Фізико-технічний інститут низьких температур

ім. Б.І.Вєркіна

БАНАХ Тарас Онуфрійович

УДК 515.12 + 517.98

СИЛЬНА УНІВЕРСАЛЬНІСТЬ ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

ДО ТОПОЛОГІЧНОЇ КЛАСИФІКАЦІЇ ОПУКЛИХ МНОЖИН

У ЛІНІЙНИХ ТОПОЛОГІЧНИХ ПРОСТОРАХ

01.01.01 -- математичний аналіз

01.01.04 -- геометрія і топологія

АВТОРЕФЕРАТ}

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Харків – 2000

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Львівському національному університеті імені Івана Франка на кафедрі алгебри і топології.

Науковий консультант:

доктор фізико-математичних наук, професор

Зарічний Михайло Михайлович,

Львівський національний університет імені Івана Франка,

завідувач кафедри алгебри і топології

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

Кадець Михайло Йосипович,

Харківська державна академія міського господарства,

професор кафедри вищої математики

доктор фізико-математичних наук, професор

Федорчук Віталій Віталійович,

Московський державний університет ім. М.Ломоносова

завідувач кафедрою загальної топології і геометрії

доктор фізико-математичних наук, академік АН Молдови

Чобан Митрофан Михайлович,

Тираспольський державний університет,

професор кафедри геометрії

Провідна установа: Інститут математики НАН України, м. Київ.

Захист відбудеться 27 грудня 2000 року о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д.64.175.01 при Фізико-технічному інституті низьких температур імені Б.І.Вєркіна НАН України за адресою: 61164, м.Харків, пр.Леніна, 47.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Фізико-технічного інституту низьких температур, м.Харків, пр.Леніна, 47.

Автореферат розіслано 24 жовтня 2000 року.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Котляров В.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальнiсть теми. Проблема вивчення топологiчної структури лiнiйних топологiчних просторiв та опуклих пiдмножин у таких просторах веде свою iсторiю вiд класикiв функцiонального аналiзу М.Фреше та С.Банаха, котрi на початку 30-х рокiв поставили проблему топологiчної еквiвалентностi усiх нескiнченно вимiрних сепарабельних банахових просторiв. Позитивна вiдповiдь на цю проблему була одержана в серединi 60-х М.Й.Кадецем, котрий, використовуючи розвинену ним технiку перенормувань, довiв гомеоморфнiсть усiх нескiнченно вимiрних сепарабельних банахових просторiв гiльбертовому простору l2. Приблизно в той же час Р.Д.Андерсон довiв гомеоморфнiсть l2 i злiченного добутку Rw прямих, що в комбiнацiї з результатом Кадеця давало повну топологiчну класифiкацiю усiх нескiнченно вимiрних сепарабельних просторiв Фреше: кожен такий простiр гомеоморфний l2. Нагадаємо, що простором Фреше називається довiльний локально опуклий лiнiйний повний метричний простiр.

Доведення теореми Андерсона опиралося на тонкий аналiз структури гiльбертового куба Q=[-1,1]w, який вiддавна привертав увагу математикiв. Ще у 1931 роцi Келлер довiв його топологiчну однорiднiсть, а також той факт, що кожен нескiнченно вимiрний метризовний опуклий компакт у локально опуклому просторi гомеоморфний гiльбертовому кубу. Поряд iз гiльбертовим кубом, його псевдовнутрiшнiстю s=(-1,1)w та його радiальною внутрiшнiстю S={(xi)iОwОQ: supiОw|xi|<1} активно дослiджувались топологiчнi многовиди, модельованi на цих просторах. Нагадаємо, що паракомпактний топологiчний простiр X називається многовидом, модельованим на просторi M (або коротко M-многовидом), якщо кожна точка xОX має окiл, гомеоморфний вiдкритiй пiдмножинi модельного простору M. Теорiя нескiнченно вимiрних многовидiв активно розвивалася у 60-70-х роках i досягла кульмiнацiї на початку 80-х, коли Г.Торуньчик довiв свої знаменитi характеризацiйнi теореми для Q- та l2-многовидiв, за допомогою яких дав альтернативне доведення теореми Андерсона-Кадеця. Бiльше того, чисто топологiчний пiдхiд дав можливiсть узагальнити цю теорему на довiльнi (не обов'язково сепарабельнi) простори Фреше: кожен такий простiр гомеоморфний гiльбертовому простору вiдповiдної щiльностi. Характеризацiйнi теореми Торуньчика дозволили також повнiстю прокласифiкувати топологiю замкнених опуклих пiдмножин у сепарабельних просторах Фреше: довiльна така пiдмножина гомеоморфна [0,1]nґ(0,1)mґ[0,1)k для деяких 0Јn,mЈҐ, kО{0,1}, див. [DT]. Усi цi результати в основному закрили проблему топологiчної класифiкацiї повних опуклих множин у сепарабельних просторах Фреше, пiсля чого спецiалiсти з нескiнченно вимiрної топологiї переключилися на вивчення топологiї неповних просторiв. Проте виявилось, що ця задача на порядок складнiша i топологiчна класифiкацiя у звичному розумiннi цього слова неможлива в принципi. Так, у класичнiй монографiї [BP] доведено, що iснують нормованi простори якзавгодно високого борелiвського класу, тому є як мiнiмум А1 рiзних топологiчних типiв нормованих просторiв. Бiльше того, у 1992 роцi Р.Котi побудував континуум попарно негомеоморфних s-компактних прегiльбертових просторiв. У зв'язку з цим у випадку неповних просторiв пiд класифiкацiйними розумiють наступнi проблеми, див. [DM]:

(a) вказати умови, при яких два лiнiйнi топологiчнi простори гомеоморфнi;

(b) визначити клас просторiв, гомеоморфних лiнiйним (чи опуклим) пiдмножинам l2;

(c) вказати умови, при яких даний простiр гомеоморфний певному модельному простору нескiнченно вимiрної топологiї.

Прикладами неповних модельних просторiв можуть служити лiнiйна оболонка lf2 ортонормованого базису l2, яка гомеоморфна множинi s={(xi)Оs: майже всi xi=0}, добуток lf2 ґ l2 чи злiченний добуток Sw. Топологiчна класифiкацiя цих, а також багатьох iнших неповних просторiв, була запропонована М.Бествiною та Є.Могiльським, котрi, розвиваючи технiку скелетоїдiв Бессаги, Пелчиньського [BP] та `cap'-множин Андерсона, створили теорiю сильно унiверсальних та поглинаючих просторiв, див. [BM]. Ця теорiя виявилась дуже потужним iнструментом при топологiчному вивченнi найрiзноманiтнiших об'єктiв, включно з неповними опуклими множинами. Проте на початку 90-х рокiв вона перебувала на етапi становлення i багато природних питань, якi стосувалися теорiї поглинаючих просторiв та її застосувань, залишались нез'ясованими, див. списки проблем [DM] i [We].

Зв'язок iз науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертацiї пов'язана з науково-дослiдними роботами ``Алгебро-топологiчнi конструкцiї та їх застосування'' (номер державної реєстрацiї МГ-198б).

Мета i задачi дослiдження. Розвиток та поглиблення теорiї сильно унiверсальних та поглинаючих просторiв i пар. Створення теорiї копоглинаючих просторiв. Застосування отриманих результатiв до вивчення топологiї опуклих множин у лiнiйних топологiчних просторах. Дослiдження топологiї конкретних опуклих множин, таких як простори мiр, слабкi одиничнi кулi банахових просторiв, операторнi образи. Встановлення топологiчної структури деяких неметризовних лiнiйних топологiчних просторiв.

Методи дослiдження. Використовуються методи теорiї нескiнченно вимiрних многовидiв, теорiї ретрактiв, дескриптивної теорiї множин, теорiї многозначних вiдображень, теорiї функторiв, теорiї мiри, геометрiї банахових просторiв, теорiї локально опуклих просторiв.

Наукова новизна одержаних результатiв. У дисертацiї отримано такi новi результати:

· Охарактеризовано топологiчнi простори, якi допускають гомотопiйно щiльне вкладення в l2-многовиди, що дає вiдповiдь на проблему 3.6 [DM] та ANR 12 [We].

· Побудовано приклад неповного борелiвського лiнiйного пiдпростору в l2, який не є sZ-простором, що дає негативну вiдповiдь на проблеми 4.3, 4.4, 4.6, 6.15 iз [DM] та LS12 [We].

· Створено технiку копоглинаючих просторiв i доведено теорему класифiкацiї для копоглинаючих просторiв.

· Доведено теорему iснування C-поглинаючих абсолютних ретрактiв для [0,1]-стабiльних класiв C, що дає вiдповiдь на проблему 3.1 [DM].

· Знайдено умови, при яких злiченне об'єднання сильно C-унiверсальних просторiв сильно C-унiверсальне.

· Доведено еквiвалентнiсть (сильної) унiверсальностi для просторiв i пар, на основi чого доведено теореми єдиностi для гомотопiйно щiльних вкладень (ко)поглинаючих просторiв, що дає вiдповiдь на проблему 3.10 [DM].

· Доведено еквiвалентнiсть (сильної) C-унiверсальностi та (сильної) C-преунiверсальностi для ``гарних'' класiв C.

· Для ``гарних'' класiв C доведено еквiвалентнiсть C-унiверсальностi i сильної C-унiверсальностi у топологiчних ANR-групах та замкнених опуклих пiдмножинах локально опуклих лiнiйних метричних просторiв. На основi цього охарактеризовано топологiчнi групи i замкненi опуклi множини, гомеоморфнi деяким модельним просторам нескiнченно вимiрної топологiї, що дає вiдповiдь на питання 4.1, 4.6, 5.3, 6.1, 6.5 [DM].

· Доведено сильну унiверсальнiсть замкнених опуклих множин, що допускають структуру добутку, i на основi цього дано топологiчну класифiкацiю таких множин.

· Доведено сильну унiверсальнiсть опуклих множин, що мiстять майже внутрiшню точку, i на основi цього дано топологiчну класифiкацiю s-прекомпактних локально опуклих лiнiйних метричних просторiв, а також доведено, що кожен такий простiр гомеоморфний передгiльбертовому, що

частково дає вiдповiдь на проблеми 4.11, 5.6, 5.17 [DM] i LS9 [We].

· Знайдено умови, при яких пара опуклих множин чи топологiчних груп гомеоморфна парi (Q,s), (sґ s,sґs), (sґQ,sґs), (sґQ,sґs) чи (sґQґs,sґsґs).

· Охарактеризовано Ґ-опуклi множини, гомеоморфнi Sw.

· Отримано топологiчну класифiкацiю просторiв Pb(X) ймовiрносних мiр з компактними носiями на коаналiтичних та проективних просторах, що дає вiдповiдь на питання 3.23 [Fe].

· Отримано топологiчну класифiкацiю просторiв PR(X) та Pc(X) ймовiрносних радонiвських та неперервних мiр на абсолютних борелiвських просторах, а також знайдено додатковi аксiоматичнi припущення, при яких ця класифiкацiя може (чи не може) бути продовжена на простори, що належать точним проективним класам.

· Отримано топологiчну класифiкацiю просторiв Pd(X) ймовiрносних дискретних мiр на абсолютних Fsd-просторах.

· Отримано топологiчну класифiкацiю слабких одиничних куль нескiнченно вимiрних банахових просторiв з нормою Кадеця та сепарабельним спряженим i доведено їх топологiчну однорiднiсть.

· Розкрито взаємозв'язки мiж геометричними властивостями банахового простору та топологiчними властивостями його слабкої одиничної кулi.

· Знайдено контрприклад, який показує, що топологiчна класифiкацiя слабких одиничних куль банахового простору не спiвпадає з їх борелiвською класифiкацiєю.

· Доведено, що при щiльному Gd-вкладеннi T:X®Y банахового простору X в нескiнченно вимiрний сепарабельний простiр Фреше Y пара (Y,TX) гомеоморфна однiй iз пар: (s,s), (s,ґS), (sґs,sґs), (sґQ,sґs) або (sґQґs,sґsґs).

· Знайдено умови на лiнiйний оператор T:X®Y, при яких операторний образ T(X) гомеоморфний Sw, що узагальнює ряд результатiв Р.Котi, Т.Добровольського, Є.Могiльcького, Й.Дайкстри про топологiю деяких конкретних операторних образiв.

· Знайдено приклад iн'єктивного компактного лiнiйного оператора T:X®l2

з деякого нескiнченно вимiрного банахового простору з сепарабельним спряженим, образ T(X) якого є Fsd-множиною в l2, не гомеоморфною S, sґs чи Sw. Це дає негативну вiдповiдь на одну гiпотезу Т.Добровольського.

· Доведено, що кожен нескiнченно вимiрний (локально опуклий) лiнiйний топологiчний простiр, який є прямою границею скiнченно вимiрних метризовних компактiв (лiнiйно) гомеоморфний простору RҐ=lim Rn, що є неметризовним аналогом результату [CDM].

· Доведено, що кожен нескiнченно вимiрний локально опуклий лiнiйний топологiчний простiр, який є прямою границею метризовних компактiв (зокрема, кожен сильний спряжений простiр до монтелевого простору Фреше), гомеоморфний RҐ чи RҐґQ.

· Доведено, що сильний спряжений до нескiнченно вимiрного ядерного (LF)-простору гомеоморфний Rw, RҐ , RҐ ґQ, Rwґ RҐ або (RҐ )w. Зокрема, простiр узагальнених функцiй Шварца гомеоморфний (RҐ )w.

Практичне значення одержаних результатiв. Робота має теоретичний характер. Її результати вже використовувались у роботах В.Марцiшевського (Uniwersytet Warszawski, Польща), ван Мiлла (Vrije Universiteit, Нiдерланди), Р.Котi (Universite Paris VI, Францiя), К.Сакаї (University of Tsukuba, Японiя), Т.Добровольського (Pittsburg State University, США), Т.Ягасакi (Kyoto Institute of Technology, Японiя), В.В.Федорчука, Ю.В.Садовнiчого (МГУ, Росiя), М.Островського (Фiзико-технiчний iнститут низьких температур iм. Б.I.Вєркiна, Харкiв).

Результати дисертацiї можуть бути використанi в нескiнченно вимiрнiй топологiї та її застосуваннях, зокрема, у геометрiї банахових просторiв та теорiї локально опуклих просторiв, а також при вивченнi гiперпросторiв та просторiв ймовiрносних мiр.

Особистий внесок здобувача. Усi результати дисертацiї отриманi автором самостiйно. Iз спiльних публiкацiй у дисертацiю включенi лише тi результати, що належать автору. У монографiї [1] автором написанi роздiли 1, 3, 5, а також пiдроздiли 2.4 i 4.2.

Апробацiя результатiв дисертацiї. Основнi результати дисертацiйної роботи доповiдались i обговорювались на мiжнародних конференцiях, присвячених пам'ятi Н.Г.Чеботарьова (Казань, Росiя, 1994), Г.Гана (Чернiвцi, 1998), Ю.Шаудера (Львiв, 1999), К.Борсука i К.Куратовського (Варшава, Польща, 1996), мiжнароднiй конференцiї з геометричної топологiї (Дубровнiк, Словенiя, 1998), семiнарi з аналiзу пiд керiвництвом Шоке, Годфруа, Рогальського i Сан Ремо (Париж, Францiя, 1995 i 1999), семiнарi з функцiонального аналiзу пiд керiвництвом А.Пелчиньського Iнституту математики Польської Академiї Наук (Варшава, Польща, 1994 i 1998), топологiчному семiнарi Iнституту математики Варшавського унiверситету (Варшава, Польща, 1995 i 1998), семiнарi з опуклого аналiзу пiд керiвництвом П.Грубера у Вiденському Технiчному Унiверситетi (Вiдень, Австрiя, 1996), розширеному семiнарi з дискретної геометрiї Iнституту Математики Угорської Академiї Наук (Будапешт, Угорщина, 1996), зимовiй школi з геометрiї банахових просторiв (Крiстановiце, Чехiя, 2000), семiнарi з функцiонального аналiзу в Iнститутi Прикладних Проблем Механiки i Математики у Львовi, топологiчному семiнарi кафедри алгебри i топологiї Львiвського нацiонального унiверситету iм. I.Франка та семiнарi з математичного аналiзу в Харкiвському нацiональному унiверситетi.

Публiкацiї. Результати дисертацiї опублiкованi у працях [1--30], серед яких одна монографiя i 27 статей, опублiкованих в журналах iз перелiку, затвердженого ВАК України.

Структура i об'єм роботи. Дисертацiя складається зi вступу, огляду лiтератури та результатiв дисертацiї, восьми роздiлiв, розбитих на пiдроздiли, висновкiв i списку використаних джерел. Обсяг дисертацiї -- 304 сторiнки. Список використаних джерел обсягом 17 сторiнок включає 252 найменування.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Основна частина дисертації складається з восьми розділів. Нульовий розділ присвячено огляду літератури та результатів дисертації. У першому розділі, який має, в основному, підготовчий характер, ми даємо огляд теорії абсолютних околових ретрактів (скорочено ANRів) та теорії топологічних многовидів, модельованих над гільбертовим кубом Q=[-1,1]w та його псевдовнутрішністю s=(-1,1)w, а також детально аналізуємо деякі базові поняття, зокрема, поняття близькості в просторах неперервних функцій. У подальшому викладі, говорячи про рівномірні наближення відображень у метричний простір X, маємо на увазі рівномірність, породжену всеможливими неперервними метриками на X. Усі топологічні простори (крім тих, що розглядаються в останньому розділі) є метризовними і сепарабельними, а відображення -- неперервними.

У п'ятому підрозділі першого розділу ми вивчаємо сильну дискретну апроксимаційну властивість, скорочено SDAP. Нагадаємо, що простір X володіє SDAP, якщо кожне відображення f::QґN® X зліченної суми гільбертових кубів рівномірно апрокcимується відображеннями, які переводять {Qґ{i}}iОN у дискретну сім'ю підмножин X. Згідно з характеризаційною теоремою Г.Торуньчика [To], простір є s-многовидом тоді і лише тоді, коли він є польським ANRом, що володіє SDAP. Нагадаємо, що польським називається довільний повно-метризовний сепарабельний простір. Підмножина A простору X називається гомотопійно щільною в X, якщо існує така гомотопія h:Xґ[0,1]®X, що h(Xґ(0,1])\subset A і h(x,0)=x для всіх xО X. Вкладення f:X® Y називається гомотопійно щільним, якщо f(X) -- гомотопійно щільна підмножина в Y. Основним результатом підроздiлу 2.5 є

1.5.2. Теорема. Простір X допускає гомотопійно щільне вкладення в деякий s-многовид тоді і лише тоді, коли X -- ANR, що володіє SDAP.

Ця теорема дає позитивну відповідь на питання 3.6 [DM], а також на проблему ANR 12 [We]. Крім того, вона значно спрощує обгрунтування теорії поглинаючих просторів Бествіни-Могільського [BM], а також забезпечує можливість створення теорії копоглинаючих просторів, що зроблено в підрозділі 2.2 даної дисертації.

Із теореми 1.5.2 та триангуляційної теореми для s-многовидів випливає, що кожен ANR із SDAP гомеоморфний гомотопійно щільній підмножині Q-многовиду, див. твердження 1.5.6. При цьому, на відміну від вкладень в s-многовиди, SDAP не є необхідною умовою існування такого гомеоморфізму. Необхідною умовою є так звана локально компактна апроксимаційна властивість (скорочено LCAP), яка вводиться і досліджується у шостому підрозділі. Ми говоримо, що простір X має LCAP, якщо тотожне відображення простору X рівномірно апроксимується відображеннями в замкнені локально компактні підмножини простору X.

У дев'ятому підрозділі першого розділу ми вивчаємо ZҐ-множини в опуклих підмножинах лінійних метричних просторів. Нагадаємо, що підмножина A простору X називається Zn-множиною в X, де 0Ј nЈҐ, якщо вона замкнена, а її доповнення X\A — n-щільне в X. При цьому підмножина AМ X n-щільна в X, якщо кожне відображення [0,1]n® X із n-вимірного куба рівномірно наближається відображеннями в A. Зрозуміло, що підмножина AМ X 0-щільна (відп. є Z0-множиною) в X тоді і лише тоді, коли вона всюди щільна (відп. замкнена ніде не щільна) в X. У теоремі 1.9.5 ми доводимо, що замкнена опукла підмножина A лінійного метричного простору X є ZҐ-множиною в X тоді і лише тоді, коли A має порожню внутрішність у своїй афінній оболонці aff(A) або aff(A) має нескінченну алгебраїчну ковимірність в X, див. [3].

Простір X, який є зліченним об'єднанням своїх Zn-підмножин, називається {\it sZn-простором}. Зрозуміло, що X є простором першої категорії Бера тоді і лише тоді, коли він є sZ0-простором. У теоремах 1.9.7--1.9.10 ми наводимо достатні умови для того, щоби дана опукла множина була sZҐ-простором. Основним результатом підрозділу 1.9 можна вважати теорему 1.9.12, згідно з якою лінійна оболонка span(E) множини Ердьоша E={(x_i)Оl2: xiОQ для всіх i} в l2 є борелівським передгільбертовим простором, який є s Zn-простором для всіх nОN, проте не є sZҐ-простором. Цей приклад дає негативну відповідь на питання 4.3, 4.4 із [DM]. Крім того, оскільки слабкий добуток Lfw={(xi)iОw : майже всі xi=0}М Lw є s ZҐ-простором для кожного неодноточкового лінійного простору L, то простір span(E) не гомеоморфний своєму слабкому добутку, що дає негативну відповідь на проблеми 6.15 із [DM] і LS12 із [We].

Другий розділ дисертації присвячено вивченню сильної універсальності та доведенню класифікаційної теореми для поглинаючих та копоглинаючих просторів. Поняття сильно C-універсального простору, яке викристалізувалося у фундаментальній праці М.Бествіни і Є.Могільського [BM], вивчається у першому підрозділі. Нагадаємо, що простір X називається сильно C-універсальним, де C -- топологічний простір, якщо кожне відображення f:C® X, обмеження f|B якого на дану замкнену підмножину BМ C є ZҐ-вкладенням, рівномірно наближається ZҐ-вкладеннями, що співпадають з f на B. При цьому ZҐ-вкладенням називається топологічне вкладення f:A® X, образ f(A) якого є ZҐ-множиною в X. Простір X називається сильно C-універсальним, де C -- клас просторів, якщо X сильно C-універсальний для кожного CОC. Сильна універсальність є основним інградієнтом в означеннях поглинаючого або копоглинаючого просторів, котрі є основними поняттями у даній дисертації.

Нехай C --- деякий клас просторів. Простір X називається C-поглинаючим, якщо

(i) X --- сильно C-універсальний ANR, що задовольняє SDAP;

(ii) X є sZҐ-простором; (iii) XО sC, де через sC позначається клас просторів, що зображаються у вигляді зліченних об'єднань замкнених підпросторів із класу C.

Назвемо простір X C-копоглинаючим, де C -- клас просторів, якщо

(i) X --- сильно C-універсальний ANR, що задовольняє SDAP;

(ii) X є Ґ-берівським простором; (iii) кожна ZҐ-множина A простору X належить класу C;

При цьому простір X називається n-берівським, де 0Ј nЈҐ, якщо він містить n-щільну абсолютну Gd-множину. C-(Ко)поглинаючі простори мають багато гарних властивостей, наприклад, вони топологічно однорідні (при умові зв'язності), див. наслідок 2.6.4. Проте визначальною їх рисою є наступна класифікаційна теорема, яка узагальнює теорему 5.3 із [BM].

2.2.5. Теорема. Нехай C -- деякий клас просторів. Два C-(ко)погли\-на\-ю\-чі простори гомеоморфні тоді і лише тоді, коли вони гомотопійно еквівалентні.

Кожен C-поглинаючий простір X є F0(X)-поглинаючим, де через F0(X) позначається клас топологічних просторів, гомеоморфних замкненим підпросторам X, див. [BM]. Тому природно назвати простір X сильно універсальним (відп. поглинаючим, копоглинаючим) якщо він є таким для класу C= F0(X). У цих термінах теорему 2.2.5 можна переформулювати так:

2.2.8. Теорема. Два (ко)поглинаючі простори X і Y гомеоморфні тоді і лише тоді, коли вони гомотопійно еквівалентні і F0(X)= F0(Y).

Третій підрозділ присвячено сильно універсальним парам та їх зв'язкам із сильно універсальними просторами. Далі, пишучи пару (M,X), ми розуміємо, що X є підпростором топологічного простору M. Дві пари (M,X), (M',X') є гомеоморфними, якщо існує гомеоморфізм h:M® M' з h(X)=X'.

Пара (M,X) називається сильно (K,C)-універсальною, де (K,C) -- інша пара, якщо кожне відображення f:K® M, обмеження якого на B є ZҐ-вкладенням із (f|B)-1(X)=BЗC, можна рівномірно наблизити ZҐ-вкладеннями f:K® M, що співпадають із f на B і мають властивість f--1(X)=C. Назвемо пару (M,X) сильно C-універсальною, де C -- клас пар, якщо (M,X) сильно (K,C)-універсальна пара для кожного (K,C)ОC.

Поняття поглинаючого простору теж має свій аналог у випадку пар. Сильно C-універсальна пара (M,X) називається C-поглинаючою, якщо X міститься в такій s ZҐ-множині ZМ M, що (Z,X)О sC, де sC --- клас пар (K,C), для яких простір K можна записати у вигляді об'єднання K=ИnОN Kn замкнених підмножин в K з (Kn,KnЗ C)ОC для кожного nі1. Відповідно, пару (M,X) назвемо C-копоглинаючою, якщо пара (M,M\ X) --- C'-поглинаюча для класу C'={(K,C): (K,K\ C)ОC}. Аналогічно випадку (ко)поглинаючих просторів, для C-(ко)поглинаючих пар справедлива класифікаційна теорема 2.3.7: дві C-(ко)поглинаючі пари (M,X), (M',X') у Q- або s-многовидах M, M' гомеоморфні тоді і лише тоді, коли многовиди M i M' гомеоморфні. Пару (M,X) назвемо (ко)поглинаючою, якщо вона F0(M,X)-(ко)поглинаюча. У термінах (ко)поглинаючих пар теорему 2.3.7 можна переформулювати так:

2.3.9. Теорема. Нехай M, M' --- Q- або s-многовиди. Дві (ко)погли\-на\-ю\-чі пари (M,X) i (M',X') гомеоморфні тоді і лише тоді, коли F0(M,X)= F0(M',X') і многовиди M, M' гомеоморфні.

Основним результатом третього підрозділу можна вважати наступну теорему, яка дозволяє використати сильно універсальні пари при встановленні сильної універсальності просторів.

2.3.10. Теорема. Нехай (K,C) -- пара, M --- ANR і X --гомотопійно щільний підпростір M, причому X має SDAP. Якщо пара (M,X) сильно (K,C)-універсальна, тоді простір X -- сильно C-універсальний.

За допомогою цієї теореми доводиться наступний факт, який пов'язує поглинаючі пари з поглинаючими і копоглинаючими просторами.

2.3.12. Наслідок. Нехай X -- гомотопійно щільний підпростір у Ґ-берівському ANRі M, що володіє LCAP. Якщо пара (M,X) -- поглинаюча, тоді простір X є поглинаючим, а його доповнення M\ X -- копоглинаючим простором.

У четвертому підрозділі ми встановлюємо умови, при яких ANR, що містить зростаючу послідовність сильно C-універсальних просторів, є сильно C-універсальним.

Будемо говорити, що зростаюча послідовність (Xn)nО N підмножин простору X має поглинаючу властивість для відображень скінченно вимірних компактів (скорочено MAPFDC), якщо довільне відображення f:A® X скінченно вимірного компакта A, яке переводить замкнену підмножину BМ A у деяке Xn, рівномірно наближається відображеннями f:A® X з f|B=f|B iз f(A)М Xm для деякого m.

Слід зауважити, що зростаюча послідовність (Xn)nО N опуклих підмножин множини X в лінійному метричному просторі має MAPFDC в X, якщо ИnО NXn всюди щільне в X, див. твердження 2.4.2.

2.4.4. Теорема. Нехай (M,X), (K,C) -- дві пари, причому M -- ANR із LCAP. Пара (M,X) сильно (K,C)-універсальна, якщо існує зростаюча послідовність M1М M2М ... М MnМ ... М M ZҐ-множин, що має MAPFDC, причому кожен її елемент Mn є ANRом, для якого пара (Mn,X) сильно (K,C)-універсальна.

У п'ятому підрозділі ми цікавимося проблемою існування C-(ко)поглинаючого простору для даного класу C, див. питання 3.1--3.5 [DM]. Простір X називається C-універсальним, де C -- клас просторів, якщо CМF0(X), тобто для кожного простору CОC існує замкнене вкладення C®X.

2.5.1. Теорема. Для [0,1]-стабільного топологічного класу C просторів існування C-поглинаючого абсолютного ретракта еквівалентне існуванню C-універсального простору в класі sC.

При цьому клас C просторів називається (i) топологічним, якщо кожна топологічна копія довільного простору CОC теж належить класу C; (ii) T-стабільним, де T — деякий топологічний простір, якщо Cґ TОC для кожного простору CОC.

Зауважимо, що з теореми 2.5.1 та відомих результатів про існування універсальних об'єктів у відповідних класах випливає ряд відомих результатів М.Бествіни, Т.Добровольського, Є.Могільського, Р.Коті, М.Зарічного, Т.Радула про існування C-поглинаючих просторів. Для конкретних класів, а саме Ma , Aa i Pn, відповідні поглинаючі абсолютні ретракти мають фіксовані позначення: Wa , La , i Pn, див. [BM], [Ca1]. Нагадаємо, що через Ma , Aa позначаються відповідно мультиплікативний та адитивний борелівський класи, що відповідають зліченному ординалу a; Pn, nО N, -- проективні класи. Зокрема, M0 , A1 , M1 , M2 , P1, -- класи компактних, s-компактних, польських, абсолютних Fsd, аналітичних та коаналітичних просторів, відповідно. Через M12 позначається клас просторів, що є різницями X\Y польських просторів XМ Y.

У шостому підрозділі розвивається теорія многовидів, модельованих на (ко)поглинаючих абсолютних ретрактах. Основною тут є

2.6.1. Характеризаційна Теорема. Простір M є многовидом, модельованим на деякому (ко)поглинаючому просторі W тоді і лише тоді, коли він є F0(W)-(ко)поглинаючим простором.

Крім того, для таких многовидів доведено теореми класифікації за гомотопійним типом, триангуляції, незавузлення та теорему про відкрите вкладення.

У третьому розділі ми наводимо зручні для практичної перевірки характеризації (сильної) C-універсальності для ``гарних'' класів C. Як буде видно далі, до таких ``гарних'' класів відносяться практично всі дескриптивні і розмірнісні класи, що зустрічаються на практиці. Назвемо клас C просторів (i) замкнено-спадковим (відп. Gd-спадковим), якщо кожен замкнений (відп. Gd-) підпростір довільного простору CО C належить класу C; (ii) (слабко) A1-адитивним, якщо для кожного компакта K (із класу C) та його підмножини CО C об'єднання C И AО C для кожної s-компактної підмножини AМ K. Будемо говорити, що клас C просторів допускає компактифікації, якщо кожен простір CОC міститься в деякому компакті KОC. Для класу C просторів покладемо C[n]={CОC: dim CЈ n} i C(f.d.)=ИnОNC[n].

У першому та другому підрозділах ми розглядаємо проблему еквівалентності між (сильною) універсальністю просторів і пар. Ми називаємо пару (M,X) C-універсальною (відп. C-преуніверсальною), де C -- клас пар, якщо для кожної пари (K,C)О C існує замкнене вкладення f: K® M (відп. досконале відображення) з f-1(X)=C. Для двох класів K,C просторів позначимо через (K,C) клас усіх пар (K,C), де C ' CМ KО K. Через 2w={0,1}w позначається канторів куб.

3.1.1. Теорема. Нехай C -- топологічний 2w-стабільний слабко A1-адитивний клас просторів. Якщо X -- C-універсальний простір, тоді для кожного вкладення XМ M в польський простір M пара (M,X) є (M0 ЗC,C)-універсальною.

3.1.3. Наслідок. Нехай C --топологічний 2w-стабільний слабко A1-адитивний клас просторів, що допускає компактифікації. Простір X C-універсальний тоді і лише тоді, коли він містить C-універсальну Gd--підмножину.

3.2.1. Теорема. Нехай C -- клас просторів, що задовольняє умови теореми 4.1.1. Для сильно C-універсального гомотопійно щільного підпростору польського ANR-простору M пара (M,X) сильно (M0 ЗC,C)-універсальна.

Результати третього підрозділу пов'язані з наступною проблемою 3.10 [DM]: знайти умови на поглинаючий простір W, при яких існує єдина (з точністю до гомеоморфізму) пара (Q,X), де X -- гомотопійно щільна підмножина Q, гомеоморфна W. Відповідь на цю проблему дає

3.3.5. Теорема. Якщо W --- C-поглинаючий AR для деякого 2w-стабільного A1-адитивного класу просторів, тоді

(1) існує таке гомотопійно щільне вкладення WМ s, що пари (s,W), (Q,W) є (M0 ,C)-поглинаючими;

(2) пара (Q,X) гомеоморфна (Q,W) тоді і лише тоді, коли X — гомотопійно щільна підмножина Q, гомеоморфна W;

(3) пара (s,X) гомеоморфна (s,W) тоді і лише тоді, коли X є гомотопійно щільною підмножиною s, яка лежить у деякій s-компактній підмножині s і є гомеоморфною W;

(4) для будь-якої гомотопійно щільної підмножини X® P у гомотопійно щільній Gd--підмножині P гільбертового куба з гомеоморфності X і W випливає гомеоморфність їх доповнень P\ X i Q\ W.

3.3.6. Теорема. Якщо W -- C-копоглинаючий AR для деякого 2w-стабільного A1-адитивного класу просторів, тоді

(1) існує таке гомотопійно щільне вкладення WМ Q, що пара (Q,W) (M0 ,C)-копоглинаюча;

(2) пара (Q,X) гомеоморфна (Q,W) тоді і лише тоді, коли X — гомотопійно щільна підмножина Q, гомеоморфна W;

(3) для будь-якої гомотопійно щільної підмножини X® P у гомотопійно щільній Gd-множині P гільбертового куба з гомеоморфності X і W випливає гомеоморфність їх доповнень P\ X i Q\ W.

Використовуючи теорему 3.3.5, зафіксуємо гомотопійно щільні вкладення WaМ Q, LaМ Q i PnМ Q поглинаючих абсолютних ретрактів для класів Ma , Aa , Pn, відповідно. При цьому пари (Q,Wa), (Q,La), (Q,Pn) --- (M0 ,Ma )-, (M0 ,Aa )-, (M0 ,Pn)-поглинаючі, пари (Q,Q\Wa), (Q,Q\ La) i (Q,Q\Pn) --- (M0 ,Aa )-, (M0 ,Ma )-, (M0 ,Pn-(-1)n)-копоглинаючі, а простори Q\Wa, Q\ La, Q\Pn --- Aa -, Ma , Pn-(-1)n -копоглинаючі, відповідно.

У четвертому і п'ятому підрозділах розвивається техніка досконалих многозначних відображень, за допомогою якої в наступних підрозділах доводиться еквівалентність (сильної) C-універсальності та (сильної) C-преуніверсальності для ``гарних'' класів C.

3.6.1. Теорема. Нехай C -- 2w-стабільний слабко A1-адитивний Gd-спадковий клас просторів. Пара (M,X) є (M0 ЗC,C)-універсальною тоді і лише тоді, коли вона (M0ЗC,C)-преуніверсальна.

Сьомий підрозділ присвячено вивченню так званих M1-відображень, котрі застосовуються у восьмому підрозділі при доведенні теореми про еквівалентність C-універсальності та C-преуніверсальності для просторів. Простір X називається C-преуніверсальним, де C -- клас просторів, якщо для кожного простору CО C існує досконале відображення f:C® X.

3.8.1. Теорема. Нехай C=M1[n], 0Ј nЈҐ, або C --- топологічний 2w-стабільний M1-спадковий слабко A1-адитивний клас просторів, що допускає компактифікації. Простір X є C-універсальним тоді і лише тоді, коли він C-преуніверсальний.

У дев'ятому підрозділі доводиться теорема еквівалентності між сильною універсальністю та сильною преуніверсальністю пар, яка є сильною версією теореми 3.6.1, а в десятому підрозділі встановлюється еквівалентність між сильною універсальністю та сильною преуніверсальністю просторів. Простір X називається сильно C-преуніверсальним, де C — клас просторів, якщо для довільного відкритого підпростору UМ X кожне відображення f:C® U простору CО C рівномірно апроксимується досконалими відображеннями C® U.

3.10.1. Теорема. Нехай клас C задовольняє умови теореми 3.8.1. ANR-простір X із SDAP сильно C-універсальний тоді і лише тоді, коли він сильно C-преуніверсальний.

В одинадцятому підрозділі ми застосовуємо отримані результати до вивчення топології ANR-груп, тобто топологічних груп, топологічний простір яких є ANRом. Через Pt позначається клас усіх одноточкових просторів.

3.11.9. Теорема. Нехай C -- [0,1)-стабільний Pt-адитивний клас просторів, що задовольняє умови теореми 3.8.1. ANR-група G є C-поглинаючим простором тоді і лише тоді, коли G О sC є C-універсальним sZҐ-простором.

3.11.11. Теорема. Кожна M1-універсальна ANR-група GО M12 \ M1 є sґs-многовидом.

У четвертому розділі ми застосовуємо теорію, розроблену в попередніх розділах, до вивчення топології опуклих підмножин у лінійних метричних сепарабельних просторах. Стратегія тут наступна: показати, що дана опукла множина чи пара опуклих множин поглинаюча або копоглинаюча, а потім застосувати теорему класифікації 2.2.8 чи 2.3.9. У цьому розділі під локально опуклим простором ми розуміємо локально опуклий лінійний метричний сепарабельний простір, а під опуклою множиною -- опуклу множину в локально опуклому просторі. Для опуклої множини X у локально опуклому просторі L через X позначаємо поповнення X відносно довільної інваріантної метрики на L.

У першому підрозділі ми розглядаємо опуклі множини, що допускають структуру добутку. Основним результатом тут є

4.1.2. Теорема. Опукла множина X у локально опуклому просторі L є сильно С-універсальним простором для будь-якої обмеженої замкненої в L підмножини CМ X нескінченної ковимірності в X.

Із цієї теореми випливає декілька наслідків, перший з яких об'єднує наслідки 4.1.3, 4.1.4 і 4.1.6.

Наслідок. Нехай X -- замкнена опукла нелокально компактна підмножина локально опуклого простору L, гомеоморфна добутку Xґ Y для деякої нескінченно вимірної опуклої множини Y, причому простір L нормований або Y має SDAP. Тоді

(1) простір X сильно універсальний;

(2) простір X -- поглинаючий (відп. копоглинаючий), якщо X -- sZҐ- (відп. Ґ-берівський) простір.

4.1.10. Наслідок. Замкнена опукла підмножина X локально опуклого простору гомеоморфна передгільбертовому простору, якщо X є sZҐ-простором, гомеоморфним своєму квадрату Xґ X.

У випадку нормованого простору X цей результат був доведений\newline Р.~Коті в 1994 році. У наступному твердженні об'єднано наслідки 4.1.7 і 4.1.11.

Наслідок. Кожна сильно зліченно вимірна замкнена опукла підмножина X локально опуклого простору, гомеоморфна добутку X ” Xґ Y для деякої опуклої нескінченно вимірної підмножини Y, є поглинаючим простором. Більше того, якщо X ” Xґ X, тоді X гомеоморфна деякому передгільбертовому простору.

Нагадаємо, що топологічний простір X називається сильно зліченно вимірним, якщо він є зліченним об'єднанням своїх замкнених скінченно вимірних підпросторів. Символ ``”'' відповідає за гомеоморфність.

У другому підрозділі встановлюється сильна універсальність опуклих множин, що містять майже внутрішню точку. При цьому точка x_0 опуклої підмножини C лінійного топологічного простору називається майже внутрішньою точкою, якщо множина A={a О C: $e>0 з x_0-e(a-x_0)О C} всюди щільна в C (якщо ж A=C, тоді x_0 називається {\it внутрішньою точкою} в C), див означення 4.2 в [BP, с.160}. Зокрема, для кожної опуклої симетричної підмножини C простору Фреше нуль є внутрішньою точкою C. Слід зауважити, що існують опуклі множини, що не містять майже внутрішніх точок. Таким є, наприклад, конус l^2_+={( xi)О l^2\mid xiі 0 і xi=0 для майже всіх i}.

4.2.1. Теорема. Для кожної нескінченно вимірної опуклої множини C з майже внутрішньою точкою і кожного компакта KМ\bar C з KЗ C=KЗ\aff (C) пара (\bar C,C) сильно (K,KЗ C)-універсальна, а простір C -- сильно KЗ C-універсальний.

Із цієї теореми випливає наступне твердження, у якому об'єднано наслідок 4.2.5 і теорему 4.2.8.

Твердження. Нехай X -- цілком обмежена некомпактна опукла множина, що має майже внутрішню точку і є замкненою в \aff(X), i X --- її поповнення.

(1) Простір X i пара (X,X) сильно універсальні.

(2) Простір X i пара (X,X) поглинаючі тоді і лише тоді, коли X є sZҐ-простором.

(3) Простір X i пара (X,X) копоглинаючі тоді і лише тоді, коли X є Ґ-берівським простором.

Назвемо підмножину X локально опуклого простору {\it s-преком\-пакт\-ною}, якщо X є зліченним об'єднання своїх цілком обмежених підмножин.

4.2.6. Теорема. Нехай X -- нескінченно вимірний sigma-прекомпактний локально опуклий простір і X -- його поповнення. Простір X і пара (X,X) є поглинаючими.

Із цієї теореми та теореми єдиності 2.2.8 випливає наступна класифікаційна теорема для sigma-прекомпактних локально опуклих просторів, яка узагальнює теорему Т.Добровольського класифікації s-компактних локально опуклих просторів.

4.2.7. Теорема. Локально опуклі sigma-прекомпактні простори X,Y гомеоморфні тоді і лише тоді, коли F0(X)=F0(Y).

Ще одна теорема підрозділу 4.2 пов'язана із проблемою LS9 [We]: Чи кожна опукла підмножина простору Фреше гомеоморфна опуклій підмножині гільбертового простору? У 1997 В.Марцішевський, побудувавши в банаховому просторі l1 лінійний підпростір, не гомеоморфний жодній опуклій підмножині l2, дав негативну відповідь на цю проблему. З іншого боку, для s-прекомпактних опуклих множин відповідь на питання LS9 позитивна. Опуклі підмножини X_1,X_2 у лінійний просторах L_1, L_2 назвемо афінно еквівалентними, якщо існує бієктивне афінне (не обов'язково неперервне) відображення f:X_1®X_2.

4.2.10. Теорема. s-Прекомпактна опукла підмножина X (банахового) простору Фреше гомеоморфна та афінно еквівалентна опуклій підмножині гільбертового простору, якщо X має (майже) внутрішню точку і X є Fs-множиною в aff(X).

Важливим частковим випадком теореми 4.2.10 є теорема 4.2.11 (доведена в [11}): Кожен локально опуклий \s-прекомпактний лінійний метричний простір гомеоморфний передгільбертовому простору.

У третьому підрозділі ми характеризуємо опуклі множини, гомеоморфні C-поглинаючим ARам для ``гарних'' класів C.

4.3.1. Теорема. Нехай C клас просторів, що задовольняє умови 3.8.1. Замкнена опукла підмножина X локально опуклого простору X сильно C-універсальна тоді і лише тоді, коли вона C-універсальна.

4.3.2. Теорема. Припустимо, що W є C-поглинаючим (відп. C-копоглинаючим) ARом для класу C, що задовольняє умови теореми 3.8.1. Замкнена опукла підмножина X локально опуклого простору гомеоморфна W тоді і лише тоді, коли XО sC є C-універсальним sZҐ-простором (відп. XО C є C-універсальним Ґ-берівським простором).

Зокрема, при C=M1 маємо наступну характеризацію.

4.3.6. Теорема. Замкнена опукла підмножина X локально опуклого метричного простору гомеоморфна sґ s тоді і лише тоді, коли X є M1-універсальним простором, що належить класу M12 \ M1.

Три попередні теореми доведені за допомогою теорем про еквівалентність між сильною C-універсальністю та сильною C-преуніверсальністю. Для деяких важливих класів (наприклад, M0 чи A1) вказана еквівалентність не має місця. Незважаючи на це, для таких класів, використовуючи результати підрозділу 4.2, можна довести характеризації, подібні до теореми 4.3.2.

4.3.7. Теорема. Нехай W -- C-поглинаючий AR для деякого замкнено-спадкового класу CМA1. Нескінченно вимірна опукла підмножина X простору Фреше, яка містить майже внутрішню точку, гомеоморфна W тоді і лише тоді, коли X є C-універсальним sZҐ-простором класу sC.

У випадку опуклих множин із майже внутрішньою точкою та класу C=M0 ця теорема дає відповідь на питання 5.6 [BD]: опукла множина X із майже внутрішньою точкою гомеоморфна S тоді і лише тоді, коли X -- s-компактний sZҐ-простір, що містить топологічну копію гільбертового куба, див. теорему 4.3.8.

У четвертому підрозділі ми ідентифікуємо пари опуклих множин, гомеоморфних деяким модельним парам. У більшості випадків, завдяки теоремам еквівалентності 3.3.5, 3.3.6, задача вивчення топології пар зводиться до дослідження топології просторів. У випадку, коли ці теореми незастосовні, корисною може виявитись наступна

4.4.8. Теорема. Нехай X -- опукла підмножина локально опуклого простору L і X -- її поповнення. Пара (X,X) гомеоморфна парі

(1) (Q,s), якщо (X,X)О (M0 ,M1) i XЛ L;

(2) (sґ s,sґs) тоді і лише тоді, коли X — M1-універсальна sZҐ-множина в X;

(3) (sґ Q,sґ s), якщо множина X замкнена в L, простір X не локально компактний і X\neX -- Gd-множина в X;

(4) (Qґ Q,sґ s), якщо XО M12\ M1 -- замкнена множина в L, а простір X -- компактний і