НАЦIОНАЛЬНА АКАДЕМIЯ НАУК УКРАЇНИ

ФIЗИКО-ТЕХНIЧНИЙ IНСТИТУТ НИЗЬКИХ ТЕМПЕРАТУР

iм. Б.I. ВЄРКIНА

УДК 517.984.54

КУДРЯВЦЕВ Михайло Олексiйович

ОБЕРНЕНI ЗАДАЧI

ДЛЯ СКIНЧЕННОРIЗНИЦЕВИХ ОПЕРАТОРIВ МАТЕМАТИЧНОЇ ФIЗИКИ

ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ

01.01.03 — математична фiзика

А в т о р е ф е р а т

дисертацiї на здобуття наукового ступеня

кандидата фiзико-математичних наук

Харкiв — 2000 р.

Дисертацiєю є рукопис

Робота виконана в Фiзико-технiчному iнститутi низьких температур

iм. Б.I. Вєркiна НАН України

Науковий керiвник: академiк НАН України, доктор фiз.-мат. наук, професор Марченко Володимир Олександрович, Фiзико-технiчний iнститут низьких температур iм. Б.I. Вєркiна НАН України, завiдувач вiддiлу

Офiцiйнi опоненти: доктор фiз.-мат. наук Новицький Михайло Васильович, Фiзико-технiчний iнститут низьких температур iм. Б.I. Вєркiна НАН України, старший науковий спiвробiтник кандидат фiз.-мат. наук, старший науковий спiвробiтник Єгорова Iрина Євгенiївна, Харкiвський Нацiональний унiверситет, доцент

Провiдна установа Iнститут математики НАН України, м. Київ.

Захист вiдбудеться 27 грудня 2000 року об 11 годинi на засiданнi

спецiалiзованої вченої ради Д 64.175.01 при Фiзико-технiчному iнститутi

низьких температур iм. Б.I. Вєркiна НАН України за адресою:

61164, м. Харкiв, пр. Ленiна, 47.

З дисертацiєю можно ознайомитись у бiблiотецi Фiзико-технiчного iнституту

низьких температур iм. Б. I. Вєркiна НАН України

(61164, м. Харкiв, пр. Ленiна, 47).

Автореферат розiсланий "_24_" листопада 2000 року.

Вчений секретар

спецiалiзованої вченої ради

доктор фiз.-мат. наук                                                   Котляров В.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Оберненi задачi для диференцiальних та скiнченнорiзницевих операторiв притянули продовж останнiх 30 рокiв особливу увагу у зв'язку з їх застосуванням до теорiї нелiнiйних еволюцiйних рiвнянь. Особливу актуальнiсть набуло дослiдження обернених задач нового типу, а також класичних обернених задач (наприклад, оберненої задачi розсiяння) для операторiв з якомога бiльш широким класом коефiцiєнтiв. В цiй роботi дослiдженi пряма та обернена задачi для п'ятидiагональних симетричних матриць, а також нова обернена спектральна задача для нескiнченних в обидва кiнцi якобiєвих матриць. Остання задача застосована до розв'язання задачi Кошi для ланцюжка Тоди з вельми широким класом початкових даних.

Актуальнiсть теми. Вiдкритий у 1967 роцi в роботi Гарднера, Грина, Крускала та Мiури метод оберненої задачi розсiяння дозволив розв'язати ряд цiкавих для фiзики нелiнiйних еволюцiйних рiвнянь. Можливiсть застосування цього метода обумовлена тим, наскiльки повно удається дослiдити спектральнi властивостi вiдповiдних L-операторiв, та можливiстю розв'язання для них обернених спектральних задач. Достатньо докладно цi питання вивченi для диференцiальних та скiнченнорiзницевих операторiв зi стабiлiзуючимися на нескiнченностi коефiцiєнтами, що дозволило розв'язувати задачi Кошi для нелiнiйних еволюцiйних рiвнянь зi стабiлiзуючимися початковими даними.

Однiєю з найбiльш актуальних проблем в цiй областi математичної фiзики

є розширення класу початкових даних, при яких може бути вирiшена задача Кошi для нелiнiйних еволюцiйних рiвнянь. В 70-х роках в роботах Б.О. Дубровiна, О.Р. Iтса, В.О. Марченка, В.Б. Матвєєва, С.П. Новiкова були розв'язанi перiодичнi задачi Кошi, а також деякi задачi Кошi з майже перiодичними початковими даними. Подальшi результати, отриманi в цiй областi Д.Ш. Лундiной i В.О. Марченком, Л.К. Масловим, А. Буте де Монвель та В.О. Марченком не вичерпують проблеми.

Другою актуальною проблемою у спектральнiй теорiї є вивчення обернених

задач для диференцiальних та скiнченнорiзницевих операторiв вищих порядкiв.

В цьому напрямку отримане повне розв'язання оберненої задачi розсiяння для операторiв з бистроспадними коефiцiєнтами. Крiм задачi розсiяння, значний iнтерес викликає задача про вiдновлення оператора за його спектральною функцiєю. Ця задача спектрального аналiза для напiвнескiнченної якобiєвої матрицi дозволила М. Кацу та Ю.М. Березанському розв'язати задачу Кошi для напiвнескiнченного ланцюжка Тоди. Повного розв'язання оберненої задачi по вiдновленню оператора вищого порядку за його спектральною функцiєю в загальному випадку (наприклад, для неаналiтичних коефiцiєнтiв) не отримано, головним чином, iз-за вiдсутностi операторiв перетворення.

Однiєю з головних труднощiв є точний опис характеристичних властивостей

спектральних функцiй для цих операторiв. Отже, важливою задачею спектральної теорiї є повний опис спектральних функцiй для матриць, що вiдповiдають скiнченнорiзницевому оператору бiльш високого порядку, нiж 2.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Це дослiдження виконане в рамках тематичного плана ФТIНТ за вiдомчою тематикою за темою "Алгебраїчнi i геометричнi методи в теорiї операторiв i теорiї динамiчних систем", № 0196U002943, а також за проектом програми Державного Фонда Фундаментальних дослiджень № 1.4/20 ("Спектр").

Мета i задачi дослiдження. Метою роботи є:

1. Повне розв'язання оберненої задачi вiдновлення скiнченнорiзницевих симетричних операторiв з п'ятидiагональною матрицею за їх спектральними функцiями, включаючи здобуття необхiдних i достатнiх умов, яким мають вiдповiдати спектральнi функцiї.

2. Розробка метода розв'язання задачi Кошi для ланцюжка Тоди з нестабiлiзуючимися початковими даними.

Методи дослiдження. В першому роздiлi дисертацiї використанi методи лiнiйної алгебри та функцiонального аналiзу. В другому роздiлi використанi методи функцiонального аналiзу, теорiї функцiй комплексного змiнного i теорiї солiтонiв.

Наукова новизна одержаних результатiв.

Всi оригiнальнi результати роботи отриманi автором вперше.

Основнi положення i результати, якi виносяться на захист:

1. Для скiнченних та напiвнескiнченних п'ятидiагональних симетричних матриць розв'язана задача про вiдновлення матрицi за її спектральною функцiєю. Знайденi необхiднi i достатнi умови, яким має задовольняти неспадна матричнозначна функцiя для того, щоб вона була спектральною, i дається метод вiдновлення п'ятидiагональної матрицi.

2. Для якобiєвих матриць з обмеженими елементами, у яких двократний спектр вiдокремлен вiд однократного та мiстить сегмент двократного абсолютно неперервного спектру, введено нового типу обернених задач. Одержано iнтегральне рiвняння, що дозволяє розв'язувати цi задачi.

3. Розiбранi в 2. оберненi задачi застосованi для розв'язання задачi Кошi для ланцюжка Тоди з нестабiлiзуючимися початковими даними.

Практичне значення одержаних результатiв. Робота носить теоретичний характер. Результати першого роздiлу дозволяють розв'язувати обернену задачу для коливання матерiальних точок, кожна з яких взаємодiє з двома найближчими сусiдами. Крiм того, результати щодо опису характеристичних властивостей матричнозначних спектральних функцiй можуть бути корисними при розв'язаннi вiдповiдних задач для диференцiальних операторiв четвертого порядку. Результати другого роздiлу дисертацiї можуть бути використанi для ефективного розв'язання задачi Кошi для рiвняння ланцюжка Тоди з бiльш широким класом початкових даних, нiж дозволяли попереднi роботи.

Особистий внесок здобувача. Всi основнi результати роботи отриманi автором самостiйно.

Апробацiя результатiв дисертацiї. Результати дисертацiї докладались у ФТIНТ на семiнарах математичної фiзики В.О. Марченка та Є.Я. Хруслова, а також на ювiлейному семiнарi, присвяченому 40-рiччу ФТIНТ (Харкiв, ФТIНТ, 21-23 серпня 2000 р.)

Публикацiї. За матерiалами дисертацiї опубликовано такi роботи:

1. М. Кудрявцев. Пряма та обернена задачi спектрального аналiзу для п'ятидiагональних симетричних матриць. Доповiдi НАН України, № 11, 1996 р., с. 55-59.

2. М. Кудрявцев. Прямая и обратная задачи спектрального анализа для пятидиагональных симметрических матриц. I. Математическая физика, анализ, геометрия, 1998 г., т. 5, № 3/4, с. 182-202.

3. М. Кудрявцев. Прямая и обратная задачи спектрального анализа для пятидиагональных симметрических матриц, II. Математическая физика, анализ, геометрия, 1999 г., т. 6, № 1/2, с. 55-80.

4. М. Кудрявцев. Задача Римана с дополнительными особенностями. Математическая физика, анализ, геометрия, 2000 г., т. 7, № 2, с. 196-208.

Структура дисертацiї. Диссертацiю викладено на 155 сторiнках. Вона складається з вступу, двох роздiлiв (132 стор.), додатка A (21 стор.), у який винесено доведення одної технiчно складної теореми, двох таблiць та списка використаних джерел з 30 найменувань, що займає 2 сторiнки.

Автор висловлює щиру подяку своєму науковому керiвнику В.О. Марченку

за постановку задач та увагу до роботи.

ОСНОВНИЙ ЗМIСТ

I. У першому роздiлi дисертацiї розглядаються пряма та обернена задачi спектрального аналiзу для п'ятидiагональних симетричних матриць. В пунктах 1.1-1.4 цього роздiлу розглядаються скiнченнi дiйснi матрицi вигляду

де ck № 0, k = 0, 1, 2,…, N-1.

Запроваджується фундаментальна система розв'язкiв скiнченнорiзницевого рiвняння

a0y(0)+b0y(1)+c0y(2) =ly(0),

b0y(0)+a1y(1)+b1y(2)+c1y(3) =ly(1),

c0y(0)+b1y(1)+a2y(2)+b2y(3) +c2y(4) =ly(2),

ck-2y(k-2)+bk-1y(k-1)+aky(k)+bky(k+1) +cky(k+2) =ly(k),

cN-5y(N-5)+bN-4y(N-4)+aN-3y(N-3)+bN-3y(N-2) +cN-3y(N-1) =ly(N-3),

що складається з двох лiнiйно незалежних розв'язкiв P(1)(k, l), P(2)(k, l), k =

0, 1, 2,…, N-1, що задаються початковими умовами

P(1)(0, l) = d11, P(1)(1, l) = d12, P(2)(0, l) = 0, P(2)(1, l) = d22, d11d22 № 0.

Розв'язки P(1)(k, l) полiномiально залежать вiд l. Матриця

називається матрицею початкових умов.

Запроваджується простiр QN := PN/2 ґ PN/2 (у випадку парного N), елементами якого є вектор-функцiї де R(1), R(2) –полiноми степенiв не вище . Визначається "перетворення Фур'є" - вiдображення N-вимiрного евклiдова простору HN у простiр QN - формулой

Лемма 1.1.2. Вiдображення U є взаємно однозначним.

Простим висновком спектральної теорiї самосопряжених операторiв є

Теорема 1.1.1. Кожнiй матрицi початкових умов D вiдповiдає спектральна функцiя s(l) = sD(l) матрицi JN, така що

Спектральна функцiя s(l) є кусково-сталою та має невiд'ємнi стрибки в точках спектру матрицi JN, що дорiвнюють невiд'ємним матрицям другого порядку. Очевидно, оператор U є унiтарним вiдображенням простору HN на

простiр QN зi скалярним добутком

Обернена задача вiдновлення JN i D за спектральною функцiєю проводиться

методом ортогоналiзацiї системи вектор-функцiй ,  ,  , , , , …, , , що утворює базис простору QN.

Суттєва вiдмiна вiд випадку трьохдiагональних матриць Якобi виникає при знаходженнi необхiдних та достатнiх умов, яким має задовольняти s(l) для того, щоб бути спектральною функцiєю деякої п'ятидiагональної матрицi. Iз аналiза прямої задачi випливає, що спектральна функцiя s(l) п'ятидiагональної

матрицi порядку N задовольняє таким умовам:

(A) s(l), -Ґ < l < Ґ - неспадна кусково-стала матриця-функцiя другого порядку, сума рангiв її стрибкiв дорiвнює N, а s(Ґ) - s(-Ґ)невироджена.

(B) бiлiнiйна форма (2) є невиродженим скалярним добутком QN.

Саме умова (B) дозволяє використати метод ортогоналiзацiї при розв'язаннi оберненої задачi. У випадку якобiєвих матриць невиродженiсть скалярного добутка, породженого спектральною (скалярною) функцiєю, автоматично випливає з того, що ця ункцiя має рiвно N додатних стрибкiв. Але для п'ятидiагональних матриць умова (B) не випливає iз (A). Далi, якщо умова (A) цiлком конструктивна, то умова (B) є неефективною, тому що за виглядом неспадної матрицi не зрозумiло, чи задовольняє вона цiй умовi, чи нi. Ось чому основна труднiсть полягає в тому, щоб знайти додатковi до (A) умови, яким має задовольняти матричнозначна функцiя, щоб бiлiнiйна форма (2) була невиродженою. Розв'язання цiєї задачi отримане в п.,1.2 дисертацiї, де доведена

Teoрема 1.2.1. (Для парного N.) Для того, щоб матриця-функцiя s(l) другого порядку була спектральною функцiєю sJ(l) деякої матрицi JN, необхiдно й достатньо, щоб вона мала вигляд

де l1 Ј … Ј lN - довiльна послiдовнiсть точок дiйсної осi, серед яких 2m однократних (таких, що не повторюються) точок m1 < … < m2m i p – двократних n1 < … < np (N = 2m + 2p), , - довiльнi дiйснi полiноми iз степенями deg , deg , що не мають загальних коренiв, kj - довiльнi додатнi числа, а Ci - довiльнi cтрого додатнi матрицi другого порядку. (У випадку непарного N=2m+1+2p у формулюваннi основної теореми змiнюється тiльки число точок mj (на 2m+1) та степенi полiномiв: deg , deg ).

Крiм того, дослiджується питання про те, що можуть являти собою довiльнi монотоннi матрицi з невiд'ємними стрибками.

Визначення. Можливо виродженою п'ятидiагональною матрицею називається матриця вигляду (1), у якої:

c0, c1, …, cN-3 № 0, cN1-2 = … = cN-3 = 0, bN1-1, …, bN-2 № 0, 2 Ј N1 Ј N,

тобто п'ятидiагональна матриця, у якої на крайнiй дiагоналi, починаючi з деякого мiсця, можуть стояти нулi.

Теорема 1.4.1. Кожнiй можливо виродженiй п'ятидiагональнiй матрицi та матрицi початкових умов D однозначно вiдповiдає матричнозначна спектральна функцiя s(l), що задовольняє умовi (A). Обернено, якщо матричнозначна функцiя s(l)задовольняє умовi (A), то їй однозначно (з точнiстю до дiагонального унiтарного перетворення) вiдповiдає можливо вироджена п'ятидiагональна матриця, для якої s(l) є спектральною.

В пунктах 1.5 - 1.7 цi результати узагальненi на напiвнескiнченнi матрицi.

II. 1. В другому роздiлi дисертацiї розглянута задача Кошi для ланцюжка Тоди:

Ця задача була розв'язана Манаковим i Фляшке з допомогою оберненої задачi розсiяння для матриць

В цiй роботi така задача знайдена для матриць (5) з обмеженими елементами, головною визначальною властивiстю яких є наявнiсть сегмента [a,b] двократного абсолютно неперервного спектру матрицi J, вiдокремленого вiд iнших дiлянок спектру.

Позначимо через Pk(l), Q k(l) розв'язки рiвняння

bk-1wk-1 + (ak - l)wk + bkwk+1 = 0, k О Z,

з початковими умовами

P0(l) = 1, P-1(l) = 0, Q0(l) = 0, Q-1(l) = 1.

Очевидно, що будь-який розв'язок цього рiвняння є їх лiнiйна комбiнацiя.

Як вiдомо, при комплексних l рiвняння (7) має розв'язки

такi що за будь-яких скiнченних N. Тут mR(l) та mL(l) - функцiї Вейля матрицi J. Вони мають вигляд

де b О R, а rR(l), rL(l) - неспаднi функцiї.

Матриця J однозначно вiдновлюється за функцiями Вейля mR(l), mL(l) та числом b-1. Нам треба здобути iз функцiй mR(l), mL(l) та числа b-1 такi спектральнi данi, щоб:

а) за ними теж вiдновлювалась матриця J;

б) структура iнтегрального рiвняння, за допомогою якого вiдновлюється матриця, дозволяла використати його для розв'язання нелiнiйної задачi Кошi.

Iнакше кажучи, цi спектральнi данi мають грати роль, аналогiчну даним розсiяння у випадку стабiлiзуючихся початкових даних.

II. 2. Не порушуючи загальностi, обмежимось випадком, коли b-1>0 i сегмент [-2, 2] є вiдрiзком двократного абсолютно неперервного спектра, вiдокремленим вiд iнших точок спектра. Для розв'язання оберненої задачi спектральний параметр l параметризується змiнною z, пов'язаною з l спiввiдношенням l = z + z-1. При цьому перетвореннi спектр матрицi J параметризуєтся точками одиничного кола та деякою множиною дiйсної осi. Замiсть двох функцiй та розв'язкiв Вейля запроваджується функцiя

та розв'язок

за якими зберiгаються назви функцiї та розв'язка Вейля матрицi J. Вони, у всякому разi, визначенi i голоморфнi для тих z О C, для яких в точцi z + z-1

обидвi функцii mR i регулярнi.

У випадку, що розглядав Л.К. Маслов, функцiя n(z) (отже, i y (k,z)) голоморфна на одиничному колi. У нашому ж випадку функцiї y (k,z) i n(z) можуть мати стрибок на колi |x|=1.

Граничнi значення функцiй зсередини кола позначаються верхнiм символом +, а граничнi значення функцiй зовнi кола позначаються верхнiм символом -. Доводиться, що для граничних значень y (k,z) мають мiсце спiввiдношення:

Ключевою є

Теорема 2.2 (про факторизацiю). Функцiя (z - z-1 )N(z)-1 =

(z - z-1 ) (n(z) - n(z-1 ))-1 у своєї областi голоморфностi може бути подана у виглядi добутка голоморфних в цiй областi функцiй R(z), R(z-1):

Функцiя R(z) може мати особливостi тiльки в таких точках z, що (z + z-1 ) належить спектру матрицi J. При цьму

R+(x) R+(x-1)|Im n+(x)| = R-(x) R-(x-1)|Im n-(x)|. |x| = 1.

Для функцiї R(z) отриман явний вираз.

Далi запроваджуються функцiї

де

З допомогою теореми 2.2 iз рiвнянь (9), (10) доводиться

Лема 2.3.6. Для граничних значень функцiї g(k, z) на одиничному колi виконується спiввiдношення

де

rR(t) и rL(t) запровадженi в (8).) Саме ця рiвнiсть i дозволяї вивести iнтегральне рiвняння оберненої задачi, придатне для розв'язання задачi Кошi (3), (4).

Доводиться, що функцiї g(k, z) задовольняють асимптотикам

g(k, z) ® hk2, z ® 0,

g(k, z) ® 1, z ® Ґ,

та елементи ak, bk знаходятся iз g(k, z) за формулами

II. 3. Функцiї g(k, z) ї голоморфними всюди, крiм кола та деякої множини дiйсної осi. Тому, за теоремою Кошi,

де G- контур, оточуючий всi особливостi функцiй g(k, z), що зосередженi на дiйснiй осi та одиничному колi. Стягуючи контур до особливостей функцiї g(k,), отримуємо основну теорему:

Теорема 2.3. Функцiї g(k, z) можуть бути представленi в виглядi

де u(k, a) - розв'язок iнтегрального рiвняння

а    Функцiя v(b), мiра ds(a) на осi та функцiя на колi

здобуваються iз функцiї n(z) по-рiзному на рiзних дiлянках спектра та виписуються в явному виглядi.

Для того щоб визначити цi функцii та мiру на дiйснiй осi, у площинi z запроваджуються три множини. Нехай W1 - це множина, в точках якої функцiя n(z) неголоморфна, а функцiя n(z-1) - голоморфна. Нехай, далi, W2s - множина спiльних полюсiв функцiй n(z) та n(z-1), а W2a - множина, на якої обидвi функцiї n(z), n(z-1)неголоморфнi, але мають абсолютно неперервнi граничнi значення

з верхньої та нижньої пiвплощин.

На дiйснiй осi визначається вiдображення V - вiдображення симетрiї вiдносно одиничного кола:

V(t)=t-1, t О R\{0}.

Нехай

D = R\([-1, 1] И W1 И V(W1) И W2s) = ИkDk,

де Dk = (ak, bk) - iнтервали, що взаємно неперетинаються.

Лема 2.2.2. Кожен iнтервал (ak, bk) = Dk розбивається на двi дiлянки:

Dk(1) = (ak, jk),              Dk(2) = (jk, bk),

так що

N(a) < 0   для a О Dk(1)\ W2a,

N(a) > 0   для a О Dk(2)\ W2a.

(Один з iнтервалiв Dk(1), Dk(2) може виявитися пустим.)

Iз кожної пари jk, jk-1 обирається одне число j*k за слiдуючим правилом: якщо обидва кiнця iнтервала (ak, bk) належать множинi W1 або V(W1), то покладається

та в рештi випадкiв покладається

На множинi W1 И F, де F є Иkj*k визначається мiра dr1(t), де

На точковiй множинi W2s З (-1, 1) визначається мiра dr2(a), формулою

На множинi Ws2 визначаються функцiї

p(a)=(m(a + a-1) + (m(a + a-1))-1)tan |j2(a)| > 0,

m(a)=s(a)(m(a + a-1) - (m(a + a-1))-1)cosc0(a)p,

де

i c0(a),- iндикатор множинi (ИkDk(1))И(ИkVDk(1)) (s(a) визначена в формулюваннi теореми 3).

Мiра ds(a) визначається на всiй дiйснiй осi рiвнiстю

де c1(a), c2s(a),c2a(a) - iндикатори множин W1 И F, Ws2 З (-1, 1), Wa2, вiдповiдно.

Функцiя та мiра ds(a) на осi, а також функцiя задана на одиничному колi формулою (11), i є спектральними даними матрицi J, що входять в iнтегральне рiвняння (12). Помiтимо, що носiй мiри ds(a) та

одиничне коло T спiвпадають з множиною таких точок z, що z + z-1 належить спектру оператора J.

ВИСНОВКИ

В дисертацii розв'язанi оберненi задачi для двох важливих самосопряжених скiнченнорiзницевих операторiв математичної фiзики i запропоновано застосування однiєї з цих задач до розв'язання задачi Кошi для нелiнiйного рiвняння коливань нескiнченного в обидва кiнцi ланцюжка Тоди. Скiнченнорiзницевi оператори другого та четвертого порядку є об'єктом пристальної уваги у зв'язку з їх застосуванням до вивчення багатьох фiзичних процесiв. До найбiльш важливих результатiв дисертацiйної роботи вiдносяться такi:

1. Розв'язана пряма та обернена задачi спектрального анализу для скiнченних та напiвнескiнченних п'ятидiагональних симетричних матриць. Доведено, що будь-якiй можливо виродженiй скiнченнiй або напiвнескiнченнiй п'ятидiагональнiй матрицi J вiдповiдає спектральна функцiя s(l), з допомогою якої будується розкладання по власних функцiях п'ятидiагональної матрицi. Це неспадна матриця-функцiя 2ґ2, що має усi моменти, така s(Ґ) -s(-Ґ) невироджена. Матрицям скiнченного порядку вiдповiдають спектральнi функцiї iз скiнченною кiлькiстю точок зростання. Матриця J вiдновлюється за своєю спектральною функцiєю однозначно з точнiстю до дiагонального унiтарного перетворення, i це вiдновлення проводиться методом ортогоналiзацiї.

Доведено, що будь-яка неспадна матричнозначна функцiя s(l) другого порядку, що має усi моменти та невироджена на нескiнченностi, є спектральною для деякої п'ятидiагональної скiнченної або напiвнескiнченної можливо виродженої матрицi J. Якщо s(l) - кусково-стала i сума рангiв її стрибкiв дорiвнює N, то матриця J - порядку N; якщо s(l) має нескiнченне число точок зростання, то матриця J - напiвнескiнченна.

2. Знайденi необхiднi й достатнi умови, яким має задовольняти спектральна функцiя для того, щоб їй вiдповiдала невироджена п'ятидiагональна матриця (тобто матриця, у якої на крайнiх дiагоналях розташованi ненульовi елементи).

3. Для широкого класу якобiєвих матриць знайденi спектральнi данi нового

типу, доведено, що цi матрицi вiдновлюються за цими даними однозначно (з точнiстю до знакiв елементiв крайнiх дiагоналей) i дається метод вiдновлення матрицi за цими даними.

4. Ця обернена задача використана для розв'язання задачi Кошi для ланцюжка Тоди з широким класом початкових даних, що не стабiлiзуються.

АНОТАЦIЇ

Кудрявцев М.А. Оберненi задачi для скiнченнорiзницевих операторiв

математичної фiзики та їх застосування. - Рукопис.

Дисертацiя на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-математичних

наук за спецiальнiстю 01.01.03 - математична фiзика. - Фiзико-технiчний iнститут низьких температур iм. Б.I. Вєркiна НАН України, Харкiв, 2000 р.

Дисертацiя присвячена прямим та оберненим спектральним задачам для самосопряжених скiнченнорiзницевих операторiв другого та четвертого порядку.

Для скiнченних та напiвнескiнченних п'ятидiагональних симетричних матриць вирiшено обернену задачу спектрального аналiзу про вiдновлення матрицi за її спектральною функцiєю. Доведено, що будь-яка монотонна матричнозначна функцiя другого порядку, у якої iснують усi моменти, є спектральною для деякої можливо виродженої п'ятидiагональної матрицi. Знайденi необхiднi й достатнi умови, яким має задовольняти спектральна матриця-функцiя для того, щоб вiдповiдна п'ятидiагональна матриця була невиродженою.

Для якобiєвих матриць з обмеженими елементами, у яких двократний спектр

вiдокремлен вiд однократного та мiстить сегмент двократного абсолютно неперервного спектру, введено нового типу спектральних даних. Отримане iнтегральне рiвняння, що дозволяє вiдновити матрицю за цими даними. З допомогою цьго рiвняння вирiшено задачу Кошi для ланцюжка Тоди з

початковими даними, що не стабiлiзуються.

Ключовi слова: спектральна теорiя, оберненi задачi, нелiнiйнi рiвняння.

Кудрявцев М.А. Обратные задачи для конечноразностных операторов

математической физики и их приложения. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математиче-ских наук по специальности 01.01.03 - математическая физика. -

Физико-технический институт низких температур им. Б.И. Веркина НАН

Украины, Харьков, 2000 г.

Диссертация посвящена прямым и обратным спектральным задачам для

самосопряженных конечноразностных операторов и их приложениям к

нелинейным задачам Коши с нестабилизирующимися начальными данными.

1. Для конечных и полубесконечных пятидиагональных симметрических матриц решена прямая задача спектрального анализа о нахождении спектральных функций и описании их характеристических свойств. Спектральная функция фигурирует в формулах разложения и равенстве Парсеваля, порожденных собственными функциями рассматриваемых матриц.

Аналогично случаю якобиевых (трехдиагональных) матриц, спектральная функция s(l) пятидиагональной матрицы оказывается неубывающей матричнозначной функцией второго порядка, имеющей все моменты. Она кусочно-постоянна и имеет N точек роста (с учетом кратности скачков) в случае пятидиагональной матрицы конечного порядка N и имеет бесконечное число точек роста в случае полубесконечной матрицы. При этом s(Ґ) - s(-Ґ) - невырожденна.

В отличие от якобиевых матриц, эти свойства не дают полного описания спектральных функций пятидиагональных матриц. По аналогии с классическим случаем якобиевых матриц, можно было ожидать, что любая матричнозначная функция, удовлетворяющая этим условиям, является спектральной для некоторой пятидиагональной матрицы. Однако, это не так. Оказывается, матричнозначная функция, удовлетворяющая этим условиям, не обязательно является спектральной функцией пятидиагональной матрицы. В диссертации найдены те дополнительные условия, которым удовлетворяет рост спектральных функций пятидиагональных матриц в точках однократного спектра. Следовательно, спектральные функции пятидиагональных матриц являются подмножеством W* во множестве W всех монотонных, невырожденых на бесконечности матричнозначных функций второго порядка, имеющих все моменты, которое выделено этим дополнительным условием. В диссертации доказано, что все множество W состоит из спектральных функций возможно вырождающихся пятидиагональных матриц, у которых на крайней диагонали, начиная с некоторого места, могут стоять нули, и дан метод восстановления этих матриц. Найдены необходимые и достаточные условия, которым должна удовлетворять спектральная матрица-функция для того, чтобы соответствующая пятидиагональная матрица была невырожденной, и дается метод восстановления пятидиагональной матрицы. Таким образом, в диссертации получено полное решение обратной задачи о восстановлении пятидиагональных матриц по их спектральным функциям, которое качественно отличается от случая якобиевых матриц. Указано, как эти результаты могут быть обобщены на случай (2n + 1) -диагональных матриц.

2. Как известно, обратные задачи играют ключевую роль в теории солитонов. Например, решение задачи Коши для цепочки Тоды со стабилизирующимися начальными данными было получено с помощью обратной задачи рассеяния для якобиевых матриц. Однако, для нестабилизирующихся начальных данных обратная задача рассеяния, вообще говоря, не имеет смысла, поскольку для рассматриваемого класса матриц данные рассеяния (коэффициент отражения и т.д.), вообще говоря, отсутствуют. Поэтому важно найти новые обратные задачи, которые могут заменить обратную задачу рассеяния в случае нестабилизирующихся начальных данных.

В работе введен новый тип обратной задачи для якобиевых матриц с ограниченными элементами, у которых двукратный спектр отделен от однократного и содержит сегмент двукратного абсолютно непрерывного спектра. Спектральные данные в этих задачах извлекаются из функций Вейля mR(l),mL(l) якобиевой матрицы на левой и правой полуосях по-разному на разных участках спектра и играют ту же роль, что и данные рассеяния в классической обратной задаче рассеяния. Получено интегральное уравнение, позволяющее восстановить матрицу по этим данным.

Оказывается, якобиевы матрицы, удовлетворяющие перечисленным ограничениям на спектр, являются L -операторами для уравнения колебаний цепочки Тоды с достаточно широким классом нестабилизирующихся на бесконечности начальных данных, включающем уже исследованные случаи быстростабилизирующихся и периодических начальных условий. Это позволило применить полученное интегральное уравнение обратной задачи для решения задачи Коши для цепочки Тоды с широким классом нестабилизирующихся начальных данных.

Ключевые слова: спектральная теория, обратные задачи, нелинейные уравнения.

Kudryavtsev M.A. The inverse problems for finite difference operators of mathematical physics and their applications. - Manuscript.

Thesis for a doctor's degree by speciality 01.01.03 – mathematical physics.- The Institute for Low Temperature Physics and Engineering of National Academy of Sciences of Ukraine, Kharkov, 2000.

The inverse problem of spectral analysis of the reconstruction of a five-diagonal symmetric matrix by its spectral function is solved. It is proved that every nondecreasing 2ґ2 matrix-valued function that has N jumps, where every jump is counted according to its multiplicity, is the spectral function of a certain degenerated or non-degenerated five-diagonal matrix. The necessary and sufficient conditions for a matrix-valued function to be the spectral function of a it non-degenerated five-diagonal matrix is found.

A new type of spectral data is introduced for Jacobi matrices with bounded elements whose spectrum of multiplicity 2 is separated from its simple spectrum and contains an interval of absolutely continuous spectrum. An integral equation that allows us to reconstruct the matrix from the spectral data is obtained. We use this equation to solve the Cauchy problem for the Toda lattice with the initial data that are not stabilized.

Key words: spectral theory, inverse problems, nonlinear equations

___________________________________________________________________

Вiдповiдальний за випуск - доктор фiз.-мат. наук Чишко К.О.

___________________________________________________________________

Пiдписано до друку 8.11.2000 р. Формат 60х90/16

Ум. друк. арк. 1.9. Замовлення N 44.00. Тираж 100 прим.

___________________________________________________________________

Ротапринт ФТIНТ НАН України, 61164, Харкiв, пр. Ленiна, 47