МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ЛУЦЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ГЕРАСИМЧУК ПАВЛО ВІТАЛІЙОВИЧ

УДК 539.3

Розрахунок напружень та коефіцієнтів інтенсивності у пластинчастих елементах конструкцій при контакті берегів дугових тріщин

01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Луцьк – 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Луцькому державному технічному університеті

Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор

Сулим Георгій Теодорович, Львівський національний університет імені Івана Франка МОН України,

завідувач кафедри механіки, м. Львів.

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор

Піскунов Вадим Георгійович,

Національний транспортний університет МОН України,

завідувач кафедри опору матеріалів і машинознавства,

м. Київ;

доктор технічних наук, професор

Сяський Андрій Олексійович,

Рівненський державний гуманітарний університет МОН України, завідувач кафедри інформатики та прикладної математики, м. Рівне.

Захист дисертації відбудеться “_04_” червня 2008 р. о __14_____ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д .075.01 у Луцькому державному технічному університеті за адресою: 43018, м. Луцьк, вул. Львівська, 75.

З дисертацією можна ознайомитися в науковій бібліотеці Луцького державного технічного університету за адресою: 43018, м. Луцьк, вул. Львівська, 75.

Автореферат розісланий “__2__” травня 2008 р.

Учений секретар

спеціалізованої вченої ради,

кандидат технічних наук Бондарський О.Г.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. В інженерній практиці широко використовуються пластини і оболонки як тонкостінні елементи конструкцій. Згідно з сучасним уявленням про руй-нування матеріалів їх функціональні здатності великою мірою залежать від наявності дефектів типу тріщин, які різко знижують допустиме навантаження, яке міг би витри-мати конструктивний елемент за відсутності такого гострокінцевого дефекту, та експлуатаційний ресурс конструкції в цілому внаслідок спричиненого тріщинами розвитку втомного руйнування. Тому під час проектування, експлуатації та переатеста-ції таких конструкцій після капітального ремонту чи закінчення проектного терміну експлуатації важливо знати, як ці дефекти впливають на концентрацію напружень, міцність конструкцій та на їх характеристики жорсткості. Слід зазначити, що такі трі-щиноподібні дефекти можуть виникнути як під час виготовлення (випадково чи з технологічною метою), так і експлуатації конструкції. Вони є потужними концентрато-рами напружень і саме біля них зароджуються та розвиваються вогнища пластичної деформації та руйнування. Тому основним завданням під час оцінювання напружено-деформованого стану з тріщиноподібними дефектами довільної природи та походжен-ня є вивчення розподілу напружень і деформацій в околі вершини тріщини за різних видів навантаження, що характеризується коефіцієнтами інтенсивності зусиль та моментів у тонкостінних елементах. З’ясування питання, чи береги наведеної чи спонтанно утвореної тріщини розходяться, чи ж контактують, має самостійне значення з погляду, скажімо, забезпечення непроникності й герметичності конструкції.

Оскільки пластинчасті елементи конструкцій на практиці найчастіше працюють під згинальним навантаженням, то при цьому напруження на лицевих поверхнях пластин матимуть різні знаки і при наявності тріщиноподібних дефектів їх береги в зоні стискувальних напружень будуть між собою контактувати. Урахування цього факту обумовлює потребу розв’язувати тривимірну задачу теорії пружності, що є з математичного погляду дуже складною проблемою внаслідок і того, що область контакту є заздалегідь невідомою. Для спрощення задачі йдуть шляхом заміни тривимірної задачі на одну чи декілька двовимірних. Проте, загальновживане донедавна використання з цією метою класичної теорії згину пластин (чи інших набагато загальніших і через це складніших) без урахування контакту берегів, приводить до протиріччя – отримані розв’язки дають фізично неприйнятне взаємопроникнення берегів тріщини в зоні стискувальних напружень. Тому були запропоновані математичні моделі цього явища, які усувають це протиріччя моделюванням контакту берегів тріщин. Для реалізації таких підходів розв’язок задачі подавався у вигляді розв’язків двох взаємопов’язаних задач: плоскої задачі теорії пружності з рівномірно розподіленими по товщині невідомими напруженнями на берегах тріщини та задачі згину з відомим (компенсувальним щодо плоскої задачі) зовнішнім силовим навантаженням та невідомими згинальними моментами на берегах тріщини. Такі дослідження проводилися майже виключно для прямолінійних тріщин.

Дисертаційна робота спрямована на розв’язання наукового завдання, пов’язаного з розвитком досліджень напружено-деформованого стану у пластинчастих елементах конструкцій за наявності в ній наскрізних криволінійних (по дузі кола) тріщин, береги яких контактують під дією рівномірно розподілених чи зосереджених згинальних моментів.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Результати досліджень, включених до дисертаційної роботи, були отримані автором як виконавцем наукової держбюджетної теми Луцького державного технічного університету № 0107U000230 – „Розробка методів розрахунку криволінійних траєкторій поширення втомних тріщин в елементах конструкцій та способів сповільнення їх руху”.

Мета і завдання досліджень. Метою досліджень дисертаційної роботи є опрацювання методики виявлення закономірностей формування повного гладкого лінійчатого контакту берегів наскрізних тріщин по дузі кола, а також його впливу на зміну напружено-деформованого стану пластинчастих елементів конструкцій та коефіцієнтів інтенсивності зусиль і моментів як базових характеристик для розрахунку граничного стану та опору розвиткові тріщин за згину під дією рівномірно розподілених і зосереджених згинальних моментів.

Досягнення мети передбачає вирішення таких головних завдань:

1. Математичне формулювання задач згину пластинчастих елементів конструкцій із криволінійними тріщинами як задач про згин нескінченної пластини з однією чи двома тріщинами по дузі кола, береги яких гладко контактують уздовж лінії;

2. Розробка методик розв’язування задач згину пластин:

а) з тріщиною по дузі кола з урахуванням контакту її берегів

· рівномірно розподіленими згинальними моментами;

· одним чи двома зосередженими згинальними моментами, прикладеними на серединному перпендикулярі тріщини;

б) з двома однаковими тріщинами по дузі кола з урахуванням контакту їх берегів рівномірно розподіленими згинальними моментами за геометричної і фізичної симетрії.

3. Виявлення умов непроникливості конструкції, коли можна застосовувати отримані математичні розв’язки поставлених задач.

4. Аналіз побудованих розв’язків, з’ясування механічних ефектів, формулювання висновків.

Об’єктом досліджень виступають пластинчасті елементи конструкцій з однорідного матеріалу з наскрізними криволінійними тріщинами по дузі кола, береги яких за впливу згинальних деформацій можуть контактувати між собою.

Предметом досліджень є створення методики розв’язування задач згину пластинчастих конструкційних елементів з наскрізними викривленими (дуговими) тріщинами, аналіз умов виникнення за дії згинальних деформацій повної лінійчатої контактної взаємодії берегів тріщини та розрахунок спричиненого цим контактом напружено-деформованого стану, концентрації зусиль і моментів в околі кінців цих тріщини, які обумовлюють непроникність, міцність та експлуатаційний ресурс конструкції.

Методи дослідження. Сформульовані задачі згину нескінченних пластин з тріщинами по дузі кола з урахуванням контакту їх берегів розв’язано за допомогою методів теорії функцій комплексної змінної та комплексних потенціалів плоскої задачі теорії пружності і класичної теорії згину пластин. Вони зведені спочатку до задач лінійного спряження аналітичних функцій, а потім до диференціальних рівнянь для знаходження невідомих контактних зусиль між берегами тріщин.

Наукова новизна отриманих результатів полягає в наступному:

– здійснене математичне формулювання задач згину пластинчастих елементів конструкцій із криволінійними тріщинами як задач про згин нескінченної пластини з тріщинами уздовж дуги кола, береги яких гладко контактують уздовж лінії;

– побудовано аналітичні розв’язки задач про згин пластини з однією чи двома однаковими симетрично розташованими тріщинами уздовж дуги кола, береги яких гладко контактують уздовж лінії, рівномірно розподіленими на нескінченності згинальними моментами, а також з однією тріщиною при дії зосереджених моментів, прикладених в центрі кола чи на серединному перпендикулярі тріщини;

– з’ясовано умови, за яких виникає повний контакт берегів тріщин, зберігаючи непроникливість конструкції, та можливе формулювання задач у такій постановці.

Достовірність отриманих результатів обумовлена надійністю та ефективністю застосування методів механіки деформівного твердого тіла до визначення напружено-деформованого стану пластинчастих елементів конструкцій; математичною строгістю постановок задач про контакт берегів тріщини по дузі кола при згині пластини та застосуванням апробованих тривалим використанням у світовій науковій практиці математичних методів побудови їх розв’язку, узгодженням отриманих результатів у граничному випадку із відомими розв’язками для прямолінійної тріщини, береги якої контактують.

Теоретичне значення роботи полягає у розвитку методики розв’язування задач про згин пластини з наскрізними криволінійними тріщинами з урахуванням контакту їх берегів та побудові точних аналітичних розв’язків сформульованих задач; у отриманні засобів оцінки впливу їх контакту на напружено-деформований стан пластин, зокрема на основні параметри опису концентрації напружень у таких конструкціях _коефіцієнти інтенсивності зусиль і моментів.

Практичне значення отриманих результатів. Отримані в роботі аналітичні розв’язки напружено-деформованого стану пластини з тріщинами по дузі кола з урахуванням контакту їх берегів за згину та побудовані прості інженерні залежності дають можливість набагато точніше оцінити вплив на міцність та втомний ресурс пластинчатих елементів конструкцій викривлених тріщиноподібних дефектів, створювати оптимальні щодо матеріаломісткості та міцності і ресурсу експлуатації конструкції, точніше призначати науково обґрунтований ресурс конструкції після закінчення терміну експлуатації, відновлювального та капітального ремонту. Отримані в дисертаційній роботі результати можна використати у машинобудуванні, приладобудуванні, авіаційній, будівельній, суднобудівній та інших галузях техніки.

Результати досліджень впровадженні у ПП «Галкомсервіс» для розрахунку граничних навантажень та довговічності експлуатації висотних металевих конструкцій, у ПП «Вагінтур» для розрахунку максимального навантаження на щоглові конструкції, у ТзОВ ТТК «УНІКО» для інженерних розрахунків граничного навантаження на металеві конструкції башт та щогл для станцій мобільного зв’язку ЗАТ «Київстар», у навчальний процес Луцького державного технічного університету.

Особистий внесок здобувача. Всі подані в роботі задачі дисертант розв’язав самостійно, написав програми для числового аналізу задач, здійснював числові експерименти та формулював висновки. У спільних публікаціях [1, 3, 4, 6_, 14] співавтору Божидарніку В.В. належить співучасть у математичному формулюванні задач; у [1, 3_, 14, 15] співавтору Опанасовичу В.К. – співучасть у обґрунтуванні математичної структури потенціалів; у [5, 15] науковому керівнику Сулиму Г.Т. – формулювання мети дослідження, плану роботи, співучасть у математичному формулюванні задач. Усі співавтори брали участь у аналізі результатів та формулюванні висновків.

Результати досліджень, опубліковані у працях [2, 12, 13], отримані автором самостійно.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідалися на 9 наукових конференціях:

· ІІІ Міжнародна конференція “Механіка руйнування і міцність конструкцій”. – Львів. – 2004 р.;

· Всеукраїнська наукова конференція “Сучасні проблеми механіки”. – Львів, 2_ листопада 2004 р.;

· The Sixth Polish-Ukrainian Conference “Current problems of mechanics of nonhomogeneous media”. _ Warsaw, Poland, 6–10 September 2005;

· Відкрита науково-технічна конференція молодих науковців і спеціалістів Фізико-механічного інституту ім. Г. В. Карпенка НАН України “Проблеми корозійно-механічного руйнування, інженерія поверхні, діагностичні системи”. – Львів, 21-23 вересня 2005 р.;

· Міжнародна науково-технічна конференція “Динаміка, міцність і ресурс машин та конструкцій”. – Київ, Україна, 1–4 листопада 2005 р.;

· Всеукраїнська наукова конференція “Сучасні проблеми механіки”. – Львів, 5–8 грудня 2005 р.;

· VII міжнародна наукова конференція “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур”. – Львів, 20–23 вересня 2006 р.;

· XІІІ міжнародний колоквіум “Механічна втома матеріалів 2006”. – Тернопіль, 25–28 вересня 2006 р.;

· VII польсько-український науковий симпозіум “Актуальні задачі механіки неоднорідних середовищ”. – Львів, 5_вересня 2007 р.

Результати дисертації у повному обсязі доповідалися на розширеному науковому семінарі кафедри технічної механіки Луцького державного технічного університету (керівник – д.ф.-м..н., проф. Максимович В.М.), семінарі «Питання механіки суцільного середовища» Львівського національного університету імені Івана Франка (керівник – чл.-кор. НАНУ, д.т.н., проф. Андрейків О.Є.), міжкафедральному семінарі «Динаміка та проблеми міцності» Національного транспортного університету (керівники – д.т.н., проф. Рассказов О.О., д.т.н., проф. Піскунов В.Г.), на об’єднаному семінарі кафедри інформатики та прикладної математики Рівненського державного гуманітарного університету і кафедри прикладної математики Національного університету водного господарства і природокористування (керівник – д.т.н., проф. Сяський А.О.).

Публікації. Результати дисертаційної роботи подано у 15 публікаціях, серед них 5 статей у журналах, що входять у перелік ВАК для технічних наук [1_]; 1 стаття у журналі з переліку ВАК для фізико-математичних наук [6]; 2 статті вийшли у збірниках праць наукових конференцій [7, 8]; 7 тез доповідей на конференціях [9_].

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, п’яти розділів, висновків та переліку літератури. Загальний обсяг дисертації становить 202 сторінки (основна частина – 118 с.), у тому числі 39 рисунків, 43 таблиці, 228 найменувань бібліографічного списку, додатки на 4 с.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність обраної теми, сформульовано мету та завдання досліджень, вказано на методи розв’язання поставлених задач, охарактеризовано наукову новизну та достовірність отриманих результатів, їх теоретичне і практичне значення, подано відомості про апробацію результатів роботи, її зв’язок з науковими програмами, подано кількість опублікованих праць за темою дисертації та зазначено особистий внесок здобувача в роботах, виконаних зі співавторами.

У першому розділі висвітлено стан наукових досліджень, пов’язаних зі згином пластин з дефектами типу тріщин. Відзначені роботи, у яких аналізується згин пластин і оболонок без урахування контакту берегів тріщин, а також вказано на публікації, що пов’язані з розв’язування плоских та просторових задач для тіл з тріщинами з урахуванням контакту берегів тріщин та по визначенню напружено-деформованого стану пластинчатих елементів конструкцій з поверхневими тріщинами.

Сформулюємо основні підходи до моделювання контакту берегів тріщин за згину:

1. тривимірна теорія: R.S.K.N.Nambissan;

2. модель контакту із урахуванням ширини області контакту: J.P.I.I.L.I.та інші;

3. модель контакту берегів тріщини вздовж лінії на одній із основ пластини:

а). з використанням класичної теорії згину пластин: D.P.J.L.І.П. Шацький, M.J.C.T.О.М. Гузь, В.В. Зозуля, В.К. Опанасович, В.В. Божидарнік, Г.Т. Сулим та інші;

б). з використанням уточнених теорій згину пластин: F.S.M.V.V.S.R.K.P.P.F. Joseph, F.Y.W.В.К. Опанасович та інші;

4. експериментальні роботи: Дж.Ф. Кальтгоф, І.П. Шацький, А. Бюргель, DallasC.W.

В науковій літературі не виявлено досліджень, пов’язаних зі згином пластин з наскрізними криволінійними тріщинами, зокрема й по дузі кола з урахуванням контакту їх берегів.

Окрім вищезгаданих вчених великий внесок у розвиток методів аналізу пластин і оболонок із тріщинами в умовах плоского напруженого стану та згину зробили Л.Т. Бережницький, Д.В. Гриліцький, О.П. Дацишин, М.В. Делявський, К.М. Довбня, Г.С. Кіт, М.Г. Кривцун, Р.М. Кушнір, Л.П. Мазурак, М.М. Николишин, В.А. Осадчук, В.В. Панасюк, В.Г. Піскунов, Г.Я, Попов, І.О. Прусов, М.П. Саврук, М.Г. Стащук, А.О. Сяський, В.К. Хижняк, В.П. Шевченко, R.J.Y.G.C.O.M.L.

Велике значення для виконання дисертаційного дослідження мав досвід розв’язування плоских задач теорії пружності і термопружності для тіл із тріщинами і тонкими включеннями з урахуванням контакту їх берегів та статичних і динамічних контактних задач для тіл з тріщинами у тривимірній постановці, а також оцінки міцності інженерний конструкцій, поданий у публікаціях А.З. Авербуха, О.Є. Андрейківа, В.В. Божидарніка, Н.Д. Вайсфельд, Р.В. Гольдштейна, В.Т. Грінчен-ка, Д.В. Гриліцького, В.С. Гудрамовича, О.М. Гузя, О.Ф. Дащенка, Ю.В. Житнікової, П.А. Загубіженка, А.П. Зіньковського, В.В. Зозулі, С.А. Калоєрова, Г.С. Кіта, В.І. Кир’яна, Б.І. Ковальчука, А.Я. Красовського, М.Г. Кривцуна, А.О. Лебєдєва, Л.М. Лобанова, В.В. Лободи, Б.Л. Лозового, Р.М. Луцишина, М.А. Мартиненка, О.М. Меньшикова, В.В. Михаськіва, В.І. Моссаковського, В.К. Опанасовича, В.А. Осадчука, В.І. Острика, В.В. Панасюка, В.Г. Попова, В.Г. Піскунова, О.О. Расска-зова, Є.О. Стрельнікової, М.П. Саврука, В.П. Силованюка, Г.Т. Сулима, В.Т. Трощенка, А.Ф. Улітка, Л.А. Фільштинського, М.В. Хая, Г.В. Цибаньова, В.І. Шваб’юка, П.В. Яс-нія, М. N. Levy, J.R. Rice та багатьох інших.

Доволі часто тріщини у пластинчастих елементах конструкцій розташовані на певній відстані від країв. Крайові ефекти практично не мають впливу якщо відстань до краю більша від п’ятиразового найбільшого характерного розміру неоднорідності. У цьому разі можна пластинчастий елемент моделювати безмежною пластинкою. З іншого боку, вплив криволінійних тріщин із гладкою зміною геометрії у багатьох випадках можна оцінити на основі розв’язку для тріщини по дузі кола. Це дає можливість застосувати відносно прості аналітичні методи та побудувати розв’язки у замкнутій формі, або такі, для яких можна швидко і просто отримати числові значення. Саме з цих міркувань об’єктом досліджень вибрано безмежні пластинки із тріщинами уздовж дуги кола.

У другому розділі подано основні співвідношення плоскої задачі теорії пружності та класичної теорії згину пластин, за допомогою яких можна визначити напружено-деформований стан пластини, записані основні залежності, зручні для використання, коли крайові умови задані на частині колової межі. Подано загальні вирази для визначення коефіцієнтів інтенсивності зусиль і моментів.

У третьому розділі досліджена задача про згин рівномірно розподіленими моментами ізотропної пластини з тріщиною по дузі кола з урахуванням контакту її берегів. Розглянуто нескінченну ізотропну пластину завтовшки з наскрізною тріщиною по дузі кола радіуса. Вважається, що береги тріщини вільні від зовнішнього навантаження і під дією рівномірно розподілених моментів вони приходять у гладкий контакт по всій довжині тріщини на верхній основі пластини.

У серединній площині пластини вибрано декартову систему координат з початком у центрі кола, уздовж дуги якого розміщена тріщина, і з віссю, що проходить через середину дуги тріщини, а вісь направлено перпендикулярно до серединної площини пластини. Кут розхилу тріщини позначено через , дугу, де розміщена тріщина у серединній площині _через. Нехай тріщина має кінці і, причому і, де. Введемо комплексну змінну, де і – декартові координати точки серединної площини пластини, а і – її полярні координати з полюсом у точці і полярною віссю. Область, для якої (), позначимо через (). Рівномірно розподілені згинальні моменти на нескінченності, під дією яких береги тріщини приходять у контакт, позначено через і, причому вважається, що нормаль до площинки, де прикладений розподілений згинальний момент, утворює кут з віссю (рис. 1).

Скористаємося апробованою моделлю контакту берегів тріщини, запропонованою у роботах І.П. Шацького, коли вважається, що контакт між берегами відбувається уздовж лінії, а не поверхні. Розв’язок задачі подамо у вигляді суперпозиції розв’язків двох задач: плоскої задачі та задачі згину пластин відповідно до технічної теорії згину пластин.

Згідно з постановкою задачі крайові умови матимуть вигляд

де – контактне зусилля між берегами тріщини; індексами “+” і “–” позначено граничні значення функції при прямуванні точки до лінії із областей і; і та і _компоненти тензора напружень та вектора переміщення у полярній системі координат і; і – згинальний момент та узагальнена в сенсі Кірхгофа перерізувальна сила в тій же системі координат; – прогин пластини.

Ввівши комплексні потенціали для плоскої задачі теорії пружності та класичної теорії згину пластин і скориставшись методом теорії функцій комплексної змінної, розв’язок задачі зведений до задач лінійного спряження аналітичних функцій, розв’язавши які та скориставшись крайовими умовами (1), отримаємо диференціальне рівняння першого порядку відносно невідомого контактного зусилля та знайдемо його аналітичний розв’язок. З урахуванням цього записані явні вирази для комплексних потенціалів плоскої задачі теорії пружності та класичної теорії згину пластин, за допомогою яких визначається напружено-деформований стан у кожній точці пластини, а відповідно до цього й аналітичні вирази для коефіцієнтів інтенсивності зусиль (КІЗ) та моментів (КІМ) з урахуванням контакту берегів тріщин і без його урахування.

У роботі досліджено випадок одностороннього згину пластин з тріщиною, коли вона симетрична і несиметрична по відношенню до зовнішнього навантаження, а також здійснено числовий аналіз величини розподілених контактних зусиль між берегами тріщини, коефіцієнтів інтенсивності зусиль та моментів. Він засвідчив, що граничний кут розхилу тріщини, коли контакт відбувається по всій її довжині, залежить тільки від коефіцієнта Пуассона і кута відхилення (неспіввісності) розташування тріщини від симетричного відносно навантаження. Якщо кут розхилу тріщини, то береги тріщини відставатимуть або на кінцях тріщини, або ж у деякій серединній області залежно від того як розміщена тріщина по відношенню до рівномірно розподіленого навантаження. Якщо, то береги тріщини завжди контактуватимуть. Як і в випадку прямолінійної тріщини КІМ, отриманий у задачі без урахування контакту берегів тріщини, більший за відповідний КІМ, розрахований з урахуванням контакту берегів. Однак для КІМ така однозначна закономірність не спостерігається. На відміну від прямолінійної тріщини для дугової за такого навантажування маємо ненульовими два КІЗ. Зазначимо також, що коли кут розхилу тріщини спрямувати до нуля і так, щоб виконувалася залежність, то будуть отримані вже відомі значення КІМ і КІЗ для прямолінійної тріщини.

Розглянуто також випадок двостороннього згину пластини рівномірно розподіленими на нескінченності моментами за геометричної та фізичної симетрії задачі, коли, і. Деякі результати числового аналізу цього прикладу подано на рис. , 3.

На рис. крива 1 відповідає випадку, коли контактні зусилля між берегами тріщини перетворюються на нуль при, а крива 2 – коли при і при. При цьому розподіл зведених контактних зусиль між берегами тріщини для цих випадків подано на рис. для кута розхилу тріщини крива 1 і 3 (2 і 4). Криві 1 і 4 побудовані при, а криві 2 і 3 –.

На основі числового аналізу можна зробити висновок, що коли відношення згинальних моментів на нескінченності, то відбувається відставання берегів тріщини поблизу точки; при – відставання її берегів у околі її кінців, якщо, і поблизу точок, коли. Для вставленої у пластину без натягу кругової шайби із матеріалу пластини контакт відбувається по всій коловій межі, коли для відношення згинальних моментів на нескінченності виконується нерівність. Фактично це є також важлива для техніки умова герметичності відповідної пластинкової конструкції.

З рис. також помітно, що коли для відношення згинальних моментів на нескінченності виконується нерівність, береги тріщини завжди контактуватимуть незалежно від кута розхилу тріщини. Крім того, за певних значень існує декілька кутів розхилу тріщини, коли контакт відбувається по всій її довжині. Для заданого кута і для всіх, що задовольняють нерівність, контакт берегів тріщини по всій її довжині відбувається завжди. Отже, знаючи кут розхилу тріщини і відношення згинальних моментів на нескінченності, можна прогнозувати, чи будуть контактувати береги тріщини по всій довжині чи лише по її частині. В останньому випадку потрібно видозмінити постановку задачі і побудувати розв’язок задачі, враховуючи відставання берегів тріщини.

На рис. _кривим 1 і 2 відповідають зведені КІЗ, кривим 3, 5, 4, 6 – зведені КІМ, причому криві 5 і 6 відповідають випадку, коли контакт берегів тріщини не враховується. При цьому рис. а побудований при, а рис. б – при. Як видно з рис. при, при збереженні добутку, не вдається вийти на випадок одної прямолінійної тріщини, для якої контактні зусилля сталі. Однак це й закономірне, бо лише для кожного, яке задовольняє нерівність, при такому граничному переході можна отримати результати для прямолінійної тріщини. Крім того, КІЗ і КІМ для і істотно відрізняються за величиною.

Був здійснений числовий аналіз задачі для випадку, коли тріщина не симетрична по відношенню до навантаження при. На рис. подана графічна залежність граничного відношення рівномірно розподілених моментів, коли контакт берегів тріщини відбувається по всій довжині тріщини для. Зазначимо, що при величина набуває безмежно великого значення (точка розриву другого роду на рис. ). Якщо кут розхилу тріщини, то контакт берегів тріщини буде відбуватися для, що задовольняє хоча б одну з нерівностей _ чи, а при контакт відбуватиметься при виконанні нерівності. Якщо вказані нерівності для не виконуються, то береги тріщини відставатимуть (це частково відображає і рис. ).

На рис. а крива 1 відповідає, крива 2 –, крива 3 –. На рис.  б крива 1 побудована при, крива 2 – при, крива 3 – при.

Зазначимо, що з ростом кут, де приймає обмежене значення, зростає і таких кутів може бути декілька; крім того, при зведене контактне зусилля є сталим, залежним від кута розхилу тріщини та.

У четвертому розділі вперше досліджена задача про згин ізотропної пластини з наскрізною тріщиною по дузі кола, береги якої приходять у гладкий контакт на одній із основ пластини під дією зосереджених згинальних моментів, діючих на серединному перпендикулярі тріщини (вектори моментів перпендикулярні до цієї прямої). З використанням підходу розд. 3 за допомогою методів теорії функцій комплексної змінної розв’язування задачі зведене до задач лінійного спряження значень аналітичних функцій, на основі яких отримано диференціальні рівняння щодо невідомого контактного зусилля між берегами тріщини та знайдено їх аналітичний розв’язок. Визначено явний вигляд комплексних потенціалів плоскої задачі теорії пружності та взаємопов’язаної класичної теорії згину пластин, контактного зусилля між берегами тріщини, коефіцієнтів інтенсивності зусиль і моментів та побудовані відповідні графічні залежності для них при різних геометричних і механічних параметрах задачі. Докладно розглянуто випадок, коли пластина перебуває під дією одного зосередженого моменту, який прикладений в центрі кола, вздовж дуги якого розміщена тріщина. Досліджено також випадок, коли пластина згинається зосередженими моментами, прикладеними в точках, вектори яких паралельні до осі і під дією яких береги тріщини приходять у гладкий контакт по лінії, яка лежить на верхній основі пластини (рис. 7). Здійснений числовий аналіз задачі, коли величина зосередженого моменту.

Подамо деякі числові результати для випадку, коли та. На рис. і 9 подано графічну залежність граничного кута розхилу тріщини, коли контакт берегів тріщини відбувається по всій її довжині від точок прикладання відповідно першого і другого моментів. При існує контакт берегів тріщини, а при буде відбуватися відставання берегів тріщини поблизу її кінців. На рис. крива 1 побудована при, крива 2 – при, крива 3 – при, крива 4 – при, крива 5 – при. На рис. крива 1 відповідає, крива  –, крива 3 –, крива 4 –, крива 5 –. Крім того, для кривих 1, 2, 3 на рис. існує значення, коли _у цих випадках при контакт берегів тріщини повинен відбуватися незалежно від її кута розхилу. Як видно з рис. із віддаленням точки прикладання другого зосередженого моменту від тріщини її граничний кут розхилу зменшується.

На рис. 10 подано розподіл зведеного контактного зусилля між берегами тріщини при і та. Помітно, що при контактне зусилля змінює знак, тобто поблизу вершин тріщини її береги будуть відставати. Щоб розв’язати задачу у такому випадку, потрібно видозмінити постановку задачі.

Для і на рис. подано залежність зведених КІМ та КІЗ. Помітно, що врахування контакту берегів тріщини приводить до прогнозованого зменшення абсолютної величини КІМ у порівнянні з випадком, коли контакт берегів тріщини не враховується від 2,2 разів для до нескінченності при і від нескінченності до 1,3 разів для). Для КІМ відповідне зменшення було від 2,1 для і до 1,4 разів для, а потім до 1,9 разів для.

У п’ятому розділі вперше досліджена задача про двосторонній згин пластини завтовшки з двома однаковими наскрізними симетричними тріщинами по дузі кола рівномірно розподіленими згинальними моментами з урахуванням контакту їх берегів за геометричної і механічної симетрії задачі відносно прямої, що проходить через середину дуг тріщин в її серединній площині. Береги тріщин вільні від зовнішнього навантаження, а під дією рівномірно розподілених згинальних моментів вони приходять у гладкий контакт на одній з основ пластини по лінії, причому область контакту охоплює всю довжину тріщин (рис. ). Внаслідок контакту берегів тріщин розв’язок задачі подано у вигляді суперпозиції розв’язків двох задач: плоскої задачі теорії пружності та задачі згину пластини. Використовуючи комплексні потенціали для плоскої задачі теорії пружності і задачі згину пластини та методи теорії функцій комплексної змінної, розв’язок задачі зведений до задач лінійного спряження граничних значень аналітичних функцій, на основі яких отримано рівняння для знаходження контактного зусилля між берегами тріщин і знайдено його аналітичний розв’язок. Отримано явні вирази для комплексних потенціалів, коефіцієнтів інтенсивності зусиль і моментів, здійснено їх числовий аналіз, результати якого подано графічно. Зроблено порівняння з випадком, коли береги тріщин не контактують та з розв’язком для прямолінійної тріщини.

Здійснено числовий аналіз задачі як для випадків двостороннього, так і часткового його прояву – одностороннього згину пластини з тріщинами при. Деякі результати для двостороннього згину пластини подано на рис. –15.

Розподіл контактного зусилля між берегами тріщин для кута розхилу при різних значеннях подано на рис. . На основі якого та рис. можна зробити висновок, що контакт берегів тріщин для заданого кута розхилу буде відбуватися для всіх, що задовольняють нерівність. При береги тріщин відставатимуть поблизу точок і; при вони відставатимуть поблизу вершин тріщин. Ці закономірності слушні для довільного кута розхилу тріщин.

На основі рис. для кожного можемо визначити кути, якщо контакт берегів тріщин відбувається по всій довжині тріщин. Для всіх з проміжку береги тріщин завжди будуть контактувати незалежно від кута їх кута розхилу. Якщо для деякого обчислено кут (рис. ) і виявиться, що кут розхилу тріщин, то контакт берегів тріщин відбувається по всій довжині; при береги відставатимуть в околі точок і (кінців тріщин). Для з проміжку таких кутів розхилу тріщин буде два _ і _і якщо кут розхилу тріщин відрізняється від і, причому чи, то береги контактуватимуть по всій довжині. А ось при чи вони відставатимуть у точках і.

На рис. подано графічну залежність зведених КІЗ і КІМ в залежності від кута розхилу тріщин. Помітно, що розраховані без урахування контакту берегів КІМ більші за КІМ, отримані з урахуванням контакту їх берегів. За одностороннього згину пластини з двома тріщинами урахування контакту берегів приводить порівняно із розрахованими значеннями без урахування контакту берегів до відчутного зменшення КІМ аж до нуля _ від 2,2 разів для до нескінченності в околі кута 75 градусів і від нескінченності до 8,3 разів для. Подібне зменшення КІМ є дещо меншим, але зате монотонним – від 1,4 разів для до 1,6 разів для. У граничному випадку, коли і при з отриманих розв’язків залежно від їх типу випливають результати для прямолінійної тріщини, береги якої контактують чи не контактують.

Основні результати та висновки

У дисертаційній роботі вирішено наукове завдання – опрацьовано методику виявлення закономірностей формування повного гладкого лінійчатого контакту берегів наскрізних тріщин по дузі кола, а також його впливу на зміну напружено-деформованого стану пластинчастих елементів конструкцій та коефіцієнтів інтенсивності зусиль і моментів як базових характеристик для розрахунку граничного стану та опору розвиткові тріщин за згину під дією рівномірно розподілених і зосереджених згинальних моментів.

Отримано такі основні результати:

1. Сформульовано модель згину пластинчастих елементів конструкцій з криволінійними тріщинами як задачі теорії пружності для необмеженої пластини із тріщинами по дузі кола за повного гладкого контакту їх берегів уздовж лінії. Побудовано аналітичні розв’язки низки задач для одної та двох дугових тріщин при навантаженні рівномірно розподіленими або одним чи двома зосередженими моментами. Знайдено явні вирази для комплексних потенціалів плоскої задачі теорії пружності та класичної теорії згину пластин, що в комплексі описують напружено-деформований стан пластинчастого елемента з тріщинами уздовж дуги кола, дають аналітичну форму запису контактного тиску між берегами тріщин та вирази для полів напружень та коефіцієнтів інтенсивності зусиль і моментів.

2. Урахування контакту берегів тріщини за згину необхідно супроводжується появою КІЗ, які були нульовими у тріщині з не контактуючими берегами: локальний напружений стан описується чотирма коефіцієнтами інтенсивності зусиль та моментів, що призводить до істотного ускладнення використання підходів механіки руйнування.

3. Перші зведені коефіцієнти інтенсивності зусиль і моментів взаємопов’язані і отримана у роботі залежність визначається тільки коефіцієнтом Пуассона матеріалу пластини, так само, як і для прямолінійної тріщини.

4. У всіх досліджених задачах КІМ, розраховані з урахуванням контакту берегів тріщини, є істотно меншими за відповідні величини, отримані без його урахування. Наприклад, за одновісного симетричного згину за усіх можливих значень кута розхилу тріщини КІМ виявився більш ніж удвічі меншим (для малих у 2 рази, а для великих _навіть у 6 разів) від аналогічного КІМ такої ж дугової тріщини, береги яких не контактують. Отже й прогнозована за ними (без урахування коефіцієнтів інтенсивності зусиль) тріщиновитримність конструкції при урахуванні контакту буде вищою, а це дає резерв тріщиновитримності та ресурсу роботи конструкції.

5. КІМ дугової тріщини завжди менший від КІМ для прямолінійних тої самої довжини чи такої, що з’єднує вершини дуги.

6. Для кожної із розв’язаних задач виявлено умови, коли відбувається повний контакт берегів тріщини, граничну величину кута розхилу тріщини повного контакту та місця, де слід сподіватися відставання берегів тріщини, якщо кут розхилу буде більшим за граничний. Наприклад, при односторонньому згині рівномірно і симетрично відносно тріщини розподіленими згинальними моментами, граничне значення кута розхилу тріщини, коли контакт відбувається по всій її довжині, залежить тільки від коефіцієнта Пуассона матеріалу пластини. При односторонньому несиметричному згині залежить від кута асиметрії і зі збільшенням коефіцієнта Пуассона він зменшується.

7. При двосторонньому рівномірному згині згинальними моментами пластинчастого елементу з дуговою тріщиною для кожного заданого кута розхилу тріщини, у тому числі (вставлена без натягу у круговий отвір шайба з матеріалу пластини) виявлено межі зміни відношення згинальних моментів, коли контакт берегів тріщини (зокрема й шайби) відбувається по всій її довжині, гарантуючи непроникливість конструкції.

8. Контакт берегів тріщин може істотно змінити (зменшити чи збільшити) прогнозований рівень абсолютних значень напружень. Самі ж напруження при врахуванні контакту берегів можуть навіть змінити знак (залежно від розглядуваної точки, а також верхньої чи нижньої поверхні пластини). Тому традиційний розрахунок напружень у пластині із викривленою тріщиною без урахування контакту берегів не може дати апріорі оцінку зверху чи знизу. За контакту берегів тріщин такий розрахунок для формулювання висновків про міцність конструкції слід здійснювати із його урахуванням.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ

1. Герасимчук П.В., Божидарнік В.В., Опанасович В. К. Односторонній згин пластини з тріщиною по дузі кола з урахуванням контакту її берегівНаукові нотатки Луцького технічного університету. – 2003. – С. –63.

2. Герасимчук П. Згин пластини з наскрізною тріщиною по дузі кола зосередженими моментами, прикладеними в центрі кола, з урахуванням контакту її берегівНаукові нотатки. Міжвузівський збірник (за напрямком інженерна механіка). – Луцьк, 2005. – С. –66.

3. Божидарнік В.В., Опанасович В.К., Герасимчук П.В. Двосторонній згин пластини з несиметричною наскрізною тріщиною по дузі кола з урахуванням контакту її берегівПроблемы прочности. – 2006, № ). – С. –141.

4. Божидарнік В., Опанасович В., Герасимчук П. Двосторонній згин пластини з двома симетричними наскрізними тріщинами по дузі кола з урахуванням контакту їх берегівВісник Тернопільського державного технічного університету. – 2007. – № . – С. 20–30.

5. Сулим Г.Т., Опанасович В.К., Герасимчук П.В. Двосторонній згин пластини з круговим отвором і шайбою з урахуванням контакту берегів шайби // Наукові нотатки: Міжвузівський збірник (за напрямом «Інженерна механіка) – Луцьк: Луцький державний технічний університет, 2007, Вип. 20 (2). - С. 200 _204

6. Божидарнік В., Опанасович В., Герасимчук П. Згин ізотропної пластини, ослабленої розрізом по дузі кола з контактуючими берегамиВісник Львівського університету. Серія мех.-мат. – 2006. – Вип. 65. – С. 7–16.

7. Божидарнік В.В., Опанасович В.К., Герасимчук П.В. Двосторонній згин ізотропної пластини з наскрізною тріщиною по дузі кола з рахуванням контакту її берегівМеханіка руйнування матеріалів і міцність конструкцій. Під. заг. ред. В. В. Панасюка. – Львів, Фізико-механічний інститут ім. Г. В. Карпенка НАН України. – 2004. – С. –218.

8. Божидарнік В.В., Опанасович В.К., Герасимчук П.В. Згин пластини з двома рівними симетричними тріщинами по дузі кола з урахуванням контакту їх берегівМеханічна втома матеріалів. Праці 13-го міжнародного колоквіуму (МВМ-2006), 25–28 вересня 2006 р. Тернопіль (Україна): Тернопільський державний технічний університет імені Івана Пулюя, 2006. – С. 450–455. – 536 с.

9. Божидарнік В.В., Опанасович В.К., Герасимчук П.В. Згин ізотропної пластини, ослабленої розрізом по дузі кола з контактуючими берегамиТези всеукраїнської наукової конференції “Сучасні проблеми механіки” (Львів, 2–5 листопада 2004). Львів, 2004. – С. –16.

10. Божидарнік В.В., Опанасович В.К., Герасимчук П.В. Згин зосередженими моментами ізотропної пластини з наскрізною тріщиною по дузі кола з урахуванням контакту її берегів // The Sixth Polish-Ukrainian Conference “Current problems of mechanics of nonhomogeneous media” (Warsaw, 6–10 September 2005). Warszawa: W-wo SGGW, 2005. S. 19–20.

11. Божидарнік В.В., Опанасович В.К., Герасимчук П.В. Двосторонній згин пластини з несиметричною наскрізною тріщиною по дузі кола з урахуванням контакту її берегівТези доповідей міжнародної науково-технічної конференції “Динаміка, міцність і ресурс машин та конструкцій” (Київ, 1–4 листопада 2005). – Т . – С. –50.

12. Герасимчук П.В. Згин зосередженим моментом ізотропної пластини з наскрізною тріщиною по дузі кола з урахуванням контакту її берегів // Тези відкритої науково-технічної конференції молодих науковців і спеціалістів Фізико-механічного інституту ім. Г.В. Карпенка НАН України “Проблеми корозійно-механічного руйнування, інженерія поверхні, діагностичні системи” (Львів, 21–23 вересня 2005). Львів, 2005. – С. –240.

13. Герасимчук П. Згин пластини з наскрізною тріщиною по дузі кола зосередженим моментом, прикладеним в центрі кола, з урахуванням контакту її берегівТези всеукраїнської наукової конференції “Сучасні проблеми механіки” (Львів, 5–8 грудня 2005). Львів, 2005. – С. –18.

14. Божидарнік В.В., Опанасович В.К., Герасимчук П.В. Двосторонній згин пластини з двома симетричними наскрізними тріщинами по дузі кола з урахуванням контакту їх берегівТези VII міжнародної наукової конференції “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (Львів, 20–23 вересня 2006). _Т. 2. – Львів, 2006. – С. 23–24.

15. Сулим Георгій, Опанасович Віктор, Герасимчук Павло Двосторонній згин пластини з круговим отвором і шайбою з урахуванням контакту берегів шайби і отвору // Тез. доп. 7-го українсько-польського наук. симп. “Актуальні задачі механіки неоднорідних структур” (Львів, 5_вересня 2007 р.). Львів, 2007. C. 26.

АНОТАЦІЯ

Герасимчук П.В. Розрахунок напружень та коефіцієнтів інтенсивності у пластинчастих елементах конструкцій при контакті берегів дугових тріщин. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла. – Луцький державний технічний університет, Луцьк, 2008.

У дисертаційній роботі