НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНИХ ПРОБЛЕМ

МЕХАНІКИ І МАТЕМАТИКИ ім. Я.С.ПІДСТРИГАЧА

Кісіль Роман Іванович

УДК 539.214

ЧИСЕЛЬНЕ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ КВАЗІСТАТИЧНИХ

ЗАДАЧ ПРУЖНОПЛАСТИЧНОГО ДЕФОРМУВАННЯ

СКЛАДНИХ ТОНКОСТІННИХ КОНСТРУКЦІЙ

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

А в т о р е ф е р а т

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Львів-2000

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі прикладної математики Львівського національного університету імені Івана Франка.

Науковий керівник: кандидат фізико-математичних наук,

доцент Муха Ігор Стефанович,

Львівський національний університет,

доцент кафедри прикладної математики.

Офіційні опоненти: доктор технічних наук,

старший науковий співробітник,

Мерзляков Володимир Абрамович,

Інститут механіки ім.С.П.Тимошенка

НАН України,

провідний науковий співробітник;

доктор фізико-математичних наук,

старший науковий співробітник,

Нагірний Тарас Семенович,

Центр математичного моделювання

ІППММ ім.Я.С.Підстригача НАН України,

завідувач відділу некласичних задач

тепломасопереносу.

Провідна установа : Державний університет

“Львівська політехніка”,

кафедра теоретичної механіки,

Міністерство освіти і науки України,

м.Львів.

Захист відбудеться “24” липня 2000 року о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.195.01 при Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України за адресою: 79000, м.Львів, МСП, вул.Наукова, 3б.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України за адресою: 79000, м.Львів, МСП, вул.Наукова, 3б.

Автореферат розісланий “21” червня 2000 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Шевчук П.Р.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Створення машин, споруд, знарядь праці та інших об’єктів цивілізації часто пов’язане з використанням в якості складових елементів тонкостінних конструкцій. Для забезпечення міцності, надійності та низької металоємності таких конструкцій необхідно вміти їх розраховувати з достатньою точністю. Причому ефективне їх використання вимагає визначення напружено-деформованого стану не тільки на пружній стадії деформування, але й за межею пружності. Тому все більшого значення набувають дослідження поведінки тонкостінних конструкцій з урахуванням пластичних властивостей матеріалу. Навантаження, що відповідає появі текучості, поведінка конструкції при пластичному деформуванні дозволяють оцінити запас міцності її та виявити слабкі місця.

Визначення напружено-деформованого стану тонкостінних просторових конструкцій традиційними аналітичними методами пов’язане із значними труднощами, а часто і неможливе. В той же час розвиток сучасної обчислювальної техніки та обчислювальної математики дає змогу чисельно розв’язувати поставлені задачі. Наявні чисельні методи розрахунків напружено-деформованого стану приводять, як правило, до великих обчислювальних труднощів і не завжди бувають ефективними. Тому проблема ефективного чисельного розв’язування задач пружнопластичного деформування складних тонкостінних конструкцій є актуальною задачею механіки деформівного твердого тіла.

Мета роботи полягає у :

- розробці нового ефективного чисельного алгоритму для розв’язування квазістатичних задач пружнопластичного деформування просторових тонкостінних конструкцій складної форми;

- чисельній реалізації запропонованого підходу та створенні комплексу програм, що дозволяє проводити дослідження напружено-деформованого стану інженерних конструкцій.

Наукова новизна одержаних результатів. Записано основні диференціальні та варіаційні співвідношення математичної моделі квазістатичного процесу деформування твердих тіл. Розроблено методику розрахунку напружено-деформованого стану тонкостінних твердих тіл у процесі пружнопластичного деформування під дією силового навантаження. Методика базується на теорії пластичної плинності, методі додаткових напружень, методі скінченних елементів. На тестових прикладах, для яких відомі аналітичні розв’язки, досліджена збіжність побудованого ітераційного процесу та точність чисельної схеми. Побудований алгоритм чисельного розв’язування квазістатичних задач пружнопластичного деформування реалізовано у вигляді комплексу програм для ПЕОМ. З його допомогою проведено розрахунок низки модельних та практично - важливих прикладів: квадратної пластинки, циліндричної оболонки спряженої з кільцевою пластинкою, трійникового з’єднання двох циліндричних оболонок, колінчатого з’єднання двох труб. У цих задачах визначались зони поширення пластичних деформацій на поверхні та по товщині тіла.

Достовірність одержаних наукових результатів забезпечується використанням експериментально обгрунтованих математичних моделей з апробованими фізичними співвідношеннями, строгим і послідовним застосуванням математичних методів при розв’язуванні задач, розробкою безумовно-стійких чисельних схем та порівнянням отриманих розв’язків для тестових прикладів з аналітичними і чисельними розв’язками, отриманими за допомогою інших методів.

Практичне значення результатів роботи. Розроблено ефективний алгоритм для визначення напружено-деформованого стану тонкостінних тіл під час пружнопластичного деформування. Даний алгоритм дозволяє визначати зону поширення пластичних деформацій по товщині тонкостінного тіла, що має важливе значення при оцінці несучої здатності інженерних конструкцій. Для розрахунку низки складних конструкцій в умовах силового навантаження створений комплекс програм, який може використовуватись у практиці інженерного проектування таких об’єктів.

Особистий внесок здобувача. Брав участь у побудові чисельної схеми для дослідження пружнопластичного деформування тонкостінних складених тіл складної форми.

Провів серію чисельних експериментів, досліджуючи різні методики апроксимації поля напружень по товщині тіла, і виробив ряд рекомендацій щодо ефективності кожної з них.

Створив програмне забезпечення для розв’язування задач пружнопластичного деформування. З допомогою цього програмного виробу дослідив напружено-деформований стан низки практично важливих інженерних конструкцій.

На захист виносяться :

- методика чисельного розв’язування задач пружнопластичного деформування тонкостінних твердих тіл, яка дозволяє визначати величину пластичної зони по товщині тіла;

- результати розв’язання задач пружнопластичного деформування складних тонкостінних інженерних конструкцій.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана в рамках науково-дослідної роботи кафедри прикладної математики по темі Пп-114б “Математичне моделювання і чисельне дослідження фізико-механічних полів в середовищах з малими неоднорідностями”.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідались на семінарах кафедри прикладної математики Львівського національного університету імені Івана Франка та наукових конференціях :

- Всеукраїнська наукова конференція

“Застосування обчислювальної техніки, математичного моделювання та математичних методів у наукових дослідженнях” (Львів, 1994, 1995, 1998);

- IV Міжнародна конференція з механіки неоднорідних структур (Тернопіль, 1995);

- VI Українська конференція “Моделирование и исследование устойчивости систем” (Київ, 1995);

- Міжнародна наукова конференція “Сучасні проблеми механіки і математики “ (Львів, 1998);

- Міжнародна науково-технічна конференція “Совершенствование энергетических и транспортных турбоустановок методами математического моделирования, вычислительного и физического экспериментов” (Харків, 1994).

Дисертаційна робота в цілому обговорювалась на науковому семінарі кафедри прикладної математики Львівського національного університету імені Івана Франка, науковому семінарі Інституту механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України, науковому семінарі Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України.

Публікації. Основні результати досліджень відображені в 11 статтях та тезах наукових конференцій.

Структура та обсяг праці. Дисертаційна робота включає вступ, п’ять розділів, висновки та список літератури. Вона містить 133 сторінки машинописного тексту з 6 таблицями та 19 рисунками. Перелік використаних джерел включає 194 найменування.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі дисертаційної роботи обгрунтована актуальність розглядуваної теми. Викладені мета дослідження та результати, що виносяться на захист. Наведена анотація дисертації по розділах.

Перший розділ містить огляд робіт для вирішення задачі дослідження пружнопластичного деформування тонкостінних конструкцій під дією силового навантаження та характеристику стану проблеми.

Математична теорія пластичності бере початок у роботах Тріска, Сен-Венана, Леві, Мізеса. Подальша розробка проводилась Прандтлем, Рейсом, Прагером, Койтером, Меланом, Хіллом, Генкі, Надаі, Ільюшиним та іншими. Даній темі присвячена велика кількість праць. Огляд літератури з таких питань зроблено в роботах Койтера, Ольшака та інших.

Розв’язуванням квазістатичних просторових задач теорії пластичності займались Н.М.Адясова, М.О.Бабешко, І.А.Біргер, А.П.Горячєв, В.М.Іонов, С.О.Капустін, П.М.Огібалов, В.В.Піскун, А.С.Савчук, К.М.Русинко, T.Agyris, A.Chan, M.Hartman, J.R.Hatchinson, D.Molone та інші.

Питання, пов’язані з побудовою ефективних методів, алгоритмів для розв’язування крайових задач механіки твердого деформівного тіла, розглядались у роботах А.Т.Василенка, Ю.В.Верюжського, О.С.Городецького, Я.М.Григоренка, О.М.Гузя, Б.Я.Кантора, В.І.Кузьменка, В.А.Мерзлякова, А.М.Підгорного, І.В.Прохоренка, О.О.Рассказова, В.Л.Рвачева, В.Г.Савченка, О.С.Сахарова, О.М.Шаблія, П.О.Стеблянка, Ю.М.Шевченка, M.Ortiz, J.C.Simo, R.L.Taylor та інших.

Як правило, для наближеного розв’язування таких задач використовують класичні чисельні методи, як метод сіток або метод скінченних елементів. Значний вклад у розвиток проекційно-сіткових методів внесли А.Г.Агошков, І.Бабушка, О.Зенкевич, В.Л.Макаров, Г.І.Марчук, Е.Мітчел, С.Г.Міхлін, Я.Г.Савула, О.А.Самарський, Г.Стренг, Ф.Сьярле, Р.Темам, Дж.Фікс, Г.А.Шинкаренко, J.T.Oden та інші.

Використання в сучасній техніці тонкостінних конструкцій складних форм породжує необхідність розвитку методів дослідження оболонок. Суттєвий вклад у формування основних гіпотез і побудову рівнянь теорії оболонок внесли Н.А.Алумяе, С.О.Амбарцумян, В.В.Болотін, І.Н.Векуа, В.З.Власов, А.С.Вольмір, І.І.Воровіч, К.З.Галімов, О.Л.Гольденвейзер, Е.І.Григолюк, А.І.Лурьє, Х.М.Муштарі, В.В.Новожилов, П.М.Огібалов, Б.Л.Пелех, Я.С.Підстригач, Ю.Н.Работнов, Г.Н.Савін, С.П.Тимошенко, К.Ф.Черних, J.Geckeler, E.Reissner та інші.

Значний вклад у дослідження оболонок складної геометрії та розвиток чисельних методів для розв’язування таких задач внесли А.Т.Василенко, О.І.Голованов, Я.М.Григоренко, М.С.Корнішин, В.М.Паймушин, Л.О.Розін, Я.Г.Савула, Н.П.Флейшман та інші.

Відомо два основні підходи до розв’язання задач пружнопластичного деформування тонкостінних тіл. При першому з них будується теорія пружнопластичних оболонок. При цьому понижується вимірність задачі, але не визначається зона поширення пластичних деформацій по товщині тіла. Другий підхід полягає в розв’язанні просторової задачі пружнопластичного деформування. Але побудована чисельна схема на основі таких теорій наштовхується на значні труднощі, пов’язані з необхідністю багатократного розв’язання лінеаризованої задачі, яка сама по собі є складною.

У розділі коротко викладена загальна методика дослідження. При цьому постановка задачі теорії пластичності здійснюється в рамках математичної моделі пластичної плинності Прандтля - Рейса, яка базується на асоційованому законі текучості. Для побудови квазістатичної моделі процесу пружнопластичного деформування використано принцип віртуальних робіт, записаний для приростів переміщень і напружень. Лінеаризація фізичних співвідношень здійснюється на основі алгоритму середньої точки. Це дозволяє побудувати безумовно стійку чисельну схему розв’язування вищезгаданих задач.

У роботі запропоновано комбінований підхід до розв’язання задачі пружнопластичного деформування тонкостінних тіл. Він полягає у тому, що аналіз полів напружень і пластичних деформацій на кожному кроці квазістатичного процесу навантаження проводиться згідно із співвідношеннями тривимірної теорії деформування. З метою економії обчислювальних ресурсів для розв’язання лінеаризованої задачі здійснюється редукція до двовимірного простору з використанням гіпотез теорії оболонок, а також припущення стосовно закону розподілу напружень по товщині тіла. Її розв’язування проводиться по схемі методу скінченних елементів. З розв’язків, отриманих у рамках двовимірної постановки, відновлюються просторові поля переміщень і по них будується наступне наближення варіаційного рівняння. Завдяки такому підходу визначається зона поширення пластичних деформацій по товщині тіла.

У другому розділі побудоване основне варіаційне рівняння квазістатичного деформування твердого тіла. Розглянуто задачу про деформування початково трасверсально - ізотропного, однорідного і ненапруженого тіла, яке займає об’єм V в R3 та обмежене поверхнею S , під дією силових навантажень. Нехай на тіло подіяли масові сили і поверхневі напруження на частині поверхні . На частині поверхні переміщення точок задані і дорівнюють . Під дією вказаних силових факторів тіло здеформувалось і знаходиться в стані рівноваги. При цьому точки тіла здійснили переміщення і в них виникли напруження, що описуються тензором . Згідно з принципом віртуальних робіт робота, яку виконують описані зовнішні сили на віртуальних переміщеннях точок тіла, дорівнює роботі внутрішніх сил.

При цьому припускали, що переміщення виникли до початку деформації, яка нас цікавить. Після того на тіло почали діяти додаткові масові сили і поверхневі напруження на , а точки поверхні здійснили додаткові переміщення . Під дією зазначених факторів тіло змінило свою деформовану конфігурацію. При цьому точки тіла здійснили додаткові переміщення і в них виникли додаткові напруження .

Припускали, що процес навантаження тіла зовнішніми силами проходить неперервно і настільки повільно, що модель деформування тіла може бути записана в квазістатичній постановці. Тоді можна вважати, що початкові переміщення і напруження є величинами, які описують стан тіла в момент часу , а прирости переміщень і напружень тіло отримує за час . Якщо вважати, що початковий стан тіла є зафіксований і не отримує варіації, то

, (1)

де - тензор напружень у точках тіла,

- вектор переміщень точок в деякий момент часу,

- тензор лінійних (малих) деформацій.

Для розв’язання цього рівняння необхідно задати фізичний закон деформування, тобто співвідношення між та . Але у випадку пластичного деформування ці співвідношення можна записати лише для безмежно малих приростів та . Тому розв’язок варіаційного рівняння шукатимемо ітераційним методом. Припустимо, що нам відомо деяке наближення розв’язку . Зобразимо точний розв’язок у вигляді

,

.

Вважатимемо, що величини та є величинами вищого порядку мализни порівняно з та . Нехай існує зв’язок між нескінченно малим приростом напружень і нескінченно малим приростом деформацій у вигляді

, (2)

де - деякий симетричний додатно визначений тензор четвертого рангу ; - тензор другого рангу. Hехтуючи членами та , отримаємо для знаходження варіаційну задачу про мінімум квадратичного функціоналу

,

= 0 , (3)

де оператор матиме наступний вигляд:

.

Розв’язавши задачу (3), знайшли наступне наближення розв’язку варіаційного рівняння (1) за формулою

. (4)

Для визначення використали (2). Наступне наближення

. (5)

За початкове наближення описаного ітераційного процесу вибрано довільні функції з класу H1(v) , які задовольняють крайові умови

= .

Як правило, у ролі такого наближення використовують розв’язок геометрично лінійної пружної задачі.

Ітераційний процес (3), (4), (5) продовжують доти, доки не виконуються умови

.

Викладений хід розв’язування задачі деформування твердого тіла на кожному кроці квазістатичного процесу вимагає обчислення тензорів , введених припущенням (2). Для цього використали piвняння теоpiї пластичної плинності Пpандтля - Рейса. Співвідношення моделі пружнопластичності у найбільш загальному випадку мають вигляд

де - коефіцієнт пластичності, F - кpитеpiй виникнення пластичниx дефоpмацiй. Дiя зовнiшнix сил спpичинятиме появу непpужниx дефоpмацiй пpи , а якщо , то в тiлi пpисутнiми будуть лише пpужнi дефоpмацiї. Критерій пластичностi вибрано у формі Мізеса, коли інтенсивність напружень досягає величини межі текучості матеріалу. Hайпpостiшою є модель iдеальної пpужнопластичностi. У цьому випадку умова виникнення пластичниx дефоpмацiй є функцiєю напpужень .

Якщо тiлу пpитаманне iзотpопне змiцнення, тодi , де K - скаляpна величина, яка описує iзотpопне змiцнення. При K = K0 - const отpимаємо випадок iдеальної пpужнопластичностi. Для приросту маємо вираз: , де , - деяка функція. Явище iзотpопного змiцнення матеpiалу полягає у змiнi величини K , яка на початку дефоpмацiї доpiвнювала межi текучостi матеpiалу.

У третьому розділі розглянуте питання зниження вимірності просторової задачі деформування тонкостінного тіла. Нехай об’єм V , який займає тіло, можна подати у вигляді

,

де - радіус-вектор ортогональної проекції точки на серединну поверхню , - відстань від точки до серединної поверхні , - одиничний вектор нормалі до поверхні , h - товщина тіла.

У четвертому розділі побудована чисельна схема методу скінченних елементів для розв’язування поставлених задач.

П’ятий розділ присвячений дослідженню полів напружень та меж пластичних зон, що виникають при деформуванні деяких тонкостінних інженерних конструкцій.

Проведено дослідження напружено-деформованого стану квадратної пластинки під дією рівномірно розподіленого навантаження при різних граничних умовах : консольної пластинки; жорстко защемленої на трьох краях і вільної на четвертому краю пластинки; пластинки з двома протилежними шарнірно опертими сторонами та двома вільними краями; пластинки, защемленої на одному краю, шарнірно опертої на протилежному і вільної на двох інших; пластинки, защемленої на двох паралельних сторонах та двома вільними краями. Визначались критичні значення навантаження, при якому в тілі починали виникати пластичні деформації, а також розвиток зони їх поширення по товщині та поверхні. Відмічено добре якісне узгодження картин поширення зон пластичності з відомими результатами, наведеними у роботах інших авторів.

У пружнопластичній постановці досліджено напружено - деформований стан тонкостінних елементів конструкцій складної форми:

-циліндричної оболонки спряженої з кільцевою пластинкою під дією внутрішнього тиску чи в результаті закручування вільного краю циліндра рівномірно розподіленим контурним зусиллям;

-трійникового з’єднання двох циліндричних оболонок під дією внутрішнього тиску та контурного зусилля прикладеного до краю труби;

-трубчатого коліна під дією внутрішнього тиску.

У цих задачах дослідження проводились при умові ідеальної пружнопластичності матеріалу. Визначались зони поширення пластичних деформацій на поверхні та по товщині конструкцій.

ВИСНОВКИ

Розроблена методика чисельного розв’язування задач пружнопластичного деформування тонкостінних твердих тіл, яка дає змогу визначати зону виникнення пластичних деформацій по товщині тіла при значній економії обчислювальних ресурсів. Дана методика базується на зниженні вимірності лінеаризованої задачі до двовимірної з використанням гіпотез теорії оболонок, а також припущенні стосовно закону розподілу напружень по товщині тіла. В рамках теорії пластичної плинності Прандтля-Рейса записано співвідношення моделі деформування як ідеально пружнопластичного тіла, так і тіла із зміцненням. Розв’язування задачі здійснюється за допомогою ітераційної процедури Ньютона-Рафсона з використанням методу скінченних елементів. Чисельний алгоритм реалізовано у вигляді комплексу програм для ПЕОМ.

Результати проведених чисельних експериментів підтверджують ефективність і перспективність використання запропонованого підходу до розв’язування задач пружно-пластичного деформування тонкостінних твердих тіл.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ АВТОРОМ ПРАЦЬ

ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Кісіль Р.І. Дослідження збіжності ітераційного процесу в задачах пружнопластичного деформування твердих тіл // Вісник Львів. ун-ту.- Сер.мех.-мат.- 1995.- Вип.42.- С.87-91.

2. Кисиль Р.И., Муха И.С. Безусловно устойчивые численные схемы для решения задач нелинейного деформирования твердых тел // Прикл. механика.- 1996.- Т.32.- №6.- С.66-73.

3. Муха І.С., Кісіль Р.І. Застосування комбінованого чисельного підходу в задачах термопластичного деформування тонкостінних тіл // Доп. НАН України.- 1997.- №6.- С.69-74.

4. Кісіль Р.І., Муха І.С. Безумовно стійка схема методу скінченних елементів для дослідження пружнопластичного деформування тонкостінних твердих тіл // Всеукраїнська наук. конф. “Застосування обчислювальної техніки, математичного моделювання та математичних методів у наукових дослідженнях”.- Львів: Вісник Львів. ун-ту.- Сер.мех.-мат.- 1998.- Вип.50.- С.123-125.

5. Кісіль Р.І., Муха І.С. Двовимірні схеми методу скінченних елементів для дослідження пружнопластичного деформування тонкостінних гнучких тіл // Вісник Львів. ун-ту.- Сер.мех.-мат.- 1996.- Вип.44.- С.45-49.

6. Кісіль Р.І., Муха І.С. Застосування алгоритму середньої точки для квазістатичного моделювання процесів пружнопластичного деформування твердих тіл // Всеукраїнська наук. конф. “Застосування обчислювальної техніки, математичного моделювання та математичних методів у наукових дослідженнях”.- Львів: ЛДУ.- 1994.- С.47.

7. Кисиль Р.И., Муха И.С. Исследование процессов термовязкопластического деформирования тонкостенных конструкций энергетического машиностроения // Міжнародна науково-технічна конференція “Совершенствование энергетических и транспортных турбоустановок методами математического моделирования, вычислительного и физического экспериментов”.- Харків: И-т проблем машиностроения НАН Украины.- 1994.- С.79.

8. Кісіль Р.І., Муха І.С. Комбінований аналіз термопластичного деформування тонкостінних трансверсально-ізотропних тіл // IV Міжнар. конф. з механіки неоднорідних структур.- Тернопіль: Терноп. приладобуд. ін-т.- 1995.- С.74.

9. Кісіль Р.І., Муха І.С. Порівняльний аналіз чисельних схем для дослідження пружнопластичного деформування тонкостінних тіл// Всеукраїнська наук. конф. “Застосування обчислювальної техніки, математичного моделювання та математичних методів у наукових дослідженнях”.- Львів: ЛДУ.- 1995.- С. 40.

10. Кісіль Р.І., Муха І.С., Сипа І.М. Чисельне моделювання квазістатичних процесів термопластичного деформування тонкостінних гнучких тіл // VI Укр. конф. “ Моделирование и исследование устойчивости систем”.- Киев: Киев. ун-т.- 1995.- С.60.

11. Муха І.С., Кісіль Р.І. Чисельне моделювання процесів нелінійного деформування тонкостінних складових конструкцій // Міжнар. наук. конф. “Сучасні проблеми механіки і математики”.- Львів: ІППММ.- 1998.- С.59.

Кисиль Р.И. Численное решение квазистатических задач упругопластического деформирования сложных тонкостенных конструкций. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела.- Институт прикладных проблем механики и математики им. Я.С.Подстригача НАН Украины, Львов, 2000.

Диссертация посвящена численному исследованию упругопластического состояния тонкостенных твердых тел под действием силовых нагрузок.

Предлагаемая методика исследования основана на применении математической модели теории Прандтля-Рейсса с критерием пластичности Мизеса. C использованием принципа виртуальных работ получена математическая квазистатическая модель упругопластического деформирования твердых тел. Линеаризация физических соотношений произведена с помощью алгоритма средней точки. В результате построена безусловно устойчивая численная схема для решения вышеуказаных задач. Схема реализована с помощью итерационного процесса Ньютона-Рафсона и решение задачи сведено к минимизации последовательности квадратичных функционалов.

В диссертации предложен комбинированный подход к решению задачи упругопластического деформирования тонкостенных тел. Он состоит в том, что анализ полей напряжений и пластических деформаций на каждом шаге квазистатического процесса нагружения производится в соответствии с соотношениями трехмерной теории. Для экономии вычислительных ресурсов осуществляется редукция линеаризированной трехмерной задачи к двухмерной с помощью гипотез теории оболочек типа Тимошенко при выбранном законе распределения напряжений по толщине тела. Исследованы разные варианты распределения напряжений по толщине и их влияние на количество итераций на шаге квазистатического процесса нагружения и точность полученного результата. Решение редуцированной задачи осуществлено по схеме метода конечных элементов с использованием изопараметрических аппроксимаций второго порядка. Кинетические гипотезы теории оболочек позволяют восстанавливать пространственное поле перемещений, а по нему - поле напряжений. Найденные поля использованы для последующего приближения вариационной задачи. Предложенный подход позволяет определять область распространения зоны неупругих деформаций по толщине конструкции.

При решении ряда задач упругопластического деформирования рассмотрены вопросы сходимости итерационного процесса численного решения, достоверности и точности полученных результатов, проведены сравнения некоторых частных случаев расчетов с аналитическими и численными решениями, имеющимися в литературе. Изучен случай идеально упругопластического тела и тела с упрочнением. В работе исследовано упругопластическое состояние часто используемых элементов конструкций : квадратной пластинки, цилиндрической оболочки, сопряженной с кольцевой пластиной, тройникового соединение двух цилиндрических оболочек, коленчатого соединение двух труб. В указанных задачах определялись зоны распространения пластических деформаций на поверхности и по толщине конструкций. Создан комплекс программ для ПэВМ.

Ключевые слова: упругопластическое деформирование, теория Прандтля-Рейсса, метод конечных элементов, принцип виртуальных работ, алгоритм средней точки.

Кісіль Р.І. Чисельне розв’язування квазістатичних задач пружнопластичного деформування складних тонкостінних конструкцій.- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла. - Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України, Львів, 2000.

Розв’язана задача пружнопластичного деформування тонкостінних твердих тіл під дією силового навантаження. Для побудови математичної моделі використана теорія Прандтля-Рейса, принцип віртуальних робіт. Ключові рівняння пружнопластичної моделі із зміцненням інтегровані за допомогою узагальненого алгоритму середньої точки. Алгоритм чисельного розв’язання задачі побудовано на основі ітераційного процесу Ньютона-Рафсона з використанням методу скінченних елементів. Розглянуто приклади, які демонструють точність та ефективність запропонованої чисельної схеми.

Ключові слова: пружнопластичне деформування, теорія Прандтля-Рейса, метод скінченних елементів, принцип віртуальних робіт, алгоритм середньої точки.

Kisil R.I. Numerical solution of quasi-static problems of elastoplastic strain in complicated thin-walled constructions.-Manuscript.

An application thesis for the Candidate’s Degree in Physics and Mathematics by speciality 01.02.04-Mechanics of Solids.-Pidstryhach Institute of Applied Problems of Mechanics and Mathematics, Lviv, 2000.

The problem of elastoplastic strain of thin-walled solids under the force complication is solved here. Prandtl-Reuss theory and the virtual work principle are used for the construction of mathematics model. Constitutive equations of an elastoplastic model with hardening are intergrated using the generalized midpoint rule. The numerical solution of elastoplastic strain algorithm by Newton-Raphson type iterative scheme with using of finite element method is constructed. Examples are presented to demonstrate the accuracy and efficiency of the numerical algorithm.

Key words: elastoplastic strain, Prandtl-Reuss theory, finite element method, virtual work principle, midpoint rule.

Підписано до друку 9.06.2000 р. Замовлення №34

Формат 60х84/16. Обсяг - 1 ум.друк. аркуш.

Тираж - 100 прим. Друк - різографія.

Віддруковано в ТзОВ "Сплайн"

Адреса: м.Львів, вул.Коперніка, 11, тел. 980081