Інститут математики НАН України

СТАНЖИЦЬКИЙ Олександр Миколайович

УДК 517.9

ЯКІСНИЙ АНАЛІЗ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ З ВИПАДКОВИМИ

ЗБУРЕННЯМИ

01.01.02—диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико—математичних наук

Київ—2002

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Київському національному університеті

імені Тараса Шевченка

Науковий консультант

доктор фізико—математичних наук, професор, академік НАН України

Самойленко Анатолій Михайлович

Інститут математики НАН України, м. Київ, директор

Офіційні опоненти:

доктор фізико—математичних наук, професор, академік НАН України

Королюк Володимир Семенович

Інститут математики НАН України, м. Київ,

радник при дирекції

доктор фізико—математичних наук, професор

Кулініч Григорій Логвинович

Київський національний університет імені Тараса Шевченка,

м. Київ, завідувач кафедри загальної математики

доктор фізико—математичних наук, професор

Петришин Роман Іванович

Чернівецький національний універсистет імені Юрія Федьковича,

м. Чернівці, декан математичного факультету

Провідна установа: Інститут прикладної математики і механіки НАН України,

відділ нелінійного аналізу, м. Донецьк

Захист відбудеться “ 2” липня 2002 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої

ради Д26.206.02 при Інституті математики НАН України за адресою: 02601, м. Київ—4,

МСП, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Інституту математики НАН України

(вул.Терещенківська, 3 ).

Автореферат розісланий “ 30” травня 2002 р.

Вчений секретар

спеціалізованої ради__________ Пелюх Г.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. На сучасному етапі розвитку науки і техніки все актуальнішою є проблема адекватного математичного описання реальних об'єктів, що викликає потребу врахування випадкового на них впливу. Останнє і призводить до необхідності вивчення систем диференціальних рівнянь з випадковими збуреннями. При цьому важливо не тільки мати кількісні характеристики таких систем, що отримуються емпірично шляхом статистичної обробки, а й не менш важливо знати ймовірнісні закони їх еволюції з часом. Тут і стають в нагоді якісні методи дослідження поведінки розв'язків систем диференціальних рівнянь з випадковими збуреннями.

За останні десятиріччя ця математична теорія, активно розвиваючись, знайшла свої застосування в радіоелектроніці та електротехніці, квантовій механіці, теорії автоматичного керування, космічних дослідженнях. Такими системами диференціальних рівнянь описуються зміни на ринку фінансів та цінних паперів, що в останні роки значно підвищило інтерес спеціалістів—практиків до даної галузі математики.

В дисертаційній роботі розглядаються три об'єкти, що описують еволюцію процесів, які зазнають випадкових впливів: системи диференціальних рівнянь з випадковими імпульсними збуреннями, диференціальні рівняння з регулярною випадковою правою частиною та системи стохастичних рівнянь Іто.

Нижче використовується та ж сама нумерація формул, тверджень та літературних джерел, що і в тексті дисертації.

Детерміновані диференціальні рівняння з імпульсною дією з'явилися ще на зорі розвитку нелінійної механіки, коли в 1937р. М.М.Крилов та М.М.Боголюбов в роботі [35] розглянули модель маятникового годинника, яка й призводить до диференціальних рівнянь з імпульсною дією. Подальший розвиток цієї теорії пов'язаний з роботами Ю.О.Митропольського, А.М.Самойленка, А.Д.Мишкіса, М.О.Перестюка та їх учнів. Результатом численних досліджень в даній області стала відома монографія А.М.Самойленка, М.О.Перестюка [41].

Однією з перших робіт, де з'явилися системи з випадковою імпульсною дією, є робота В.Д. а та А.Д.Мишкіса ([42], 1963р.) Серед інших робіт в цьому напрямку відзначимо роботи J.Bismut, N.Karoni [43,44], пов'язані з оптимальним керуванням такими системами. Питанням граничної поведінки розв'язків систем з випадковою імпульсною дією присвячено ряд робіт В.С.Королюка, Є.Ф.Царькова та їх учнів [48-56]. Однак, в цих роботах на системи накладені такі умови, що їх розв'язки мають властивість марковості або напівмарковості, що в реальних задачах далеко не завжди виконується. Тому розгляд таких систем при умові відсутності марковості має важливе значення.

Вагомий внесок у вивчення систем диференціальних рівнянь з регулярними випадковими правими частинами (т.б. коли випадкові процеси, що входять в праві частини, мають регулярні траєкторії (напр. є вимірними) та систем типу Іто на сучасному етапі зробили як українські,так і зарубіжні математики: К.Іtо, М.Nіcіо, H.Kushner, L.Аrnold, G.Dа Prato, Т.Моrоzаn, А.Іchikawa, Й.І.Гіхман, А.В.Скороход, В.С.Королюк, М.І.Портенко, Р.З.Хасьмінський, Є.Ф.Царьков, А.Я.Дороговцев, А.А.Дороговцев, Г.Л.Кулініч, С.Я.Махно та багато інших. Якщо на початку розвитку цієї теорії вивчалися суто ймовірнісні аспекти (рівняння для щільності розподілів, розподіли різних функціоналів від розв'язків, гранична поведінка), то з середини 60—х років минулого століття до дослідження таких рівнянь почали інтенсивно застосовувати якісні методи теорії звичайних диференціальних рівнянь (напр. методи дослідження періодичних розв'язків, асимптотичні методи нелінійної механіки, метод функції Ляпунова в теорії стійкості). Так, використовуючи метод функції Ляпунова, Р.З.Хасьмінському вдалося отримати ряд важливих результатів в теорії періодичних розв'язків та теорії стійкості систем з випадковою правою частиною та стохастичних систем Іто. Ідеї асимптотичних методів в роботах Й.І.Гіхмана, А.В.Скорохода, Р.З.Хасьмінського, Є,Ф.Царькова, С.Я.Махна та інших знайшли своє застосування до дослідження стохастичних систем з малим параметром. Вдалося, наприклад, показати, що на асимптотично великих інтервалах часу розв'язки стохастичних систем при певних умовах в середньому ведуть себе так, як розв'язки детермінованої усередненої системи. Що ж стосується дослідження відповідності між розв'язками вихідної та усередненої систем на півосі, то це питання залишалося відкритим, хоча в детермінованому випадку на даний час накопичилося досить багато вагомих результатів [68,95--97] та інші.

До недавнього часу зовсім мало в теорії стохастичних систем застосовувався один з найважливіших методів якісної теорії диференціальних рівнянь—метод інтегральних многовидів, розвинутий в роботах М.М.Боголюбова, Ю.О.Митропольського, А.М.Самойленка, В.А.Пліса, М.О.Перестюка, Р.І.Петришина, О.Б. Ликової, О.О.Ігнатьєва [66—70,79,100] та інших, а також в роботах іноземних авторів N.Fenichel, U.Moser, R.Sacker, G.Sell [71--78].

В 70-х роках минулого століття Г.Л.Кулінічем та В.Г.Бабчуком [5-6] для систем лінійних стохастичних диференціальних рівнянь Іто було введено поняття інваріантної детермінованої множини і досліджені класи систем, які мають детерміновані множини заданого вигляду. Пізніше в роботах Г.Л.Кулініча та його учнів (І.Ю.Денисової, О.В.Перегуди) ці результати було перенесено на нелінійні стохастичні системи. Однак, якісна поведінка розв'язків стохастичних систем в околах інваріантних многовидів, зокрема стійкість таких многовидів, з застосуванням до її дослідження методу функцій Ляпунова, а також надзвичайно важливого в якісній теорії диференціальних рівнянь принципу зведення майже не вивчалася.

Lulvwig Arnold ([144], 1998) ввів поняття випадкової динамічної системи, а відтак і поняття випадкової інваріантної множини, показавши його важливість до дослідження еволюції таких систем. Однак, отримані там результати носять дуже абстрактний характер і важко застосовні до конкретних випадкових систем, наприклад, систем Іто. Тому вивчення інваріантних множин для конкретних випадкових динамічних систем, встановлення умов їх існування, стійкості в різних ймовірнісних сенсах є досить актуальним.

На даний час, як видно з публікацій [120,123,124,126], актуальними залишаються питання дослідження якісної поведінки розв'язків систем лінійних звичайних диференціальних рівнянь, зокрема питання дихотомії їх розв'язків. Більш того, з приводу зв'язку між дихотомією на осі та на півосях виникла деяка дискусія. Вивчення дихотомії розв'язків систем лінійних стохастичних рівнянь Іто є не менш актуальним, оскільки дихотомія описує якісну поведінку розв'язків систем Іто (вони розпадаються на два типи: ті, що ростуть в середньому квадратичному не повільніше деякої експоненти і ті, що затухають по експоненціальному закону). Окрім того, дихотомія тісно пов'язана з існуванням обмежених в середньому квадратичному на півосі розв'язків відповідних лінійних неоднорідних систем з довільною обмеженою в середньому квадратичному неоднорідністю. Незважаючи на це, результататів з дихотомії стохастичних систем Іто в літературі зовсім мало. Можна з цього приводу відмітити лише роботи Е.Ф.Царькова [10] та J.Appell, Nguyen Van Minh, P.Zabrejko ([143], 1994) де дослідження дихотомії зводилося до її вивчення для систем других моментів, або розв'язувалося в рамках теорії збурень в припущенні малості коефіцієнта при випадковості, однак отримані умови або практично мало застосовні, або охоплюють досить вузькі класи систем. Тому важливо навести умови дихотомії, що носили б загальний характер і були зручними для практичної перевірки.

Як уже зазначалося, дихотомія тісно пов'язана з існуванням обмежених розв'язків у відповідної неоднорідної системи. Цим питанням присвячено роботи А.Я.Дороговцева [1] М.Арато [132], T.Morozan [129—131], G.Da Prato, Z.Jerzy [145], P.Kotelenez [146] та інших авторів, де розглядалися питання існування обмежених в середньому квадратичному на осі розв'язків слабко нелінійних систем в припущенні, що лінійна детермінована частина є експоненціально стійкою на осі системою. Але, не дивлячись на те, що ці результати узагальнювалися на гільбертові простори, у всіх роботах матриця (оператор) лінійної частини була сталою, що значно звужувало клас досліджуваних об'єктів, і не давало можливості отримати результати, аналогічні детермінованому випадку.

З теорією лінійних рівнянь пов'язана теорія збурення інваріантних торів або теорія розширень динамічних систем на торі. Дана теорія описує процеси, що носять коливний характер. Спочатку теорія коливань складалася в рамках небесної механіки. При цьому математичними моделями досліджуваних нею процесів були лінійні диференціальні рівняння [136,137]. В подальшому потреби електро—і радіотехніки сприяли розвитку теорії періодичних розв'язків слабко нелінійних систем. Фундаментальний внесок в розвиток нелінійної теорії зробили М.М.Крилов і М.М.Боголюбов [35,66,68]. Центральним тут об'єктом виявилися періодичні розв'язки систем нелінійних диференціальних рівнянь. Починаючи з 60—х років минулого століття, в теорії коливань відбувся різкий поворот в сторону вивчення коливних процесів, що характеризуються "майже точним" їх повторенням через "майже один і той" проміжок часу. Такі процеси описуються квазіперіодичними функціями і називаються квазіперіодичними коливаннями. Найбільшим досягненням в цьому напрямку є створення КАМ–теорії А.М.Колмогоровим, В.І.Арнольдом, U.Mozer ([138--140]) — теорії квазіперіодичних розв'язків "майже інтегровних" гамільтонових систем. Однак, квазіперіодичні коливання представляють собою досить складний і нестійкий до збурень об'єкт досліджень. Ця обставина примусила шукати більш грубий, ніж квазіперіодичний розв'язок, об'єкт. Виявилось, що "носієм" квазіперіодичних коливань є тор, саме його замітає квазіперіодична функція. Тому вивчення умов існування інваріантних торів у коливних систем є досить актуальним. Уже тор є грубим об'єктом—малі збурення правих частин системи його не руйнують. Дуже плідним в цьому напрямку виявилося поняття функції Гріна—Самойленка введене в 1970р. в [141], за допомогою якої вдалося дати інтегральне представлення інваріантного тору. Це поняття дало новий імпульс розвитку самих різних аспектів цієї теорії і призвело до нових результатів в даній області.

Теорія ж коливань в системах з випадковими збуреннями є ще дуже мало вивченою. З цього приводу можна відзначити роботи В.С.Королюка [93], Р.З.Хасьмінського [102--104], вже згадувані роботи Є.Ф.Царькова, С.Я.Махна [111--112], В.Г.Коломійця [109--110], пов'язані з методом усереднення для таких систем, застосованим до дослідження коливних процесів, що описуються рівняннями другого порядку з випадковими збуреннями коєфіцієнтів. Однак, представляє інтерес розгляд коливних систем з випадковими збуреннями більш високих порядків і при цьому отримання результатів якісного характеру, без припущення малості випадкових збурень, вивчення умов існування випадкових інваріантних торів у коливних стохастичних систем.

Таким чином, розробка якісних методів дослідження систем з випадковими збуреннями є важливою і актуальною на сучасному етапі розвитку теорії диференціальних рівнянь і має велике, як чисто теоретичне, так і практичне значення для ряду галузей науки та техніки.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана в рамках теми 97—043 "Дослідження коливних режимів та інтегральних множин у детермінованих і стохастичних динамічних системах" (номер держреєстрації 0197U003101).

Мета та задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є розробка якісних методів дослідження систем диференціальних рівнянь з випадковими збуреннями їх параметрів та застосування цих методів до вивчення стійкості, обмеженості, періодичності розв'язків, встановлення умов існування інваріантних множин, дослідження коливних властивостей розв'язків.

Методи дослідження. Використовуються якісні методи теорії звичайних диференціальних рівнянь, методи теорії випадкових процесів та теорія стохастичних диференціальних рівнянь Іто.

Наукова новизна. В дисертації вперше одержано такі результати.

1. Для періодичних у вузькому сенсі (в сенсі скінченно вимірних розподілів ) систем диференціальних рівнянь з випадковою регулярною правою частиною та випадковою імпульсною дією отримані необхідні та достатні умови існування періодичних розв'язків.

2. Досліджено поведінку стійкого, компактного інваріантного многовиду автономної системи звичайних диференціальних рівнянь при малих періодичних випадкових регулярних та імпульсних збуреннях її правих частин.

3. Отримані умови існування, єдиності та стійкості періодичних розв'язків лінійних та слабко нелінійних систем з випадковими імпульсними збуреннями.

4. В термінах функцій Ляпунова для імпульсних детермінованих систем отримано умови стійкості імпульсних систем з випадковими збуреннями.

5. Для систем з імпульсною дією у випадкові моменти часу обґрунтовано принцип усереднення.

6. Досліджені умови існування та стійкості інваріантних множин систем диференціальних рівнянь з випадковими регулярними збуреннями правих частин та систем стохастичних рівнянь Іто.

7. Для систем з регулярними випадковими збуреннями та стохастичних систем Іто отримані аналоги принципів зведення В.А.Пліса та А.М.Самойленка. Це дало змогу звести дослідження стійкості стохастичних систем до дослідження стійкості систем детермінованих.

8. Для систем диференціальних рівнянь з випадковими збуреннями обґрунтовано метод усереднення на нескінченному проміжку часу.

9. Досліджена експоненціальна дихотомія в середньому квадратичному лінійних стохастичних систем Іто

10. Для лінійних та слабко нелінійних стохастичних систем Іто зі змінною матрицею лінійної частини отримані достатні умови існування обмежених в середньому квадратичному на осі періодичних та стаціонарних розв'язків.

11. Одержано інтегральне зображення випадкових інваріантних торів лінійних стохастичних розширень динамічних систем на торі. Отримані умови існування інваріантних випадкових торів у слабко нелінійних коливних систем.

12. Для стохастичних систем з тороїдальним многовидом отримана ергодична теорема.

Теоретичне та практичне значення одержаних результатів. Робота має теоретичний характер. ЇЇ результати та розвинені в ній методи можуть бути використані в наступних дослідженнях систем з впливами складної природи. При вирішенні прикладних проблем дані результати можна застосовувати до дослідження реальних коливних систем.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися в школі—семінарі "Разрывные динамические системы" (Київ, 1989), на Всесоюзній конференції "Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики " – перші Боголюбовські читання (Тернопіль 1989), Всесоюзних конференціях "Разрывные динамические системы" (Яремча 1990, Ужгород 1991), на конференції "Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики" (Київ 1992), Українській конференції "Моделирование и исследование устойчивости систем" ( Київ 1995), Всеукраїнській науковій конференції "Диференціально—функціональні рівняння та їх застосування" (Чернівці 1996), міжнародній конференції "Асимптотичні та якісні методи в теорії нелінійних коливань" (Київ 1997), міжнародній конференції "Моделювання та оптимізація складних систем" (Київ 2001), Українському математичному конгресі (Київ 2001). Крім того, результати дисертації були предметом доповідей на наукових семінарах в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка (керівник член-кореспондент НАН України, професор М.О.Перестюк, 1998, 2002); на наукових семінарах відділу звичайних диференціальних рівнянь та теорії нелінійних коливань Інституту математики НАН України (керівник академік НАН України, професор Самойленко А.М, 1996, 1999, 2000), відділу теорії випадкових процесів Інституту математики НАН України (керівник член-кореспондент НАН України, професор Портенко М.І., 1999), на спільних семінарах відділів звичайних диференціальних рівнянь та теорії нелінійних коливань та теорії випадкових процесів Інституту математики НАН України (2001, 2002); на спільному науковому семінарі відділу нелінійного аналізу та теорії випадкових процесів Інституту прикладної математики і механіки НАН України (керівники академік НАН України, професор І.В.Скрипник, та професор Ю.М.Ліньков 2002).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 21—й праці [14—34] та частково в тезах доповідей конференцій та шкіл [147—156].

Особистий внесок здобувача. Усі результати, що виносяться на захист, одержано автором самостійно. Серед робіт [14-34] сумісних статей є 8. У роботах, які написані у співавторстві, А.М.Самойленку і М.О.Перестюку належить загальна постановка задач, дисертанту—доведення теорем і розробка методів дослідження розв'язків диференціальних рівнянь з випадковими збуреннями. В.В.Іщуку, В.Я.Данілову та І.М.Копась належить перевірка складних технічних викладок, Д.І.Мартинюку—обговорення отриманих результатів, постановка задач та доведення теорем належать О.М.Станжицькому.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних літературних джерел, що містить 156 найменувань. Повний обсяг роботи складає 296 сторінок, з них список використаних джерел займає 19 сторінок.

Подяки. Я висловлюю свою щиру подяку моєму вчителю академіку НАН України А.М.Самойленку за проявлені ним постійну увагу і турботу і співпраця з яким стала основним стимулом і фундаментом для написання дисертаційної роботи. Я дуже вдячний моєму завідувачу кафедри члену-кореспонденту НАН України М.О. Перестюку, який створив всі необхідні умови для написання дисертації.

ЗМІСТ РОБОТИ.

У вступі обгрунтовано актуальність, розкрито суть, мету і наукову новизну проведених досліджень та коротко викладено зміст дисертації за розділами. В усіх розділах спочатку подано огляд літератури за даною тематикою та перераховані проблеми, що стали предметом розгляду розділу.

Розділ 1, що складається з 6 підрозділів, присвячений дослідженню диференціальних рівнянь з випадковою правою частиною та випадковою імпульсною дією. Спочатку подано огляд літератури за даною тематикою та перераховані проблеми, що стали предметом розгляду розділу.

Підрозділ 1.1 носить допоміжний до даного розділу характер. В ньому дано означення розв'язку системи диференціальних рівнянь з випадковою правою частиною і випадковою імпульсною дією та наведено теорему його існування і єдиності.

Нехай на деякому повному ймовірнісному просторі задано вимірний, сепарабельний випадковий процесі послідовність випадкових величин, що приймають значення відповідно в просторах і Розглядається система диференціальних рівнянь з випадковою правою частиною і випадковою імпульсною дією у фіксовані моменти часу вигляду

(1.1)

де

Під розв'язком системи (1.1) будемо розуміти кусково—абсолютно неперервний на інтервалах, неперервний зліва в точках з ймовірністю 1 випадковий процес що з ймовірністю 1 на інтервалах задовольняє перше із співвідношень (1.1), а при умову стрибка (друге із співвідношень (1.1)). Будемо також вважати, що послідовність моментів імпульсної дії не має скінченних граничних точок. Доведена теорема про існування, єдиність та продовжуваність в обидва боки розв'язку задачі Коші, де --випадкова величина.

Теорема 1.1. Нехай функції вимірні за сукупністю своїх змінних, а також виконані умови:

1) існують випадковий локально інтегровний на процес і послідовність випадкових величин такі, що

для всіх

2) для довільного;

3)відображення для кожного взаємно однознозначно відображає простір на .

Тоді розв'язок задачі Коші для системи (1.1) з початковою умовою існує, потраєкторно єдиний і представляє собою кусково—абсолютно неперервний випадковий процес при .

В підрозділах 1.2—1.4 вивчаються періодичні у вузькому сенсі (в сенсі скінченно—вимірних розподілів) розв'язки системи (1.1). Нагадаємо, що випадковий процес називається періодичним у вузькому сенсі, якщо довільних множин , де борелівська алгебра на: .При такому означенні періодичні випадкові процеси це дещо інше, ніж звичайні періодичні функції. Так неважко навести приклади періодичних процесів, що не мають з ймовірністю 1 періодичних траекторій. А тому, наприклад, сума двох періодичних з однаковим періодом процесів не завжди є періодичним випадковим процесом. Відносно функцій і моментів імпульсної дії ,будемо вважати, що періодична по з періодом , і при деякому натуральному виконуються рівності

(1.2) Будемо також вважати, що --періодично зв'язані, тобто, де --борелівські алгебри на

Для систем диференціальних рівнянь з випадковою правою частиною типу (1.1) при відсутності імпульсної дії Р.З. Хасьмінським в [13] була отримана теорема про необхідні і достатні умови існування періодичних розв'язків. Пізніше, аналогічним методом, вона була узагальнена на стохастичні диференціальні рівняння Іто та на системи з випадковою правою частиною і запізненням [59,60]. Використовуючи ідеї з [13], для (1.1) отримана наступна теорема.

Tеорема 1.2 Нехай для системи (1.1) виконані умови теореми 1.1. Тоді для існування періодичного і періодично зв'язаного з стохастично неперервним процесом і її розв'язку необхідно і достатньо, щоб ця система мала роз'язок , який рівномірно за (або задовольняє умову

(1.3)

при .Відносно даної теореми зробимо зауваження.

Зауваження 1. Нехай в системі (1.1) функції та не залежать від випадковості, тобто система (1.1) є детермінованою періодичною системою з імпульсною дією вигляду

З доведеної теореми випливає, що якщо ця система має хоча б один обмежений на осі розв'язок, то вона має і періодичний розв'язок із взагалі кажучи, випадковою початковою умовою. Аналогічний факт навіть для систем звичайних диференціальних рівнянь відомий лише у випадку, коли розмірність системи не більша двох. Дана теорема , звичайно, не гарантує існування періодичного детермінованого розв'язку, оскільки, як уже зазначалося, періодичний випадковий процес може і не мати періодичних траєкторій.

Зауваження 2. Умови теореми 1.2 хоча і є необхідними і достатніми, але, взагалі кажучи, не досить ефективними. Проте, опираючись на результат даної теореми, для окремих досить важливих класів систем з випадковими імпульсними збуреннями можна навести достатні умови існування періодичних розв'язків, що більш зручні для практичної перевірки. В даному підрозділі розглядається система типу (1.1), в якій випадковість як в праву частину, так і в імпульсне збурення входить лінійно, тобто система має вигляд

(1.9)

Нехай функції періодичні по…, виконується умова (1.2) і умова періодичної 3в'язності .Тоді умови існування її періодичних розв'язків можна дати в термінах функції Ляпунова для укороченої детермінованої системи

Теорема 1.3. Нехай в облаcті (для деякого ) існує невід'ємна функція , що абсолютно неперервна по і задовольняє глобальну умову Ліпшиця по , причому виконані умови теореми 1.1, а також:

а) ;

б)

(тут похідна функції в силу першого рівняння системи (1.10));

в) ,

де --додатні сталі.

Тоді система (1.9) має періодичний у вузькому сенсі розв'язок для довільних стохастично неперервного процесу і послідовності випадкових величин таких, що вони періодично зв'язані і .

В підрозділі 1.3, на підставі теореми 1.2, досліджується існування періодичних розв'язків в імпульсних систем з малими збуреннями, а саме встановлюється зв'язок між стійкою, компактною, інваріантною множиною детермінованої автономної системи і періодичними розв'язками збуреної системи, отриманої з детермінованої в результаті малого неперервного та імпульсного випадкового збурення.

В просторі розглядається автономна детермінована система

(1.11)

що має експоненціально стійку, компактну, інваріантну множину. Розглядається збурена періодична імпульсна система

(1.12)

де --малий параметр, функції ліпшицеві по і такі, що виконуються умови теореми існування і єдиності розв'язку, а також умови періодичності правих частин, періодичності імпульсної дії і періодичної зв'язності випадкового процесу і послідовності випадкових величин. Позначимо .Малість випадкових збурень тут розуміється як малість в середньому, тобто будемо вважати

Теорема 1.5. Нехай інваріантна множина незбуреної системи (1.11) експоненціально стійка в цілому.

Тоді система (1.12) при досить малих значеннях параметра має --періодичний, періодично зв'язаний з розв'язок , що задовольняє умову.

Таким чином , отримана теорема говорить, що експоненціально стійка, компактна інваріантна множина незбуреної системи породжує в своєму околі періодичний у вузькому сенсі випадковий режим Дану теорему можна інтерпретувати як аналог другої теореми М.М. Боголюбова методу усереднення для імпульсних систем з випадковими збуреннями.

В підрозділі 1.4 досліджуються періодичні розв'язки лінійних та слабко нелінійних імпульсних систем. Розглядається лінійна імпульсна система

(1.31)

і припустимо, що для неї виконуються умови існування і єдиності розв'язку задачі Коші, матриця періодична, -задовольняють умову періодичності (1.2), а періодично зв'язані і

(1.32)

В даному підрозділі ці умови вважаються завжди виконаними. будемо вважати, взагалі кажучи, комплекснозначними. Позначимо через матрицант лінійної однорідної системи

(1.33)

Теорема 1.6. Для того, щоб для довільних , вказаних вище , випадкового процесу і послідовності випадкових величин система (1.31) мала єдиний з точністю до стохастичної еквівалентності --періодичний і періодично зв'язаний з і розв'язок такий, що необхідно і достатньо, щоб спектр матриці монодромії системи (1.33) не перетинався з одиничним колом. Якщо спектр лежить всередині одиничного круга, то періодичний розв'язок є експоненціально стійким в середньому.

Для слабко нелінійних імпульсних систем вигляду

(1.44)

де -малий додатний параметр, отримано достатні умови існування їх періодичних розв'язків. Нехай праві частини системи забезпечують умови існування та єдиності розв'язку задачі Коші. Будемо також вважати, що -ліпшицеві по виконуються умови

(1.45)

Теорема 1.7. Якщо спектр матриці монодромії системи (1.33) не перетинається з одиничним колом, то при достатньо малих для кожного випадкового процесу і послідовності випадкових величин , вказаних вище, система (1.44) має єдиний періодичний розв'язок такий, що Даний розв'язок експоненціально стійкий в середньому в цілому, якщо спектр матриці монодромії системи (1.33) лежить в середині одиничного кола.

Відмітимо, що для систем без імпульсної дії аналогічні питання розглядалися

А.Я. Дороговцевим в [1],але результати там доводилися іншими методами. Ми ж застосували для доведення цих теорем теорію Флоке, що не тільки значно спростило доведення, а й дозволило в теоремі 1.7 встановити єдиність періодичного розв'язку і дати умови його стійкості, на відміну від цитованої роботи, де отримано лише умови його існування.

Підрозділ 1.5 присвячений дослідженню стійкості тривіального розв'язку систем типу (1.1) в різних ймовірнісних сенсах .Запровадимо наступні означення.

Означення 1.1. Розв'язок системи (1.1) назвемо:

1. Стійким за ймовірністю (при ), якщо для довільних знайдеться таке, що при

2 . Асимптотично стійким за ймовірністю, якщо він стійкий за ймовірністю і, окрім того, для довільногознайдетьсятаке, що при

якщо

3. стійким, якщо для довільного знайдеться таке, що при

4. Асимптотично стійким, якщо він стійкий і, окрім того, для достатньо малих при .

5. Стійким за ймовірністю в цілому, якщо він стійкий за ймовірністю, і окрім того, для довільних можна вказати таке, що при справедлива нерівність першого пункту означення. Аналогічно визначається і асимптотична стійкість за ймовірністю і стійкість в цілому.

6. Стійким з ймовірністю 1 в тому чи іншому сенсі, якщо майже всі траєкторії стійкі у відповідному сенсі.

Звичайно, не роблячи якихось додаткових припущень відносно правих частин системи (1.1) чи характеру випадкового впливу (наприклад його марковість [52] ), важко отримати конструктивні результати відносно стійкості. Але для більшості прикладних задач достатньо обмежитись тим варіантом, коли випадковість як в праву частину системи, так і величину імпульсу входить лінійно, а сама система має вигляд

(1.60)

де Функції визначені і неперервні за вектори із матриці локально інтегровний на довільному скінченному відрізку числової осі - мірний випадковий процес, -мірні випадкові величини. Припустимо також, що функції задовольняють умову Ліпшиця за ,а послідовність не має скінченних граничних точок. Вважається також, що (оскільки вивчається стійкість нульового розв'язку). Тоді умови стійкості системи (1.60) можна дати в термінах функцій Ляпунова вкороченої детермінованої системи

(1.61)

аналогічно тому, як це зроблено для систем без імпульсів в [13].Відмітимо також, що стійкість лінійних систем типу (1.60) з марковськими коефіцієнтами і імпульсною дією у випадкові моменти часу вперше вивчалася за допомогою функцій Ляпунова в [3]. Там же вказано на принципові труднощі в тому випадку, коли моменти імпульсної дії є детермінованими. Останні зв'язані з тим, що на відміну від систем, коли імпульси діють у випадкові моменти часу, траєкторії розв'язків в цьому випадку є розривними з ймовірністю 1.

Теорема 1.8. Нехай в облаcті (для деякого ) існує функція , що абсолютно неперервна по і задовольняє глобальну умову Ліпшиця по ,зі сталою , а також умови:

1)додатно визначена рівномірно по , тобто

2) існують такі сталі що

(тут оператор Ляпунова функції в силу першого рівняння системи (1.61);

3), для довільних.

Нехай процес і послідовность задовольняють закон великих чисел, тобто для довільних існують такі і натуральне , що для довільних а також

Тоді тривіальний розв'язок системи (1.60 ) асимптотично стійкий за ймовірністю в цілому. Якщо ж для і виконаний посилений закон великих чисел, то ті ж умови забезпечують асимптотичну стійкість в цілому тривіального розв'язку з ймовірністю 1.

В підрозділі 1.6 для систем з випадковою імпульсною дією у випадкові моменти часу з малим параметром вигляду

(1.69)

де випадковий процес для кожного, випадкові величини,малий додатний параметр, обґрунтовано принцип усереднення.

Основним припущенням тут є існування рівномірної по границі

, що дає змогу гарантувати близькість в середньому на інтервалі порядку відповідних розв'язків точної та усередненої детермінованої системи без імпульсної дії . Відмітимо, що аналогічні результати стосовно методу усереднення для систем типу (1.69), але в припущенні марковості випадкових збурень отримано в роботах В.С.Королюка [57], Є.Ф. Царькова [50, 51], Є.Ф. Царькова, М.Л. Свердана [52].

Другий розділ роботи присв'ячений дослідженню інваріантних множин систем диференціальних рівнянь з випадковими регулярними збуреннями та стохастичних систем типу Іто. Основним апаратом проведених тут досліджень є функції Ляпунова.

В підрозділі 2.1 розглядаються інваріантні множини систем з регулярними випадковими збуреннями правих частин, а саме системи вигляду

(2.1)

де -- локально інтегрований з ймовірністю 1 на додатній півосі випадковий процес. Позначимо через деяку борелівську множину в.Нехай множина в , що і не порожня для довільного .

Означення 2.1. Множину назвемо додатно інваріантною для системи (2.1), якщо при з ймовірністю 1

(2.2)

де розв'язок системи (2.1), що .

Означення 2.2. Множину назвемо стійкою за ймовірністю, якщо що при виконана нерівність

(2.4)

при довільному

Означення 2.3. Множину назвемо асимптотично стійкою за ймовірністю, якщо вона стійка за ймовірністю і, окрім того, для довільногознайдеться таке, що при

Означення 2.4. Множину назвемо стійкою за ймовірністю в цілому, якщо вона стійка за ймовірністю і, окрім того, для довільних можна вказати таке, що при справедлива нерівність означення 2.2.

В роботі досліджуються інваріантні множини системи (2.1), коли вона має вигляд

(2.5)

тобто випадкове збурення входить в систему лінійно. Тут абсолютно інтегрований з ймовірністю 1 на будь—якому скінченному інтервалі додатної півосі, сепарабельний випадковий процес, що приймає значення в просторі . Вектор-функція матриця розмірності , визначені і вимірні за Борелем відносно сукупності своїх змінних і такі, що для (2.5) виконуються умови існування і потраєкторної єдиності розв'язку задачі Коші для початкових даних із деякої обмеженої області Умови існування інваріантних множин для системи (2.5) отримані в термінах функцій Ляпунова “вкороченої” детермінованої системи (2.6)

Припустимо, що в задана невід'ємна, абсолютно неперервна по і ліпшицева по з константою функція .Позначимо через її множину нулів в . Нехай вона не порожня. Будемо вважати, компакт в (тут проекція множини на .) Позначимо її .

Теорема 2.1. Нехай виконані написані вище умови.

Тоді, якщо при , існують додатні сталі такі, що

(2.7)

то множина

(2.8)

є додатно інваріантною для системи (2.5).

Якщо ж функція визначена при і задовольняє по глобальну умову Ліпшиця з константою , а також умови:

(2.9)

і для процесу виконується закон великих чисел, причому

(2.10)

то множина асимптотично стійка за ймовірністю в цілому.

(Тут як і раніше оператор Ляпунова в силу (2.6).) Відзначимо, що умови існування інваріантних множин та їх стійкість для систем виду (2.5) раніше не розглядалися.

В підрозділі 2.2 вивчаються інваріантні множини стохастичних систем Іто

(2.18)

де --вектори із-незалежні скалярні вінерівські процеси, визначені на деякому повному ймовірнісному просторі Будемо вважати, що коефіцієнти невипадкові і такі, що рівняння (2.18) має єдиний сильний розв'язок задачі Коші з початковими даними Умови, що накладаються при цьому на коефіцієнти, добре відомі (напр. [9, c.281] ), наприклад для борелівських за сукупністю змінних функцій достатньо існування і обмеженості в області часткових похідних за. Інваріантність будемо розуміти в сенсі означення 2.1, в якому, враховуючи еволюційний характер розв'язків системи (2.18), в формулі (2.2) будемо вважати А стійкість, враховуючи марковський характер розв'язків , тут можна досліджувати в більш сильному сенсі, а саме в сенсі наступного означення.

Означення 2.6. Множину назвемо стохастично стійкою, якщо що при виконана нерівність

(2.19)

Дане означення значно сильніше ніж 2.2, воно означає, що не тільки ймовірність виходу розв'язку з околу мала, а й сам розв'язок знаходиться в цьому околі з ймовірністю, близькою до 1.

Нехай обмежена в область і в- задана невід'ємна, неперервно диференційована за і двічі неперервно диференційована за функція . Позначимо через її множину нулів в . Через позначимо множину , що при фіксованому .Нехай вона не порожня для довільного. Будемо вважати, що проекція множини -множини нулів функції на замкнута в .

Умови додатної інваріантності та стохастичної стійкості множини даються в термінах твірного диференціального оператора марковського процесу, що описується системою (2.18) і який має вигляд

(2.20)

де скалярний добуток.

Теорема 2.3. Нехай виконані написані вище умови. Тоді, якщо в області

(2.21)

то множина є додатно інваріантною для системи (2.18). Якщо ж до того

(2.23)

при, то множина і стохастично стійка.

Відмітимо, що умова (2.23) виконується, якщо в умовах теореми функція залежить лише від .

Наведемо приклад, що ілюструє дану теорему. Розглянемо систему стохастичних рівнянь Іто на площині

(2.27)

в областіскалярний вінерівський процес. Тоді множина точок, що задовольняє співвідношення при є інваріантною для (2.27) і стохастично стійкою, оскільки неважко бачити, що за функцію Ляпунова можна взяти

Відмітимо, що близькі результати відносно інваріантних множин стохастичних систем Іто отримані в роботах Г.Л. Кулініча та його учнів [5--8]. Однак, в указаних роботах в основному розглядаються умови інваріантності одразу для класу множин ,що по суті є аналогом для звичайних диференціальних рівнянь того, що функція їх перший інтеграл, тому й умови там більш жорсткі, окрім того стійкість інваріантних множин не вивчається.

В підрозділі 2.3 розглядаються питання поведінки інваріантних множин систем з малими випадковими збуреннями в припущенні, що незбурена детермінована система має інваріантну множину. Виявляється, що при певних умовах збурена система також має інваріантну множину. Нехай система має вигляд

(2.29)

де малий додатний параметр, стохастично неперервний випадковий процес зі значеннями в просторі . Поряд з нею розглянемо незбурену систему

(2.30)

і припустимо, що вона має асимптотично стійку, додатно інваріантну множину .

Теорема 2.5. Нехай в системі (2.29) функції визначені і неперервні за з деякого околу і , а також задовольняють за змінною умову Ліпшиця з константою .

Тоді, якщо існує додатна стала , що , то можна вказати , що для довільного система (2.29) має додатно інваріантну множину для кожного і має місце нерівність

Відмітимо, що умови теореми можна послабити, замінивши умову обмеженістю за ймовірністю збурюючого випадкового процесу. При цьому інваріантність будемо розуміти в дещо іншому сенсі, а саме в сенсі наступного означення.

Означення 2.8. Множину системи (2.30) назвемо додатно інваріантною за ймовірністю при малих випадкових збуреннях, якщо для довільного , існує , що при довільному існує множина така, що якщо з ймовірністю 1, то , де -розв'язок системи (2.29), що . Позначимо

Теорема 2.6. Нехай в системі (2.29) функції визначені і неперервні за і , а також задовольняють за змінною глобальну умову Ліпшиця з константою .

Тоді, якщо задовольняє для довільного умову

(2.35)

то множина додатно інваріантна за ймовірністю для системи (2.30) і

Зауважимо, що умова (2.35) виконується якщо процес обмежений за ймовірністю так, що.

Аналогічні питання розглянуто для системи стохастичних рівнянь Іто вигляду

(2.54)

де багатовимірний вінерівський процес з незалежними компонентами, відповідного розміру матриця. Нехай коефіцієнти системи задовольняють умови теореми існування і сильної єдиності розв'язку задачі Коші при . Для таких систем умову (2.35) можна записати в більш простій формі. Позначимо .

Теорема 2.7. Якщо виконується умова , то для множини системи (2.30) справедливі твердження теореми 2.6.

В теорії звичайних диференціальних рівнянь добре відома задача про стійкість інваріантної множини при умові її стійкості для початкових даних з деякого многовиду, що містить дану множину. Це дозволяє звести дослідження стійкості до дослідження такої на многовиді, де порядок системи нижчий ніж у вихідної. У випадку, коли інваріантна множина є точкою, вказана задача розв'язана В.А.Плісом [70]. Отриманий ним результат відомий як принцип зведення в теорії стійкості . В [4] А.М.Самойленком отриманий подібний результат для загального випадку. В підрозділах 2.4—2.6 вказані результати розповсюджуються на системи з випадковими регулярними та ітовськими збуреннями. Це дозволило не тільки понизити порядок досліджуваної системи, але й на відміну від звичайних диференціальних рівнянь отримати новий ефект—звести дослідження стійкості стохастичної системи до системи детермінованої. В підрозділі 2.4 принцип зведення А.М.Самойленка розповсюджено на системи з випадковими регулярними збуреннями виду

(2.57)

де випадковий процес, абсолютно інтегрований з ймовірністю 1 на довільному скінченному інтервалі числової півосі . Відносно функцій припускається, що вони вимірні за Борелем відносно і ліпшицеві за з константою . Припустимо, що дана система має інваріантну множину , що лежить на більш широкій інваріантній множині . Нехай на множині система (2.57) вироджується в детерміновану. Відтак дослідження стійкості стохастичної системи буде зведене до дослідження стійкості детермінованої системи.

Означення 2.9. Скажемо, що множина стійка на множині при , якщо , що для довільного такого, що , справедлива нерівність

(2.58)

Очевидно, що із стійкості на не завжди випливає стійкість цієї множини, з нестійкості ж на випливає нестійкість множини. Виникає задача вказати такі умови, при яких із стійкості множини на випливає її стійкість.

Теорема 2.8. Нехай додатно інваріантна множина системи (2.57), де деяка обмежена область, містить замкнену додатно інваріантну , асимптотично стійку на множину .

Нехай є множиною виду а -деяка її підмножина, де --невідємно визначена в функція, що