Київський національний університет

імені Тараса Шевченка

Л е б є д є в Є в г е н О л е к с а н д р о в и ч

УДК 519.21

Асимптотичний аналіз багатоканальних

стохастичних мереж

01.05.04 - системний аналіз і теорія оптимальних рішень

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-

математичних наук

Київ - 2003

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі прикладної статистики факультету

кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,

професор, академік НАН України Королюк

Володимир Семенович (Інститут

математики НАН України, радник при дирекції);

доктор фізико-математичних наук, професор

Єлейко Ярослав Іванович (Львівський

національний університет імені Івана Франка,

завідувач кафедри теоретичної та прикладної

статистики);

доктор фізико-математичних наук Наконечний

Олександр Миколайович (Міжнародний

інститут бізнесу, м. Київ, професор

департаменту фінансів).

Провідна організація: Інститут кібернетики НАН України,

м. Київ, відділ теорії надійності

складних систем.

Захист відбудеться “ 25 “ вересня 2003 р. о 14 год. на засіданні

спеціалізованої вченої ради Д 26.001.09 Київського національного

університету імені Тараса Шевченка за адресою: 03127, м. Київ,

пр. Глушкова, 2, корп. 6, ф-т кібернетики, ауд. 40 (тел. 259-04-24, факс

259-70-44, e-mail: rada@unicyb.kiev.ua).

З дисертацією можна ознайомитися у Науковій бібліотеці Київського

національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 01033,

м. Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий “ 19 “ серпня 2003 р.

Учений секретар спеціалізованої вченої ради В.П. Шевченко

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Системний аналіз та оптимізація процесів обробки інформації в інформаційно-обчислювальних системах та мережах, мережах зв’язку вимагає побудови нових математичних методів. Серед них значне місце займають методи, що грунтуються на теорії випадкових процесів. Розвитку цієї тематики були присвячені роботи Б.В. Гнеденка, І.М. Коваленка, О.К. Закусила, М.С. Братійчука, М.В. Бурлакова, М.Ю. Кузнєцова, Т.П. Марьяновича, В.В. Мови, Л.О. Пономаренка, О.Д. Соловйова, А.А. Назарова, В.В. Рикова, О.В. Печінкіна, С.Ф. Яшкова, Л. Клейнрока, Р.В. Конвея, В.Л. Максвелла, Т. Саати. Ускладнення процесів обробки інформації привело до появи стохастичних моделей мережевої структури. Перші результати для таких моделей були отримані в роботах Дж. Джексона, в яких було введено поняття експоненціальної стохастичної мережі. Характерними особливостями стохастичних мереж є багатовимірність процесу обробки інформації, збалансованість інтенсивностей інформаційних потоків між вузлами мережі, мультиплікативна форма стаціонарного розподілу. Результати Дж. Джексона, розвинуті в роботах Р.Л. Добрушина, Г.П. Башарина, П.П. Бочарова, В.А. Івницького, Г.І. Фаліна, О.М. Дудіна, Ю.В. Малинковського, В.І. Кліменок, Ю.М. Сухова, М.Я. Кельберта, В. Гордона, Г. Ньюелла, Ф. Баскета, К. Чанді, Д. Мартіна, Ф. Келлі, Дж. Уолренда, лягли в основу теорії мультиплікативних стохастичних мереж.

На розвиток цієї теорії значний вплив мали роботи І.І. Гіхмана, А.В. Скорохода, Ю.В. Прохорова та О.О. Боровкова, в яких був розвинутий метод дифузійної апроксимації. На основі цього підходу процеси обробки інформації наближаються в рівномірній топології багатовимірними процесами дифузії, що дозволяє будувати апроксимативні формули для широкого класу задач. Методом дифузійної апроксимації складні стохастичні моделі вивчалися в роботах В.С. Королюка, В.В. Анісімова, М.М. Савчука, Я.А. Когана, Р.Ш. Ліпцера, В. Вітта, Д. Іглехарта, Дж. Харрісона, М. Реймана та інш.

Випадкові процеси, що описують роботу багатоканальних стохастичних мереж, мають велику розмірність і складну структуру. Тому при їх дослідженні актуальним є підхід, що базується на асимптотичному укрупненні фазового простору. Вперше проблема укрупнення фазового простору складних стохастичних систем була розглянута В.С. Королюком. У подальшому розв’язком задач фазового укрупнення займалось багато авторів, серед яких слід виділити роботи В.В. Анісімова і А.Ф. Турбіна. Для стохастичних мереж ця проблема має нові аспекти, які обумовлені особливим способом побудови випадкових процесів обробки інформації.

Мережі, що розглядаються в даній дисертації, розвивають класичні багатоканальні системи мережевої структури тим, що керуючі послідовності для процесу надходження і обробки інформації мають довільний розподіл. Це дозволяє поглибити аналіз проблем створення та експлуатації інформаційно-обчислювальних систем та мереж, мобільних мереж зв’язку, автоматизованих систем керування складними технологічними процесами. Задачі, що виникають при аналізі таких мереж, виходять за рамки традиційної теорії мультиплікативних мереж і вимагають нового системного підходу до аналізу процесів обробки інформації, розробці якого і присвячена дана дисертація.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота є складовою частиною наукових робіт, які ведуться на кафедрі прикладної статистики та лабораторії ймовірносно-статистичних методів факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка (бюджетні теми № 97064, № 97549), а також пов’язана з темами, що виконувались за грандами уряду України і наукового міжнародного фонду (K - 3 W 100) та INTAS - проекту № 96-0828.

Мета і задачі дослідження. Основною метою дисертації є розробка системних методів асимптотичного аналізу багатоканальних стохастичних мереж, які у сукупності є ефективними у широкому діапазоні змінювання керуючих параметрів мереж.

Сформульована мета обумовлює наступні взаємопов’язані задачі досліджень:

- дослідження функціональних залежностей в перехідному режимі для генератрис, побудованих за багатовимірним процесом обробки інформації;

- пошук умов існування стаціонарного режиму для багатоканальних мереж загального типу;

- вивчення асимптотичних властивостей біномних моментів та генератрис послідовності біномних моментів;

- побудова апроксимативного дифузійного процесу для багатоканальних мереж та обгрунтування апроксимації;

- вивчення умов збіжності багатовимірного процесу обробки інформації до процесів гауссовського типу;

- розробка методів асимптотичного укрупнення множини вузлів обробки інформації для багатоканальних мереж;

- пошук керуючих параметрів мережі для оптимізації функціоналів якості її роботи.

Наукова новизна одержаних результатів. Побудована теорія асимптотичного аналізу багатоканальних стохастичних мереж, в рамках якої отримані такі нові результати:

- вперше систематично дослідженні багатоканальні мережі з керованими вхідними потоками та встановлені умови існування стаціонарного режиму таких моделей;

- запропоновано багатовимірні біномні моменти як засіб аналізу структури стаціонарного розподілу та отримані нові асимптотичні властивості цих характеристик;

- доведені загальні функціональні граничні теореми типу дифузійної апроксимації для стохастичних мереж з експоненціально розподіленим часом обробки пакетів у вузлах мережі;

- вперше знайдені асимптотичні властивості стаціонарного розподілу для керованих мереж напівмарковського типу, що функціонують у перевантаженому режимі;

- встановлені загальні умови близькості у рівномірній топології процесу обробки пакетів з багатовимірним процесом Орнштейна-Уленбека;

- побудовано апроксимативний немарковський гауссовський процес, який є узагальненням процесу дифузії і поширює апроксимацію процесу обробки інформації в умовах накопичення післядії;

- вперше встановлені умови асимптотичного укрупнення множини вузлів у багатоканальних мережах та доведені функціональні граничні теореми для процесу обробки пакетів при критичному навантаженні;

- побудовані оригінальні алгоритми рекурентного типу для характеристик багатоканальних мереж у стаціонарному режимі;

- вперше запропоновані алгоритми типу матричного прогону для розрахунку багатоканальних мереж з відмовами;

- поставлені і розв’язані оптимізаційні задачі пошуку структури вхідного потоку для керованих стохастичних мереж, що забезпечує максимальний прибуток і мінімізує ризик.

Таким чином в дисертаційній роботі реалізований системний підхід до аналізу та оптимізації багатоканальних мереж загального типу. Клас мереж, що розглядається, надає нові можливості при моделюванні такі, як урахування взаємозалежності вхідних потоків і дослідження способів управління їх інтенсивностями, знімати обмеження на розподіл часу обробки у вузлах мережі. Складність процесів обробки інформації викликала необхідність створення нових системних методів асимптотичного аналізу таких моделей, які у сукупності дозволяють отримувати характеристики ефективності функціонування багатоканальних мереж, розв’язувати задачі управління інформаційними потоками та оптимізації структурних параметрів моделі.

Практичне значення одержаних результатів. Теорія асимптотичного аналізу багатоканальних стохастичних мереж, яка побудована в дисертаційній роботі, надає можливість розв’язувати практичні задачі при управлінні ресурсами інформаційно-обчислювальних систем, мереж передачі даних, стільникового зв’язку, цифрових мереж інтегрального типу. Розвинуті в дисертації методи дозволяють робити порівняльний аналіз варіантів організації і розвитку реально діючих стохастичних мереж, впливати на вибір їх оптимальної структури і параметрів функціонування.

Методичні та теоретичні результати дисертаційної роботи були застосовані в нормативному курсі по теорії імовірностей та математичної статистики, спеціальних курсах по теорії стохастичних мереж, які читаються студентам факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Особистий внесок здобувача. Всі результати, які складають суть дисертаційної роботи, отримані здобувачем самостійно. З робіт, виконаних із співавторами, на захист виносяться лише результати, одержані особисто здобувачем.

Апробація результатів дисертації. Основні результати роботи доповідались у провідних наукових установах України, Росії, Білорусії, Голандії, Іспанії: на семінарах Київського національного університету, Львівського національного університету, Національного технічного університету України “Київський політехнічний інститут”, Інституту математики НАН України, Інституту кібернетики НАН України, Інституту прикладного системного аналізу НАН України, на Білоруських зимових школах-семінарах (Гродно, 1985 р., 1991 р., 1996 р.; Мінськ 1994 р., 1995 р., 1997-1999 р.), на Всесоюзних конференціях з теорії ймовірностей та математичної статистики (Вільнюс, 1985 р., 1989 р., 1993 р.), на міжнародних конференціях “Retrial Queues” (Madrid, 1998; Minsk, 1999; Amsterdam, 2000), на скандінавсько-українських конференціях з теорії імовірностей та математичної статистики (Umea, 1997; Kyiv, 1999), на міжнародному симпозіумі “Semi-Markov Models: Theory and Applications” (Compiegne, 1998), на міжнародному симпозіумі “Applied stochastic models and data analysis” (Compiegne, 2001), на міжнародному конгресі “Industrial and Applied Mathematics” (Hamburg, 1995), на Всесвітніх конгресах товариства математичної статистики та теорії імовірностей ім. Бернуллі (Ташкент, 1986 р.; Відень, 1996 р.), на Українському математичному конгресі (Київ, 2001), на міжнародній конференції пам’яті Б.В. Гнеденко (Київ, 2002).

Публікації. Результати дисертації опубліковані в одній монографії, 44 статтях у наукових журналах і збірниках наукових праць, 9 тезах конференцій; з них 24 статті опубліковані у фахових виданнях, затверджених ВАК України, серед яких 9 одноосібних праць.

Структура і обсяг роботи. Дисертаційна робота складається з переліку умовних позначень, вступу, п’яти розділів (23 підрозділів), висновків, списку використаних джерел (191 найменування на 18 с.). Загальний обсяг дисертації становить 294 с., основний зміст викладено на 276 с.

ВИСНОВКИ

Побудована в дисертаційній роботі теорія асимптотичного аналізу багатоканальних стохастичних мереж дає можливість отримувати розрахункові формули і ефективні алгоритми рекурентного типу для основних характеристик функціонування стохастичних мереж у перехідному та стаціонарному режимах, будувати апроксимативні дифузійні та гауссовські процеси для мереж при критичному навантаженні, знаходити інтегральні характеристики в умовах асимптотичного укрупнення множини вузлів, розв’язувати оптимізаційні задачі.

Основними науковими результатами дисертації є такі:

1. Розроблено новий метод побудови генератриси процесу обробки пакетів у стаціонарному режимі через генератриси перехідного режиму, який дозволяє знайти умови існування стаціонарного режиму і будувати розрахункові алгоритми для характеристик роботи мережі.

2. Визначені і досліджені багатовимірні біномні моменти для процесу обробки пакетів, які використані як інструмент при дослідженні структури стаціонарного розподілу. Цей засіб дозволив отримувати нові властивості стаціонарних імовірностей для немарковських мереж з керованими потоками.

3. Розвинуто локальний підхід при доведенні граничних теорем типу дифузійної апроксимації для багатоканальних мереж з структурованим вхідним потоком.

4. Вперше побудовані апроксимативні гауссовські процеси для мереж з вхідним потоком загального типу та досліджені їх властивості. Доведені функціональні граничні теореми, які обгрунтовують апроксимацію і дозволяють будувати апроксимативні формули для широкого класу моделей.

5. Вперше досліджені асимптотичні властивості стаціонарного розподілу для багатоканальних мереж напівмарковського типу з керованими вхідними потоками. Доведені результати типу закону великих чисел і центральної граничної теореми для стаціонарного розподілу при критичному навантаженні в мережі.

6. Побудовані апроксимативні дифузійні процеси Орнштейна-Уленбека для перевантаженого стаціонарного режиму функціонування багатоканальних мереж. У випадку керованих вхідних потоків вектор переносу і матриця дифузії граничного процесу виписані через параметри моделі, що дозволяє будувати апроксимативні характеристики стаціонарного розподілу.

7. Знайдені умови пониження розмірності фазового простору для процесу обробки пакетів у схемі асимптотичного укрупнення множини вузлів, що дає можливість оптимального управління в стохастичних мережах на основі інтегрованих показників.

8. Побудовані нові розрахункові формули та оригінальні алгоритми для функціоналів якості роботи широкого класу багатоканальних мереж, які можуть бути використані в процесі розв’язку задач оптимального управління інформаційними потоками і параметрами мережі.

Результати дисертації можуть знайти застосування до розв’язку практичних задач, пов’язаних із створенням та експлуатацією інформаційно-обчислювальних систем і мереж, мереж мобільного зв’язку, автоматизованих систем керування технологічними процесами, в яких зовнішні інформаційні потоки мають складну структуру, можуть бути взаємозалежними і керованими випадковими процесами.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Лебедев Е.А. Сходимость функционалов от ветвящихся процессов с иммиграцией // Доповіді НАН України. - 1985. - № 8. - С. 58-61.

2. Лебедев Е.А., Чечельницкий А.А. Диффузионная аппроксимация стохастической сети массового обслуживания открытого типа // Вестник Киевского университета. Моделирование и оптимизация сложных систем. - 1987. - Вып. 6. - С. 44-48.

3. Лебедев Е.А. Чечельницкий А.А. Дифузійна апроксимація мережі обслуговування з напівмарковським вхідним потоком // Доповіді НАН України. - 1989. - № 12. - С. 12-14.

4. Лебедев Е.А., Чечельницкий А.А. Диффузионная аппроксимация сетей массового обслуживания открытого типа // Украинский математический журнал. - 1989. - Т. 41, № 1. - С. 103-108.

5. Лебедев Е.А., Чечельницкий А.А. Диффузионная аппроксимация сети обслуживания с полумарковским входным потоком // Кибернетика. - 1991. - № 2. - С. 100-103.

6. Лебедев Е.А., Анисимов В.В. Стохастические сети обслуживания. Марковские модели. - К.: Либідь, 1992. - 208 с.

7. Лебедев Е.А., Чечельницкий А.А. Одна гранична теорема для мереж типу // Доповіді НАН України. - 1993. - № 10. - С. 31-33.

8. Лебедев Е.А., Пономарчук О.И. Про одне узагальнення формул Ерланга // Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. - 1993.- № 3. - С. 162 - 166.

9. Лебедев Е.А., Пономарчук О.И. Об одном типе систем с отказами // Кибернетика и системный анализ. - 1996. - № 4. - С. 129-133.

10. Лебедев Е.А., Пономарчук О.И. О системе с потерями и объединением обслуживающих приборов // Кибернетика и системный анализ. - 1997. -№ 5. - С. 176-179.

11. Лебедев Е.А. Об аппроксимации распределения Стьюдента в равномерной метрике // Доповіді НАН України. - 1997. - № 6. - С. 30-33.

12. Лебедев Е.А., Зверев В.П. Марковская модель соты транкинковой системы радиосвязи // Доповіді НАН України. - 1997. - № 10. - С. 30-31.

13. Лебедев Е.А., Зверев В.П. Математическая модель функционирования автоматизированной системы радиосвязи с конкурирующими потоками // Автоматика и вычислительная техника. - 1997. - № 1. - С. 65-70.

14. Лебедев Е.А., Шмигевский Н.В. О стационарном распределении управляемых сетей типа // Доповіді НАН України. - 1998. - № 2. - С. 120-123.

15. Lebedev E.A., Ponomarchuk O.I. On queuing systems with failures and several types of input flows // Sociedad de Estadistica e Investigacion Operativa Top. - 1999. - Vol. 7, No 2. - P. 323 - 332.

16. Лебедев Е.А., Шмигевский Н.В. Про дифузійну апроксимацію перехідного режиму в мережах Джексона // Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. - 2000. - № 4. - С. 228 - 237.

17. Lebedev E.A. On a stationary distribution for the - networks // Доповіді НАН України. - 2000. - № 11. - С. 42-47.

18. Лебедев Е.А., Шмигевский Н.В. Сети обслуживания с многоканальными узлами в случайной среде // Кибернетика и системный анализ. - 2000. - № 1. - С. 167-172.

19. Lebedev E.A. On extended Erlang’s model of tranking communication system // Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. - 2001. - № 1. - С. 241 - 244.

20. Лебєдєв Є.О. Про марковську властивість багатовимірних гауссовських процесів // Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. - 2001. - № 4. - С. 287 - 291.

21. Лебедев Е.А., Шмигевский Н.В. О гауссовой аппроксимации многоканальных сетей // Доповіді НАН України. - 2001. - № 12. - С. 22-25.

22. Лебедев Е.А. Сети обслуживания с многоканальными узлами и рекуррентным входным потоком // Кибернетика и системный анализ. - 2001. - № 4. - С. 133-141.

23. Лебєдєв Є.О. Властивості стаціонарного розподілу в - мережах при критичному навантаженні // Журнал обчислювальної та прикладної математики. - 2002. - № 1 (87). - С. 37-44.

24. Lebedev E.A. On the first passage time of removing level for retrial queues // Доповіді НАН України. - 2002. - № 3. - С. 47-50.

25. Лебедев Е.А. Стаціонарний режим та біномні моменти для мереж типу // Украинский математический журнал. - 2002. - Т. 54, № 10. - С. 1371-1380.

26. Lebedev E.A. On the first passage moment of removing level for retrial queues // Proceedings of the Third International Workshop on Retrial Queues. - 2000. - Amsterdam, Netherlands. - P. 7-9.

27. Lebedev E.A. Multi-Channel Networks with Semi-Markov Input // Proceedings of the X-th International Symposium on “Applied stochastic models and data analysis”. - 2001. - Compiegne, France. - Vol. 2. - P 667-672.

28. Lebedev E.A., Shmygevskyy M.V. Multi-channel networks in heavy traffic // Тези Доповідей Українського Математичного Конгресу, Секція 9: Теорія ймовірностей і математична статистика. - 2001 - Київ. - C. 21.

Основні результати дисертаційної роботи одержані особисто автором. У спільно виконаних роботах член-кор. НАН України, проф. Анісімову В.В. належать результати по дифузійній апроксимації, отримані на основі рекурентного підходу [6]; Чечельницькому О.А. та Шмигевському М.В. у [2-5,7,14,16,18,21,28] - проведення обчислювань та аналіз чисельних результатів; Пономарчуку О.І. та Звєрєву В.П. у [8-10,13,15] - перевірка адекватності побудованої математичної моделі реально діючим системам мобільного зв’язку.

ЛЕБЄДЄВ Є.О. Асимптотичний анализ багатоканальних стохастичних мереж. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.04 - системний аналіз і теорія оптимальних рішень. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2003.

Розроблена загальна теорія асимптотичного аналізу багатоканальних стохастичних мереж, яка містить результати по дослідженню перехідного та стаціонарного режиму функціонування мереж, дифузійній та гауссовській апроксимації процесу обробки інформації при критичному навантаженні, асимптотичному укрупненню множини вузлів. Для процесу обробки інформації побудовані апроксимативні дифузійні та гауссовські немарковські процеси, характеристики яких подані через параметри мережі. Запропонована методика асимптотичного аналізу дозволяє досліджувати немарковські мережі з керованим джерелом пакетів, а також залежними вхідними потоками. Розроблені ефективні алгоритми розрахунку характеристик багатовимірного процесу обробки пакетів та розв’язку задач оптимізації структури вхідних потоків.

Ключові слова: багатоканальна мережа, стаціонарний режим, дифузійна та гауссовська апроксимація, асимптотичне укрупнення, оптимізація.

ЛЕБЕДЕВ Е.А. Асимптотический анализ многоканальных стохастических сетей. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.05.04 - системный анализ и теория оптимальных решений. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2003.

Цель работы - разработка общей методики асимптотического анализа многоканальных стохастических сетей, которая позволяет изучать условия существования стационарного режима и находить основные характеристики стационарного распределения, строить аппроксимативные диффузионные и гауссовские процессы для многомерного процесса обработки информации, укрупнять множество узлов обработки информации и понижать размерность фазового пространства для процесса обработки, решать задачи оптимизации структуры сети. Объект исследования - стохастическая сеть, которая состоит из конечного числа многоканальных систем обработки информации. Коммутация пакетов в сети осуществляется на основании марковского случайного блуждания, которое задается матрицей маршрутизации. Внешний источник пакетов управляется полумарковским процессом с конечным множеством состояний. Частным случаем таких моделей являются многоканальные сети с рекуррентным входным потоком, сети с периодически изменяющейся интенсивностью внешних потоков, а также многоканальные системы обработки информации, функционирующие в случайной среде. При критической нагрузке в сети на структуру входного потока не накладывается никаких ограничений. Главной предпосылкой для диффузионной и гауссовской аппроксимации является выполнение условий функциональной центральной предельной теоремы для многомерного входного потока.

Основные результаты. Для многомерного процесса обработки информации в стохастических сетях типа найдены условия существования стационарного режима и для производящей функции стационарного распределения получено представление с использованием характеристик переходного режима. Как эффективный инструмент исследования структуры стационарного распределения предложены многомерные биномиальные моменты. Изучены их свойства в переходном и стационарном режимах, а также предложен общий алгоритм рекуррентного типа последовательного построения биномиальных моментов любого порядка. Показано, что для стохастических сетей с рекуррентным входным потоком применение общего метода позволяет строить стационарное распределение через управляющие функции распределения и спектральные характеристики матрицы маршрутизации. В терминах спектральных характеристик для сетей типа найдены условия некоррелируемости компонент стационарного распределения. В классе многоканальных сетей этот результат обобщает свойство мультипликативности, доказанное Дж. Джексоном для марковских моделей. В случае многоканальных систем с периодическим рекуррентным входным потоком методом биномиальных моментов получен явный вид производящей функции стационарного распределения. По форме этот результат является матричным аналогом известной формулы Л. Такача.

Многоканальные сети типа при критической нагрузке изучены методом диффузионной аппроксимации. Для нормированного процесса обработки пакетов доказаны предельные теоремы о сходимости к процессу диффузии, вектор переноса и матрица диффузии которого выписаны через параметры сети. Изучен также вопрос о сходимости функционалов, непрерывных в равномерной метрике. Вид диффузии зависит от режима функционирования сети. В работе рассмотрены переходной, квазистационарный и стационарный режимы функционирования. Получено разложение предельного диффузионного процесса на сумму независимых гауссовских компонент, каждая из которых отражает особенности процесса обработки информации. Для многоканальных сетей с произвольным временем обработки пакетов построен аппроксимативный немарковский гауссовский процесс и доказана функциональная предельная теорема, обосновывающая аппроксимацию. Корреляционные матрицы предельного процесса представлены в явном виде. Показано, что для перегруженных сетей типа возможность укрупнения множества узлов связана с асимптотическим разложением матрицы маршрутизации на блочно-диагональную компоненту и возмущение. Отдельный блок является неразложимой стохастической матрицей и отвечает классу укрупняемых узлов сети. Найдены условия, которые обеспечивают сходимость в равномерной метрике нормированного процесса обработки пакетов в укрупненной сети к процессам диффузии и немарковскому гауссовскому процессу.

Для многоканальных стохастических сетей и сетей с отказами, которые моделируют работу систем мобильной связи, решены задачи поиска оптимальной структуры входного потока, которая обеспечивает максимальную прибыль и минимизирует риск.

Ключевые слова: многоканальная сеть, стационарный режим, диффузионная и гауссовская аппроксимация, асимптотическое укрупнение, оптимизация.

LEBEDEV E. A. Asymptotic analysis of multi-channel stochastic networks. - Manuscript.

Thesis for a doctor’s degree of physics and mathematics by speciality 01.05.04 - systems analysis and theory of optimal decision. Kyiv Taras Shevchenko national university, Kyiv, 2003.

The general theory of the asymptotic analysis of multi-channel stochastic networks is developed. The theory contains results on a research of a transitional and stationary regime of networks operation, diffusion and Gaussian approximation of the information processing in heavy traffic, asymptotic enlargement of a set of nodes. An approximate diffusion and Gaussian non-Markov processes for the information processing are constructed, their characteristics are represented via parameters of a network. The offered technique of the asymptotic analysis allows to investigate non-Markov networks with a controlled sources of the packets, and also with dependent inputs. The effective calculation algorithms for characteristics of many-dimensional processes of packet handling and structure optimization problems of entering process are developed.

Key words: a multi-channel network, stationary regime, diffusion and Gaussian approximation, asymptotic enlargement, optimization.