НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

НАУКОВО-ТЕХНОЛОГІЧНИЙ КОНЦЕРН “ІНСТИТУТ МОНОКРИСТАЛІВ”

ІНСТИТУТ МОНОКРИСТАЛІВ

Василевська Юлія Володимирівна

УДК 530.145

ТОЧНО РОЗВ'ЯЗУВАНІ КВАНТОВІ ПОТЕНЦІАЛЬНІ МОДЕЛІ

СПІНОВОГО ТА СОЛІТОННОГО ПОХОДЖЕННЯ

01.04.02 - Теоретична фізика

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Харків - 1998

Дисертація є рукописом.

Робота виконана у Харківському державному університеті.

Науковий керівник: доктор фіз.-мат. наук, професор

Ульянов Володимир Володимирович, професор кафедри теоретичної фізики Харківського державного університету.

Офіційні опоненти: член-кореспондент НАН України,

доктор фізико-математичних наук,

професор Сльозов Віталій Валентинович,

зав. відділом Інституту теоретичної фізики

ННЦ “Харківський фізико-технічний

інститут”;

доктор фіз.-мат. наук , старший науковий

співробітник Звягін Андрій Анатолійович,

провідний науковий співробітник Фізико-

технічного інституту низьких температур НАН

України.

Провідна установа: Інститут радіофізики і електроніки ім. О. Я. Усикова НАН України (м. Харків), відділ теорії твердого тіла.

Захист відбудеться " 7 липня 1999 р. о 14-00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64. 169. 01 в Інституті монокристалів НТК “Інститут монокристалів” НАН України (310001, Харків, проспект Леніна, 60).

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Інституту монокристалів НТК “Інститут монокристалів” НАН України.

Автореферат розіслано " 2 " червня 1999 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради,

кандидат технічних наук Атрощенко Л. В

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми та ступінь дослідження тематики дисертації. Проблема точних розв'язків рівняння Шредінгера (РШ) для стаціонарних станів частинки в потенціальному полі постійно привертає увагу спеціалістів. Точно розв'язувані задачі є основою ілюстрацій теорії стаціонарних станів у квантовій механіці [1]. Крім того, вони утворюють фундамент для постановки нових задач, важливі як база наближених методів. Взагалі, множина таких розв'язків утворює важливий фонд квантової механіки, який використовується при вивченні складних явищ та перевірці нових теорій, а також має самостійне значення.

Розглянуті у даній роботі джерела точних розв'язків - спіновий та солітонний - безпосередньо зв'язані з конкретними фізичними задачами. Вивчення їх, таким чином, корисно як для квантової механіки - виявляється ціла сім'я потенціалів, для яких РШ має точні розв'язки, - так і для дослідження фізичних властивостей цих систем.

Питання про точні розв'язки РШ викликає цікавість дослідників вже давно. Точно розв'язувані моделі потенціалів РШ з простими явними виразами для рівнів енергії та хвильових функцій стаціонарних станів добре відомі - це гармонічний осцилятор, кулонівське поле, потенціали Морса, Еккарта, Пешля-Теллера, нескінченна прямокутна яма, дельта-яма [1].

Нові класи точних розв'язків були знайдені у зв'язку з розробкою нових методів у теорії спінових систем [3]. Для спінових систем у залежності від вибору спінового параметра, значень магнітного поля і констант магнітної анізотропії існують різноманітні профілі ефективних потенціалів та є прості формули для енергетичного спектра і відповідних хвильових функцій.

Відкриття цілого класу нових простих точно розв'язуваних моделей зв'язано також з розвитком теорії солітонів [2]. Особливість таких солітонних точних розв'язків у тому, що рівні енергії є фіксованими, оскільки вони є інтегралами руху нелінійного еволюційного рівняння Кортевега-де Фріза (КдФ), а стани неперервного спектра відповідають повній прозорості при розсіянні частинок.

Дуже важливо мати такий комплекс точних розв'язків для методичних ілюстрацій, а також як базу перевірки наближених методів. З'являється наочний спосіб демонстрації структури спектра у випадку потенціалів з екстремумами високого порядку, попадання рівнів в критичний діапазон енергій поблизу максимумів потенціала, а також квантових ефектів типу тунельного розщеплення і т. і.

Знаходженню нових точних розв'язків РШ спінового походження, вивченню фізичних властивостей спінових систем типу анізотропних парамагнетиків, а також дослідженню точних розв'язків солітоноподібних потенціалів і присвячена дисертацiйна робота.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана на кафедрі теоретичної фізики фізичного факультету Харківського держуніверситету в рамках тем Державного комітету України з питань науки і технологій N 0197U002478 (1997 р.) “Елементарнi серiї збуджень надпровiдних, нормальних та спiнових низьковимiрних систем у магнiтному полi” та N 0194U12801 (1994 р.) “Розвиток та застосування нових методiв теоретичного дослiдження спiнових систем”.

Мета роботи і основні задачі дослідження. Мета дисертаційної роботи - знаходження та застосування нових класів точних розв'язків РШ з простими явними аналітичними виразами для потенціальних полів, рівнів енергії та хвильових функцій стаціонарних станів. Для досягнення цієї мети було поставлено наступні задачі.

1. Отримати нові точні розв'язки РШ за допомогою концепції спін-координатної відповідності, яка дозволяє звести задачу про розв'язок одновимірного РШ з деякими ефективними потенціалами до задачі про знаходження власних значень гамільтоніана відповідної спінової системи.

2. Розробити метод обчислення рівнів енергії ангармонічних осциляторів за допомогою знайдених точних розв'язків для спінових ефективних потенціалів.

3. Вивчити низькотемпературні фізичні властивості анізотропних парамагнетиків у магнітному полі (енергетичний спектр, намагніченість, сприйнятливість).

4. Розглянути потенціали солітонного походження: вивести формули для хвильових функцій зв'язаних стаціонарних станів, вивчити вплив різних параметрів на форму багаторівневих потенціалів, знайти характерні профілі таких потенціальних моделей, порівняти ці потенціали з відповідними моделями спінової природи.

Наукова новизна одержаних результатів. При виконанні дисертаційної роботи було вперше отримано наступні нові наукові результати:

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

Практичне значення одержаних результатів. Важливість точних розв'язків розглянутого типу в тому, що, по-перше, це основа стаціонарних станів у квантовій механіці, по-друге, точні розв'язки є фундаментом нових задач. Точні розв'язки використовуються також як база наближених методів. Перевірка нових теорій звичайно здійснюється за допомогою відомих окремих випадків точно розв'язуваних задач. Нарешті, точно розв'язувані задачі служать як тестові приклади при застосуванні чисельних методів.

Результати, які відносяться до спінових точних розв'язків, вже знайшли застосування в рамках самої дисертаційної роботи при вивченні низькотемпературних властивостей анізотропних парамагнетиків у залежності від магнітного поля та температури в квантовій теорії спінових систем.

Особистий внесок здобувача. Здобувачу належить наступне: розрахунки енергетичних рівнів та хвильових функцій стаціонарних станів для точних розв'язків спінових моделей ефективних потенціалів; вивчення поведінки магнітної сприйнятливості анізотропних парамагнетиків у залежності від магнітного поля та температури; метод обчислення рівнів енергії анізотропних осциляторів; дослідження загальних особливостей багатопараметричних солітонних потенціалів; вивчення симетричних та несиметричних солітонних профілів; дослідження впливу фазових величин на симетрію багаторівневих солітонних потенціалів; розрахунки хвильових функцій для стаціонарних станів у таких моделях; комп'ютерне моделювання потенціальних моделей солітонної природи та комп'ютерні експерименти по вивченню фізичних властивостей анізотропних парамагнетиків у магнітному полі.

Здобувачка приймала участь в обговоренні постановки задач та результатів досліджень, доповідала основні результати роботи на конференціях та семінарах.

Апробація результатів роботи. Матеріали дисертації доповідалися на таких міжнародних конференціях:

15th General Conference of the Condensed Matter Division of EPS, Baveno-Stresa (Italy), 22-25 April 1996;

International Conference on Magnetism, Cairns, (Australia), 27 July - 1 August 1997;

16th General Conference of the EPS-Condensed Matter Division, Leuven (Belgium), 25-28 August 1997;

III Міжнародній конференції "Фізичні явища у твердих тілах" (до 80-річчя академіка І.М.Ліфшиця), Харків, 1997;

20th IUPAP International Conference on Statystical Physics, Paris (France), 20-24 July 1998,

а також на інших конференціях і семінарах в ХДУ.

Публікації. Основний зміст дисертації був опублікований у 18 роботах, включаючи 6 статей у наукових журналах.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається з вступу, трьох розділів основного тексту з ілюстраціями, висновків і списку використаних джерел. Вона містить 129 сторінок , враховуючи 10 рисунків, бібліографію з 85 назв та 2 додатки.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовується актуальність теми дослідження, сформульовані мета роботи та основні положення, які виносяться на захист. Наведено перелік опублікованих праць та конференцій, на яких доповідалися результати дисертації.

Перший розділ “Проблема точних розв'язків рівняння Шредінгера” містить огляд найбільш відомих простих точно розв'язуваних моделей потенціалів з метою їх зіставлення в подальшому з розглянутими в дисертації моделями нового типу.

Обговорюються методи знаходження точних розв'язків РШ для стаціонарних станів частинки в потенціальному полі. Особлива увага приділяється двом напрямкам.

Перший напрямок зв'язаний з розробкою нових методів у теорії спінових систем, завдяки чому було знайдено цілий клас нових точно розв'язуваних моделей. Інший напрямок пов'язаний з розвитком теорії солітонів, оскільки в ситуації оберненої задачі розсіяння солітонні формування грають роль потенціальних полів у стаціонарному РШ для деякої квантової частинки. Надзвичайно важливо, що це дозволяє знайти нові типи точних розв'язків РШ.

Обговорюється також загальне теоретичне та практичне значення точно розв'язуваних моделей.

У другому розділі "Точно розв'язувані моделі потенціалів спінової природи", який є центральним, розглянуто потенціальні спінові моделі та знайдено явні вирази для рівнів енергії та хвильових функцій стаціонарних станів для ефективних спінових потенціалів.

У першому підрозділі цього розділу описується метод ефективних потенціалів для спінових систем, а також наведено ряд прикладів потенціальних моделей, які можна отримати при використанні цього методу.

Спінові системи зустрічаються в різних областях фізики, наприклад, у теорії магнетизму, надпровідності, ядерній фізиці і т. і. Метод потенціального поля має два аспекти для опису спінових систем. З одного боку, метод може бути ефективним при вивченні фізичних властивостей спінових систем, наприклад, поведінки магнітної сприйнятливості в суттєво квантовій області, спінового тунельного ефекту. З другого боку, відповідність між спіновими та координатними системами приводить до відкриття нових класів точних розв'язків РШ.

При розв'язанні задачі про знаходження власних значень гамільтоніана подібних спінових систем з'ясовується [1], що енергетичний спектр збігається з першими рівнями енергії частинки, яка рухається в потенціальному полі певного вигляду ( - спін). Для координатної системи, таким чином, знаходиться новий клас точних розв'язків РШ. При цьому особливий інтерес викликають такі випадки, коли спін є не дуже великим, так що характеристичні рівняння в спіновому зображенні мають прості явні розв'язки.

Кількість точних розв'язків у розглядуваних моделях виявляється обмеженою. Такі моделі отримали назву "квазіточнорозв'язуваних". При цьому точно розв'язувані стаціонарні стани (мультиплет рівнів енергії) розташовані в нижній частині енергетичного спектра, починаючи з основного стану, а решта стаціонарних станів ("понадспінові") не мають точних розв'язків.

Спочатку розглянуто один з найбільш простих спін-гамільтоніанів, який відповідає легковісному парамагнетику в перпендикулярному магнітному полі :

(1)

де - оператори проекцій спіна, - пропорційно напруженості магнітного поля. При розв'язанні задачі про стаціонарні стани такої системи за допомогою спін-координатної відповідності приходимо до стандартного одновимірного РШ для псевдочастинки з квадратичним законом дисперсії (спінона), де ефективне потенціальне поле побудовано з гіперболічних функцій:

, (2)

Рис.1. Форми ефективних потенціалів для деяких спінових систем (S = 2).

де деяка безрозмірна координата. При цьому, як вже було зазначено, власні значення енергії системи (1) збігаються з нижніми рівнями енергії спінона в потенціальному полі (2). На рис.1.а,б,в показано деякі характерні форми такого потенціалу.

Наведено також приклад точно розв'язуваного несиметричного потенціалу, який можна отримати при розгляданні наступного гамільтоніана:

, (3)

описуючого легковісний парамагнетик у похилому відносно осі анізотропії магнітному полі. У цьому випадку ефективний потенціал має такий вигляд (рис.1 г,д,е):

. (4)

Нарешті, є приклад періодичного потенціалу, до якого можна прийти при дослідженні спінової системи з гамільтоніаном наступного вигляду:

, (5)

де та - константи анізотропії. Такий гамільтоніан описує, наприклад, двовісний парамагнетик у магнітному полі , перпендикулярному до осей анізотропії. Відповідний ефективний потенціал

(6)

побудований з еліптичних функцій Якобі з модулем (див. рис. 1 ж,з,и). У цьому випадку власні значення спін-гамільтоніана збігаються з переміжними вищим та нижчим рівнями енергетичних зон у потенціальному полі (6).

У другому підрозділі обчислюються рівні енергії для ефективних потенціалів спінових систем, а також описані методи отримання одержаних формул. Розглядаються наведені вище гамільтоніани та відповідні характеристичні рівняння, для одержання яких використано метод ланцюгового дробу.

Отримано рівні енергії для потенціалу (1), коли Наведемо для прикладу рівні енергії у випадку . Для парних станів їх можна записати за допомогою формул

(7)

Для непарних станів маємо такі самі формули з заміною на .

Потенціал (2) при значенні магнітного поля приймає форму ями з мінімумом четвертого порядку (рис. 1 б). Окремо обчислено рівні енергії та хвильові функції в цьому випадку при . За допомогою цих знайдених точних розв'язків для моделі (2) запропоновано метод розрахунку рівнів енергії ангармонічного осцилятора з потенціалом ~.

Далі для ефективного потенціалу (5) було знайдено формули для рівнів енергії у випадку . Для прикладу наведемо формулу рівнів енергії при :

(8)

Нарешті, для потенціалу (6) знайдено нові вирази для рівнів енергії у випадках Наприклад, для значення спіну для парних рівнів маємо наступні формули:

Для не можна записати явні вирази для рівнів енергії, та в окремих випадках, наприклад , коли , це вдається зробити. Знайдено рівні енергії в цьому випадку для таких значень спіну . Крім цього, одержано ще декілька точних розв'язків для моделі (6), коли , а параметр .

Для спінових точних розв'язків, відповідаючих двовісному парамагнетику у довільно скерованому магнітному полі знайдено рівні енергії для спінів .

У кінці цього підрозділу обговорюється роль знайдених результатів.

У третьому підрозділі обчислено хвильові функції стаціонарних станів для ефективних потенціалів, відповідаючих наведеним вище спіновим системам. Знову таки розглядання починається з найбільш простої моделі (2), яка відповідає гамільтоніану (1). Хвильові функції в цьому випадку приводяться для таких значень спину, при яких існують точні вирази для рівнів енергії. Для прикладу наведемо хвильові функції для :

,

. (10)

Далі вивчено хвильові функції стаціонарних станів, відповідаючих легковісному парамагнетику в похилому магнітному полі, тобто для потенціальної моделі (5). Як і в попередньому розділі для цього випадку обмежуємося такими значеннями спіну . Наприклад, для значення маємо такий вираз:

. (11)

Рис.2. Графіки залежності сприйнятливості легковісного парамагнетика від магнітного поля для всіх парних S від 4 до 20.

У четвертому підрозділі показано, як означений підхід дозволяє вивчити низькотемпературні фізичні властивості анізотропних парамагнетиків. У роботі [4] вперше було застосовано метод спін-координатної відповідності для вивчення фізичних властивостей анізотропного парамагнетика, який відповідає гамільтоніану (1). В тій роботі розглянуто поведінку сприйнятливості для основного стану, тобто при (рис.2). В даному підрозділі розглянуто поведінку сприйнятливості легковісного парамагнетика в поперечному магнітному полі в залежності від температури. Показано, що при низьких температурах сприйнятливість як функція поля має максимум для всіх значень спіну . З'ясувалося, що цей максимум спочатку "загострюється" і збільшується та тільки потім починає розмиватися і щезає при деякій критичній температурі . Крім цього, при не дуже великих значеннях спіну на початковій стадії утворюється двогорбий профіль (рис.3), а при великих значеннях спіну маємо пласку вершину горба.

Означені закономірності можна пояснити будовою енергетичного спектра в області критичної температури, а саме близьким розташуванням перших двох рівнів енергії в порівнянні з наступними. Тому для знаходження сприйнятливості достатьо враховувати внесок двох перших рівнів енергії. Така дворівнева апроксимація добре описує поведінку сприйнятливості в означеній області температур. При цьому використовувались як аналітичні, так і комп'ютерні методи.

Рис.3. Двогорбий профіль сприйнятливості

легковісного парамагнетика (S=3/2, T=0.0028).

Інший цикл досліджень був присвячений вивченню поведінки магнітної сприйнятливості двовісних парамагнетиків. Знайдено, що всі означені вище особливості сприйнятливості зустрічаються і в цих системах. Так, для двовісного парамагнетика у випадку рівних значень констант анізотропії при маємо такий же графік сприйнятливості, який зображено на рис.2.

Останній підрозділ підсумовує отримані результати. Проводиться порівняння нових точних розв'язків із стандартними для добре відомих моделей потенціалів.

У третьому розділі "Точно розв'язувані моделі потенціалів солітонної природи" розглянуто розв'язки РШ з просторово локалізованими потенціальними полями солітонного походження.

У першому підрозділі розглянуто загальні особливості потенціалів солітонної природи. Взаємозв'язок одновимірного стаціонарного РШ та нелінійного еволюційного рівняння КдФ у теорії солітонів [2] приводить до появи потенціальних полів, у яких є прості явні формули для рівнів енергії та хвильових функцій стаціонарних станів у квантовій механіці.

Природно, що основна увага при розробці методу оберненої задачі розсіяння в теорії солітонів була зосереджена на розв'язку задачі Коші, а асоційоване РШ при цьому грало допоміжну роль, так що багато квантовомеханічних особливостей та сам факт появи нових точно розв'язуваних моделей не були спеціально відзначені.

Якщо задати довільно обраних параметрів , то можна побудувати сім'ю просторово локалізованих потенціалів за допомогою компактних формул

(12)

де - символ Кронекера. Позначення є загальноприйнятими в квантовій механіці для зв'язаних стаціонарних станів, а безрозмірні величини - типовими для теорії солітонів.

Величина в потенціалах (12), що має фізичний зміст часу для солітонів, тут є постійним допоміжним параметром, який будемо називати "квазічасом". Якщо "фазові" величини залежать від енергетичних параметрів відповідно формулам

DD

то особливі фазові додатки будуть обумовлювати властивості симетрії моделей (12) та їх можна задавати довільно.

Рис.4. Характерні профілі трирівневих симетричних локалізованих потенціалів.

Для потенціальних енергій (12) стаціонарне РШ має зв'язані стаціонарні стани з рівнями енергії та відповідними нормованими хвильовими функціями , які можна одержати з неоднорідної системи лінійних рівнянь.

У другому підрозділі розглядаються багаторівневі солітонні потенціали. Якщо одно- та дворівневі форми потенціалів (12) відомі відповідними солітонними профілями, то цього не можна сказати вже про трирівневі моделі, коли є чотири незалежні параметри: відношення енергетичних величин, наприклад та , квазічас та один з фазових додатків, наприклад (два інші впливають лише на початок відліку та , так що їх можна вважати рівними нулю). Якщо при цьому та , то маємо симетричні форми потенціалів (рис. 4), тобто парні функції . Дослідження свідчить, що за деякої умови виникають екстремуми 4-го порядку (рис.4 д), є також мінімум 6-го порядку (рис.4 ж). При та (або) одержуємо несиметричні профілі. Аналогічні властивості мають і багаторівневі моделі з . На рис. 4, 5 наведені характерні форми солітонних потенціалів.

Далі, знайдено хвильові функції стаціонарних станів, тоді як у теорії солітонів цьому питанню майже не придиляється увага. Наведемо вирази для хвильових функцій у випадку трирівневого потенціалу:

DDDD,

DDDD, (13)

DDDD,

де DDD.

Для вивчення особливостей потенціалів солітонного типу було проведено також комп'ютерне моделювання впливу різних параметрів на форму моделей (12). Аналітичні результати при цьому перевіряються та суттєво доповнюються у випадках комп'ютерної візуалізації.

Рис.5. Деякі профілі трирівневих

несиметричних потенціальних ям .

Третій підрозділ присвячено спін-солітонній аналогії. Виявилося, що між двома системами - спіновою та солітонною - можна встановити ряд відповідностей. В обох системах ісходним діскретним елементам - спіну і солітону - відповідає асоційоване РШ та неперервне координатне зображення з потенціалами та деяким енергетичним зіставленням. Потенціальні моделі для кожній з цих систем багатопараметричні, мають різноманітні форми, екстремуми високого порядку, симетричні та несиметричні профілі.

Таким чином, кількість потенціалів з простими точними розв'язками в квантовій механіці суттєво збагачується багатопараметричними моделями різного вигляду.

Кажучи про загальну роль точних розв'язків РШ, необхідно насамперед підкреслити, що в квантовій механіці вони є основою головного розділу - теорії стаціонарних станів [1], вивчення фізичних властивостей яких відбувається на конкретних прикладах з точними розв'язками, що використовуються також для ілюстративних вправ; перевірка нових теорій теж звичайно здійснюється на основі точно розв'язуваних задач.

Узагальнюючи, можна сказати, що точні розв'язки РШ, особливо з простими явними аналітичними виразами для потенціалів, рівнів енергії та хвильових функцій стаціонарних станів, утворюють непорушне цінне надбання квантової теорії.

ВИСНОВКИ

В дисертації знайдено нові точні розв'язки для потенціальних моделей, отриманих за допомогою методу спін-координатної відповідності в теорії спінових систем, а також досліджено багатопараметричний клас моделей солітонного походження.

Результати роботи, які відносяться до спінових точних розв'язків, вже знайшли застосування в рамках самої роботи при вивченні фізичних властивостей анізотропних парамагнетиків у квантовій теорії спінових систем, а також при розробці методу обчислення рівнів енергії ангармонічних осциляторів.

В дисертації знайдено додаткові якісно нові точні розв'язки рівняння Шредінгера спінового походження, які містять прості явні аналітичні вирази для потенціалів, рівнів енергії та хвильових функцій стаціонарних станів, що суттєво поповнило клас подібних розв'язків у квантовій теорії.

При дослідженні легковісних парамагнетиків у поперечному магнітному полі показано, що при низьких температурах сприйнятливість як функція магнітного поля має максимум при всіх значеннях спіна. З підвищенням температури цей максимум загострюється, а при деяких умовах профіль сприйнятливості може стати навіть двогорбим. Передбачено аналогічні особливості поведінки сприйнятливості й у випадку двовісних парамагнетиків.

Зв'язок стаціонарного рівняння Шредінгера з нелінійним еволюційним рівнянням Кортевега-де Фріза в теорії солітонів приводить до появи різноманітних локалізованих моделей потенціальних полей, у яких є прості явні аналітичні формули для рівнів енергії та хвильових функцій стаціонарних станів.

Проведені в дисертації дослідження дозволили виявити характерні форми таких багаторівневих потенціалів, вивести формули для відповідних хвильових функцій стаціонарних станів та виявити фазові додатки, які визначають несиметричні профілі таких моделей.

Встановлено, що між двома різними системами - спіновою та солітонною - є багато відповідностей: точні розв'язки є побічним результатом основних досліджень - розробки нових методів у теорії спінових та солітонних систем; початковим дискретним елементам обох систем - спіну і солітону - відповідає асоційоване рівняння Шредінгера та неперервне координатне зображення; для потенціальних моделей характерні багатопараметричність, різноманітність форм, екстремуми високого порядку, симетричні та несиметричні профілі.

В дисертації широко використано комп'ютерні методи дослідження, які дозволяють контролювати аналітичні розрахунки на основі аналітичних перетворювань за допомогою комп'ютерних систем символьної математики, а також у чисельному і графічному вигляді. Аналітичні розрахунки суттєво доповнювались в умовах комп'ютерної візуалізації.

Висновки дисертації дадуть змогу краще розуміти фізичні властивості спінових систем типу анізотропних парамагнетиків у магнітному полі.

СПИСОК ЦИТОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. - M.: Наука, 1989. - 768 c.

2. Теория солитонов. Метод обратной задачи / В.Е.Захаров, С.В.Манаков, С.П.Новиков, Л.П.Питаевский. - M.: Наука, 1980. - 320 c.

3. Ulyanov V.V., Zaslavskii O.B. New methods in the theory of quantum spin systems // Phys. Rep. - 1992. - V. 216, N 4. - P. 179-251.

4. Заславский О.Б., Ульянов В.В., Цукерник В.М. К теории низкотемпературной восприимчивости спиновых систем с магнитной анизотропией // ФНТ. - 1983. - Т. 9, N 5. - C. 511-519.

СПИСОК ОСНОВНИХ ПУБЛІКАЦІЙ ЗДОБУВАЧКИ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Ульянов В.В., Заславский О.Б., Василевская Ю.В. Новые точные решения уравнения Шредингера с потенциалами спинового и солитонного происхождения // ФНТ. - 1997. - Т. 23, N 1. - C. 51-60.

2. Заславский О.Б., Ульянов В.В., Василевская Ю.В. К теории низкотемпературных свойств спиновых систем с магнитной анизотропией // ФНТ. - 1997. - Т. 23, N 12. - С. 1289-1295.

3. Заславский О.Б., Ульянов В.В., Василевская Ю.В. Низкотемпературные свойства одноосных парамагнетиков в наклонном магнитном поле // ФНТ. - 1998 - Т. 24, N 7. - C. 627-634

4. Василевська Ю.В., Ульянов В.В. Точнорозв'язувані моделі потенціалів надпрозорового типу в квантовїй механіці // УФЖ. - 1998. - T. 43, N 3. - C. 363-367.

5. Василевская Ю.В., Ульянов В.В. О точных решениях уравнения Шредингера для потенциалов солитонного происхождения // Изв.вузов. Физика. - 1998. - N 2. - C. 116-117.

6. Василевская Ю.В., Ульянов В.В. Точные решения уравнения Шредингера в случае солитонных моделей потенциальных полей // Вісник ХДУ. Серія "Фізика". - 1998. - N 417, в. 1. - C. 9-13.

7. Василевская Ю.В., Заславский О.Б., Ульянов В.В. О солитонных и спиновых точных решениях уравнения Шредингера // Физические явления в твердых телах. Материалы 2-й конференции, 1-3 февраля 1995 г. - Харьков: ХГУ, 1995. - C. 8.

8. Василевская Ю.В., Ульянов В.В. Компьютерный стенд для исcледования солитон ных потенциальных моделей // Материалы 2-й конференции "Применение персо- нальных компьютеров в научных исследованиях и учебном процессе", Харьков, 23- 24 января 1996 года. - Харьков: ХГУ, 1996. - С. 16.

9. Vasilevskaya J.V., Ulyanov V.V., Zaslavskii O.B. New approach to the quantum theory of the spin systems // 15th General Conference of the Condensed Matter Division of EPS, Baveno-Stresa (Italy), 22-25 April 1996, P. 220.

10. Василевская Ю.В., Ульянов В.В. Моделирование солитонных явлений // Компьютерные программы учебного назначения. Тезисы докладов 3-й Международной конференции (Донецк, 27 - 29 августа 1996 г.). - Донецк: ДонГУ,

1996.- С. 91.

11. Ulyanov V.V., Zaslavskii O.B., Vasilevskaya J.V. Quantum spin systems: new methods and exactly solvable potential models // Proceedings of the III International Conference on Physical Phenomena in Solids (21-23 January 1997, Kharkov, Ukraine), p. 23.

12. Zaslavskii O.B., Ulyanov V.V., Vasilevskaya J.V. On the theory of quasi-exactly solvable models // Proceedings of the III International Conference on Physical Phenomena in Solids (21-23 January 1997, Kharkov, Ukraine), p. 36.

13. Василевская Ю.В., Ульянов В.В., Заславский О.Б. Дополнительные новые точные решения уранения Шредингера для спиновых эффективных потенциалов // Физические явления в твердых телах. Материалы 3-й Международной конференции, 21-23 января 1997 г. - Харьков: ХГУ, 1997. - C. 37.

14. Ульянов В.В., Заславский О.Б., Василевская Ю.В. Спин-солитонная аналогия в квантовых точнорешаемых потенциальных моделях // Физические явления в твердых телах. Материалы 3-й Международной конференции, 21-23 января 1997 г. - Харьков: ХГУ, 1997. - С. 38.

15. Василевська Ю.В., Ульянов В.В. Точнi розв'язки рiвняння Шредiнгера у випадку солiтонних потенцiалiв // Фiзичнi явища в твердих тiлах. Матерiали 3-і Мiжнародної конференцiї, 21-23 сiчня 1997 р. - Харкiв: ХДУ, 1997. - С. 39.

16. Zaslavskii O.B., Vasilevskaya J.V., and Ulyanov V.V. New approach to the theory of magnetic spin systems // International Conference on Magnetism (27 July - 1 August, 1997, Cairns, Australia). Abstracts, Q3-75.

17. Vasilevskaya J.V., Zaslavskii O.B., and Ulyanov V.V. Theoretical Investigation of Quantum Properties of Spin Systems // 16-th General Conference of the EPS-Condensed Matter Division (25-28 August,1997, Leuven, Belgium). Abstracts, p. 110.

18. Vasilevskaya Yu.V., Zaslavskii O.B., and Ulyanov V.V. Physical properties of easy-axis paramagnets in a transverse magnetic field // 20-th Conference of Statystical Physics (20-24 July 1998, Paris, France). Book of Abstracts, Poa01/40.

В дисертації міститься повний список праць за темою роботи (усього 25 найменувань).

АНОТАЦІЇ

Василевська Ю.В. Точно розв'язувані квантовi потенціальні моделі спінового та солітонного походження. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеню кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.02 - теоретична фізика. Інститут монокристалів НАН України, Харків, 1999.

В дисертації отримано нові точні розв'язки рівняння Шредінгера спінового та солітонного походження, що мають прості явні аналітичні вирази для потенціальних полів, рівнів енергії та хвильових функцій стаціонарних станів.

За допомогою методів квантової теорії спінових систем знайдено нові точні розв'язки одновимірного стаціонарного рівняння Шредінгера для деяких моделей ефективних потенціалів. Виведено формули для енергетичного спектра та відповідних хвильових функцій. Проведено цикл досліджень поведінки магнітної сприйнятливості анізотропних парамагнетиків у магнітному полі в залежності від температури. Вивчено особливості точних розв'язків рівняння Шредінгера, які з'явились завдяки методам, розробленим у теорії солітонів. Виведено явні формули для відповідних хвильових функцій стаціонарних станів та обговорюється аналогія між спіновими та солітонними точними розв'язками.

Ключові слова: рівняння Шредінгера, спінова система, точні розв'язки, ефективний потенціал, парамагнетик, сприйнятливість, солітон.

Vasilevskaya J.V. Exactly solvable quantum potential models of spin and soliton origin. - Manuscript.

Thesis for a candidate's degree in physical and mathematical science by speciality 01.04.02 - theoretical physics . Institute for Single Crystals of NAS, Kharkiv, Ukraine, 1999. The new exact solutions of Schrцdinger equation of spin and soliton origin with simple explicit analytical expressions for potential fields, energy levels and wave functions of stationary states are obtained. By using the methods of quantum theory of spin systems new exact solutions of one-dimensional stationary Schrцdinger equation for some effective potentials models are found. The formulae for energy spectrum and corresponding wave functions were determined. The behaviour of magnetic susceptibility of anisotropic paramagnets in a magnetic field is considered as a function of temperature. The peculiarities of exact solutions of Schrцdinger equation produced due to the soliton theory's methods are studied. The explicit formulae for corresponding wave functions of stationary states were found, the spin-soliton analogy is considered.

Key words: Shrцdinger equation, spin system, exact solutions, effective potential, paramagnet, susceptibility, soliton.

Василевская Ю.В. Точно решаемые квантовые потенциальные модели спинового и солитонного происхождения. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.02 - теоретическая физика. Институт монокристаллов НАН Украины, Харьков, 1999.

В диссертации получены новые точные решения уравнения Шредингера спинового и солитонного происхождения, имеющие простые явные аналитические выражения для потенциальных полей, уровней энергии и волновых функций стационарных состояний.

С помощью метода эффективных потенциалов, разработанного в квантовой теории спиновых систем, найдены новые точные решения одномерного стационарного уравнения Шредингера для ряда моделей потенциальных полей, соответствующих спиновым системам типа анизотропных парамагнетиков, находящихся во внешнем магнитном поле. Эти потенциалы либо имеют форму нелокализованных ям, среди которых встречаются двойные и с минимумом четвертого порядка, либо оказываются периодическими. Во все случаях имеются как симметричные, так и несимметричные формы.

Для каждой из рассмотренных моделей эффективного потенциала получены явные аналитические выражения для энергетического спектра и волновых функций стационарных состояний в виде достаточно простых формул, содержащих параметры соответствующих спиновых систем и выраженных через элементарные функции (полиномы и радикалы, тригонометрические и обратные тригонометрические функции, экспоненциальные и гиперболические функции).

Подчеркнуто, что рассмотренные эффективные потенциалы резко отличаются от известных стандартных моделей потенциальных полей тем, что каждая модель имеет несколько независимых параметров, существенно влияющих на форму потенциала и на структуру энергетического спектра, результатом чего является многопрофильность каждого из потенциалов и перестройка энергетического спектра, а дополнительные граничные условия типа непроницаемости приводят к дальнейшему увеличению числа точных решений.

Предложен метод расчета уровней энергии четверного осциллятора с помощью найденных точных решений для эффективных потенциалов спиновых систем с минимумом 4-го порядка.

На базе полученных точных решений проведен цикл исследований поведения магнитной восприимчивости анизотропных парамагнетиков в магнитном поле в зависимости от температуры.

Показано, что восприимчивость легкоосных парамагнетиков как функция магнитного поля обладает характерн?м максимумом даже при не очень низких температурах. Предсказано, что при повышении температуры от нуля этот максимум заостряется, причем его положение меняется немонотонно, а при некоторой температуре профиль восприимчивости может стать двугорбым. Дано объяснение наблюдаемым эффектам.

Исследовано поведение магнитной восприимчивости одноосных парамагнетиков в наклонном относительно оси анизотропии магнитном поле, а также двухосных парамагнетиков в перпендикулярном осям анизотропии магнитном поле при различных соотношениях между константами анизотропии.

Изучен? особенности точных решений уравнения Шредингера с простыми явными аналитическими выражениями для потенциальных полей, уровней энергии и волновых функций стационарных состояний, которые появились благодаря методам, разработанным в теории солитонов.

Найдены характерные формы многоуровневых локализованных потенциалов, а также фазовые добавки, определяющие несимметричное поведение потенциальных моделей. Выведены явные формулы для соответствующих волновых функций стационарных состояний. Отмечено, что, в отличие от других случаев с точными решениями, когда задается потенциал и решается уравнение Шредингера, в моделях солитонного происхождения произвольно выбираются уровни энергии, для которых строится достаточно простой потенциал. При этом для каждого набора уровней получается не одна модель с фиксированным профилем, а бесконечное многопараметрическое семейство потенциальных моделей.

Установлено, что между двумя совершенно различными системами - спиновой и солитонной, - поставляющими в квантовую терию модели потенциальных полей с точными решениями уравнения Шредингера, имеется целый ряд соответствий.

Рассмотренные теоретические вопросы сопровождены широким применением аналитических, численных и графических методов исследования с помощью современных компьютерных математических систем и специально созданных оригинальных программ.

Обсуждена общая роль точно решаемых потенциальных моделей в квантовой теории. Подчеркнуто, что отличительная особенность найденных точных решений - физический смысл уже при своем появлении, поскольку они явились не плодом математических преобразований, а результатом исследования конкретных физических систем - спиновых и солитонных.

Ключевые слова: уравнение Шредингера, спиновая система, точные решения, эффективный потенциал, парамагнетик, восприимчивость, солитон.