Харківський авіаційний інститут”

Кортунов Вячеслав Іванович

УДК 681.51

РОЗРОБКА МЕТОДІВ ВИРІШЕННЯ ЗАДАЧ СПОСТЕРЕЖЕННЯ ТА КЕРУВАННЯ В УМОВАХ НЕВИЗНАЧЕНОСТІ НА ОСНОВІ
IТЕРАЦІЙНО-IНВЕРСНИХ МОДЕЛЕЙ

Спеціальність 05.13.03 – Системи та процеси керування

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

Харків – 2002

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Національному аерокосмічному університеті

ім. М.Є. Жуковського “Харківський авіаційний інститут”, Міністерство освіти і науки України.

Науковий консультант - | доктор технічних наук, професор

Кулик Анатолій Степанович,

Національний аерокосмічний університет

ім. М. Є. Жуковського“

Харківський авіаційний інститут”,

завідувач кафедри систем управління літальними апаратами.

Офіційні опоненти:

-

-

-

Провідна установа: Інститут космічних досліджень Національної академії наук України та Національного космічного агентства України, відділ системного аналізу та управління, м. Київ.

Захист відбудеться “21” березня 2003 р. о 14-00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д64.062.01 у Національному аерокосмічному університеті ім. М.Є. Жуковського “Харківський авіаційний інститут” за адресою: 61070, м. Харків, вул. Чкалова, 17, радіотехнічний корпус, ауд. 232.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Національного аерокосмічного університету ім. М.Є. Жуковського “Харківський авіаційний інститут”.

Автореферат розісланий “15” лютого 2003 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради_____________ І.В. Чумаченко

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. При проектуванні систем автоматичного керування (САК) технічними об'єктами різного призначення часто відсутня інформація про властивості об'єкта керування (ОК) і зовнішніх збурень, що об’єднується поняттям невизначеності. Виконати сучасні вимоги до САК - низькі витрати на проектування і високу ефективність функціонування в умовах невизначеності - можна на базі адаптивних і робастних методів керування. Теорія керування пройшла розвиток від методів проектування простих регуляторів до створення складних керуючих комплексів, базову основу яких складають все ж класичні регулятори. Причиною цьому була незавершеність теорії керування в розробці методів вирішення задач робастного спостереження та керування динамічними об'єктами при відносній простоті реалізації. Останнє викликано не тільки складністю об'єктів керування і наявністю різних невизначеностей на стадіях проектування й експлуатації, але й існуючих проблем теоретичного і науково-прикладного характеру.

Більшість методів синтезу САК за наявності невизначеностей основана або на осереднених чи завищених точкових даних, або на множинних даних і характеристиках розкиду параметрів і сигналів. Це помітно ускладнює аналіз і синтез, оскільки необхідно працювати не з одним, а з множиною об'єктів. Широко застосовувані методи адаптивного керування не забезпечують гарантованої збіжності настроюваних параметрів і стійкості САК у цілому, тому що реальні об'єкти мають істотні розбіжності з використаними еталонними моделями.

Значного підвищення ефективності вирішення задач спостереження та керування в умовах невизначеності можна досягти через відновлення вектора еквівалентного збурення, що враховує внутрішні та зовнішні впливи змішаної природи - як стохастичного, так і детермінованого характеру. Можливості методів керування з використанням оцінок збурень у схемах комбінованого керування досліджені в роботах О.Г. Івахненко, Б.М. Петрова, Г.М. Уланова,
Б.М. Менського, Я.З. Ципкіна, В.М. Кунцевича, В.К. Стєклова, Г.Ф. Зайцева,
С. Джонсона, Є.М. Потапенко, Л.М. Любчика й інших. Основні напрямки у вирішенні задач синтезу комбінованого керування і створенні на цій основі робастних САК пов'язані із застосуванням моделей збурень або інверсних динамічних моделей (ІДМ). Аналіз існуючих методів робастного керування і спостереження динамічними об'єктами показує, що найбільш ефективними в практиці побудови САК є методи з використанням ІДМ. Дані методи дозволяють вирішувати задачі спостереження та керування об'єктами з потрібною точністю при різних збуреннях обмеженої "міри" по енергії. Однак при цьому зустрічаються принципові труднощі, які пов'язані з некоректністю інверсії або високою чутливістю до різних перешкод, нереалізовністю в мікропроцесорних засобах керування й ін. Концепція ІДМ, як некритична до апріорних даних, знайшла розвиток у роботах, пов'язаних із задачами правої оберненості П.Д.Крутько, лівої оберненості Г.Є.Пухова, К.Д. Жука, критеріїв спостережуваності по входу В.Т. Борухова, Л. Сілвермана, М.С. Никольського, К. Херриса й ін. Основна увага дослідників зосереджувалася на властивостях САК з інверсними моделями, і вважалося, що одержання та реалізація таких моделей не викликає труднощів. Але необхідно підкреслити, що традиційні підходи до синтезу ІДМ ґрунтувалися на точних моделях із фіксованими параметрами і при виборі моделі не враховувалися як можливі діапазони зміни цих параметрів, так і наявні апріорні й поточні дані про збурення. На основі існуючих методів синтезу ІДМ не завжди вирішуються важливі в практичному відношенні задачі через незавершеність вирішення проблем побудови ІДМ, що застосовуються в реальному часі. Реалізація розглянутого підходу стримується відсутністю теоретичного обґрунтування методів синтезу номінальних моделей (НМ) і конструктивних методів побудови на їхній основі робастних динамічних спостерігачів стану і збурення.

У цілому, незважаючи на значні досягнення, проблеми спостереження та керування об'єктами в умовах невизначеності залишаються невирішеними або дослідженими недостатньо. Існуючий розрив між теоретичними досягненнями і можливостями їхнього використання в практиці є тому підтвердженням.

Тому актуальним є розробка нових підходів і методів для побудови номінальних моделей об'єктів і конструктивних методів синтезу інверсних динамічних моделей для вирішення задач робастного спостереження та керування, що дозволяють ураховувати різну апріорну інформацію про збурення і реалізуються в реальному часі.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана в Національному аерокосмічному університеті ім. М.Є. Жуковського "ХАІ" відповідно до планів науково-дослідних робіт з держбюджетних тем: Г-603-64/97 (1997-1999рр.) "Розробка теоретичних основ проектування відмовостійких систем управління літальними апаратами"
(ДР №0200U004432); Г301-30/00 (2000-2002рр.) "Теоретичні засади синтезу та математичного моделювання інтелектуальних систем управління аерокосмічними об'єктами при наявності збурень" (ДР №0100U002191); договорами про науково-технічну співдружність за темами: “Контроль работоспособности двигателей стабилизации и причаливания ГТК” (НВП "ХАРТРОН-АРКОС", м.Харків, № 301-206/00 - 2000р.); "Разработка номинальных моделей режимов полета самолета Ан-140 и робастных алгоритмов управления в канале крена" (НТ СКБ "ПОЛІСВІТ" ВО "Комунар", м.Харків, № 301-13/2001), що входить у проект Державної програми розвитку авіаційної промисловості України до 2010р. (затверджена постановою Кабінету Міністрів України від 12.12.2001р.), розділ 1 "Пілотажно-навігаційні комплекси" з терміном виконання 2001-2006рр.; "Разработка номинальных моделей подогревателя низкого давления (ПНД-1) контура регулирования уровня конденсата и проработка робастного регулирования" (ОКБ ХДПЗ ім. Т.Г. Шевченко, м.Харків, № 17-12/01 - 2001р.).

Роль автора в цих науково-дослідних роботах полягала в розробці номінальних моделей об'єктів, які досліджувались, синтезі й аналізі ітераційно-інверсних спостерігачів стану і збурення.

Мета і задачі досліджень. Мета дисертаційної роботи полягає в створенні концепції та розробці методів синтезу номінальних моделей, методології вирішення задач робастного спостереження та керування динамічними об'єктами в умовах невизначеності збурень на основі ітераційно-інверсних моделей у просторі стану, а також процедур і алгоритмів синтезу інверсних динамічних моделей, що дозволяють враховувати апріорну й апостеріорну інформацію про збурення.

Для досягнення поставленої мети в дисертації сформульовані та вирішені такі основні задачі.

Обґрунтовано концепцію побудови номінальних моделей збурених об'єктів на основі властивості оптимальної досяжності моделі. Одержано та доведено умови існування досяжних НМ, запропоновано та розроблено критерії параметричного синтезу таких моделей, а також інженерні методики їхньої побудови.

Розроблено методологію побудови ітераційно-інверсних моделей (ІІМ) у просторі стану для вирішення задач відновлення еквівалентного збурення змішаної природи обмеженої "міри" по енергії. Досліджено властивості одержаних оцінок векторів еквівалентного збурення і стану: точність відновлення збурення; збіжність оцінок при ітераціях; стійкість оцінок до вимірювальних перешкод; ступінь робастності оцінок до внутрішніх і зовнішніх збурень.

Одержано структури асимптотичних ітераційно-інверсних спостерігачів у детермінованій і стохастичній постановці на основі ітераційно-інверсних номінальних моделей, розроблено структури асимптотичних спостерігачів стану, що враховують різноманітну апріорну інформацію про збурення.

Розроблено процедури й алгоритми параметричного синтезу ітераційно-інверсних спостерігачів стану і збурення на основі запропонованих критеріїв глобальної та локальної збіжності ітеративної інверсії.

Розроблено підходи до проектування робастних САК на основі компенсаційного керування з ітераційно-інверсними спостерігачами стану і збурення. Досліджено властивість робастності компенсаційного керування з ітераційно-інверсними спостерігачами стану і збурення при зовнішніх і внутрішніх збуреннях. Отримано оцінки ступеня компенсації збурень залежно від параметрів ітераційно-інверсних спостерігачів.

Проведено цифрове моделювання й експериментальне дослідження працездатності запропонованих ітераційно-інверсних спостерігачів для задач відновлення збурення і робастного регулювання на стендах комп'ютерного керування динамічними об'єктами з імітацією внутрішніх і зовнішніх збурень.

Реалізовано розроблені методи синтезу й аналізу ітераційно-інверсних динамічних моделей у задачах контролю та керування об'єктами аерокосмічної техніки та другого контуру АЕС.

Об'єктом дослідження є динамічні об'єкти і процеси в умовах невизначеності збурень змішаної природи, а також системи автоматичного керування такими об'єктами.

Предметом досліджень є методи синтезу й аналізу для вирішення задач спостереження та керування динамічними об'єктами в умовах невизначеності збурень і методи побудови номінальних моделей для параметрично збурених динамічних об'єктів.

Методи досліджень. У вирішенні поставлених задач використано методологію теорії керування і функціонального аналізу, методи простору стану і обернених задач динаміки, теорію лінійних операторів і методи модального синтезу, а також методи цифрового моделювання динамічних процесів.

Наукова новизна отриманих результатів. Основний науковий результат дисертаційної роботи полягає в обґрунтуванні концепції побудови номінальних моделей за енергетичним критерієм і теоретичним узагальненням методу ітераційно-інверсних моделей у просторі стану для вирішення актуальної проблеми робастного спостереження та керування динамічними об'єктами в умовах невизначеності збурень. Нові наукові результати, отримані автором, полягають у такому.

Вперше запропоновано і теоретично обґрунтовано концепцію побудови номінальних динамічних моделей для збурених об'єктів з умов їхньої досяжності. На основі виявленої властивості оптимальної досяжності номінальної моделі запропоновано нові критерії та методи параметричного синтезу таких моделей.

Дістала подальший розвиток теорія обернених задач керованих динамічних систем щодо конструктивної реалізовності обернених динамічних моделей за допомогою запропонованих ітераційно-інверсних моделей у просторі стану, що дозволяє розширити область застосовності методу інверсних динамічних моделей для вирішення задач робастного спостереження та керування.

Вперше запропоновано ітераційно-інверсні динамічні моделі в просторі стану і розроблено теоретичні основи їхнього застосування в задачах робастного спостереження та керування. Для таких моделей отримано умови збіжності оцінок еквівалентних збурень і на їхній основі запропоновано структури детермінованих, стохастичних, нелінійних і дискретних спостерігачів стану і збурення, розроблено процедури параметричного синтезу таких спостерігачів з умов необхідної динамічної точності й швидкості збіжності ітераційних схем обчислення оцінок.

Вперше запропоновано і досліджено критерій функціональної спостережуваності по входу для лінійних динамічних систем на основі умови єдності вирішення операторного рівняння або існування нерухомої точки методу послідовних наближень, що відрізняється реалізовністю в частотній області.

Вперше запропоновано і досліджено метод ітераційної фільтрації вимірювальних перешкод для робастних спостерігачів стану і збурення на основі застосування додаткового нерозширювального операторного фільтраційного перетворення, показано можливість урахування різноманітної апріорної інформації про збурення для коректності одержуваних оцінок.

Вперше досліджено і вирішено задачу модального параметричного синтезу лінійних ітераційно-інверсних спостерігачів стану і збурення, отримано умови виконання ітераційної збіжності оцінок для різних структур спостерігачів.

Вперше теоретично обґрунтовано можливість компенсації відмінностей лінійних і деяких видів нелінійних характеристик узагальненого об'єкта керування на основі застосування двоконтурної системи керування як строга розв'язність функціонального рівняння щодо додаткового сигналу керування.

Експериментально доведено конструктивну реалізовність дискретних ітераційно-інверсних моделей для ефективного вирішення задач спостереження та керування об'єктами в умовах невизначеності збурень.

У сукупності одержані результати створюють методологічну основу вирішення задач робастного спостереження та керування об'єктами в умовах невизначеності збурень на основі ітераційно-інверсних моделей.

Обґрунтованість і вірогідність наукових положень, висновків і рекомендацій. Обґрунтованість і вірогідність наукових положень підтверджуються строгим математичним доказом основних тверджень, математичним моделюванням на методичних прикладах, експериментальною перевіркою на стендах комп'ютерного керування та впровадженням у практику створення систем керування різними об'єктами.

Практичне значення отриманих результатів. Запропоновані методи, моделі та процедури для побудови робастних САК на основі ітераційно-інверсних динамічних моделей дозволяють: використовувати проектування САК на ранній стадії по номінальній моделі за відсутності апріорної інформації про збурення, що скорочує вартість і терміни проектування таких систем; зменшувати енергетичні витрати на керування з двоконтурною САК та оптимально досяжною номінальною моделлю при внутрішніх і зовнішніх збуреннях; збільшувати експлуатаційні терміни, скорочувати поточні витрати і стабілізувати динамічні показники САК; отримувати аналітичні оцінки досяжної точності оцінювання збурення і ступеня робастності САК на етапі проектування; реалізувати запропоновані ітераційно-інверсні номінальні моделі в конструктивній формі - рекурентних цифрових фільтрів, що дає можливість будувати прості алгоритмічні реалізації з наступною розробкою програмного забезпечення для спеціалізованих ЕОМ. Розроблене здобувачем алгоритмічне і програмне забезпечення реалізовано у вигляді спеціалізованої бібліотеки S-функцій системи MatLab для проведення візуального моделювання. Практичне значення роботи підтверджується позитивним використанням результатів теоретичних положень у вирішенні ряду прикладних задач.

Особистий внесок здобувача в роботах, виконаних у співавторстві й опублікованих спільно в спеціалізованих виданнях переліку ВАК України, полягає в такому. У роботах: [1] - запропоновано структуру спостерігача стану і збурення для поздовжнього каналу системи автоматичного керування безпілотного літального апарата, а також вирішено задачу його параметризації; [3] - отримано умови роздільності двоконтурного керування й обґрунтовано вибір фільтрів поглинання; [13] - синтезовано ітераційно-інверсні спостерігачі стану і збурення для задачі контролю стану реактивних двигунів на основі ІДМ; [16] - обґрунтовано та синтезовано модель електрогідравлічного приводу на основі концепції номінальних моделей; [18] - дано критичний аналіз існуючих методів робастного керування, описано концепцію номінальних моделей за енергетичним критерієм; [20] - поставлено задачу, обґрунтовано спосіб побудови номінальних моделей; [21] - отримано оцінки ступеня робастності САК з ітераційно-інверсними моделями; [22] - запропоновано й обґрунтовано структуру локальних ітераційно-інверсних фільтрів, отримано умови збіжності таких фільтрів; [23] - здійснено структурний і параметричний синтез спостерігача збурення для динамічного компенсатора уставок штатного регулятора.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи апробовані на 13 міжнародних і всеукраїнських конференціях: *міжнар. симпозіумі "Sympozіum on Іnformatіon Theory and іts Applіcathіons" (Mexіco Cіty. Mexіco, October 14-16, 1998); *міжнар. конф. з автоматичного керування "Автоматика 99" (Харків, 1999); *міжнар. конф. "Моделювання і оптимізація складних систем (МОСС-2001)" (Київ, 2001); * міжнар. науково-техн. конф. "Інформаційна техніка і електромеханіка на порозі ХХІ століття" (ІТЕМ-2001) (Луганськ, 2001); *6-й міжнар. конф. "Системный анализ и управление космическими комплексами" (Євпаторія, 2001); *8-й міжнар. конф. з керування "АВТОМАТИКА 2001" (Одеса, 2001); *2-й міжнар. міждисциплінарній науково-практ. конф. "Сучасні проблеми гуманізації і гармонізації керування" (Харків, 2001); *міжнар. конф. "Комп'ютерні інформаційні технології в машинобудуванні" (Харків, 2001); *7-й міжнар. конф. "Системный анализ и управление космическими комплексами" (Євпаторія, 2002); *11-й міжнар. конф. "Нові технології в машинобудуванні", 2002 р., Рибаче, Крим; *VІІ міжнар. конгресі двигунобудівників, 2002 р., Рибаче, Крим; *9-й міжнар. конф. з керування "АВТОМАТИКА 2002" (Донецьк, 2002); *3-й міжнар. техн. конф. "Кибернетика и технологии ХХІ столетия" (Воронеж, 2002), а також на постійно діючому семінарі "Проблеми управління динамічними системами" (Харків, Національний аерокосмічний університет ім. М.Є. Жуковського "ХАІ", кафедра систем управління літальними апаратами).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 24 статтях у спеціальних наукових журналах і збірниках наукових праць відповідно до переліку ВАК України (у тому числі 15 без співавторів), а також 10 матеріалах і тезах доповідей на конференціях, одному навчальному посібнику.

Структура й обсяг дисертації. Дисертаційна робота виконана на 341 сторінці тексту, ілюстрована 83 рисунками на 11 сторінках і 15 таблицями на 6 сторінках. Робота складається із вступу, шести розділів, висновку, трьох додатків на 12 сторінках і списку літератури, що містить у собі 227 найменувань і розміщений на 20 сторінках.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, сформульовано мету і задачі досліджень, наукову новизну і практичне значення одержаних результатів.

У першому розділі наведено огляд існуючих підходів до вирішення проблеми робастного спостереження та керування динамічними об'єктами, що функціонують в умовах невизначеності діючих збурень. Необхідність вирішення проблемних питань при створенні недорогих і ефективних систем керування об'єктами різного класу пов’язана з виконанням сучасних вимог до них: мінімум апріорної інформації при проектуванні й експлуатації; висока надійність і тривалий ресурс безперервної роботи; мінімальне енергоспоживання; низька вартість. У зв'язку з тим, що керування об'єктами ускладнюється через постійно діючі збурення як внутрішнього, так і зовнішнього характеру за умов відсутності апріорної інформації, виконати досить суворі вимоги для сучасних САК - непроста наукова й інженерна проблема. У вирішенні даної проблеми сформувалася множина напрямків теоретичного характеру, але найбільше поширення одержує напрямок, пов'язаний зі створенням робастних систем. У роботі робастною системою керування (відносно номінального вектора показників якості , де вектори номінального керування і передбачуваного збурення обмежені) вважаємо ту систему з фіксованими структурою та параметрами керуючої підсистеми, що здатна виробляти додатковий сигнал керування на компенсацію діючих збурень і зберігати на заданому рівні значення показників якості з виконанням нерівності

,

де - вектор еквівалентних збурень, - параметр робастності, - норма вектора показників якості системи.

Проведено порівняльний аналіз методів керування динамічними об’єктами в умовах невизначеності - класичні, адаптивні, робастні й інтелектуальні методи з позиції належності конкретного методу класифікаційної таблиці за рівнем використовуваної апріорної й апостеріорної інформації. З розглянутих методів виділено клас методів, основаних на ідеї компенсації впливу збурень і на їхньому відновленні по непрямих вимірюваннях без використання апріорних математичних моделей. Теоретичним фундаментом даного класу методів вважають концепцію обернених задач динаміки, розвинуту в роботахП.Д. Крутько, Л. Сілвермана, В.Т. Борухова, О.М. Аліфанова, А.Р. Гайдука й інших. Застосовність обернених, або інверсних, динамічних моделей у задачах автоматичного керування вивчалася в роботах Г.Є. Пухова, К.Д. Жука,
А.П. Кухтенко, А.М. Горовіца, С. Джонсона, Б.М. Петрова, В.К. Стєклова, Г.Ф. Зайцева, Я.З. Ципкіна й інших, у яких доведено принципову можливість компенсації збурень без використання їх апріорних математичних моделей і встановлено зв'язок з теорією інваріантості. Однак практичне використання інверсних динамічних моделей у задачах робастного спостереження та керування натрапляє на ряд принципових труднощів, що виникають: структурна виродженість (невиконання критеріїв оберненості), відсутність можливості параметризації ІДМ, висока чутливість до параметричних змін властивостей об'єкта та вимірювальних перешкод, нестійкість для немінімально-фазових моделей об'єктів, обмеженість обчислювальної реалізації в реальному масштабі часу, складність використання наявної апріорної інформації в поточному часі, труднощі обґрунтування вибору НМ при наявних інтервальних або множинних моделях об'єкта і т. ін.

На основі критичного аналізу розглянутих методів сформульовано задачі досліджень щодо узагальнення і розвитку методів, у яких використані ІДМ, реалізовані ітераційним способом у просторі станів, маючи на меті конструктивну розв’язність задач робастного керування і спостереження об'єктами в умовах невизначеності збурень.

У другому розділі з метою вибору номінальних динамічних моделей для задач відновлення еквівалентного збурення в роботі виконано теоретичне обґрунтування при побудові номінальних моделей ОК за енергетичним критерієм.

Припустимо, що досліджуваний об'єкт описується системою нелінійних диференціальних рівнянь

(1)

де - вектор стану розмірності ; - вектор початкового стану; - вектор виходу розмірності ; - вектор керування розмірності і ; - вектор неконтрольованих зовнішніх збурень розмірності і . Спеціальні властивості збурень обумовлюються належністю до деякого підпростору і ; - вектор параметрів, у загальному випадку нестаціонарний і обмежений розмірності , а - область можливих значень параметрів; - вектор-функції рівнянь стану і виходу, що відповідають умовам єдності розв’язку, а в деяких окремих випадках обумовлюються додаткові обмеження, наприклад умови Ліпшица й ін.; - випадковий вектор вимірювальних перешкод, що статистично не пов'язаний з вектором збурення і властивості якого уточнюються в постановках задач; - параметр часу і - інтервал часу функціонування ОК. Припускаємо також, що ОК за моделлю (1) є спостережуваним і керованим.

У роботі сформульовані умови існування спрощених або номінальних моделей, що полягають у декомпозованості вектора стану , вектора параметрів і вектор-функцій системи (1).

Визначення 1. Нелінійною незбуреною номінальною досяжною по виходу моделлю називаємо модель вигляду

(2)

для якої при , обмеженому векторі збурення , номінальному фіксованому векторі параметрів і заданому рівні погодженості моделей існує вектор керування , такий, що справедлива нерівність

.

Аналогічно вводяться поняття збуреної і незбуреної, досяжної лінійної НМ. Найбільш важливим класом НМ є цілком досяжні лінійні НМ.

Визначення 2. Лінійною збуреною номінальною моделлю, цілком досяжною по виходу, називаємо модель вигляду

(3)

для якої при , обмеженому векторі еквівалентного збурення , номінальному фіксованому векторі параметрів , визначуваному набором матриць , існує вектор керування , такий, що справедливо

при .

Існування НМ пов'язане з виконанням запропонованих критеріїв досяжності, формулювання яких дані нижче.

Нехай вихід моделі об'єкта подано в операторному вигляді

,

де - лінійні динамічні оператори ОК по керуючому і збурюючому впливах, обумовлені таким чином.

Визначення 3. Нехай - безперервний багатовимірний оператор, що переводить простір тимчасових вектор-функцій у себе ( і ) і якому поставлено у взаємнооднозначну відповідність багатовимірну передавальну функцію комплекснозначного аргументу . Вважаємо, що виконується умова , де - перетворення Лапласа. Тоді оператор називаємо багатовимірним динамічним оператором перетворення або динамічним оператором.

Вихід НМ у формі спостерігача стану

,

де - оператори спостерігача стану по керуючому впливу та вектору спостереження. Якщо припустити адитивне представлення номінальної частини і внутрішніх збурень операторів об'єкта , справедливість операторних співвідношень для МПФ , (що строго доводиться в роботі), то умови існування НМ визначаються такими критеріями.

Твердження 1 (критерій повної досяжності по виходу лінійної НМ). Лінійна номінальна модель, обумовлена вектором параметрів , є цілком досяжною по виходу для всіх можливих значень параметрів , якщо виконуються умови:

а) вектор еквівалентного збурення є обмеженим ;

б) матриця - гурвіцева;

в) існує погодженість керування і збурення;

г) і вектор додаткового керування визначається оператором коректуючої моделі виду , а - обернений оператор;

д) на всій множині значень параметрів .

Для доказів досяжності НМ визначено псевдоінверсний динамічний оператор.

Визначення 4. Псевдоінверсним лінійним динамічним оператором називаємо оператор , якому відповідає МПФ вигляду при , де - псевдообернена матриця по Муру-Пенроузу і .

Твердження 2 (критерій досяжності по виходу лінійної НМ). Номінальна модель, що визначається вектором параметрів , буде досяжною для можливих значень параметрів , якщо виконуються умови:

а) вектор еквівалентного збурення є обмеженим ;

б) матриця - гурвіцева;

в) для відповідної МПФ ; ; ; вектор додаткового керування визначається оператором коректуючої моделі , де ;

г) існує погодженість керування та збурення;

д) на всій множині значень параметрів .

При представленні ІДМ наближенням ряду Неймана або реалізації оберненості через ітеративну інверсію досяжність НМ визначається таким критерієм.

Твердження 3 (критерій досяжності НМ по виходу ітераційно-інверсної НМ).

Номінальна модель, що визначається вектором параметрів , буде досяжною для всіх можливих значень параметрів і деякого рівня погодженості , якщо виконуються умови:

а) вектор еквівалентного збурення є обмеженим ;

б) матриця - гурвіцева;

в) існує погодженість керування та збурення;

г) для відповідної МПФ , , ;

д) і вектор додаткового керування визначається оператором коректуючої моделі через ітеративну інверсію вигляду

.

Для розв'язності задачі синтезу НМ сформульовано оптимально досяжну модель.

Визначення 5. Номінальна модель, обумовлена вектором параметрів , називається оптимально досяжною для поточного вектора параметрів , якщо для обмежених векторів і виконується умова досяжності по виходу і параметри моделі є оптимальними за енергетичним критерієм

. (4)

У роботі виконано аналіз існуючих методів побудови номінальних та еталонних моделей, що визначають можливий діапазон властивостей НМ, але не дають відповіді на запитання, яку і за яким критерієм вибрати НМ. Сформульовано вимоги до НМ для задач спостереження та керування і запропоновано критерій побудови НМ за множинними даними параметрів об'єкта

, (5)

де верхня риска позначає усереднення за вхідним сигналом,

Для лінійних НМ першого і другого порядків одержано аналітичні вирази критеріїв вигляду (5) залежно від сталої часу та коефіцієнта посилення. Визначено взаємозв'язки оптимальних параметрів НМ і дані рекомендації щодо параметричного синтезу при інтервальних характеристиках параметрів об'єкта.

У третьому розділі розглянуто задачу побудови ітераційно-інверсних лінійних динамічних моделей і показано застосування таких моделей у задачі відновлення еквівалентних збурень динамічних систем.

При аналізі проблеми інверсії динамічних операторів встановлено, що задача інверсії має конструктивне рішення ітераційним методом як апроксимації в загальному випадку необмеженого інверсного оператора скінченим рядом з обмежених операторів. Такий ряд має важливу властивість саморегуляризації, а одержуваний таким способом обмежений інверсний динамічний оператор знімає ряд проблем, пов'язаних із практичною реалізовністю ІДМ.

Операторна форма ітераційного способу відновлення збурення і відповідна реалізація в просторі стану полягають у такому.

Наводимо вихід об'єкта і НМ в операторній формі

, (6а)

, (6б)

де - лінійні динамічні оператори НМ щодо збурення та керування, - відома початкова оцінка вектора збурення. Запишемо для об'єкта, що цілком спостерігається, по НМ (6б) вихід спостерігача стану в операторній
формі

, (7)

де - оператори спостерігача стану, параметризація яких визначається настроювальною матрицею . Віднімаючи вихід об'єкта (6а) від виходу спостерігача стану (7), запишемо таке рівняння щодо вектора збурення:

, (8)

де , . На першому кроці ітерацій приймаємо відомим і формуємо оцінку першого кроку

,

де - псевдообернена матриця по Муру-Пенроузу статичного коефіцієнта підсилення спостерігача по збуренню (матричний коефіцієнт збіжності). На другому кроці, використовуючи оцінку у правій частині виразу (8) замість нульової, формуємо оцінку .

У наступне продовження процесу здійснюємо за ітераційною схемою

, (9)

для якої відповідні рівняння в просторі стану мають вигляд

(10)

Операторний вираз оцінки збурення

і відповідна умова збіжності ітераційної схеми (9) має вигляд

(11)

як умова стискальності операторного перетворення.

Розглянуто різні способи забезпечення обмеженості інверсного оператора й отримані відповідні умови збіжності.

Досліджено збіжність ітерацій для випадку, коли використовують деяке наближення до оператора, викликане застосуванням штучної обмеженості або регуляризації інверсії. Встановлено, що при малій розбіжності за нормою вихідного оператора від використовуваного похибка вирішення для оцінки збурення залишається також малою.

На основі ітераційного способу вирішення операторного рівняння сформульовано необхідні й достатні умови існування інверсного обмеженого оператора як умови оберненості динамічної моделі.

Необхідною умовою існування ітераційно-інверсних моделей (ІІМ) є виконання умови сильної спостережуваності і . Достатньою умовою існування ІІМ є виконання умови збіжності (11).

У роботі одержано оцінку відносної похибки відновлення збурення

де - норма похибки оцінки збурення, - норма похибки вихідних даних (похибки вимірювання), з якої випливає властивість коректності, обмеженості й реалізовності ІІМ при виконанні умов збіжності .

Розглянуто також можливість строгого урахування наявної апріорної інформації про збурення у формі амплітудних, частотних та енергетичних обмежень як модифікації ітераційної процедури додатковим нерозширюваним перетворенням. Таке перетворення не ускладнює суттєво реалізації ІІМ і підвищує точність відновлених оцінок. На наведених методичних прикладах проілюстровано одержання ІІМ із різними способами регуляризації.

В четвертому розділі розглянуто задачу структурного і параметричного синтезу спостерігачів стану і збурення за допомогою ІІМ. На основі запропонованого способу відновлення вхідного сигналу динамічних систем ітераційним методом у просторі стану розроблено структури безперервних, дискретних, нелінійних детермінованих і лінійних стохастичних спостерігачів стану і збурення, а також проведено аналіз властивостей одержаних оцінок.

У випадку, коли об'єкт описується лінійною безперервною стаціонарною моделлю, структура спостерігача стану і збурення має вигляд (10). Для даної структури спостерігача стану і збурення одержано оцінку похибки збурення

, (12)

де оцінки похибок: - завдання початкового значення збурення; - завдання початкових умов спостерігача стану; - вимірювальних перешкод, - резольвента системи, - матрична передавальна функція за спостереженням.

Оцінка (12) дозволяє установити таке: 1) похибка від завдання початкового значення оцінки збурення зменшується зі збільшенням числа ітерацій при ; 2) похибка від незбігу початкових умов спостерігача стану і збурення й об'єкта убуває зі швидкістю загасання перехідних процесів спостерігача стану і збурення і не залежить від числа ітерацій; 3) похибка оцінки збурення від вимірювальних перешкод залежить від параметричного настроювання спостерігача стану і збурення і числа ітерацій, яке необхідно, з одного боку, зменшувати для зниження впливу перешкод, а з іншого - збільшувати для наближення до інверсного оператора. Таким чином, для визначення числа ітерацій необхідно компромісне рішення.

Досліджено властивості оцінок вектора стану спостерігача збурень залежно від числа ітерацій, еквівалентних збурень, вимірювальних перешкод і незбігу початкових умов. Одержано похибку оцінки вектора стану вигляду

(13)

де - оператор ітеративної інверсії. З одержаного виразу (13) випливає, що для зменшення впливу зовнішнього збурення необхідно , що приводить до підйому частотних характеристик операторів другого доданка і збільшення впливу вимірювальних перешкод. При ідеальній інверсії, коли , випливає повна інваріантність спостерігача стану і збурення до зовнішніх збурень.

При ітеративній інверсії НМ одержано похибку вектора виходу вигляду

(14)

яка встановлює ступінь впливу числа ітерацій, вимірювальних перешкод і еквівалентного збурення. На основі оцінок (13) і (14) одержані кількісні міри чутливості спостерігача стану до збурень і вимірювальних перешкод.

Досліджено властивості оцінок спостерігача стану при внутрішніх збуреннях досліджуваного об'єкта, коли задачу спостереження вирішують за допомогою ІІМ. Внутрішні збурення структурного і параметричного характеру, представлені адитивною частиною операторів і , визначаються при ідеальній інверсії оцінкою

. (15)

При використанні оцінки (15) одержано похибку виходу спостерігача

, (16)

для якої при різних поєднаннях розмірності задачі випливають такі висновки. По-перше, для "квадратної" системи в каналі збурення, коли , із (16) випливає, що з точністю до збігу початкових умов і спостерігач стану є повністю інваріантним до внутрішніх збурень і тим самим має подвійну інваріантість за Б.М. Петровим. По-друге, для виконати інваріантість числу змінних, що спостерігаються, більшому, чим число каналів проходження збурення, неможливо. По-третє, коли і реалізується ітеративна інверсія, чутливість до внутрішніх збурень визначається виразом

,

у якому множник установлює
залежність чутливості від параметра збіжності , числа ітерацій і динамічних властивостей спостерігача стану, які визначаються настроювальною матрицею .

З метою обмеження чутливості оцінок, одержуваних на основі ІІМ, у роботі розглянуто способи регуляризації введенням доповненого динамічного фільтра для обмеження частотної смуги встановленого збурення. Отримано оцінку похибки вигляду (12), у якій ,. Розроблено способи реалізації безперервного ітераційно-інверсного спостерігача стану та збурення, що являють собою послідовний ланцюжок однорідних фільтрів, кожний елемент якого реалізує одну ітерацію.

Для стохастичних стаціонарних лінійних фільтрів типу Калмана-Бьюсі одержано структури ітераційно-інверсних спостерігачів стану, що відновлюють збурення як реалізації випадкового процесу.

У роботі розроблено структури дискретних ітераційно-інверсних спостерігачів стану та збурення. На основі структури лінійного стаціонарного спостерігача Люєнбергера розроблено дискретні спостерігачі для "правильних" систем

і "строго правильних" систем

(17)

для яких матричні передавальні функції ітераційних фільтрів мають вигляд

, .

Отримано структури також спостерігача стану і збурення на основі дискретного фільтра Калмана-Бьюсі для "правильних" систем

(18)

для якого матрична передавальна функція ітераційного фільтра має вигляд

,

і відповідно для "строго правильних" систем

.

Умови параметризації спостерігача стану та збурення випливають з умов збіжності ітераційного процесу .

Застосування ІІМ у синтезі дискретних нелінійних спостерігачів стану та збурення полягає в такому. Якщо нелінійності моделі об'єкта задовольняють умови Ліпшица, що необхідно для обмеженості ітераційних динамічних операторів у деякому діапазоні нелінійної характеристики, то можна гарантувати збіжність оцінок збурення. Для моделі (1) отримано нелінійний спостерігач стану і збурення першого порядку при розкладанні у ряд нелінійності , а синтез матричного коефіцієнта збіжності здійснюється за лінеаризованою моделлю у всьому діапазоні нелінійної характеристики. Для нелінійних моделей типу
Гаммерштейна, коли модель подається послідовним з'єднанням лінійної динамічної та нелінійної статичної частин, отримано коефіцієнт корекції збіжності , що залежить від змінного сигналу керування.

Для спрощення задачі синтезу і реалізовності спостерігача стану та збурення запропоновано локальні дискретні ітераційно-інверсні спостерігачі, що випливають з (17) або (18) фіксуванням оцінки вектора стану при ітераціях на -му кроці оцінювання . Збіжність оцінок тоді випливає з матричної умови

,

де позначає спектральну норму матриці. Запропоновані локальні спостерігачі стану та збурення, що забезпечують рівномірну збіжність оцінок для розглянутого частотного діапазону і редукують збіжність для всього тимчасового інтервалу в збіжності для локального моменту часу.

Показано, що для забезпечення коректності ітеративної інверсії та підвищення точності оцінок варто застосовувати покрокову фільтрацію оцінок збурення для кожної ітерації, що еквівалентно використанню функціонального нерозширювального перетворення. Для найбільш застосовуваних лінійних фільтраційних перетворень (типу середньоінтегрального) строго доведено нерозширюваність, а для нелінійного (типу медіанної фільтрації) збіжність гарантується на основі статистичних експериментів.

Розглянуто необхідні умови розв'язності задачі параметричного синтезу, що випливають з умов причинної й ідеальної оберненості. Доведено, що для ітераційно-інверсного лінійного динамічного оператора, представленого у вигляді ряду Неймана, виконується умова причинної оберненості.

Запропоновано такий критерій функціональної спостережуваності по входу.

Твердження 4 (критерій функціональної спостережуваності по входу).

Для лінійної дискретної динамічної системи виду

спостережуваність по входу виконується за таких умов:

а) повної спостережуваності пари ;

б) ;

в) збіжності ітераційної схеми обчислення оцінок вхідного сигналу

;

г) повної керованості пари , де .

Запропоновано процедуру параметричного синтезу ітераційно-інверсних спостерігачів стану та збурення за критеріями, що забезпечують динамічні властивості спостерігача і збіжності ітерацій. Процедура складається з послідовності етапів перевірки на спостережуваність або виявленість за станом, спостережуваність або виявленість за входом, а також збіжність ітерацій.

П'ятий розділ присвячений розгляду задач компенсаційного керування динамічними системами в умовах невизначеності внутрішніх і зовнішніх збурень. На основі принципу роздільності контурів компенсації й стабілізації САК, коли задачі синтезу і формування керування основного і додаткового контурів не взаємозв’язані при реалізації інверсних моделей у контурі компенсації, досліджено властивості САК при реалізації ітераційно-інверсних спостерігачів стану і збурення. Одержані співвідношення для операторів ОК і спостерігачів стану і збурень, що забезпечують умови робастності до зовнішніх і внутрішніх збурень. Знайдено умови обмеженості сигналів компенсаційного керування при параметричних збуреннях об'єкта як умови обмеженості інверсних динамічних операторів. Показано, що компенсаційне керування при внутрішніх збуреннях визначається з вирішення операторного рівняння

,

а при представленні і реалізовності точної інверсії одержуємо

(19)

Обмеженість вектора з (19) випливає з умов обмеженості по енергії сигналу й обмеженості оператора . На основі умов збіжності ряду Неймана робимо висновок про обмеженість сигналу при виконанні нерівності . Дана умова гарантує обмеженість сигналу для деякої варіації внутрішніх збурень. З умови компенсувальності зовнішніх збурень одержано умову погодженості керування і збурення як виконання такої рівності для операторів ОК і НМ:

,

що для окремих умов при збігу вимірюваних і керованих змінних і є тривіальним і може виконуватися при матричних відношеннях для деякої матриці .

Узагальнення умови погодженості по НМ дається таким твердженням.

Твердження 5. Компенсація збурення по каналу керування динамічною системою здійсненна, якщо:

а) , що еквівалентно неортогональності матричних передавальних функцій;

б) , де позначає нуль-простір оператора;

в) вектор є обмеженим, тобто і .

У роботі досліджено досяжну точність компенсаційного керування для "квадратних" систем і зовнішніх збурень при збігу векторів вимірювальних і регульованому змінних, виконанні умови погодженості керування і збурення. Доведено, що похибка компенсаційного керування для вектора виходу визначається виразом

, (20)

де - число реалізованих ітерацій, а оцінка за нормою має вигляд

Доведено, що контур компенсаційного керування з ІІМ має астатизм ()-го порядку відносно зовнішнього збурення, а вибір числа ітерацій визначає потрібний ступінь астатизму. Досліджено також вплив вимірювальних перешкод на точність компенсації збурень за вектором виходу об'єкта. Одержано похибку виходу залежно від вимірювальних перешкод і встановлено, що підвищення числа ітерацій приводить до зростання впливу перешкод, однак оцінка похибки виходу по нормі не перевершує рівень .

У роботі проведено аналіз компенсаційного керування з лінійної НМ і нелінійностями ОК і виконавчих пристроїв. Для однозначних нелінійностей і моделі узагальненого ОК форми Гаммерштейна

де - оператор нелінійної статичної частини, одержано умови ком-пенсувальності відмінностей нелінійної від лінійної характеристик як умови можливості розв'язності функціонального рівняння

. (21)

Для нелінійності з Ліпшицевими умовами вирішення рівняння (21) отримано вигляду , а похибка виходу при компенсації визначається похибкою змінної апроксимації нелінійності. Застосування ітераційного методу у вирішенні рівняння (21) дозволяє знаходити рішення для кусково-безперервних функцій ,