МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ДОНЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Васильєв Тарас Анатолійович

УДК 539.3

АНАЛІЗ НАПРУЖЕНО-ДЕФОРМОВАНОГО СТАНУ В ЗМІШАНИХ

ЗАДАЧАХ ЗГИНУ СКІНЧЕНИХ ЦИЛІНДРИЧНИХ ТІЛ

01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Донецьк-2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Донецькому національному університеті Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор

ШАЛДИРВАН Валерій Анатолійович,

Донецький національний університет,

професор кафедри математичної фізики

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

МЕЛЕШКО В’ячеслав Володимирович,

Київський національний університет ім. Тараса Шевченка, завідувач кафедри теоретичної і прикладної механіки

кандидат фізико-математичних наук,

старший науковий співробітник

ЛОЖКІН Володимир Миколайович,

Інститут прикладної математики і механіки НАН України, старший науковий співробітник відділу аналітичної механіки гірничих порід

Захист відбудеться “ 6 ” грудня 2007 р. о 1430 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 11.051.05 при Донецькому національному університеті за адресою: 83055, м. Донецьк, вул. Університетська 24, головний корпус ДонНУ, ауд. 603.

З дисертацією можна ознайомитися у науковій бібліотеці Донецького національного університету (83055, м. Донецьк, вул. Університетська 24, головний корпус ДонНУ).

Автореферат розісланий „ 5 ” листопада 2007р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради

кандидат фізико-математичних наук, доцент Ю.В.Мисовський

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність роботи. Розв’язок багатьох задач інженерної практики (обчислення різних взаємодіючих деталей машин й елементів конструкцій, частина поверхні яких закріплена, а на іншій діють навантаження) пов'язаний з аналізом полів напружень поблизу різноманітних концентраторів напружень: ребер, ліній зламу граничної поверхні, усіляких тріщин, сторонніх включень, кутових точок та ін. Інформація про особливості напружено-деформованого стану (НДС) поблизу таких концентраторів може бути використаною при розв’язанні задач міцності конструкцій. У зв’язку з цим важливе практичне значення має розробка ефективних методів розрахунку концентрації напружень в просторових змішаних задачах теорії пружності. Використання прямих чисельних методів в цих задачах (МКЕ і МГЕ) пов’язане зі складною апроксимацією, що потребує попереднього знання про поведінку розв’язку просторової задачі поблизу концентратора, а при застосуванні різноманітних чисельно-аналітичних методів (методу суперпозиції та різних варіантів методу однорідних розв’язків) розв’язки будуються в рядах, збіжність яких істотно сповільнюється поблизу граничних поверхонь.

Таким чином, розробка ефективних алгоритмів розв’язання просторових змішаних задач теорії пружності є актуальною, відкритою за багатьма аспектами, проблемою, що має важливе теоретичне і прикладне значення. Дослідженню цих питань і присвячена дана дисертаційна робота.

Зв'язок з науковими програмами, темами. Дослідження, що складають дисертаційну роботу, виконані у відповідності до планів наукових робіт за фундаментальними науково-дослідними проектами, у тому числі за фінансованими Міністерством освіти і науки України конкурсними держбюджетними науково-дослідними проектами: “Проектування структури й розрахунок тривимірних елементів конструкцій з композитів” (2004 – 2006рр., номер держреєстрації 0104U002415); “Проектування просторово армованих композитів із заданими властивостями й проектування елементів конструкцій з них” (2007 – 2009рр., номер держреєстрації 0107U001454).

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є аналітико-числове визначення напруженого стану в циліндричних тілах скінчених розмірів (в умовах дії згинного силового навантаження на частині поверхні тіла – бічній поверхні або торцях – і закріплення іншої частини поверхні) на підставі побудови низки узагальнень методу однорідних розв’язків. Задачами наукового дослідження, які необхідно розв’язати згідно з основною метою, є:

- побудова неоднорідних і однорідних (типу Лур’є-Воровича) розв’язків для шару з навантаженими торцями і жорстко закріпленою, вільно обпертою, стисненою або вільною бічною поверхнею;

- побудова неоднорідних і однорідних (типу Шиффа-Прокопова) розв’язків для циліндру з навантаженою бічною поверхнею і вільно обпертими, стисненими та вільними торцями;

- вдосконалення чисельних методик розв’язання отриманих граничних задач;

- дослідження якості отриманих розв’язків, швидкості їхньої збіжності; дослідження залежності НДС в широкому діапазоні зміни параметрів задач;

- знаходження засобу виділення особливостей в просторових змішаних задачах поблизу ліній зламу граничної поверхні;

- проведення чисельних досліджень НДС із використанням виділення особливості в змішаних задачах теорії пружності;

- дослідження концентрації напружень в околі лінії зламу граничної поверхні, а також поблизу бічної поверхні та торців тіла;

- з’ясування можливості застосування граничного переходу від анізотропних матеріалів до ізотропних при розрахунках концентрації напружень в умовах різного навантаження.

Об’єктом дослідження є циліндричні ізотропні та транстропні тіла скінчених розмірів (товсті плити, кубоподібні та короткі циліндри), на різних граничних поверхнях яких задані різні типи граничних умов.

Предметом дослідження є вивчення закономірностей розподілу кінематичних і силових характеристик в таких тілах, концентрації напружень в околі границь і лінії зламу граничної поверхні просторових циліндричних тіл. Також предметом дослідження є вплив на НДС пружних властивостей матеріалу, геометрії тіл і типу зовнішнього навантаження.

Методами дослідження, що застосовані в роботі, є теоретичні чисельно-аналітичні методи математичної фізики, за якими отримано аналітичні представлення вектора переміщень у вигляді розкладень по однорідним базисам. Це дозволяє привести початкову крайову задачу до системи диференціальних рівнянь відносно розв'язкових функцій. Отримані системи зводяться до нескінченної системи лінійних алгебраїчних рівнянь (НСЛАР) за допомогою модифікованого методу Бубнова-Гальоркіна, який передбачає використання спеціальних базисів в залежності від граничних умов, що використовуються в вихідних постановках задач. Для розв’язку систем застосовуються асимптотична теорія та чисельні методи простої ітерації.

Вірогідність отриманих результатів забезпечується математичною коректністю як на етапі постановки задач, так і при їхньому розв’язанні і застосуванням класичних методів математичної фізики до змішаних крайових задач для систем диференціальних рівнянь у частинних похідних, що сформульовані в рамках апробованих моделей теорії просторового деформування ізотропних і транстропних середовищ, застосуванням для розв’язання НСЛАР асимптотичної теорії та методу покращеної редукції, перевіркою виконання граничних умов, порівнянням в частинних випадках результатів із відомими розв’язками, отриманими різними авторами іншими методами.

Наукова новизна та значимість результатів дослідження полягає у:

- розвитку методу однорідних розв’язків змішаної задачі згину для ізотропних та транстропних циліндричних тіл з вільними торцями і жорстко закріпленою, вільно обпертою або стисненою бічною поверхнею за допомогою спектральної теорії несамоспряжених операторів (узагальнення розв’язків типу Лур’є-Воровича);

- розвитку методу однорідних розв’язків змішаної задачі згину для ізотропних циліндричних тіл з вільною бічною поверхнею і вільно обпертими та стисненими торцями за допомогою спектральної теорії несамоспряжених операторів (узагальнення розв’язків типу Шиффа-Прокопова);

- розвитку методу однорідних розв’язків змішаної задачі згину для транстропних циліндричних тіл з вільними торцями і жорстко закріпленою, вільно обпертою або стисненою бічною поверхнею;

- розвитку методу побудови неоднорідних розв’язків у разі навантаження торців або бічної поверхні при закріпленій іншій частині поверхні;

- проведенні асимптотичного аналізу нескінченних систем лінійних алгебраїчних рівнянь і одержанні трансцендентних рівнянь для показника степені особивості поля напружень поблизу лінії зламу граничної поверхні;

- побудові вдосконалених чисельних методик розв’язання змішаних граничних задач деформування просторових циліндричних тіл з транстропних матеріалів;

- встановленні нових закономірностей в розподілі НДС та концентрації напружень біля границь циліндричних тіл в широкому діапазоні зміни параметрів задач;

- проведенні порівняльного аналізу результатів, отриманих при використанні різних форм однорідних розв’язків, для тонких пластин, товстих плит, кубоподібних і коротких циліндрів;

- визначенні меж використання базису Лур’є-Воровича для аналізу НДС товстих плит та кубоподібних циліндрів, комбінованого використання базису Лур’є-Воровича і Шиффа-Прокопова – для коротких циліндрів і базису Шиффа-Прокопова – для довгих;

- встановленні меж застосування прикладної теорії згину тонких плит у разі жорсткого та шарнірного закріплення бічної поверхні.

Теоретична та практична цінність результатів роботи. В роботі розв’язані практично важливі задачі для обмежених пружних тіл з різноманітними навантаженнями та закріпленнями частин поверхні. Результати доцільно використовувати в якості тестових для відпрацювання та оцінки прямих чисельних та інших чисельно-аналітичних методів. Отримані в дисертації формули дозволяють широко використовувати можливості сучасної обчислювальної техніки для розрахунку числових значень та аналізу величин концентрації напружень, що можуть бути застосовані при оцінці міцнісних характеристик пружних тіл. Вони можуть знайти застосування в механіці композитних матеріалів та в теорії тріщин. Встановлені границі можливості використання теорії тонких плит у разі жорсткого та шарнірного закріплення бічної поверхні. Дозволяють рекомендувати до використання базис Лур’є-Воровича для виконання аналізу НДС товстих плит та кубоподібних циліндрів, комбінованого використання базиси Лур’є-Воровича і Шиффа-Прокопова – для коротких циліндріві, базис Шиффа-Прокопова – для довгих. Одержані результати також можуть бути використані у навчальних курсах для студентів вищих навчальних закладів шляхом їхнього введення до посібників з відповідних спеціальних дисциплін: теорії тріщин та механіки композитних матеріалів.

Публікації і особистий внесок здобувача. Результати дисертаційної роботи викладені у 10-ти працях [1-10], з них [2,3,5] опубліковані у рецензованих наукових журналах із переліку фахових видань ВАК України для здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук із спеціальності 01.02.04 – “Механіка деформівного твердого тіла”. Результати роботи отримані автором самостійно. В публікаціях, виконаних в співавторстві з науковим керівником, д. ф.-м. н. В.А. Шалдирвану належить постановка задач, вибір методу розв’язання спектральних задач та числових методів розв’язання НСЛАР, обговорення результатів числового аналізу НДС та концентрації напружень біля границі, автору дисертації належить

- отримання однорідних і неоднорідних розв’язків в задачі згину циліндричних ізотропних і транстропних тіл, навантажених по торцям і вільно обпертих, стиснених або жорстко закріплених по бічній поверхні (типу Лур’є-Воровича);

- побудова однорідних і неоднорідних розв’язків в задачі згину коротких ізотропних циліндрів, навантажених по бічній поверхні і вільно обпертих та стиснених на торцях (типу Шиффа-Прокопова);

- асимптотичний аналіз нескінченних систем, до яких зводяться вищезазначені змішані задачі, і встановлення рівнянь для визначення показника ступеня особливості напружень на лінії зламу граничної поверхні;

- доведення збіжності рядів в поданнях вектора переміщень та тензора напружень;

- проведення чисельного аналізу поведінки НДС та концентрації напружень біля границі в широкому діапазоні зміну параметрів задачі.

Апробація роботи. Основні результати роботи доповідались і обговорювались на:

Конференції молодих вчених “Сучасні проблеми механіки й математики” (м. Львів, 2005 р.);

9-ій, 10-ій Міжнародних конференціях “Сучасні проблеми механіки суцільного середовища” (м. Ростов н/Д, 2005 р., 2006р.);

4-ій Міжнародній конференції “Актуальні проблеми механіки деформівного твердого тіла” (Донецьк-Мелекіно, 2006 р.);

Міжнародній науково-технічній конференції пам'яті акад. В.І. Моссаковського “Актуальні проблеми механіки суцільного середовища й міцності конструкцій” (м. Дніпропетровськ, 2007р.).

У повному обсязі робота доповідалась: на об’єднаному науковому семінарі кафедр теорії пружності і обчислювальної математики, прикладної механіки і комп’ютерних технологій Донецького національного університету та відділу аналітичної механіки гірничих порід ІПММ НАН України під керівництвом акад. НАН України В.П. Шевченка і проф. С.О. Калоєрова (м. Донецьк); на семінарі кафедри теоретичної і прикладної механіки Київського національного університету під керівництвом проф. В.В. Мелешка (м. Київ).

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу, чотирьох розділів, які містять 15 рисунків, 19 таблиць, висновку та списку використаних джерел із 127 найменувань. Обсяг тексту дисертації становить 135 сторінок машинописного тексту.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність проблематики, розкрито її суть і стан; сформульовано мету та основні наукові положення роботи, що виносяться на захист; зазначено зв'язок роботи з науковими програмами і планами; аргументовано її новизну, наукове та практичне значення, наведені дані про апробацію отриманих результатів.

У першому розділі зроблено огляд наукових праць, що стосуються проблеми визначення НДС тіл кінцевих розмірів при навантаженні одної частини поверхні і закріпленні іншої. Огляд охоплює етапи становлення основних методів розв’язку задач, відмічає проблему приведення та різні асимптотичні методи, що використовуються для розв’язання останньої, відзначає різні аспекти побудови розв’язку змішаних задач для циліндричних тіл скінчених розмірів.

Відзначено великий внесок у розробку методів розв’язку просторових задач теорії пружності робіт науковців: Б.Л. Абрамяна, О.К. Аксентян, В.М. Александрова, Г.М. Валова, І.І. Воровича, Б.Г. Гальоркіна, А.Л. Гольденвейзера, Г.О. Грінберга, В.Т. Грінченка, Я.М. Григоренка, О.С. Космодаміанського, Б.М. Кояловича, С.Г. Лєхницького, А.І. Лур’є, Ю.М. Немиша, П.Ф. Папковича, Ю.М. Подільчука, В.К. Прокопова, В.О. Стеклова, А.Ф. Улітка, Ю.А. Устінова, Я.С. Уфлянда, В.А. Шалдирвана, D.B. Bogy, W.T. Chen, M.L. Williams, G.B. Sinclair, T.C.T. Ting та інші.

Проблемою розрахунку товстих ізотропних та транстропних плит займалися: Є.В. Алтухов, О.К. Аксентян, А.А. Баблоян, Г.С. Буланов, В.В. Васильєв, О.М. Гомілко, В.Т. Грінченко, Ю.А. Груздьов, І.Г. Кадомцев, В.Є. Ковальчук, А.В. Колос, О.С. Космодаміанський, О.І. Косолапов, В.М. Ложкін, С.А. Лур’є, О.С. Малкіна, В.В. Мелешко, Ю.В. Мисовський, А.В. Плеханов, В.К. Прокопов, А.П. Прусаков, P.M. Раппопорт, Г.І. Роменська, А.Ф. Улітко, Ю.А. Устінов, М.І. Чебаков, В.А. Шалдирван, Г.Г. Шалдирван, М.А. Шленьов.

На основі аналізу літературних джерел робиться висновок, що в рамках теорії пружності недостатньо вивчений НДС, що виникає в ізотропних і транстропних плитах і коротких циліндрах при змішаних умовах на границі тіла; вплив на НДС геометричних, фізичних і механічних параметрів і способу закріплення границі циліндричного тіла.

У другому розділі сформульовано постановку, охарактеризовано концепцію розв’язання та отримані елементарні розв’язки допоміжних однорідних задач для шару й нескінченного циліндра. Ці задачі полягають у визначенні компонент вектора переміщень точок ізотропного шару з рівнянь Ламе

що задовольняють граничними умовами одного з наступних типів:

а) – торці вільні від навантажень;

б) – торці вільно обперті.

Всякий розв’язок системи Ламе, що задовольняє умовам а)-в) будемо називати однорідним або елементарним розв’язком.

Аналогічні задачі розглядаються і для нескінченного циліндру та транстропного шару.

Для пошуку елементарних розв’язків використаємо представлення

,

, (1)

де знак “” визначає суперпозицію вихрового і потенціального розв’язків.

Задача А). Знайти розв’язки рівняння Ламе з умовами а) в задачі згину.

Елементарні розв’язки вихрового типу отримані наступними

, , ,

де, , – власні значення, що визначаються з рівняння; – метагармонічні функції. При цьому випадок доречно розглядати окремо.

Елементарні розв’язки потенціального типу одержані такими

, , ,

де власні функції мають вигляд

,

,

а власні значення задовольняють рівнянню,; – метагармонічні функції. Випадок також доцільно розглядати окремо. Таким чином, нуль є простим в вихровому і триразовим в потенціальному розв’язках, тобто нуль – чотириразове власне значення.

Елементарні розв’язки бігармонічного типу. Для кратного кореня, відповідно до теорії несамосопряжних операторів, необхідно будувати додатково елементарні розв’язки так званого проникаючого типу. Останні задаємо у вигляді

,

,

.

У результаті проведення викладень знаходимо (вибираючи відповідним чином довільні константи) відомий бігармонічний розв’язок А.І. Лур'є ()

Таким чином, показано, що загальний розв’язок задачі згину шару з умовами а) представимо у вигляді суперпозиції бігармонічної, потенціальної і вихрової складових

. (2)

Задача Б). Знайти розв’язки рівнянь Ламе з умовами б) в задачі розтягу-стиску.

Побудова елементарних розв’язків вихрового та бігармонічного типу принципово не відрізняється від задачі а).

Елементарні розв’язки вихрового типу мають вигляд

, , ,

де, ,– власні значення, що визначаються з рівняння; - метагармонічні функції.

Елементарні розв’язки бігармонічного типу отримані наступними

Що ж стосується потенціальних елементарних розв’язків, то (оскільки крім кратного нульового власного значення у відповідних спектральних задачах присутні також і ненульові) в цій задачі будуються елементарні розв’язки потенціального типу 2-го порядку у вигляді

,

,

.

Після необхідних перетворень у роботі для них одержані такі вирази:

, ,

.

Останні співпадають з розв’язком, побудованим В.А. Шалдирваном і Г.С. Булановим (1980).Тобто розв’язок цієї задачі також може бути представлений у вигляді (2).

В інших задачах елементарні розв’язки знаходяться аналогічним шляхом. У третьому та четвертому розділах побудовані однорідні базиси використовуються для отримання розв’язків змішаних задач.

У третьому розділі розгладаються скінченні тіла циліндричної форми. На їхніх поверхнях задаються різні змішані граничні умови, що призводять до вісесиметричного згину.

Предметом дослідження є: товсті плити (), кубоподібні () і короткі () циліндри. Для них розглядаються два класи задач:

I) на торцях тіла задані нормальні напруження

(3)

а бічна поверхня закріплена одним із чотирьох способів

а) – вільна від зусиль (задача IA) ;

б)– жорстко закріплена (задача IБ);

в) – шарнірно закріплена (задача IВ);

г)– стиснена (задача IГ).

II) на бічній поверхні задані нормальні напруження

(4)

а торці закріплені одним із трьох способів

а)– вільні від зусиль (задача IIA);

б) – шарнірно закріплені (задача IIБ);

в) – стиснені (задача IIВ).

Розв’язок задач I-го класу будується за допомогою представлення

в якому, задовольняють рівнянням Ламе та граничним умовам (3), останні – відповідним до (3) однорідним умовам. Граничні умови на циліндричній поверхні задовольняються за допомогою модифікованого метода Бубнова-Гальоркіна, який приводить до НСЛАР відносно коефіцієнтів. Ця система структурно може бути записаною таким чином

, ,.

Система розв’язувалась методом простої редукції. Розрахунки проводились в широкому спектрі зміни параметрів задач. При цьому кількість невідомих варіювалась в межах від 100 до 5000 невідомих, що дозволяло отримати розв’язки з точністю до третьої знакової цифри. За допомогою формул для переміщень проведено дослідження нормальних окружних напружень у шарнірно закріпленому по бічній поверхні циліндрі (на рис.1 цифра 1 відповідає h=1, 2 – h=2, 3 – h=5 і 4 – h=20). При значній товщині () НДС циліндра відмінно від нульового безпосередньо тільки поблизу торців. Аналогічні дослідження проводилися в задачі для циліндра з жорстко закріпленою поверхнею. Виявилося, що переміщення короткого цилиндра (h=2) в цьому випадку приблизно на 15% менші.

Вплив коефіцієнта Пуассона на розподіл НДС демонструється на рис. 2. Ліворуч наведені епюри нормальних радіальних напружень, що виникають у кубоподібному жорстко закріпленому циліндрі на бічній поверхні, праворуч осьові переміщення при r=0. Цифрами позначені матеріали: 1) бетон - , G=8 ГПа; 2) сталь - 0,3, G=80 ГПа 3) свинець - 0,45, G=8 ГПа і 4) граничний випадок - 0,49. Як видно з рис. 2 максимальні стискаючі напруження для цих матеріалів відрізняються в деяких областях в кілька разів, а область їхньої дії з ростом постійно розширюється. При цьому максимум напружень (тонка пунктирна лінія) зміщується до торців циліндра. Що стосується осьового переміщення, то при <0,3 воно описується монотонно зростаючою вигнутою функцією. При з'являється точка перегину (на малюнку – точка перетинання кривих), а при максимум переміщення зміщується з поверхні в середину циліндра (тонка пунктирна крива).

У цьому розділі також отримані межі застосування прикладної теорії. За міру близькості функції wПТ (прогин серединної поверхні жорстко закріпленої по краю тонкої пластинки) і w використано наступний коефіцієнт відхилу

(5)

Дослідження показали, що його значення слабко (1) залежить від коефіцієнта Пуассона і типу норми (якщо норма Гільбертова, то виникаючі при цьому в (5) інтеграли обчислюються чисельно). Якщо , то; якщо, то і якщо, то. Подібні дослідження для шарнірно закріпленої пластинки показали збільшення наведених границь приблизно у два рази.

Далі обговорюється питання про можливості використання базисів різних типів. Пропонується алгоритм поліпшення якості розв’язку з використанням асимптотичної теорії НСЛАР, що базується на використанні контурних інтегралів, які зводяться до перетворень Мелліна. Для коефіцієнтів розкладень розв’язку задачі IБ використовується представлення:

по базису Лур’є-Воровича

,

по базису Шиффа-Прокопова

Тут показник степені в обох випадках визначається із трансцендентного рівняння

, (6)

Оскільки НСЛАР для задач ІВ і ІБ структурно співпадають (для базису Шиффа-Прокопова структура НСЛАР співпадає для задач ІІ-го класу), то для коефіцієнтів має місце те саме представлення, але для отримаємо інше рівняння

.

В результаті НСЛАР зводиться до скінченої системи типу

Для отримання результатів з точністю 10-6 в останній достатньо вибрати .

На основі асимптотичного аналізу в задачі ІБ встановлено, що ряди для переміщень і напружень збігаються рівномірно всередині циліндру, а на його поверхні справедливі такі оцінки

, ,

тобто ряди для переміщень збігаються всюди, а ряди для напружень – принаймні при .

У четвертому розділі наводяться результати досліджень НДС короткого суцільного та кільцевого транстропного циліндричного тіла з використанням однорідного базису, отриманного в розділі 2. Для поліпшення якості розв’язку використовується асимптотична теорія НСЛАР.

Досліджується вплив анізотропії й товщини матеріалу на НДС у вказаних тілах (рис. 3 – 5). В якості матеріалів розглядаються такі: 1) ізотропний цинк Zn, 2) транстропний цинк Zn(H) і 3) транстропний цинк Zn(M). Суцільні лінії відповідають товстій плиті (h=0,5), штрихові – кубоподібному циліндру (h=1,0) і пунктирні – короткому циліндру (h=4,0).

На рис. 3 наведено максимальні прогини (r=0) і радіальні переміщення (r0,5).

Врахування анізотропії матеріалу призводить до значного збільшення максимальних за абсолютним значенням компонентів вектора переміщень. Так, наприклад, при h=0,5 маємо;. Ця різниця росте з ростом h: для кубоподібного циліндра -; й при h=4 -;. Прогини транстроп-них тіл нелінійні по товщині і перевищують прогини ізотропного тіла майже в два рази. Максимальне значення як радіальних зсувів, так і прогинів досягається для транстропного цинку Zn(M).

На рис. 4 наведено розподіл максимальних значень напружень (значення фактично збігаються). На рис. 5 представлені аналогічні результати для напружень і. Аналіз показує, що у разі ізотропного матеріалу напруження мають найменші значення. Далі розташовані епюри, що відповідають матеріалу Zn(H). Вище всіх розташована крива для Zn(M). Потрібно відзначити, що для розподілу при h0,8 криві міняють порядок розташування на зворотний. При невеликих значеннях товщини (h0,5) розподіл для анізотропних матеріалів наближається до прямої лінії. З ростом товщини міняє опуклість свого графіка на ввігнутість. Для будь-яких h має яскраво виражений мінімум при. З ростом товщини напруження в анізотропних матеріалах зближаються за своїми значеннями.

У роботі, з метою поліпшення якості розв’язку, проведені додаткові дослідження НСЛАР. Для коефіцієнтів розкладень, на підставі асимптотичного аналізу, запропоновано використовувати представлення виду

, (7)

у якому визначається із трансцендентного рівняння

. (8)

Тут, ,.

Для констант розкладання виконується асимптотичне співвідношення

.

Наведемо корені рівняння (8) (значення показника степені) для деяких матеріалів: сплав CoNi - – q=-0,511, цинк I – q=-0,685, кераміка I– q=-0,721, граніт – q=-0,921.

Якщо в рівнянні (8) здійснити граничний перехід до ізотропного матеріалу, то, з урахуванням співвідношень

, ,

приходимо до трансцендентного рівняння (6), рішення якого обговорювалося в третьому розділі. Аналогічні дослідження були проведені й для інших змішаних задач згину суцільного транстропного циліндра.

Вірогідність параметра може бути оцінена за допомогою введення інтегрального коефіцієнта відхилу

Ліва частина рис. 6 демонструє залежність від вибору показника q для сплаву CoNi. Якщо в якості q вибрати значення близьке до кореня трансцендентного рівняння, то відхил буде мінімальним. На правій частині рис. 6 представлені значення в залежності від кількості доданків у рядах для транстропних циліндрів із матеріалів: Цинк I і Цинк II при . Обчислення при цьому проводилися з виділенням особливості (пунктирні лінії) і без виділення (суцільні лінії). Виділення особливості дозволяє поліпшити точність розв’язку задачі для кожного матеріалу як мінімум на порядок.

В цьому розділі також проводиться дослідження НДС кільцевих транстропних циліндрів, внутрішня циліндрична поверхня яких жорстко закріплена, а зовнішня вільна від навантажень, стиснена, шарнірно закріплена або жорстко закріплена.

На рис. 7 для кільцевої транстропної плити (Cd І) з жорстко закріпленими бічними поверхнями представлені розподіли значень величин і .

Напруження, що виникають в товстих плитах біля внутрішньої бічної поверхні, помітно перевершують ті, що є на зовнішній. При збільшенні відносної висоти (або зменшенням відносної товщини) цей ефект зменшується. Спостерігається вирівнювання напружень, тобто фактично розподіл стає симетричним щодо циліндричної поверхні, рівновіддаленої від бічних поверхонь циліндра. Із представлених даних також видно, що при збільшенні відносної товщини поблизу серединної поверхні виникає недеформована зона, деформована зона істотно не міняється і додатні напруження поблизу бічної поверхні ростуть. Область, у якій розрахунок напружень утруднений через наявності особливості, збільшується при зближенні граничних поверхонь. Переміщення з ростом товщини спадають і їхній максимум зміщується із внутрішньої області на торці.

На рис. 8 представлено розподіл напружень уздовж зовнішньої криволінійної поверхні в задачах згину кільцевого циліндра. Розрахунки проводились для і двох значень висоти: суцільні лінії відповідають товстій плиті з , пунктирні – циліндру з . Криві, відмічені трикутниками, відносяться до шарнірно закріпленого тіла. На рис. 9 наведені ті самі напруження , але вже уздовж внутрішньої поверхні. З наведених результатів випливає, що при шарнірному закріпленні зовнішньої поверхні напруження на внутрішній зростають. При збільшенні відносної висоти цей ефект підсилюється. Для інших матеріалів мають місце аналогічні ефекти.

ВИСНОВКИ

Основні результати дисертаційної роботи можна сформулювати в такий спосіб:

1. Дано узагальнення однорідних розв’язків на випадок довільних класичних однорідних умов на торцях шару або на бічній поверхні циліндра. На основі спектральної теорії несамоспряжених диференціальних операторів запропонована процедура побудови елементарних розв’язків для кратних точок спектра диференціальних операторів, що входять у формулювання граничних задач.

2. Розв’язані основні змішані задачі для ізотропних товстих плит і коротких циліндрів, зроблено повний аналіз НДС в залежності від геометричних та фізико-механічних параметрів, а також способу закріплення частини граничної поверхні (бічної поверхні або торців).

3. Встановлено, що використання однорідного базису Лур’є-Воровича найбільш прийнятне для кількісного опису крайових ефектів у змішаних задачах для товстих плит і циліндрів, близьких до кубоподібних, у той час як базис Шиффа-Прокопова можна використати для коротких і довгих циліндрів.

4. Вперше за допомогою асимптотичного аналізу нескінченних систем, встановлено трансцендентне рівняння (8) для визначення показника степені особливості в транстропному жорстко закріпленому по бічній поверхні циліндрі. При цьому показано, що за допомогою граничного переходу до ізотропного матеріалу рівняння (8) переходить у відоме рівняння для клина (6). Установлено також, що в транстропному (як й в ізотропному) циліндрі із шарнірно закріпленою бічною поверхнею особливості в напруження не виникає.

5. Виділення повільно збіжної частини рядів і використання для їхнього підсумовування методу Чезаро дозволяє розширити границі застосування базису Лур’є-Воровича на випадок коротких циліндрів, а базису Шиффа-Прокопова – товстих плит. Це дозволило при проведенні дослідження НДС циліндричних тіл використовувати тільки базис Лур’є-Воровича.

6. Встановлені границі застосування двовимірних моделей. Вказано значення товщин плити, при яких прикладна теорія дає результат із заданою точністю.

7. Наведені оцінки збіжності рядів, що описують НДС, як усередині циліндра, так і на його границі. Показано, що ряди для переміщень (по базису Лур’є-Воровича) сходяться всюди в циліндрі, включаючи і його границю, а для напружень – розходяться лише в кутовій точці.

Розглянута в роботі методика побудови базису може бути поширена й на інші типи однорідних граничних умов. Процедура асимптотичного аналізу розв’язку НСЛАР разом з виділенням повільно збіжної частини рядів може бути використана для поліпшення якості розв’язку в інших змішаних задачах теорії пружності.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Шалдырван В.А., Васильев Т.А. К задачам изгиба цилиндрических тел с шарнирно закрепленной боковой поверхностью // Изв. вузов, Сев.-Кавк. Регион. Сер. Естеств. науки. – 2005. – Вып. 1. – С.34–38.

2. Шалдырван В.А., Васильев Т.А. Некоторые математические модели изгиба неравномерно нагруженных цилиндрических тел // Вісн. Донец. ун-ту. Сер. А. Природничі науки. – 2005. – Вип. 1. – С. 127 – 133.

3. Шалдырван В.А., Васильев Т.А. О методе Лурье-Воровича в смешанных задачах изгиба цилиндрических тел // Прикладная механика. – 2005. – Т.41, вып.8. – С.58-65.

4. Васильєв Т.А. Дослідження деформації згину в змішаних задачах теорії пружності // Конф. молодих учених із сучасних проблем механіки і математики: Тези доповідей. Львів, 24-27 травня 2005р. – С. 23 – 25.

5. Васильев Т.А. Изгиб транстропных цилиндрических тел с шарнирно закрепленной боковой поверхностью // Вісн. Донец. ун-ту. Сер. А. Природничі науки. – 2005. – Вип. 2. – С. 43 – 47.

6. Шалдырван В.А., Васильев Т.А. Некоторые численные аспекты реализации методом Лурье-Воровича задачи о деформиовании короткого кольцевого цилиндра // Современные проблемы механики сплошной среды: Тр. IX Междунар. конф. Ростов н/Д., 11-15 октября 2005г. – Ростов н/Д: ООО ЦВВР, 2005. – С. 212 – 217.

7. Васильев Т.А., Шалдырван В.А. К исследованию прочностных характеристик при деформировании горных осадочных пород // Актуальні проблеми механіки деформівного твердого тіла: Матеріали ІV Міжнар. наук. конф. Донецьк- Мелекіно, 12-14 червня 2006р. – Донецьк: Юго-Восток, 2006. – С. 31 – 34.

8. Шалдырван В.А., Васильев Т.А. Об использовании спектральной теории несамосопряженных операторов для определения деформационных характеристик пространственных тел // Современные проблемы механики сплошной среды: Тр. X Междунар. конф. Ростов н/Д., 5-9 декабря 2006г. – Ростов н/Д: ООО ЦВВР. –2006. – С. 285 – 290.

9. Шалдырван В.А., Васильев Т.А. Исследование смешанных задач изгиба кругового цилиндра с помощью решений Лурье-Воровича // Механика композиционных материалов и конструкций. – 2007. - Вып. 2. – С. 49 – 62.

10. Васильев Т.А., Шалдырван В.А. К исследованию прочностных характеристик при деформировании горных осадочных пород // Актуальні проблеми механіки суцільного середовища і міцності конструкцій: Тези доповідей Міжнар. наук.-техн. конф. Дніпропетровськ, 17-19 жовтня 2007р. - С. 307 – 308.

АНОТАЦІЇ

Васильєв Т.А. Аналіз напружено-деформованого стану в змішаних задачах згину скінчених циліндричних тіл. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла. - Донецький національний університет, Донецьк, 2007.

Дисертація присвячена дослідженню змішаних задачах згину для ізотропних та транстропних скінчених циліндричних тіл.

Із застосуванням теорії несамоспряжних диференціальних операторів запропонована процедура побудови елементарних розв’язків однорідних допоміжних задач для шару та нескінченного циліндру в випадку існування кратних точок спектру. Побудовано однорідні базиси основних однорідних допоміжних задач. Компоненти переміщень та напружень відшукуються у вигляді розкладень в ряди по елементарним розв’язкам. Для побудови розв’язку застосовуються методи зведення системи функціональних рівнянь до нескінчених систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Останні розв’язуються методом простої та покращеної (із застосуванням асимптотичної теорії) редукції.

Проведено аналіз напружено-деформованого стану в широкому інтервалі зміни фізичних та геометричних параметрів. Проведено аналіз можливості застосування при розгляді змішаних задач різних форм однорідних розв’язків. Подані практичні оцінки границь застосування прикладної теорії тонких плит.

Для показника степені особливості на ребрі ізотропного та транстропного циліндра отримані трансцендентні рівняння. Проведено аналіз збіжності рядів для напружень та переміщень в тілі та на його поверхні. На основі асимптотичної теорії запропоновано алгоритм прискорення збіжності рядів для напружень поблизу граничної поверхні тіла. Встановлено, що виділення повільно збіжної частини рядів і використання підсумовування рядів по методу Чезаро дозволяє розширити границі застосування базису Лур’є-Воровича на випадок коротких циліндрів і базису Шиффа-Прокопова - товстих плит. Це дозволило при проведенні дослідження НДС циліндричних тіл використати тільки базис Лур’є-Воровича. Коефіцієнти інтенсивності розраховані за допомогою теорії лишків. Розглянута в роботі методика побудови базису може бути поширена й на інші типи однорідних граничних умов. Процедура асимптотичного аналізу розв’язку НСЛАР разом з виділенням повільно збіжної частини рядів може бути використана для поліпшення якості розв’язку в інших змішаних задачах теорії пружності.

Ключові слова: ізотропний, транстропний, шар, скінчений, кубоподібний циліндр, плита, змішана задача, задача згину, несамосопряжений диференціальний оператор, елементарні розв’язки, вихровий, потенціальний, бігармонічний стан, однорідні розв’язки, базис Лур’є-Воровича, метод Бубнова-Гальоркіна, нескінченна система, редукція, метод Чезаро, головний розв’язок.

Васильев Т.А. Анализ напряженно-деформированного состояния в смешанных задачах изгиба конечных цилиндрических тел. - Рукопись.

Диссертация посвящена исследованию смешанных задач изгиба изотропных и транстропных конечных цилиндрических тел в.

С применением теории несамосопряженних дифференциальных операторов предложена процедура построения элементарных решений однородных вспомогательных задач для слоя и бесконечного цилиндра в случае существования кратных точек спектра. Построены однородные базисы основных однородных вспомогательных задач. Компоненты перемещений и напряжений отыскиваются в виде разложений в ряды по элементарным решениям. Для построения решения применяются методы сведения системы функциональных уравнений к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений. Последние решаются методом простой и улучшенной (с применением асимптотической теории) редукции.

Проведен анализ напряженно-деформированного состояния в широком интервале изменения физических и геометрических параметров. Осуществлен анализ возможности применения при рассмотрении смешанных задач разных форм однородных решений. Представлены практические оценки границ применения прикладной теории тонких плит.

Для показателя степени особенности на ребре изотропного и транстропного цилиндра получены трансцендентные уравнения. Проведен анализ сходимости рядов для напряжений и перемещений в теле и на его поверхности. На основе асимптотической теория предложен алгоритм ускорения сходимости рядов для напряжений вблизи граничной поверхности тела. Установлено, что выделение медленно сходящейся части рядов при использовании суммирования по методу Чезаро позволяет расширить границы применимости базиса Лурье-Воровича на случай коротких цилиндров и базиса Шиффа-Прокопова – толстых плит. Это дало возможность при проведении исследования НДС цилиндрических тел использовать только базис Лурье-Воровича. Коэффициенты интенсивности рассчитаны с помощью теории вычетов. Рассмотренная в работе методика построения базиса может быть распространена и на другие типы однородных граничных условий. Процедура асимптотичного анализа решения БСЛАУ вместе с выделением медленно сходящейся части рядов может быть использована для улучшения качества решения в других смешанных задачах теории упругости.

Ключевые слова: изотропный, транстропный, слой, короткий, кубообразный цилиндр, плита, смешанная задача, задача изгиба, несамосопряженный дифференциальный оператор, элементарные решения, вихревое потенциальное, бигармоническое состояние, однородные решения, базис Лурье-Воровича, метод Бубнова-Галеркина, метод Чезаро, главное решение.

Vasiliev T.A. Analysis of stress-strain state in mixed boundary value problems for bending of finite length cylindrical bodies. - Manuscript.

Thesis for candidate’s degree of physical and mathematical sciences on specialty 01.02.04 – Mechanics of Deformable Solid, Donetsk National University, Donetsk, 2007.

The dissertation is devoted to research of stress-strain state of isotropic and transversely isotropic finite length cylindrical bodies in mixed boundary value problems.

By means of the spectral theory of non self-adjoint differential operators in case of doubled point’s spectrum it was offered the procedure to obtain elementary solutions for homogeneous assistant problems for layer and infinite cylinder. The homogeneous bases were got for basic homogeneous assistant problems.

The components of displacement vector were taken in series by elementary solutions. To build the solution were used methods of reducing the system of functional equations to infinite system of linear algebraic equations. The last one were solved both the method of simple reduction and the method of improved reduction (by use of asymptotic theory).

The analysis of stress-strain state in mixed boundary value problems for bending of finite length cylindrical bodies was provided in wide interval of changing of physical and geometrical parameters. The principal possibility of using different kinds of homogeneous solutions was discussed. The practical estimates for boundaries of the theory of thin plates were given. For power of singularity on corner line of isotropic and transversely isotropic cylinder was established transcendental equations. The convergence of series for displacements and stresses was investigated. On basis of asymptotic theory the algorithm of improvement of convergence for series of stresses was provided. The intensity factors were obtained by means of the theory of residuals.

Keywords: isotropic, transversely isotropic layer, short cylinder, cubical cylinder, plate, mixed problem, bending, non self-adjoint operator, elementary solutions, homogeneous solutions, method Bubnova-Galerkina, main solution.