УДК 519
Національна академія наук України
Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова
ПОДЛАСОВ Євген Сергійович
УДК 517.9:519.6:534.2
Чисельне моделювання акустичних полів
в неоднорідних середовищах
01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи
Автореферат
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Київ – 2008
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана в Інституті кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України.
Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор
Гладкий Анатолій Васильович,
Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, провідний науковий співробітник.
Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,
старший науковий співробітник
Хіміч Олександр Миколайович,
Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України,
завідувач відділу,
кандидат фізико-математичних наук, доцент
Клюшин Дмитро Анатолійович,
Київський національний університет імені
Тараса Шевченка, доцент.
Захист відбудеться “ 20 ” червня 2008 р. о (об) _12_ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.194.02 при Інституті кібернетики
ім. В.М. Глушкова НАН України за адресою:
03680, МСП, Київ-187, проспект Академіка Глушкова, 40.
З дисертацією можна ознайомитися в науково-технічному архіві інституту.
Автореферат розісланий “ 19 ” червня 2008 р.
Учений секретар
спеціалізованої вченої ради СИНЯВСЬКИЙ В.Ф.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми дослідження. Інтенсивні дослідження процесів розповсюдження акустичних хвиль у двовимірних та тривимірних підводних неоднорідних хвилеводах отримали значний імпульс, починаючи з 80-х років минулого сторіччя у зв’язку із потребами дистанційного зондування та акустичного моніторингу регіонів Світового океану. Практично в усіх видах сигналізації, зв’язку, локації, дистанційного дослідження водних мас та дна океану застосовуються звукові хвилі. Це обумовлює важливість та практичну спрямованість питань щодо розробки та вдосконалення методів математичного моделювання акустичних полів у підводному середовищі.
З математичної точки зoру процес поширення акустичних хвиль у підводних неоднорідних хвилеводах описується крайовими (початково-крайовими) задачами для еліптичних (параболічних) диференціальних рівнянь із частинними похідними. При цьому особливості крайових задач підводної акустики, такі, як несамоспряженість диференціального оператора, комплекснозначність розв’язку, нескінченність та неоднорідність області, ускладнюють безпосереднє застосування класичних різницевих методів і вимагають розробки нових підходів для обчислення звукових полів.
Проблемам моделювання акустичних полів у неоднорідних середовищах та розробки чисельних (чисельно-аналітичних) методів розв’язання хвильових рівнянь присвячені роботи багатьох авторів в Україні та за її межами, зокрема, В.М. Бабича, Л.М. Бреховських, А.В. Гладкого, В.Т. Грінченка, Дж. Де Санто, В.В. Дихта, В.Ю. Завадського, Дж. Келлера, Д. Колтона, Ю.О. Кравцова, Р. Креса, М.Є. Мальцева, Г.Д. Малюжинця, С.М. Ритова, Е.О. Полянського, О.Г. Свєшнікова, І.В. Сергієнка, В.В. Скопецького, G. Botseas, M.D. Collins, B. Engquist, P.C. Etter, R.H. Hardin, D. Lee, S.T. McDaniel, J.S. Papadakis, A.D. Pierse, F.D. Tappert, A. Tolstoy та ін. Разом із тим, певні питання щодо розрахунку звукових полів у підводних неоднорідних хвилеводах наразі недостатньо висвітлені у літературі. Так, актуальною є розробка чисельно-аналітичних методів розв’язання хвилеводних задач Штурма Ліувілля із комплексним несамоспряженим оператором в рамках методу нормальних мод. Недостатньо вивченою залишається проблема обчислення акустичних полів у тривимірно-неоднорідних хвилеводах зі змінною глибиною. Являє інтерес питання щодо побудови та дослідження різницевих схем для моделювання акустичних полів у нескінченних неоднорідних хвилеводах з урахуванням ефектів відбиття, поглинання та розсіювання акустичної енергії на межі розділу вода-дно. Вирішенню цих, а також деяких пов’язаних із ними питань, присвячена представлена дисертаційна робота.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана у відділі “Математичних систем моделювання проблем екології і енергетики” Інституту кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України. Частина наукових та практичних результатів отримана в рамках виконанння
- науково-технічної роботи Міністерства освіти і науки України 5.7.01.10 “Розробка і дослідження нової інформаційної технології синтезу акустичних процесів” (номер держреєстрації 0101U004551, 2001?2004 рр.);
- ВФК 175.10 “Розроблення високоефективних інформаційних технологій прогнозу та розпізнавання ситуацій в системах прийняття рішень. Нові інформаційні технології (математичні моделі, алгоритми та програми) аналізу та синтезу фізико-математичних полів” (номер держреєстрації 0102U003205, 2002?2006 рр.);
- держбюджетної теми НАН України ВФ 175.11 “Розробити та обґрунтувати чисельно-аналітичні методи аналізу і оптимізації хвильових процесів” (номер держреєстрації 0103U003263, 2003?2006 рр.).
Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є розробка математичних моделей та обчислювальних алгоритмів для моделювання акустичних полів у підводних нескінченних неоднорідних хвилеводах.
Об’єкт дослідження – процеси поширення акустичних хвиль у підводних неоднорідних хвилеводах.
Предмет дослідження – математичні моделі хвильових процесів у вигляді крайових (початково-крайових) задач для диференціальних рівнянь еліптичного (параболічного) типу із комплексним несамоспряженим оператором.
Для досягнення поставленої мети дисертаційної роботи розв’язувалися такі задачі:
- формулювання нових математичних моделей хвильових процесів у нескінченних неоднорідних хвилеводах;
- розроблення чисельно-аналітичних методів та обчислювальних алгоритмів моделювання акустичних полів, описуваних крайовими (початково-крайовими) задачами для хвильового рівняння Гельмгольца та його параболічних апроксимацій у нескінченних неоднорідних осесиметричних хвилеводах;
- розроблення чисельних методів моделювання процесів поширення акустичних хвиль у нескінченних тривимірно-неоднорідних хвилеводах змінної глибини на базі методу променевого наближення;
- створення програмного забезпечення для розрахунку акустичних полів у підводних неоднорідних хвилеводах.
Методи дослідження. Для вирішення поставлених задач у роботі використовувалися методи математичного аналізу, математичної фізики та обчислювальної математики.
Наукова новизна одержаних результатів. Одержані в роботі результати є новими або такими, що узагальнюють існуючі. Зокрема:
- запропоновано нові математичні моделі процесів поширення акустичних хвиль у нескінченних неоднорідних хвилеводах;
- узагальнено метод нормальних мод на випадок осесиметричних хвилеводів з імпедансною межею, встановлено нові властивості хвилеводної задачі Штурма Ліувілля із комплексним несамоспряженим оператором, запропоновано чисельні методи її розв’язання;
-
- узагальнено метод променевого наближення для моделювання акустичних полів у тривимірно-неоднорідних хвилеводах змінної глибини, запропоновано новий підхід для розв’язання задачі націлювання променів, розроблено відповідний обчислювальний алгоритм;
- запропоновано та досліджено стійкість нової різницевої схеми для моделювання акустичних полів в неоднорідних осесиметричних хвилеводах з імпедансною межею методом параболічного рівняння.
Практичне значення одержаних результатів. Одержані в дисертаційній роботі теоретичні результати та запропоновані математичні моделі можуть бути використані для розв’язання широкого кола задач акустичного моніторингу акваторій Світового океану, а також дослідження хвильових процесів у скінченних (нескінченних) неоднорідних хвилеводах у підводній акустиці, геофізиці, волоконній оптиці та інших галузях науки та техніки.
Розроблені обчислювальні алгоритми можуть бути використані безпосередньо або відповідним чином адаптовані для створення спеціалізованого апаратного та програмного забезпечення, зокрема, судових та стаціонарних гідроакустичних систем, а також програмно-алгоритмічних комплексів обробки телеметричних даних різної фізичної природи.
Особистий внесок здобувача. Всі наукові результати, подані в дисертації, одержані автором особисто або у співавторстві. У роботах [1, 3] здобувачу належить розробка обчислювального алгоритму розв’язання хвилеводної крайової задачі Штурма Ліувілля, що відповідають модам із заданими характеристиками затухання; [4] створення програмного забезпечення; [5, 8] дослідження коректності дискретної задачі.
Апробація результатів дисертації. Основні наукові результати дисертаційного дослідження доповідались та обговорювались на конференціях та семінарах: X Міжнародна наукова конференція ім. академіка М. Кравчука (Київ, 2004); XI Міжнародна наукова конференція ім. академіка М. Кравчука (Київ, 2006); II Міжнародна наукова конференція "Обчислювальна та прикладна математика" (Київ, 2004); на наукових семінарах в Інституті кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України та Київському національному університеті імені Тараса Шевченка.
Публікації. За темою дисертації опубліковано вісім наукових робіт, з них п’ять – у вітчизняних провідних фахових виданнях, три – у збірниках тез доповідей наукових конференцій.
Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, п’яти розділів, висновків, списку використаних джерел зі 128 найменувань та містить 9 рисунків. Загальний обсяг роботи – 129 сторінок.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету та задачі дослідження, викладено основні результати із зазначенням їх наукової новизни, теоретичної та практичної цінності.
Перший розділ присвячено огляду літератури та опису основних методів досліджень. Розглянуто існуючі математичні моделі процесів поширення акустичних хвиль у підводних неоднорідних хвилеводах і відповідні обчислювальні алгоритми на базі методів нормальних мод, променевого наближення і параболічних апроксимацій хвильового рівняння Гельмгольца, обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи.
Також у розділі наведено основні диференціальні рівняння підводної акустики із відповідними крайовими умовами та умовами випромінювання. Описано підхід до розв’язання крайових задач за допомогою високочастотної асимптотики та методику побудови параболічних апроксимацій хвильового рівняння Гельмгольца.
У другому розділі досліджується задача моделювання акустичного поля точкового джерела із декартовими координатами у осесиметричному хвилеводі з абсолютно м’якою верхньою та імпедансною нижньою межами. Припускається, що хвилевод заповнений середовищем, параметри якого залежать лише від вертикальної координати. У циліндричних координатах акустичний тиск задовольняє хвильове рівняння Гельмгольца
, (1)
крайові умови
, , (2)
та умови випромінювання на нескінченності. Тут ? хвильове число (неперервно-диференційована функція), ? дельта-функція Дірака, ? комплексний параметр. Припускається, що, , ,.
Розв’язання крайової задачі (1), (2) методом нормальних мод пов’язане із дослідженням хвилеводної задачі Штурма ? Ліувілля з комплексним несамоспряженим оператором
, (3)
. (4)
За вказаних умов задача (3), (4) має лічену множину простих власних значень з єдиною граничною точкою на нескінченності, причому для дійсної та уявної частин справедливі оцінки
, (5)
. (6)
Встановлені властивості спектральної задачі дозволяють представити розв’язок крайової задачі (1), (2) у вигляді суми нормальних мод.
Теорема 2.1. Для розв’язку крайової задачі (1), (2) з урахуванням умов на нескінченності справедливе представлення
, , (7)
де – власні значення та власні функції задачі (3), (4), ? функція Ханкеля нульового порядку першого роду.
Зазначимо, що, оскільки при, то при обчисленні акустичного поля за формулою (7) доцільно обмежитись членами ряду, для яких
, (8)
де ? деяка задана величина. Система нерівностей (5), (6) та (8) визначають в комплексній площині обмежену замкнену область, якій належать величини, що використовуються для розрахунку акустичного поля.
Застосування методу нормальних мод вимагає розробки ефективних чисельних методів визначення власних значень та власних функцій спектральної задачі (3), (4) з комплексним несамоспряженим оператором. У розділі розроблено метод її розв’язання, що базується на використанні задачі Коші
, (9)
. (10)
Відомо, що ? ціла функція комплексної змінної, а квадрати її нулів збігаються з власними значеннями задачі (3), (4). У розділі досліджено характер зростання на нескінченності, показано, що може бути апроксимована за сукупністю своїх значень у скінченній кількості точок функцією
,
де – поліном степеня. Встановлено рівномірну збіжність до при у будь-якій замкненій області комплексної площини, зокрема, для точності апроксимації отримано оцінку
,
де
,
,
? деяка обмежена величина, що монотонно спадає при збільшенні, а не залежить від.
Крім того, досліджено питання точності апроксимації нулів нулями. Нехай ? відкрита область в комплексній площині, , і у деякій точці, такій, що, виконується умова
,
де
.
Справедлива наступна теорема.
Теорема 2.2. Якщо, то має нуль в околі
.
Для визначення нулів у розділі розглянуто дійсну функцію комплексного аргументу та дійсного аргументу
.
встановлено, що якщо у деякій точці, то не обертається в нуль в області. На базі цього запропоновано метод бісекції, що дозволяє відокремити та знайти всі корені рівняння у будь-якій обмеженій замкненій області комплексної площини, послідовно виключаючи підобласті, що гарантовано не містять коренів. Відповідні власні функції визначаються інтегруванням задачі Коші (9), (10) для.
У розділі також розглянуто важливий випадок моделювання акустичного поля у шаруватому середовищі з кусково-сталим хвильовим числом () при,. У цьому випадку всі власні значення задачі (3), (4) є дійсними. Для їх визначення в роботі запропоновано метод, що використовує аналітичні розв’язки рівняння (3) на кожному інтервалі, при цьому в точках поділу середовищ виконуються умови спряження
, (11)
де ? стрибок при. Сукупність граничних умов (4) та умов спряження (11) дозволяють звести задачу визначення власних значень до системи лінійних алгебраїчних рівнянь
,
де ? тридіагональна матриця, розмірність якої залежить від типу граничних умов при. Власні значення задачі (3), (4) визначаються коренями рівняння.
Установлено, що для кількості власних значень на довільному відрізку справедлива рівність
,
де
,
де, означає максимальне ціле число, що не перевищує, а підсумування проводиться лише за тими значеннями індекса, для яких. Величина дорівнює кількості змін знаку послідовності, де ? головний мінор -го порядку матриці. Для локалізації та визначення усіх власних значень на заданому відрізку з будь-якою заданою точністю запропоновано метод бісекції. Для обчислення власних функцій у точках представлено явну триточкову схему.
У третьому розділі узагальнено метод променевого наближення для моделювання процесів поширення високочастотних акустичних хвиль у тривимірно-неоднорідних хвилеводах змінної глибини. У хвилеводі
,
де – змінна глибина, розглядається крайова задача
(12)
(13)
із відповідними умовами на нескінченності. Тут ? хвильове число, ? частота, , ? швидкість звуку в точці, – коефіцієнт заломлення, – глибина точкового джерела. Припускається, що та є двічі диференційованими функціями.
У рамках променевого наближення розв’язок однорідного рівняння Гельмгольца без урахування дифракційних ефектів представляють у вигляді
.
Для пошуку фазової функції та амплітуди розглядається хвильовий фронт (поверхня рівня фази) та ортогональні йому просторові криві (промені), що задовольняють систему променевих рівнянь
. (14)
Тут ? довжина дуги, ? дотичний вектор променю, жирним шрифтом позначені векторні величини, , ? оператор градієнта, ? орти декартової системи координат. Початкові умови для (14) мають вигляд
, (15)
де, ? полярний та азимутальний кути виходу променю з джерела. Отже, промені, що виходять з джерела під різними кутами утворюють двопараметричне сімейство. Величини називають променевими координатами. Перехід до променевих координат дозволяє знайти амплітуду та фазу шляхом інтегрування вздовж променю.
Обчислення розв’язку крайової задачі (12), (13) у заданій точці за допомогою методу променевого наближення складається з наступних кроків:
- розв’язання задачі націлювання променів, тобто визначення всіх променів, що приходять у точку із джерела. Сюди входять прямий промінь, промені, що рефрагували у середовищі, а також промені, відбиті будь-яку кількість разів від меж хвилеводу;
- обчислення фази вздовж -го променю за формулою
;
- обчислення амплітуди вздовж -го променю за формулою
,
де ? матриця Якобі переходу від променевих координат до декартових. Значення та для прямих та відбитих променів вибирають так, щоб задовольнити неоднорідне рівняння Гельмгольца (12) та граничні умови (13).
- підсумування всіх променів, що проходять через точку:
.
Істотною проблемою при використанні методу променевого наближення для моделювання акустичних полів у тривимірно-неоднорідних хвилеводах змінної глибини є необхідність розв’язання задачі націлювання променів у задану точку, тобто визначення всіх таких значень, що. У даному розділі розроблено підхід до вирішення зазначеної проблеми.
Введемо наступні визначення. Нехай
? межа хвилеводу ;
? множина значень променевих координат;
? підмножина значень променевих координат, для яких, ? задане число;
? множина всіх розв’язків задачі націлювання променів у точку;
? підмножина всіх розв’язків задачі націлювання променів, для яких, ? задане число;
? рівномірна сітка у, , де
,
,
.
Сімейство променів будемо розглядати як функцію з у, значення якої визначається розв’язком системи (14) з початковими умовами (15).
Справедливе твердження.
Твердження 3.1. Функція є диференційованою у точках, для яких.
Точку назвемо регулярною, якщо та.
Введемо функцію, де ? область визначення, наступним чином. Нехай ? точка у, ? відповідна точка у, а вектор-стовпець ? розв’язок задачі Коші
(16)
тоді. Областю визначення є множина тих точок, для яких розв’язок (16) існує при. Під, де ? деяка підмножина значень променевих координат, будемо розуміти множину значень для всіх.
Доведені наступні леми.
Лема 3.1. Нехай ? регулярна точка. Тоді існує відкритий окіл цієї точки, такий, що визначене на, та.
Лема 3.2. Якщо множина містить лише регулярні точки, то вона є скінченною.
З доведених лем випливає теорема.
Теорема 3.1. Якщо містить лише регулярні точки, то існує така сітка, що.
Отже, для розв’язання задачі націлювання необхідно проінтегрувати задачу Коші (16), використовуючи як початкові значення сукупність вузлів сітки. При цьому доцільно вибрати спочатку деякі довільні значення кроків, , сітки, а потім послідовно проводити розрахунки, використовуючи вкладені сітки з, , , На кожному кроці сітка буде подрібнюватись, а кількість знайдених розв’язків задачі націлювання ? збільшуватись. Згідно із теоремою 3.1., якщо всі розв’язки задачі націлювання є регулярними точками, то вони будуть знайдені за скінченну кількість ітерацій, в іншому випадку значення розв’язку крайової задачі (12), (13) у точці не може бути обчислене за допомогою методу променевого наближення. Критерієм зупинки ітераційного процесу може бути стабілізація кількості знайдених розв’язків.
Використання описаного підходу вимагає обчислення значень частинних похідних та. Визначення зазначених величин здійснюється інтегруванням системи диференціальних рівнянь
(17)
де ? квадратна матриця. Початкові умови для (17) у випадку прямих променів мають вигляд
, (18)
, .
У розділі також отримані початкові умови для відбитих променів у вигляді
, , (19)
де індекс refl відповідає відбитому променю, ? значення променевої координати, що відповідає точці падіння променю на межу хвилеводу, а величини, , , визначаються значеннями при частинних похідних променя, що падає, а також функцією.
Розроблена чисельна реалізація описаного алгоритму. Показано, що для інтегрування задач Коші (14)?(15), (16), (17)(19) доцільно використовувати методи типу Рунге Кутта. Розроблено метод пошуку точки падіння променю на межу хвилеводу, визначено умови, за яких точність побудови траєкторій відбитих променів має той самий порядок, що й прямих. Описано критерій, за допомогою якого для двох знайдених чисельних розв’язків задачі націлювання приймається рішення, чи відповідають вони двом різним променям, чи одному.
Четвертий розділ присвячено дослідженню питань чисельного моделювання акустичних полів у нескінченному неоднорідному хвилеводі із імпедансною нижньою межею методом параболічного рівняння.
У циліндричному осесиметричному хвилеводі
,
де ? циліндричні координати, розглядається початково-крайова задача
, (20)
, (21)
де ? комплекснозначна функція, , , ? частота, ? швидкість звуку, ? деяке її значення, коефіцієнт заломлення, коефіцієнт затухання, , , , , – комплексна функція (початковий стан). Припускається, що функції, , , є достатньо гладкими.
Диференціальне рівняння (20) є базовим для визначення дальнього комплексного акустичного тиску, створюваного точковим гармонічним джерелом із координатами. Цей тиск задовольняє рівняння Гельмгольца
і при представляється у вигляді, де ? функція Ханкеля нульoвого порядку першого роду. Для хвиль, що поширюються в напрямках, близьких до горизонтального, комплекснозначна амплітуда задовольняє псевдодиференціальне рівняння
, (22)
де ? одиничний оператор, а оператор визначається формулою
.
Підставляючи у (22) наближений вираз оператора кореня квадратного у вигляді, отримаємо параболічне рівняння (20).
Для чисельного розв’язання задачі (20), (21) запропонована та досліджена різницева схема. Нехай ? рівномірна сітка на:
,
де
,
,
,
.
Тоді різницеву схему можна записати в операторному вигляді
. (23)
Тут
,
,
,
.
Різницева схема (23) має другий порядок апроксимації за умови
.
У роботі досліджено коректність різницевої схеми (23). Для цього розглянуто гільбертовий простір комплекснозначних функцій, що задані на відповідно із скалярним добутком та нормою:
,
.
Введемо оператор
Має місце наступне твердження.
Лемма 4.1. Нехай. Тоді справедливі такі співвідношення:
,
.
За допомогою Леми 4.1. встановлено теорему
Теорема 4.1. Для розв’язку різницевої схеми (23) має місце енергетична тотожність
.
Звідси випливає справедливість наступних теорем.
Теорема 4.2. Різницева схема (23) має єдиний розв’язок.
Теорема 4.3. Різницева схема (23) є рівномірно стійкою за початковими даними у нормі.
У п’ятому розділі розглянуто основні принципи та аспекти програмної реалізації алгоритмічного забезпечення розрахунку акустичних полів у підводних неоднорідних хвилеводах. Наведено структуру програмно-алгоритмічного комплексу, описано функціональність та призначення програмних модулів. Робота програмного комплексу проілюстрована копіями екранних форм.
.
ВИСНОВКИ
У дисертаційній роботі одержано такі результати.
1. Сформульовано нові математичні постановки задач поширення акустичних хвиль у підводних неоднорідних хвилеводах.
2. Встановлено нові властивості самоспряженої (несамоспряженої) хвилеводної крайової задачі Штурма ? Ліувілля та запропоновано алгоритми знаходження відповідних дійсних (комплексних) власних значень.
3. Розроблено чисельний метод моделювання процесів поширення акустичних хвиль у нескінченних тривимірно-неоднорідних хвилеводах змінної глибини із застосуванням променевого наближення, запропоновано алгоритм розв’язання задачі націлювання променів.
4. Запропоновано та обґрунтовано різницеву схему для чисельного моделювання акустичних полів у азимутально-симетричних хвилеводах із імпедансним дном методом параболічного рівняння.
5. Створено програмно-алгоритмічне забезпечення для обчислення акустичних полів у підводних неоднорідних хвилеводах.
1.
Список опублікованих РОБІТ за темою дисертації
1. Гладкая Ю.А., Ковальчук Т.В., Подласов Е.С. Об одном подходе к моделированию волновых процессов // Компьютерная математика. – 2004. – № 1. – С. 20 27.
2. Подласов Е.С. О моделировании процессов распространения волн в волноводах с импедансными границами // Журнал обчислювальної та прикладної математики. – 2004. – № 2. – С. 120.
3. Гладкий А.В., Подласов Є.С. Про швидкий метод моделювання хвильових процесів // Матеріали Х Міжнар. наук. конф. ім. академіка М. Кравчука. – К.: НТУ України “КПІ”. – 2004. – С. 77.
4. Гладкий А.В., Подласов Е.С. Об автоматизации расчетов акустических полей в неоднородных волноводах // Математичні машини і системи. – 2006. – № 2. – С. 107 117.
5. Гладкий А.В., Скопецкий В.В., Подласов Е.С. Численное моделирование волновых процессов в неоднородных средах с импедансной границей // Кибернетика и системный анализ. – 2006. – Том 42, № 4. – С. 41 50.
6. Подласов Є.С. Про задачу націлювання променів у неоднорідному хвилеводі // Вісн. Київськ. ун-ту. Фізико-математичні науки. – 2006. – № 4. – С. 32 37.
7. Подласов Є.С. Про моделювання хвильових процесів у шарувато-неодно-рідних середовищах із поглинанням // Матеріали ХІ Міжнар. наук. конф. ім. академіка М. Кравчука. – К.: НТУ України “КПІ”. – 2006. – С. 220.
8. Гладкий А.В., Скопецький В.В., Подласов Е.С. Стійкість дискретних моделей однонаправлених хвильових процесів // Доп. НАН України. – 2006. – № 10. – С. 85 89.
АНОТАЦІЇ
Подласов Є.С. Чисельне моделювання акустичних полів в неоднорідних середовищах. Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи. – Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, Київ, 2008.
Дисертація присвячена питанням розробки та вдосконалення математичних моделей, чисельних методів та обчислювальних алгоритмів для дослідження процесів поширення акустичних хвиль у нескінченних неоднорідних хвилеводах. Встановлені властивості власних значень хвилеводної задачі Штурма ? Ліувілля, запропоновано чисельні методи пошуку спектру. Розроблено метод розв’язання задачі націлювання променів у задану точку простору і, відповідно, обчислення акустичного поля у тривимірно-неоднорідному хвилеводі змінної глибини методом променевого наближення. Досліджено коректність різницевої схеми для параболічного хвильового рівняння з імпедансною умовою на дні. Розглянуто пи-
тання програмної реалізації алгoритмічного забезпечення розрахунку звукових полів.
Ключові слова: хвильові процеси, крайова задача, метод нормальних мод, задача Штурма Ліувілля, рівняння Гельмгольца, променеве наближення, задача націлювання променів, параболічне хвильове рівняння, різницева схема.
Подласов Е.С. Численное моделирование акустических полей в неоднородных средах. Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02 – математическое моделирование и вычислительные методы. – Институт кибернетики им. В.М. Глушкова НАН Украины, Киев, 2008.
Диссертация посвящена вопросам разработки и усовершенствования математических моделей, численным методов и вычислительных алгоритмов для исследования процессов распространения акустических волн в бесконечных неоднородных волноводах.
Рассмотрена краевая задача для уравнения Гельмгольца с комплексным несамосопряженным оператором, заданная в бесконечном неоднородном волноводе. Для поиска решения краевой задачи предложен метод нормальных мод, который позволяет представить акустическое поле в аналитическом виде. Исследована волноводная задача Штурма Лиувилля, установлены свойства собственных чисел. Для решения спектральной задачи рассмотрена характеристическая функция, нули которой совпадают с искомыми собственными значениями. Исследованы характеристики роста характеристической функции на бесконечности, построена аппроксимационная функция, нули которого приближают нули характеристической функции. Предложен численный метод поиска нулей аппроксимационной функции в заданной области на комплексной плоскости. Установлен факт сходимости, получена оценка точности приближения собственных значений нулями характеристической функции.
Также рассмотрена задача моделирования акустического поля в слоистом волноводе с кусочно-постоянным вещественным волновым числом, которое описывается краевой задачей для уравнения Гельмгольца с соответствующими условиями сопряжения на границах раздела сред. Представлен метод определения количества действительных собственных значений волноводной задачи Штурма-Лиувилля на заданном отрезке, предложен алгоритм из поиска.
Исследована задача моделирования акустических процессов в трехмерно-неоднородных подводных волноводах с помощью метода лучевого приближения. Рассмотрена система лучевых уравнений, определяющих траектории лучей и значения частных производных декартовых координат по лучевым, выведены соответствующие начальные условия для прямых и отраженных волн. Сформулирована задача нацеливания лучей в заданную точку волновода. Предложен подход к поиску решений задачи нацеливания путем решения задачи Коши для некоторой системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Для определения всех решений задачи нацеливания представлен итерационный процесс, сформулирова-
ны и доказаны утверждения, обосновывающие его сходимость. Предложен численный метод реализации описанной методики.
Рассмотрена начально-краевая задача с импедансным граничным условием на дне для параболического волнового уравнения типа Шредингера, описывающего однонаправленный процесс распространения акустических волн в бесконечном неоднородном волноводе. Для решения начально-краевой задачи предложена неявная двухслойная разностная схема второго порядка аппроксимации. Для дискретной волновой задачи установлено энергетическое тождество, из которого следует единственность решения разностной схемы и устойчивость по начальным данным.
Описаны основные принципы и аспекты программной реализации алгоритмического обеспечения моделирования акустических процессов, работа программного комплекса проиллюстрирована копиями экранных форм.
Ключевые слова: волновые процессы, краевая задача, метод нормальных мод, задача Штурма Лиувилля, уравнение Гельмгольца, лучевое приближение, задача нацеливания лучей, параболическое волновое уравнение, разностная схема.
Podlasov I.S. Numerical modeling of acoustic fields in heterogeneous media. Manuscript.
The dissertation thesis is presented for the Candidate of Physical and Mathematical Sciences degree by speciality 01.05.02 – mathematical modeling and computational methods. – V.M. Glushkov Institute of Cybernetics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2008.
The dissertation thesis is devoted to elaboration and improvement of mathematical models, numerical methods and computational algorithms for investigation of processes of waves propagation in infinite heterogeneous waveguides. Established are qualities of waveguide Sturm ? Liouville problem eigenvalues, proposed are numerical methods of spectrum computation. Developed is the method of solving of ray aiming problem and then acoustic field calculation in a 3-D waveguide of variable depth using ray approximation. Investigated is correctness of the difference scheme for the parabolic wave equation with impedance boundary condition on bottom. Considered are questions of software realization of computational algorithms for acoustic fields calculation.
Keywords: wave process, boundary value problem, modal-analysis method, Sturm Liouville problem, Helmholtz equation, ray approximation, ray aiming problem, parabolic wave equation, difference scheme.
