НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ФІЗИКО-ТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ

НИЗЬКИХ ТЕМПЕРАТУР

ІМ. Б.І. ВЄРКІНА

ГОНЧАРОВА Ольга Олександрівна

УДК 514.76

ПСЕВДОСФЕРИЧНІ ТА ЛІНІЙЧАТІ ПІДМНОГОВИДИ

В ЕВКЛІДОВОМУ ПРОСТОРІ

01.01.04 – геометрія і топологія

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Харків – 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Фізико-технічному інституті низьких температур

імені Б.І. Вєркіна НАН України.

Науковий керівник: доктор фізико–математичних наук, професор

АМІНОВ Юрій Ахметович,

Фізико-технічний інституту низьких температур

ім. Б.І. Вєркіна НАН України,

завідувач відділу геометрії

Офіційні опоненти:

доктор фізико–математичних наук, професор

член-кореспондент НАН України,

ШАРКО Володимир Васильович,

Інститут математики НАН України,

завідувач відділу топології;

кандидат фізико–математичних наук

МАСАЛЬЦЕВ Леонід Олександрович,

Харківський національний університет ім. В.Н. Каразіна,

доцент кафедри геометрії

Провідна установа:

Львівський національний університет ім. І. Франка, кафедра геометрії,

Міносвіти України, м. Львів.

Захист відбудеться 18.06. 2007 р. о 14 год. на засіданні спеціалізо-

ваної вченої ради Д 64.175.01 у Фізико-технічному інституті низьких температур

імені Б.І.Вєркіна НАН України за адресою: 61103, м. Харків, пр. Леніна, 47.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Фізико-технічного інституту низь-

ких температур імені Б.І.Вєркіна НАН України, 61103, м. Харків, пр. Леніна, 47.

Автореферат розісланий 16.05.2007р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Горькавий В.О.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Теорія підмноговидів постійної від'ємної кривини (псевдосферичних підмноговидів) була і залишається областю геометрії підмноговидів, що привертає увагу геометрів. Інтерес до такого класу підмноговидів обумовлений тим фактом, що кожен псевдосферичний підмноговид є ізометричною реалізацією області простору Лобачевського. Початок цієї теорії було покладено в рамках класичної диференціальної геометрії в роботах Міндинга, Бельтрамі, Пуанкаре. Так, Міндинг побудував поверхні обертання постійної від'ємної кривини і досліджував деякі їхні властивості. Бельтрамі довів, що на псевдосфері реалізується геометрія частини площини Лобачевського, тим самим була показана несуперечність цієї геометрії (будь-якої обмеженої частини). Досліджені ними поверхні мали особливі лінії й точки, де порушувалася регулярність поверхні. Тому, виникло питання про можливість реалізувати площину Лобачевського в евклідовому просторі поверхнею без особливостей. У 1901 році Д.Гільберт довів добре відому теорему про неможливість занурення в повної площини Лобачевського у вигляді регулярної поверхні. Лише через 60 років М.В.Єфімов дав узагальнення цієї теореми на випадок перемінної кривини. Він довів неможливість занурення повних двовимірних метрик гаусової кривини від'ємного знака, відділеної від нуля. Природним чином виникає питання про опис тих областей площини Лобачевського й метрик від'ємної кривини, які можна ізометрично занурити в . У роботі Е.Г.Позняка побудовані ізометричні занурення в нескінченно протяжних багатокутників площини Лобачевського, а також будь-якого геодезичного кола з метрикою перемінної від'ємної кривини. У силу зазначених вище теорем про неможливість занурення виникає питання про можливість занурення двовимірних метрик в евклідовий простір більшої розмірності, він детально освітлений в огляді Е.Г.Позняка .

Були побудовані різні ізометричні занурення областей простору Лобачевського в евклідів простір у вигляді підмноговидів із спеціальними властивостями. Так, Д.Блануша одержав конкретні параметричні рівняння поверхні класу без самоперетинів у , внутрішня метрика якої співпадає з метрикою площини Лобачевского. Е.Р.Розендорн, користуючись методом Блануша, побудував регулярне ізометричне занурення площини Лобачевського у у вигляді регулярної поверхні класу . І.X.Сабітов довів, що площину Лобачевського можна ізометрично занурити в у вигляді поверхні усюди аналітичної, за винятком зліченого числа точок, у яких вона належить класу . Е.Р.Розендорном доведено, що площина Лобачевського не допускає ізометричного занурення в у вигляді регулярної гелікоїдальної поверхні. Л.О.Масальцев цей результат узагальнив на гелікоїдальні занурення у . Питання про можливість занурення у у вигляді регулярної поверхні залишається відкритим.

Щодо занурень - вимірного простору Лобачевського відомі наступні результати. Ф.Шуром було запропоновано занурення області у у вигляді аналога псевдосфери. Е.Картаном у роботах, опублікованих в 1919-1920 рр., і незалежно А.Е.Лібером у 1938 році було доведено, що n- вимірний простір Лобачевського навіть локально не занурюється в - вимірний евклідів простір . Вивчалися також питання локальних і глобальних занурень у . Е.Картаном установлено, що в кожній точці зануреної області у існують n головних напрямків. Д.Мур у 1972 році показав, що за координатні лінії можна вибрати асимптотичні лінії. В асимптотичних координатах метрика записується в чебишевському вигляді. Ю.А.Амінов у 1977 році показав, що існує система координат, у якій координатні лінії є лініями кривини і лінійний елемент для ізометричного занурення у записується в спеціальному вигляді. Ним була виписана система рівнянь занурення у , ця система є багатомірним аналогом рівняння "синус Гордона". Ю.А.Аміновим вивчалися також властивості ізометричних занурень у . Зокрема, якщо занурення у задовольняють деякій геометричній умови, тоді основна система занурення містить як підсистему рівняння руху твердого тіла з нерухомою точкою - центром мас у ньютоновому полі тяжіння. Система диференційних рівнянь ізометричного занурення у асоціюється із системою рівнянь Максвела. Природним чином уводиться тензор “електромагнітної напруги”. О.А.Борисенко доведена теорема про те, що повний - вимірний зв'язний псевдоримановий многовид від'ємної кривини (де s - число від'ємних квадратів у метриці) ізометрично не занурюється в цілому в псевдоевклідів простір , якщо . В.Т.Лисиця, узагальнюючи результати Е.Р.Розендорна і Л.О.Масальцева, установив теореми про неможливість занурення - вимірного простору Лобачевського в евклідів простір у вигляді гелікоїдального підмноговида. Вивчався також грассманів образ . Огляди результатів по ізометричним зануренням маються в оглядовій статті О.А.Борисенка1, у монографіях Ю.А.Амінова2 й О.А.Борисенка3.

Подальший розвиток теорія псевдосферичних поверхонь дістала в роботах Біанкі, Беклунда, Дарбу й ін. В евклідовому просторі відомі перетворення поверхонь постійної від'ємної кривини, що переводять їх також у поверхні постійної від'ємної кривини. З їхньою допомогою можна будувати нові класи занурень, виходячи з деяких відомих занурень. Узагальнення перетворення Біанкі для областей - вимірного простору у було побудоване Ю.А.Аміновим. У роботах К.Тененблат і С.Л.Тернг було отримано - вимірне узагальнення перетворення Беклунда. Питання про зв'язки між узагальненим перетворенням Біанкі й узагальненим перетворенням Беклунда досліджувалось Л.О.Масальцевим. Розглядалися також перетворення Біанкі і Беклунда для випадку двовимірної поверхні в та .

К.Тененблат і М.Рабело4 ввели клас занурень областей простору Лобачевського у формі тороїдальних підмоговидів. Далі цей клас досліджувався в роботі5. Побудова ізометричних занурень спеціального вигляду є як і раніше однією з актуальних і цікавих задач теорії ізометричних занурень. З однієї сторони, можна дослідити властивості побудованих явно занурень, з іншого боку, побудова занурень в евклідів простір з вимірністю більше 2n-1 може становити інтерес при побудові моделей фізичних полів.

Псевдосферичні підмноговиди – це підмноговиди постійної від’ємної внутрішньої гаусової кривини (наприклад, ). Для підмноговидів у можна ввести поняття гаусового скруту . Ця величина є єдиним інваріантом нормальної зв'язності поверхні, аналогічним кривині дотичної зв'язності, тобто гаусовій кривині. Інтеграл від по замкнутій поверхні тісно зв'язаний з питанням існування на поверхні регулярного нормального поля. Гаусовий скрут двовимірних поверхонь у розглядався в роботах Ю.А.Амінова6,7. Досліджувалося питання про занурення двовимірної метрики в у вигляді поверхні з заданим гаусовим скрутом. Виникає природне питання про розгляд ______________________________

1Борисенко А.А. Изометрические погружения пространственных форм в римановы и псевдоримановы пространства постоянной кривизны // Успехи мат. наук. – 2001. – Т.56, №3. – С.3-78.

2Аминов Ю.А. Геометрия подмногообразий. –К.: Наукова думка, 2002. – 208.

3Борисенко А.А. Внутренняя и внешняя геометрия многомерных подмногообразий. – М.: Экзамен, 2003. – 672 с.

4Rabelo M.L. and Tenenblat K. Toroidal submanifolds of constant non-positive curvature // Proc. Bicentennial Conf. N.I.Lobachevsky, Kazan. – 1995. – Vol.3, №1. – P. 135-159. (Russian)

5Aminov Yu.A., Rabelo M.L. On toroidal submanifolds of constant negative curvature. // Мат. физика, анализ, геометрия. – 1995.-Т.2, №3/4. – С. 275-283.

6Аминов Ю.А. Кручение двумерных поверхностей в евклидовых пространствах. // Укр. геом. сборник. –1975. – Т. 17. – С. 3-14.

7Аминов Ю.А. Поверхности в с гауссовой кривизной совпадающей с гауссовым кручением с точностью до знака. // Мат. заметки. – 1994. – Т.56. – С. 1211-1245.

поверхонь у з постійним гаусовим скрутом, а саме, з нульовим гаусовим скрутом. У дисертаційній роботі, розгляд гаусового скрута проводиться на прикладі лінійчатих поверхонь, які, незважаючи на удавану простоту їхньої побудови, постійно залучають увагу геометрів.

Теорія лінійчатих поверхонь у є добре розвинутою областю в диференціальній геометрії. Докладні огляди цієї теорії представлені, наприклад, у книгах В.Ф.Кагана8, В.І.Шуліковського9. Лінійчаті поверхні в евклідових просторах продовжують цікавити геометрів10,11,12. Важливе значення має ця теорія в зв'язку з різними застосуваннями в будівництві й архітектурі. Були виділені різні класи лінійчатих поверхонь. Наприклад, торсові поверхні (лінійчаті поверхні, що розгортаються на площину), поверхні Каталана, узагальнені гвинтові (гелікоїдальні) поверхні й інші. О.A. Борисенко вивчав умови, за яких багатовимірні повні сильно параболічні підмноговиди в евклідовому просторі є циліндрами, також досліджував циліндричні багатовимірні поверхні в просторі Лобачевського. В.Ю.Ровенський знайшов умови на кривину, за яких лінійчата параболічна поверхня в сфері чи комплексному проективному просторі розкладається в метричний добуток.

Особливий інтерес представляють мінімальні лінійчаті поверхні. Добре відома теорема Каталана, що стверджує, що єдиною мінімальною лінійчатою поверхнею в евклідовому просторі , крім площини, є гелікоїд. Вивчалися мінімальні лінійчаті гіперповерхні у n-вимірному евклідовому просторі. Барбоса, Дайчер, Йорге досліджували мінімальні лінійчаті підмноговиди в просторах постійної кривини.

У роботі13 Ю.А.Амінова встановлений зв'язок теорії лінійчатих поверхонь, зокрема стандартних лінійчатих поверхонь, які вводяться і досліджуються в дисертації, з теорією руху точечного електричного заряду (електрона) у постійному магнітному полі (у рамках класичної електродинаміки).

Виникає природне запитання про вивчення деяких локальних і глобальних властивостей лінійчатих поверхонь в евклідовому просторі . В роботах С.Кон-Фосена, А.Хубера, C.A.Франгулова, О.А.Борисенко та ін. досліджувався интеграл від гаусової кривини повних некомпактних поверхонь У дисертації, зокрема, досліджений інтеграл від гаусової кривини повної лінійчатої орієнтованої поверхні.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана у відділі геометрії Фізико-технічного інституту низьких температур імені Б.І.Вєркіна Національної академії наук України. Вона є складовою частиною наступних проектів:

-

-

Метою дисертаційної роботи є побудова нових ізометричних занурень простору Лобачевського в евклідів простір у вигляді підмноговидів зі спеціальними властивостями, встановлення деяких локальних і глобальних властивостей лінійчатих підмноговидів у , аналіз підмноговидів нульового гаусового скруту в класі двовимірних лінійчатих поверхонь у .

___________________________

8Каган В.Ф. Основы теории поверхностей в тензорном изложении. – М.-Л.: ОГИЗ, 1947.

9Шуликовский В.И. Классическая дифференциальная геометрия в тензорном изложении. – М.: Физматгиз, 1963.

10Koch R. The Weingarten ruled surfaces. // J.Geom. – 1993. – Vol.47, №1/2. – P. 77-85. (German)

11Kuhnel W. Differential Geometry: curves – surfaces – manifolds. // Amer. Mat. Soc. – 2002. – P. 75-93.

12Isumiya S., Takeuchi N. Special curves and ruled surfaces. // Beitr. Algebra, Geom. – 2003. – Vol.44, №1. – P. 203-212. (German)

13Аминов Ю.А. О физической интерпретации некоторых линейчатых поверхностей в с помощью движения точечного заряда. // Мат. сборник. – 2006. – Т.197, №12. – С. 3-14.

Об'єктом дослідження є ізометричні занурення областей простору Лобачевського в евклідів простір, лінійчаті поверхні в , гаусовий скрут двовимірних лінійчатих поверхонь у .

Методи дослідження – методи диференціальної геометрії і диференціальних рівнянь, методи ріманової геометрії.

Для досягнення мети дисертаційної роботи необхідно вирішити наступні задачі:

1. Представити метод побудови ізометричних занурень області простору Лобачевського в евклідів простір у вигляді підмноговида зі спеціальними властивостями.

2. У застосування методу, побудувати різні приклади таких занурень.

3. Дослідити властивості побудованих занурень.

4. Дослідити властивості двовимірних лінійчатих поверхонь у .

5. Дослідити лінійчаті поверхні в з нульовим гаусовим скрутом.

6. Дослідити окремий випадок лінійчатих поверхонь у – стандартні лінійчаті поверхні в .

Наукова новизна отриманих результатів. Всі результати, що отримані в дисертації, є новими. Основні з них полягають в наступному:

n

n

n

n

n

n

n

Практичне значення отриманих результатів. Робота носить теоретичний характер. Отримані результати і розвинені в ній методи можуть бути корисні для читання спецкурсів по диференціальній геометрії, проведенні подальших наукових досліджень з диференціальної геометрії підмноговидів.

Особистий внесок здобувача. Постановка задач і загальне керівництво здійснювалося науковим керівником. У спільній роботі [1] постановка задач і ідеї доведення теорем належать науковому керівнику. Реалізація ідей і доведення теореми 2 зроблені здобувачем. У спільній роботі [2] постановка задач і ідеї доведення теорем належать науковому керівнику. Реалізація ідей і доведення теорем 2,3 зроблені здобувачем. Роботи [3], [4] написані самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися і обговорювалися на Міжнародній конференції - школі по геометрії й аналізу (м. Новосибірськ, 2002 р.), на Міжнародному семінарі "Геометрія "у цілому"", присвяченому 85-ій річниці з дня народження О.В.Погорєлова (м. Харків, 2004 р.), на Міжнародній конференції - школі по геометрії й аналізу (м. Новосибірськ, 2004 р.), на науковому семінарі відділу топології Інституту математики НАН України (керівник семінару – член-кореспондент НАН України В.В.Шарко), на міському геометричному семінарі (керівники семінару: член-кореспондент НАН України О.А.Борисенко, доктор фіз. – мат. наук Ю.А.Амінов), на семінарах відділу геометрії ФТІНТ НАН України.

Публікації. Результати по темі дисертації опубліковані в 10 роботах: в 4 статтях, опублікованих у журналах, що входять до переліку ВАК України, в 5 тезах доповідей праць наукових конференцій і в 1 оглядовій статті в трудах конференції.

Структура й обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, двох розділів, висновків і списку використаних джерел, що складається з 68 найменувань. Робота викладена на 110 сторінках машинописного тексту і містить 3 ілюстрації, з яких ні одна не займає окремої сторінки. Для її оформлення використано видавничу систему LaTeX.

Користуючись нагодою, висловлюю щиру подяку моєму науковому керівникові доктору фізико-математичних наук Юрію Ахметовичу АМІНОВУ за постановку задач і постійну підтримку.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ.

У вступі висвітлюється загальна картина досліджень, споріднених з проведеними в дисертації, обґрунтовується актуальність роботи, формулюється мета досліджень та дається перелік основних результатів, отриманих в дисертації.

У першому розділі дисертації розглядаються псевдосферичні підмноговиди спеціального виду. Наведено приклад, побудований М. Рабело і К.Тененблат, ізометричних занурень простору Лобачевского в евклідів простір у вигляді тороїдальних підмноговидів, породжуваних деякою кривою. Далі в підрозділі 1.2 запропонований новий метод побудови ізометричних занурень області простору Лобачевського в евклідів простір. А саме, побудовані ізометричні занурення областей - вимірного простору Лобачевського у - вимірний простір у вигляді надбудови над зануренням n- вимірного простору постійної кривини в одиничну сферу.

Теорема 1.1. Нехай - вимірний многовид з постійною кривиною ізометрично занурений в одиничну сферу у вигляді підмноговиду з радіус-вектором . Область простору Лобачевського регулярно і ізометрично занурюється в евклідів простір у вигляді підмноговиду з радіус-вектором

тоді і тільки тоді, коли .

Будемо називати - базою, а - надбудовою. Отримано оцінки розмірів області такого занурення в термінах кривини бази.

В підрозділі 1.3 у застосування представленого методу побудовані приклади псевдосферичних підмноговидів: занурення області простору в у вигляді надбудови над відомим зануренням поверхні Веронезе в сферу одиничного радіуса; ізометричне занурення області простору в у вигляді надбудови над зануренням сфер у сферу у вигляді мінімального підмноговиду, запропонованого до Кармо і Валлахом.

Теорема 1.2. Існує ізометричне занурення області простору Лобачевського в евклідів простір у вигляді підмноговиду з радіус-вектором , де - радіус-вектор занурення у при , .

Побудовані в Теоремі 1.2 явні занурення простору Лобачевського в евклідів простір мають деяку однорідність, тому що допускають рух по собі. Якщо як базу вибрати (n-1)- вимірний тор з радіус-вектором , стандартно вкладений в евклідів простір , тоді побудовані занурення відповідають тороїдальним підмноговидам з роботи М. Рабело - К.Тененблат.

В підрозділі 1.4 знайдено тензор кривини нормальної зв’язності ізометричного занурення і встановлений його зв'язок з тензором кривини нормальної зв’язності бази.

Теорема 1.3. Тензор кривини нормальної зв’язності надбудови дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли дорівнює нулю тензор кривини нормальної зв’язності бази .

Наприклад, як базу можна вибрати поверхню Веронезе, нормальна зв’язність якої є неплоскою. Побудова занурень в евклідів простір з розмірністю більше 2n-1 може становити інтерес при побудові моделей фізичних полів, тому що запропонованим методом можна будувати занурення з плоскою і неплоскою нормальною зв’язністю.

В другому розділі досліджуються деякі локальні і глобальні властивості лінійчатих поверхонь у , і зокрема, у .

Нехай - деяка регулярна крива у з радіус - вектором , де - довжина дуги. Візьмемо її як направляючу криву. Нехай уздовж кривої задане регулярне одиничне векторне поле класу .

Тоді радіус-вектор лінійчатої поверхні записується у вигляді

.

Криву на одиничній сфері, що описується кінцем одиничного вектора при зміні параметра , якщо початок його помістити в центр сфери, будемо називати індикатрисою поля твірних.

На початку розділу розглянуте питання регулярності лінійчатих поверхонь у . Для таких поверхонь природним чином перенесені поняття, що стосуються стрикціоної лінії поверхні, поводження дотичної площини при русі її уздовж прямолінійних твірних. Також виписана формула гаусової кривини. Вона має вигляд

,

де - одиничний дотичний вектор кривої .

Далі досліджуються лінійчаті поверхні в . Нагадуються основні факти, зв'язані з поняттям гаусового скруту двовимірних поверхонь. Доводиться лема, що дозволяє знаходити вираз для гаусового скруту лінійчатої поверхні за допомогою бівектора нормалей без безпосереднього знаходження нормалей, які мають громіздкий вигляд.

У підрозділі 2.2 досліджується інтегральна кривина лінійчатих поверхонь у і доведено, що вона виражається через довжину індикатриси прямолінійних твірних.

Теорема 2.1. Якщо крива - спрямляєма, тоді модуль інтеграла від гаусової кривини повної регулярної орієнтованої лінійчатої поверхні дорівнює подвоєній довжині індикатриси поля твірних

.

Якщо - гомеоморфна циліндру, то умова спрямляємості виконана автоматично, у силу умов регулярності накладених на і .

Зауваження. Аналогічне співвідношення виходить для нескінченної смуги між двома прямолінійними твірними.

У підрозділі 2.3 для двовимірних лінійчатих поверхонь у обчислений гаусовий скрут . Загальний вид скруту знайдений за допомогою бівекторів. Отриманий вираз для скруту є раціональним виразом відносно параметра на прямолінійних твірних. Для лінійчатих поверхонь у запишемо векторне поле у вигляді , а вектор у вигляді , де , - коефіцієнти в розкладі векторів і за векторами натурального базису Френе. Тоді

,

де

,

,

- кривини направляючої кривої.

Далі в підрозділі 2.4, використовуючи отриманий вираз для гаусового скруту, досліджено лінійчаті поверхні з нульовим гаусовим скрутом. Узагальнений циліндр – це лінійчата поверхня, у якої прямолінійні твірні паралельні. Відмітимо, що існує нескінченно багато повних регулярних лінійчатих поверхонь, відмінних від узагальненого циліндра, які не лежать у . Дійсно, візьмемо будь-як регулярну криву в нескінченної довжини з відмінними від нуля кривинами. Нехай векторне поле , де - один з базисних векторів натурального базису уздовж кривої. Відповідна лінійчата поверхня - повна і регулярна. Гаусовий скрут такої поверхні, узагалі говорячи, відмінний від нуля. У дисертаційній роботі доведена теорема однозначності будови повних лінійчатих поверхонь з нульовим гаусовим скрутом.

Теорема 2.2. Якщо направляюча крива і векторне поле - аналітичні, тоді повна регулярна лінійчата поверхня в з нульовим гаусовим скрутом або лежить у , або є узагальненим циліндром.

Якщо направляюча крива і векторне поле - регулярні класу , то повна регулярна лінійчата поверхня в з нульовим гаусовим скрутом або лежить у , або це узагальнений циліндр, або вона являє собою склейку скінченного чи нескінченного числа таких поверхонь уздовж прямолінійних утворюючих.

Зауваження. Твердження теореми буде справедливим і для смуги поверхні між двома паралельними твірними.

Побудовано приклад лінійчатої поверхні з нульовим гаусовим скрутом, гомеоморфної циліндру, на якій не існує регулярного нормального векторного поля, що паралельно переноситься в нормальному розшаруванні .

У підрозділі 2.5 введений і досліджений новий клас стандартних лінійчатих поверхонь у .

Означення. Будемо називати 2-мірну лінійчату поверхню у - вимірному евклідовому просторі стандартною, якщо направляюча крива є кривою з постійними і відмінними від нуля кривинами , а прямолінійні твірні в кожній точці спрямовані по одному з базисних векторів натурального репера .

Будемо також називати направляючу криву - базовою. Стандартні поверхні будемо позначати . У просторі стандартна лінійчата поверхня - прямий гелікоїд. У поверхні і в гелікоїда та сама базова крива, можна назвати цю поверхню - "сестра гелікоїда". Поверхня обгинає циліндр, має самоперетинання.

Отримано результати, що стосуються гаусової кривини і гаусового скруту таких поверхонь в . Позначимо

Теорема 2.3. Гаусова кривина і скрут поверхонь мають вигляд:

K

Ці формули дозволяють аналізувати поведінку гаусової кривини і гауссового скруту. Наприклад, для поверхні відношення є сталим відмінним від нуля.

Також у підрозділі розглянутий грасманів образ стандартних лінійчатих поверхонь у і індуковане відображення на одиничну сферу у розкладі грасманова многовиду .

Теорема 2.4. Для поверхонь і образом ортогональних координатних ліній на сфері є також ортогональні лінії. Образом базової кривої є в загальному випадку мале коло, а при для і для - велике. Образами прямолінійних твірних є великі кола, що проходять через одну точку.

Для поверхні образ координатної сітки не є ортогональною сіткою. Образ поверхні являє собою область між двома малими діаметрально симетричними колами. Ці кола обгинають образи прямолінійних твірних - великі кола. Образом базової кривої є велике коло.

На закінчення другого розділу досліджений клас лінійчатих поверхонь, для яких відношення гаусового скруту до гаусової кривини постійне. Отримано локальні і глобальні теореми існування таких поверхонь.

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі запропонований новий метод побудови псевдосферичних підмноговидів; досліджені деякі властивості двовимірних лінійчатих і стандартних лінійчатих поверхонь у ; встановлена будова лінійчатих поверхонь у з нульовим гаусовим скрутом. Зокрема:

-

-

-

-

-

-

-

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ

ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Aminov Yu.A. and Goncharova O. An example of isometric immersion of a domain of 3-dimensional Lobachevsky space into with a section Veroneze surface // Мат. фізика, аналіз, геометрія. - 1999. - Вип. 6, No.1/2. - C. 3-9.

2. Аминов Ю.А., Гончарова (Тихонова) О.А. О специальных изометрических погружениях областей пространства Лобачевского в евклидово пространство. // Мат. фізика, аналіз, геометрія. – 2003. - Вип.10, No.1. - С. 3-11.

3. Гончарова О.А. Линейчатые поверхности в // Журнал мат. фізики, аналізу і геометрії. – 2006. - Вип.2, No.1. – С. 40-61.

4. Гончарова О.А. Стандартные линейчатые поверхности в // Доповіді НАН України. – 2006. – Вип. 3. – С. 7-12.

5. Гончарова (Тихонова) О.А. К теории изометрических погружений пространства Лобачевского в евклидовы пространства. // Праці по геометрії й аналізу. - Новосибірськ: Вид-во Інституту математики, 2003. С. 411-416.

6. Аминов Ю.А., Гончарова (Тихонова) О.А. О специальных изометрических погружениях областей пространства Лобачевского в евклидово пространство. // Тези доповідей міжнародної школи - конференції по геометрії й аналізу, присвяченої 90-ої річниці з дня народження Н.В.Єфімова. - Абрау - Дюрсо (Росія), 2000. - С. 17-18.

7. Гончарова (Тихонова) О.А. К теории изометрических погружений пространства Лобачевского в евклидовы пространства. // Тези доповідей міжнародної конференції - школи по геометрії й аналізу, присвяченій пам'яті А.Д.Александрова. - Новосибірськ (Росія), 2002. - С. 72-73.

8. Гончарова (Тихонова) О.А. Линейчатые поверхности в . // Тези доповідей міжнародної конференції "Геометрія в Одесі--2004. Диференціальна геометрія і її застосування". - Одеса, 2004. – С. 80.

9. Гончарова (Тихонова) О.А. Линейчатые поверхности в // Тези доповідей міжнародної конференції - школи по геометрії й аналізу, присвяченої 75-річчю академіка Ю.Г.Решетняка. - Новосибірськ (Росія), 2004. – С. 248.

10. Гончарова О.А. Линейчатые поверхности в // Тези 6-ої міжнародної конференції по геометрії і топології. - Черкаси, 2005. – С. 99-101.

АНОТАЦІЇ

Гончарова О.О. Псевдосферичні та лінійчаті підмноговиди в евклідовому просторі. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико – математичних наук за спеціальністю 01.01.04 – геометрія і топологія. – Фізико–технічний інститут низьких температур ім Б.І Вєкркіна Національної академії наук України, Харків, 2007.

Дисертація присвячена побудові нових псевдосферичних підмноговидів, дослідженню двовимірних лінійчатих підмноговидів в евклідовому просторі, дослідженню лінійчатих підмноговидів у з нульовим гаусовим скрутом.

Представлено новий метод побудови ізометричних занурень областей - вимірного простору Лобачевського у - вимірний евклідів простір , , у вигляді надбудови над - вимірним підмноговидом постійної кривини, що лежить у - вимірній сфері . Отримано оцінки розмірів області такого занурення в термінах кривини бази. У застосування представленого методу побудовані приклади псевдосферичних підмноговидів: занурення області простору в у вигляді надбудови над відомим зануренням поверхні Веронезе в сферу одиничного радіуса; ізометричне занурення області простору в у вигляді надбудови над зануренням сфер у сферу у вигляді мінімального підмноговиду, запропонованого до Кармо і Валлахом. Знайдено тензор кривини нормальної зв’язності ізометричного занурення і встановлений його зв'язок з тензором кривини нормальної зв’язності бази .

Досліджуються деякі локальні і глобальні властивості лінійчатих поверхонь у . Зокрема, обчислено інтегральну гаусову кривину повної регулярної орієнтованої лінійчатої поверхні у . Доведено, що вона виражається через довжину індикатриси прямолінійних твірних.

Для двовимірних лінійчатих поверхонь у обчислений гаусовий скрут , що є єдиним інваріантом нормальної зв’язності поверхні, аналогічним кривині дотичної зв’язності, тобто гаусовій кривині. Загальний вид скруту для лінійчатих поверхонь знайдений за допомогою бівекторів нормалей без безпосереднього знаходження нормалей, які мають громіздкий вигляд. Отриманий вираз для скруту є раціональним виразом відносно параметра на прямолінійних твірних.

Використовуючи отриманий вираз для гаусового скруту, досліджені лінійчаті поверхні у з нульовим гаусовим скрутом. У дисертаційній роботі доведена теорема "одиничності" будови повних лінійчатих поверхонь з нульовим гаусовим скрутом.

Введений і досліджений новий клас двовимірних стандартних лінійчатих поверхонь у . Це окремий випадок лінійчатих поверхонь, коли напрямна крива є кривою з постійними і відмінними від нуля кривинами, а прямолінійні твірні в кожній точці спрямовані по одному з базисних векторів натурального репера. Отримано результати, що стосуються метрики, гаусової кривини і гаусового скруту таких поверхонь. Вивчений грасманів образ стандартних лінійчатих поверхонь у і індуковане відображення на одиничну сферу у розкладанні грасманова многовиду .

Ключові слова: псевдосферичний підмноговид, ізометричне занурення, лінійчата поверхня, гаусовий скрут.

Гончарова О.О. Псевдосферические и линейчатые подмногообразия в евклидовом пространстве. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.04 – геометрия и топология. – Физико-технический институт низких температур им. Б.И. Веркина Национальной академии наук Украины, Харьков, 2007.

Диссертация посвящена построению новых псевдосферических подмногообразий, исследованию двумерных линейчатых подмногообразий в евклидовом пространстве, исследованию линейчатых подмногообразий в с нулевым гауссовым кручением.

Представлен новый метод построения изометрических погружений областей - мерного пространства Лобачевского в - мерное евклидово пространство , , в виде надстройки над - мерным подмногообразием постоянной кривизны, лежащим в - мерной сфере . Получены оценки размеров области такого погружения в терминах кривизны базы. В применение представленного метода построены примеры псевдосферических подмногообразий: пример погружения области пространства в в виде надстройки над известным погружением поверхности Веронезе в сферу единичного радиуса; примеры изометрического погружения области пространства в в виде надстройки над погружением сфер в сферу в виде минимального подмногообразия, предложенного до Кармо и Валлахом. Найден тензор кривизны нормальной связности изометрического погружения и установлена его связь с тензором кривизны нормальной связности базы . Предложенным в диссертации методом можно строить погружения с неплоской нормальной связностью. Например, в качестве базы можно выбрать поверхность Веронезе, нормальная связность которой неплоская.

Исследуются некоторые локальные и глобальные свойства линейчатых поверхностей в . В качестве направляющей кривой возьмем некоторую регулярную класса , кривую в . Прямолинейные образующие заданы регулярным класса , единичным векторным полем вдоль кривой . Для таких поверхностей естественным образом перенесены понятия, касающиеся стрикционной линии поверхности, поведения касательной плоскости при движении ее вдоль прямолинейных образующих. Также выписана формула гауссовой кривизны. В работе вычислена интегральная гауссова кривизна полной регулярной ориентируемой линейчатой поверхности в . Доказано, что она выражается через длину индикатрисы прямолинейных образующих (индикатрисой поля образующих называем кривую на единичной сфере, которая описывается концом единичного вектора при изменении параметра , если начало его поместить в центр сферы). Для двумерных линейчатых поверхностей в вычислено гауссово кручение , которое есть единственным инвариантом нормальной связности поверхности, аналогичным кривизне касательной связности, то есть гауссовой кривизне. Общий вид кручения для линейчатых поверхностей найден с помощью бивекторов нормалей без непосредственного нахождения нормалей, которые имеют громоздкий вид. Полученное выражение для гауссова кручения есть рациональным выражением относительно параметра на прямолинейных образующих.

Используя полученное выражение для кручения, исследованы линейчатые поверхности в с нулевым гауссовым кручением. В диссертационной работе доказана теорема "единственности" строения полных линейчатых поверхностей с нулевым гауссовым кручением. Так, если направляющая кривая и векторное поле – аналитические, то полная регулярная линейчатая поверхность в с нулевым гауссовым кручением либо лежит в , либо представляет собой обобщенный цилиндр. Если направляющая кривая и векторное поле – регулярные класса , то полная регулярная линейчатая поверхность в с нулевым гауссовым кручением либо лежит в , либо это обобщенный цилиндр, либо она представляет собой склейку конечного или бесконечного числа таких поверхностей вдоль прямолинейных образующих. Обобщенным цилиндром называем линейчатую поверхность, у которой прямолинейные образующие параллельны. Также, построен пример линейчатой поверхности с нулевым гауссовым кручением, гомеоморфной цилиндру, на которой не существует параллельно переносимого в нормальном расслоении регулярного нормального векторного поля.

Введен и исследован новый класс двумерных стандартных линейчатых поверхностей в . Это частный случай линейчатых поверхностей, когда направляющая кривая есть кривой с постоянными и отличными от нуля кривизнами, а прямолинейные образующие в каждой точке направленные по одному из базисных векторов натурального репера. Получены результаты, касающиеся метрики, гауссовой кривизны и гауссова кручения таких поверхностей. Рассмотрен грассманов образ стандартных линейчатых поверхностей в и индуцированное отображение на единичную сферу в разложении грассманова многообразия .

Ключевые слова: псевдосферическое подмногообразие, изометрическое погружение, линейчатая поверхность, гауссово кручение.

Goncharova O.A. Pseudospherical and ruled submanifolds of Euclidean space. – Manuscript.

Thesis of the dissertation for obtaining the degree of candidate of sciences in physics and mathematics, speciality 01.01.04 – Geometry and topology. B.Verkin Institute for Low temperature Physics and Engineering, National Academy of Sciences of Ukraine, Kharkiv, 2007.

The dissertation is dedicated to construction of new pseudospherical submanifolds, to investigations of 2-dimensional ruled submanifolds in Euclidean space, and to studies of ruled submanifolds in with zero Gaussian torsion.

A method is given to construct isometric immersions of domains of - dimensional Lobachevsky space into the - dimensional Euclidean space in the form of suspension over - dimensional submanifold of constant curvature in - dimensional sphere. Estimates are obtained for the sizes of the immersed domain in terms of curvature of base. New examples of pseudospherical submanifolds are constructed by means of this method. For instance, an immersion of a domain of into is constructed in the form of the suspension over the well-known Veroneze surface in unit sphere. Moreover, examples of immersions of domains of into are constructed in the form of the suspension over do Carmo – Wallach minimal submanifolds in . The curvature tensor of the normal connection of this isometric immersion is computed, relations to the curvature tensor of the normal connection of the base are found.

Some local and global properties of ruled surfaces in are investigated. In particular, the total Gauss curvature of the complete regular orientable ruled surface is calculated. Gaussian torsion of - dimensional ruled surfaces in is analyzed, which is a unique invariant of the normal connection of surface similar to the Gauss curvature.

Ruled surfaces in with zero Gaussian torsion were studied with help of some original formula for the Gauss torsion. Uniqueness theorems about ruled complete surfaces with zero Gaussian torsion are proved.

A new natural class of - dimensional standard ruled surfaces in is introduced and investigated. Certain results on the behavior of their metric, Gaussian curvature and torsion are obtained. The Grassmann image of ruled surfaces in and an induced mapping to the unit sphere are considered.

Key words: pseudospherical submanifold, isometric immersion, ruled surface, Gaussian torsion.