоні, показано зв'язок отриманого потенціалу з тричастичним еліптичним потенціалом Калоджеро-Мозера.

Ключові слова: скінченно-зонні потенціали, стани Тамма, сингулярності Ліфшиця термодинамічних величин, еліптичні потенціали Калоджеро-Мозера.

ABSTRACT

Dmytriiev O.V. Application of the finite gap potentials method to calculations of electron characteristics of metals. – Manuscript.

Thesis for Doctor of Philosophy degree (Candidate of Physical and Mathematical Sciences) on specialty 01.04.02 – theoretical physics. Institute for Magnetism of the Nathional Academy of Science and Ministry of Education and Science of Ukraine, Kyiv, 2007.

The thesis is devoted to the finite gap potentials method development and application this method to calculations of electron characteristics of metals.

The Tamm spectrum of the Shrodinger equation with the finite gap potential and jump boundary condition is investigated. The Tamm spectrum existence conditions are determined and explicit expressions for the Tamm states energy are derived.

The singularities of the electron component of metal thermodynamic quantities which appear when the Fermi surface changes the topology are investigated in one gap potential model. Some analytical expressions are derived; all parameters which these expressions contain depend only on band edges.

The finite gap potentials method is generalized to the case of crystals with hexagonal symmetry. The elliptic potential with hexagonal symmetry is constructed, the spectrum of this potential is found, the Fermi surface of beryllium in the first double zone is built, connection between constructed potential and three-particle elliptic Calogero-Moser potential is shown.

Keywords: finite gap potentials, the Tamm states, the Lifshits singularities of thermodynamic quantities, elliptic Calogero-Moser potentials.

АННОТАЦИЯ

Дмитриев А.В. Использование метода конечно-зонных потенциалов лля расчета электронных характеристик металлов. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.02 – теоретическая физика. – Институт магнетизма НАН Украины и МОН Украины, Киев, 2007.

Диссертация посвящена развитию метода конечно-зонных потенциалов и его использованию для расчета электронных характеристик металлов. В диссертации используются одномерные и трехмерные конечно-зонные потенциалы с орторомбической симметрией для исследования состояний Тамма и сингулярностей Лифшица электронной составляющей термодинамических величин металлов при изменении топологии поверхности Ферми, а также метод конечно-зонных потенциалов обобщен на случай кристаллов с гексагональной симметрией.

Получен спектр и собственные функции уравнения Шредингера с конечно-зонным потенциалом Ламе, ограниченным потенциальным барьером произвольной высоты. Найдены условия существования таммовского спектра, получены явные выражения для энергии таммовских состояний и ее зависимости от точки, в которой периодический потенциал ограничен потенциальным барьером. Однозонный и двухзонный случаи рассмотрено подробно. Найдены аналитические выражения для эффективных масс около дна и верхней границы первой зоны для однозонного и двухзонного потенциалов Ламе на прямой. Из этих выражений видно, что эффективные массы зависят от всех границ зон спектра. Для двухзонного потенциала Ламе построена таблица обратных эффективных масс и зависимость энергии от квазиимпульса для разных значений отношения ширины запрещенных зон к ширине разрешенных.

В модели однозонного потенциала Ламе исследованы сингулярности электронной составляющей термодинамических величин металлов при изменении топологии поверхности Ферми. Получены аналитические