КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

БУДІВНИЦТВА І АРХІТЕКТУРИ

ГОНЧАРЕНКО Марина Вікторівна

УДК 531.31

ДИНАМІЧНА СТІЙКІСТЬ ПРУЖНИХ СИСТЕМ

ПРИ СТОХАСТИЧНОМУ ПАРАМЕТРИЧНОМУ НАВАНТАЖЕННІ

05.23.17 Будівельна механіка

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Київ – 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Київському національному університеті будівництва і архітектури (КНУБА) Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник доктор технічних наук, професор

Дехтярюк Євгеній Семенович,

Київський національний університет будівництва і архітектури,

професор кафедри будівельної механіки

Офіційні опоненти:

доктор технічних наук, старший науковий співробітник

Перельмутер Анатолій Вікторович,

Науково-виробниче товариство з обмеженою відповідальністю “СКАД-СОФТ”,

головний науковий співробітник

кандидат технічних наук, старший науковий співробітник

Мельник-Мельников Петро Георгійович,

Український науково-технологічний центр, старший спеціаліст

Провідна установа Національний технічний університет України “Київський політехнічний інститут”, Механіко-машинобудівний інститут, кафедра динаміки та міцності машин і опору матеріалів, Міністерство освіти і науки України, м. Київ

Захист відбудеться “24” лютого 2006 р. о 13 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.056.04 у Київському національному університеті будівництва і архітектури за адресою:

03680, м. Київ-37, Повітрофлотський проспект, 31

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного університету будівництва і архітектури за адресою:

03680, м. Київ-37, Повітрофлотський проспект, 31

Автореферат розісланий “19” січня 2006 р.

Учений секретар

спеціалізованої вченої ради,

к.т.н., с.н.с. В.Г. Кобієв

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Серед багатьох видів динамічного навантаження, що часто зустрічається на практиці, досить значним класом є параметричне навантаження. При певних характеристиках параметричного навантаження має місце втрата динамічної стійкості основного стану. Конфігурація зон стійкості при такому збудженні має складний вигляд, а резонанси, що збуджуються, важко прогнозуються. Крім того, теорія параметричних коливань є основним апаратом дослідження стійкості змушених коливань пружних систем при будь-яких видах навантаження, оскільки на основі теорії Ляпунова стійкість перевіряється за допомогою рівнянь у варіаціях, в яких режим, що досліджується, визначає параметричну зміну коефіцієнтів цих рівнянь.

Особливо важливою є стохастична постановка задачі. В таких випадках можуть проявлятися різні типи коливань, що характеризуються складними резонансами, зривом коливальних режимів, іншими ефектами. В той же час на відміну від детерміністичної постановки для стохастичних задач на сьогодні не існує універсальних способів дослідження. Незважаючи на актуальність проблеми, цій темі присвячено недостатню кількість праць.

Дослідженням динамічної стійкості в детерміністичних системах займалися М.М. Бєляєв, М.М. Крилов, М.М. Боголюбов, В.В. Болотін. Потім параметричні коливання стали розглядатись для стохастичних систем. Тут перш за все треба відзначити праці В.В. Болотіна, М.Ф. Диментберга, Р.Л. Стратоновича, Р.З. Хасьмінського. Серед різних підходів дослідження динамічної стійкості стохастичних систем найбільш перспективним уявляється підхід, що базується на визначенні стохастичної стійкості за сукупністю моментних функцій різних порядків. Цей метод дозволяє звести дослідження стійкості розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь до дослідження стійкості детерміністичних диференціальних рівнянь, що описують еволюцію моментних функцій. Застосування методу залежить від виду стохастичного навантаження. І якщо для дельта-корельованого випадкового параметричного збудження для реалізації методу моментів існують розроблені алгоритми, то при корельованому параметричному навантаженні задача ускладнюється.

Усе це обумовлює актуальність задачі розробки методів, алгоритмів і програмного забезпечення для визначення критичних станів пружних систем при корельованому стохастичному параметричному впливі.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконувалась відповідно до загального плану наукових досліджень, що проводились у Науково-дослідному інституті будівельної механіки Київського національного університету будівництва і архітектури. Тема роботи визначена дослідженнями, що проводилися в рамках теми 1ДБ-2002 “Розробка теоретичних основ побудови інтегрованих систем комп’ютерного дослідження міцності і стійкості відповідальних просторових елементів сучасних будівель і машинобудівних конструкцій при статичному і динамічному навантаженні” (номер державної реєстрації роботи: 0102U000927), 5ДБ-2004 “Теоретичні основи аналізу динамічних процесів у пружних елементах конструкцій” (номер державної реєстрації роботи: 0104U003288). Автор брав безпосередню участь у виконанні цих науково-дослідних робіт як співвиконавець.

Мета і завдання дослідження. Мета дисертаційної роботи полягає у розробці методів визначення критичних станів конструкцій та їх частин при стохастичному параметричному впливі на основі сучасних підходів статистичної динаміки конструкцій.

Мета роботи досягається вирішенням таких завдань:

? розробка загального підходу до дослідження структури зон динамічної стійкості пружних систем при випадковому корельованому параметричному навантаженні;

? побудова дискретної моделі пружної системи та моделі параметричного навантаження;

? дослідження динамічної стійкості системи на основі аналізу взаємодії цих двох моделей і оцінка критичних значень параметрів стохастичних впливів.

Об’єктом дослідження є динамічні процеси в пружних системах при стохастичному параметричному навантаженні.

Предметом дослідження є області динамічної стійкості систем при параметричному стохастичному навантаженні.

Методи дослідження. Дослідження динамічної стійкості при стохастичному параметричному навантаженні ґрунтується на методі моментних рівнянь, які описують еволюцію імовірнісних характеристик динамічних станів пружних систем; на методі усереднення Стратоновича-Хасьмінського для стохастичних диференціальних рівнянь.

Наукова новизна одержаних результатів полягає у такому:

- запропоновано метод дослідження динамічної стійкості пружних систем, що базується на методі усереднення в теорії стохастичних диференціальних рівнянь при параметричному навантаженні;

- на основі запропонованої методики розроблено ефективну процедуру побудови моментних рівнянь, що описують параметричні коливання пружних систем при стохастичному корельованому та комбінованому навантаженнях;

- у рамках підходу, що розглядається, розроблено чисельну методику побудови меж стійкості пружних систем;

- побудовано області динамічної стійкості балки-стінки, циліндричної оболонки, трубопровідних систем, пластинчасто-стрижневих просторових систем при дії випадкових параметричних навантажень різного типу.

Практичне значення одержаних результатів полягає в реалізації запропонованої методики у вигляді програм для ПЕОМ, за допомогою яких проводяться дослідження.

Розроблений метод і програмне забезпечення впроваджено в Науково-дослідному інституті будівельної механіки Київського національного університету будівництва і архітектури при виконанні науково-дослідних робіт і може бути використане для проведення розрахунків при проектуванні будівель та споруд, а також в навчальному процесі.

Особистий внесок здобувача. Всі результати, викладені у дисертаційній роботі, виконані безпосередньо автором.

Апробація результатів дисертації. Результати роботи доповідались на науково-практичних конференціях КНУБА: 62-й (2001 р.), 63-й (2002 р.), 64-й (2003 р.), 65-й (2004 р.), 66-й (2005 р.); а також на ХХ Міжнародній конференції з теорії оболонок і пластин “Механика оболочек и пластин”, 2002 р., Нижній Новгород, Росія; на Міжнародній конференції “Проблемы надежности машин и конструкций”, 2002 р., Мінськ, Білорусь; на Міжнародній науково-технічній конференції “Інтегровані комп'ютерні технології в машинобудуванні ІКТМ'2002”, Харків; на V р.), VI р.), VII р.) Міжнародних молодіжних науково-практичних конференціях “Людина і космос”, Дніпропетровськ.

Публікації. Результати дисертаційної роботи викладені у 11 публікаціях, з них: 5 статей у наукових фахових виданнях, 6 публікацій матеріалів конференцій.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел з 186 найменувань на 18 сторінках і одного додатка. Загальний обсяг дисертації становить 182 сторінки, у тому числі основний текст на 162 сторінках, 46 рисунків, одна таблиця і додаток на одній сторінці.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі подано загальну характеристику роботи, обґрунтовано актуальність теми, окреслено мету, задачі, методи досліджень.

У першому розділі сформульовано задачу динамічної стійкості пружних систем як окрему проблему загальної теорії стійкості руху О.М. Ляпунова. Наведено огляд літератури, присвячений дослідженню динамічної стійкості пружних систем при параметричному збудженні від першої задачі динамічної стійкості прямолінійного призматичного стрижня, що стискається поздовжньою гармонічно змінюваною в часі силою, розв’язаної М.М. Бєляєвим, до сучасних постановок. Зокрема відмічаються роботи М.М. Крилова, М.М. Боголюбова, В.М. Челомея. Розвиток досліджень більшою мірою йшов за рахунок ускладнення моделей пружних систем і менше стосувався ускладнення моделей параметричного збудження. У більшості випадків це були періодично змінювані у часі впливи, при аналізі яких можна користуватись добре розробленими методами теорії Флоке. Тут потрібно відзначити праці А.А. Андронова, В.В. Болотіна, Н.В. Василенка, А.С. Вольміра, І.І. Гольденблата, В.І. Гуляєва, Ю.В. Осетинського, О.Ф. Смірнова, В.М. Старжинського, Г. Шмідта, В.А. Якубовича.

Природним узагальненням періодичного параметричного впливу є модель стаціонарного випадкового впливу. Такі стохастичні моделі почали розглядатися, починаючи із середини минулого сторіччя. Тут потрібно відзначити праці В.В. Болотіна і представників його школи, М.Ф. Диментберга, Р.Л. Стратоновича. Розв’язок таких задач пов’язаний із рядом принципових труднощів, зокрема з відсутністю універсальних підходів, які мають місце у випадку детермінованих періодичних впливів.

Спочатку виникає проблема вибору визначення стійкості динамічних станів стохастичних систем. У першому розділі розглядаються два визначення стійкості: стійкість по імовірності та стійкість відносно моментних функцій. Перше визначення з точки зору загальних уявлень про стійкість руху може розглядатись як природний розвиток класичного визначення динамічної стійкості в детерміністичній постановці. Однак побудова областей стійкості по імовірності є складною задачею. Повною мірою таке дослідження може бути здійснене тільки для модельних задач.

Визначення стійкості стохастичних систем відносно моментних функцій дещо віддалене від класичного визначення динамічної стійкості в детерміністичній постановці, але коло задач, що можуть бути досліджені за допомогою такого підходу, значно ширше. Водночас відомо, що критерій стійкості відносно моментних функцій більш жорсткий, ніж критерій стійкості по імовірності. Задавши як критерій проектування межу стійкості в середньоквадратичному, проектувальник забезпечує деякий запас відносно межі стійкості по імовірності. Саме це міркування дозволяє стверджувати практичну цінність використання критерію стійкості відносно моментів при аналізі стохастичних динамічних систем, що розглядаються в даній роботі.

У першому розділі аналізуються проблеми, що пов’язані із застосуванням визначення стійкості відносно моментних функцій, розглядаються різні підходи, які застосовуються для вирішення цих проблем. Наводиться огляд конкретних розв’язаних задач із дослідження динамічної стійкості пружних систем при стохастичному параметричному впливі. Зазначається, що особливості процедури складання моментних рівнянь залежать від виду функції, що визначає характер зміни інтенсивності випадкового параметричного збудження. Закінченими можна вважати дослідження, присвячені стійкості параметричних коливань при навантаженні типу білого шуму, оскільки в цьому випадку аналіз базується на теорії марківських процесів. Для випадкових параметричних збуджень зі скінченним радіусом кореляції задача значно складніша, розглянуто тільки конкретні задачі за певних обмежень. Зокрема в роботах В.А. Баженова, Є.С. Дехтярюка розглядається підхід побудови моментних рівнянь для аналізу стійкості пружних систем при експоненціально-корельованому параметричному навантажені.

Робиться висновок, що на даний час не існує загального підходу до побудови областей динамічної стійкості при стохастичному параметричному навантаженні зі скінченним радіусом кореляції.

Наприкінці першого розділу наводяться загальні принципові положення відносно застосування використаного у роботі методу усереднення при дослідженні стійкості стохастичних систем.

У другому розділі розробляються основні теоретичні положення, що використовуються в роботі при дослідженні стійкості пружних систем при стохастичному параметричному навантаженні. Розглядаються питання, які пов’язані з побудовою рівнянь для моментних функцій методом усереднення. Підхід базується на методі усереднення М.М. Боголюбова, який для стохастичних систем був модифікований у працях Р.Л. Стратоновича і Р.З. Хасьмінського.

Розглядаються коливання, що виникають у лінійних системах з параметричним збудженням. Рух відповідної дискретної моделі системи можна описати матричним рівнянням виду

(1)

де – n-вимірний вектор динамічних змінних;

– матриці мас, демпфірування, жорсткості і геометричної жорсткості відповідно;

– випадковий процес, який має структуру

, (2)

де – детерміністична періодична функція;

– стаціонарний випадковий процес зі скінченним радіусом кореляції;

– параметри збудження.

У роботі метод усереднення застосовується не безпосередньо до вихідної дискретної моделі пружної системи. Спочатку відбувається перехід до системи рівнянь у нормальних координатах, що показано в п. .1:

, , (3)

де – вектор узагальнених координат;

– модальні параметри згасання;

– частоти власних коливань системи;

– компоненти перетвореної матриці геометричної жорсткості.

Перехід до нормальних координат дозволяє проявитись резонансним частотам пружної системи і дає змогу реалізувати метод усереднення більш адекватним чином.

Принциповим є той момент, що згідно із загальною теорією усереднення М.М. Боголюбова в рамках першого наближення при дослідженні динамічної стійкості можна розглядати тільки прості головні й комбінаційні резонанси. Таким чином задача зводиться до дослідження незв’язаних окремих рівнянь, що являють собою стохастичні аналоги рівняння Мат’є-Хілла і описують прості головні резонанси, а також до дослідження сукупності парних рівнянь. Кожна пара рівнянь з іншими не зв’язана і описує певний комбінаційний резонанс, а між собою рівняння пари зв’язані через перехресні параметричні члени.

Метод усереднення належить до класу асимптотичних методів, що базуються на побудові наближених розв’язків вихідної системи, які при наближенні малого параметра до нуля прямують до розв’язку певної системи, який може бути знайдений. У конкретних розрахунках від нескінченно малих значень параметра переходять до скінченних значень, за умови, що спектральна щільність збурювального процесу мало змінюється в резонансній області. Метод усереднення можна ефективно застосовувати не тільки для систем, де малий параметр присутній у явній формі, а й у випадках, коли, виходячи з механічних міркувань, можна вважати, що шуканий рух мало відрізняється від певного породжувального руху. В роботі при конкретних дослідженнях використовується саме такий підхід. Для чіткого формулювання обчислювальних процедур методу усереднення вводиться малий параметр у зображення (2), а також у дисипативні складові рівнянь (3).

У роботі розглядається динамічна стійкість пружних систем при параметричному стохастичному навантаженні двох типів: стаціонарне навантаження і періодично нестаціонарне навантаження.

У п. .2 розглядаються питання, пов’язані з аналізом динамічної стійкості у середньоквадратичному пружних систем у випадку, коли функція є стаціонарним випадковим процесом, тобто в зображенні (2) , . Наводиться загальний підхід для подальшого вирішення конкретних задач. Вважається, що випадковий процес є достатньо вузькосмуговим відносно пружної системи, яка розглядається.

Рівняння відносно моментних функцій формується таким чином. Спочатку будуються вкорочені рівняння у розумінні Стратоновича відносно квадрата амплітуди коливань. Далі робиться перехід до рівнянь Іто і застосовується операція усереднення. У випадку, коли несуча частота вузькосмугового процесу перебуває безпосередньо у діапазоні частоти певного простого головного резонансу, то задача зводиться до аналізу стійкості стохастичного аналогу рівняння Мат’є-Хілла. Коли несуча частота перебуває у зоні комбінаційного резонансу сумарного типу, розглядаються відповідні парні рівняння відносно узагальнених координат. Далі застосовується зазначена вище процедура до амплітуд (моменти першого порядку) або квадратів амплітуд (моменти другого порядку) по кожній узагальненій координаті.

У п.2.3 викладаються побудови методу усереднення у випадку простого головного резонансу при періодично нестаціонарному параметричному збудженні, тобто у зображенні (2) , . При наявності гармонічної складової у параметричному навантаженні простий головний резонанс проявляється, якщо частота гармонічної складової параметричного збудження перебуває безпосередньо в районі частоти . В цьому випадку область нестійкості системи, що розглядається, визначається рівнянням

,

. (4)

Згідно із загальною схемою методу усереднення виконується перехід до системи рівнянь у стандартній формі. Для цього використовується спеціальне перетворення фазових координат системи. До системи рівнянь у стандартній формі застосовується операція усереднення, яка дозволяє звести задачу до аналізу дифузійного марковського процесу.

Проводилась апробація методики дослідження динамічної стійкості на прикладі стохастичного аналога рівняння Мат‘є-Хілла.

У п. .4 викладаються розроблені у цій роботі побудови із застосування методу усереднення для дослідження динамічної стійкості у середньоквадратичному у випадку, коли частота детерміністичної гармонічної складової періодично нестаціонарного параметричного навантаження перебуває безпосередньо в районі частоти комбінаційного резонансу сумарного типу. Такі дослідження дають змогу в першому наближенні оцінювати поведінку системи з багатьма степенями вільності.

Для цього типу коливань характерний прояв взаємодії між двома різними нормальними формами коливань, у яких сума власних частот близька до частоти параметричних коливань. Розглядається система з двома степенями вільності:

, (5)

Оскільки комбінаційний резонанс визначається двома частотами та , при визначенні операції усереднення вкорочених стохастичних рівнянь постає питання спільного періоду. Вважається, що існують цілі числа і такі, що . Тоді можна показати, що для коливань по двох різних степенях вільності система матиме спільний період , де .

Після переходу до повільних змінних розв’язок системи (5) зводиться до дифузійного марківського процесу, при визначенні коефіцієнтів знесення і дифузії якого отримуємо стохастичні рівняння Іто відносно змінних станів і відповідних їх добутків. Записується вкорочена система рівнянь, праві частини яких отримано шляхом усереднення за період правих частин вихідної системи. Операцію усереднення -періодичної за часом функції можна зобразити виразом . Отже, система диференціальних рівнянь будується методом усереднення, що ґрунтується на теоремі Стратоновича-Хасьмінського. Виконавши такі перетворення, отримуємо диференціальні рівняння для перших і других моментів відповідно:

, , (6)

де ,

.

Системи (6) є автономними, оскільки компоненти матриць і визначаються власними частотами системи, параметром згасання, характеристиками параметричного навантаження і не залежать від часу. Таким чином, дослідження стійкості систем у зонах комбінаційних резонансів зводиться до дослідження стійкості тривіального розв’язку систем (6), що у свою чергу повністю визначається властивістю коренів їх характеристичних рівнянь:

. (7)

Області стійкості будуються в координатах частота – інтенсивність гармонічного параметричного навантаження при наперед заданих характеристиках випадкової складової параметричного навантаження. Обчислюються власні значення при збільшенні інтенсивності гармонічної складової . Найменше значення , при якому серед власних значень з’являється хоча б одне з додатною дійсною частиною, вважається межею області стійкості. Таким чином, за допомогою запропонованої методики можна оцінити динамічну стійкість пружних систем у зоні комбінаційних резонансів.

На основі викладеного у другому розділі матеріалу досліджується стійкість конструкцій, у яких параметричне навантаження обумовлене різними факторами, а саме викликане пульсуючим внутрішнім потоком або силовим впливом. Розглядаються випадки, коли параметричне навантаження зображується гармонічним, стаціонарним або періодично нестаціонарним процесом. В останньому випадку досліджується вплив стохастичної складової на області стійкості системи. Якщо при певних параметрах додаткового випадкового навантаження в зображенні (2) область динамічної стійкості ширша за область динамічної стійкості, що відповідає гармонічному збудженню, то має місце ефект стабілізації, обумовлений додатковим стохастичним навантаженням.

У третьому розділі розглядаються трубопровідні системи, навантажені внутрішнім пульсуючим потоком. Проблема стійкості трубопроводів привертала увагу багатьох науковців, зокрема слід відзначити праці В.А. Свєтлицького, А.П. Владиславлєва і А.А. Козобкова, Н.А. Картвелішвілі, В.І. Гуляєва, В.В. Гайдайчука, М.П. Пайдуссіса, Р.Т. Іссіда.

На початку розділу наведено короткий огляд праць, присвячених експериментальному і теоретичному дослідженню основних причин виникнення внутрішніх пульсацій тиску потоку та їх закономірностей. Пульсації тиску внутрішнього потоку можуть спричиняти коливання трубопроводу та приєднаного обладнання, а при інтенсивних вібраціях – бути причиною аварійних ситуацій.

Дослідження показують, що у трубах виникають біжучі хвилі тиску, взагалі кажучи, стохастичного характеру, які передають нормальний тиск на внутрішню стінку труби. Вважається, що акустичний тиск являє собою вісесиметричну хвилю, що переміщується вздовж труби. Приймаємо також, що довжина акустичної хвилі велика, а отже, інтенсивність внутрішнього тиску не залежить від просторової координати, а залежить тільки від часу.

У постановці, що розглядається, задача дослідження стійкості трубопровідної системи може бути приведена до дослідження простих резонансів. Будуються межі областей динамічної стійкості при різному характері пульсацій внутрішнього потоку: гармонічному, стаціонарному і періодично нестаціонарному. Також досліджується інтенсивність коливань трубопроводу при одночасній дії пульсацій внутрішнього потоку і вітрового навантаження. Розглядаються коливання впоперек вітрового потоку при гармонічних і стохастичних пульсаціях тиску транспортованої речовини.

Рис. 1. Графік зміни тиску

Конкретні розрахунки було проведено для магістрального трубопроводу з типовими параметрами: внутрішній діаметр 174 см, товщина стінки 18 мм, довжина прольоту 13,8 м. Приклад зміни інтенсивності тиску в цьому трубопроводі показано на рис. . Графік має стохастичний характер.

Межі областей стійкості при гармонічному параметричному навантаженні побудовано методом узагальнених показників Хілла (рис. ) у координатах , де – відношення інтенсивності гармонічного навантаження до критичного статичного навантаження, – відношення половинної частоти гармонічних пульсацій до власної частоти системи= 2,8 рад/с). З графіка видно, що найбільша зона нестійкості відповідає головному резонансу, отже, система може втратити стійкість, якщо частота впливу дорівнює подвійній власній частоті . Інші зони нестійкості відповідають більшим інтенсивностям пульсацій і реально виникнути не можуть. Для таких трубопроводів характерним недоліком є просідання опори. В такому випадку власна частота трубопроводу зменшиться (=20,5 рад/с). У відносних координатах графік не зміниться, але параметричний резонанс наставатиме за меншої частоти гармонічного впливу.

Побудовано області стійкості системи, якщо пульсації внутрішнього тиску зображують стаціонарний випадковий процес (рис. ) за методикою, наведеною у п. .2. У цьому випадку межі будуються в координатах , де – характерна частота, – стандарт інтенсивності (безрозмірна величина) випадкового процесу. Ці дослідження підтверджують, що умова стійкості відносно моментних функцій є більш жорсткою, ніж умова стійкості по імовірності. Стаціонарне стохастичне навантаження може спричинити втрату стійкості, якщо несуча частота випадкового процесу перебуває біля подвійної власної частоти системи.

У деяких випадках пульсації внутрішнього тиску доцільно зображувати моделлю періодично нестаціонарного процесу, що розглядався у п. .3. Детермінована гармонічна складова має частоту, що відповідає характерній частоті процесу зміни пульсацій тиску, а випадкова складова відображає наведені пульсації. Показано, що врахування наведеної стохастичної складової для цього трубопроводу чинить стабілізувальну дію у резонансній зоні.

Загалом можна зробити висновок, що пульсації внутрішнього потоку можуть призводити до втрати стійкості тільки у зоні резонансів і при значному рівні інтенсивності пульсацій.

Проведено дослідження коливань цього ж трубопроводу при вітровому навантаженні. Розглядаються коливання впоперек вітрового потоку, які виникають унаслідок відривного характеру обтікання тіла потоком. Вихори, що зриваються, створюють періодичну силу в напрямку, перпендикулярному до потоку, – силу Кармана , що змінюється гармонічно. Колова частота сили Кармана обумовлена частотою зриву вихорів і визначається швидкістю потоку. В певному діапазоні швидкостей потоку частота зриву вихорів перестає бути пропорційною швидкості й визначається виключно частотою коливання циліндра; це явище зветься захватом частот зриву вихорів. Даний інтервал відповідає діапазону швидкостей потоку з нижньою межею і верхньою , де – критична швидкість потоку, що залежить від власної частоти, діаметра і числа Струхаля. При заданих параметрах трубопроводу  м/с, що перевищує реально можливі швидкості вітру. При просіданні однієї опори зона вітрового резонансу визначається  м/с, для цього випадку і проведено подальші дослідження.

Трубопровідні системи, що перебувають під дією вітрового навантаження, належать до потенціально-автоколивних систем, в яких автоколивні режими можуть виникати за певних умов, що залежать від характеристик трубопроводу. У даному трубопроводі величини діаметра та погонної маси такі, що автоколивання не виникають. Мають місце вимушені коливання. На рис. а показано залежність амплітуди вимушених коливань від швидкості вітрового потоку без урахування впливу пульсацій внутрішнього потоку. Діапазон максимальних значень амплітуди вимушених коливань відповідає зоні вітрового резонансу від до .

Вивчався вплив пульсуючого внутрішнього потоку на інтенсивність реакції від вітрового навантаження. Спочатку прийнято, що пульсації внутрішнього потоку відбуваються за гармонічним законом. Рух системи описується рівнянням Мат’є-Хілла з правою частиною . Результати дослідження показано на рис. б і 4в. Якщо значення внутрішніх пульсацій перебувають у зоні стійкості відповідно до рис. 2 (,), то інтенсивність коливань у зоні вітрового резонансу зменшується, але з’являються додаткові піки при частотах, кратних частоті пульсацій внутрішнього потоку (рис. б). Якщо частота гармонічного параметричного збудження перебуває в зоні параметричного резонансу (), то амплітуда коливань зростає. Графіки, показані на рис. 4в, відповідають (штрихова лінія), (пунктирна), (суцільна).

Також досліджувався вплив стохастичних пульсацій внутрішнього потоку на інтенсивність коливань системи. Залежність амплітуди коливань від швидкості вітрового потоку показано на рис. г при параметрах випадкового параметричного навантаження з прихованою періодичністю, що відповідають зоні стійкості на рис. : характерна частота , стандарт , параметр кореляції . Урахування стохастичного характеру пульсацій внутрішнього потоку зменшує амплітуду коливань. При збільшенні параметра кореляції процес наближається до гармонічного, а графік набуває вигляду, показаного на рис.4б.

У четвертому розділі на основі методики, викладеної у другому розділі, досліджується вплив стохастичної складової параметричного навантаження на області стійкості конструкцій. На відміну від третього розділу, де параметричне навантаження спричинене пульсаціями внутрішнього потоку, в цьому розділі воно обумовлене силовими факторами.

Спочатку розглянуто модельні задачі. Силовий вплив зображується періодично нестаціонарним випадковим процесом. Зміну меж областей стійкості в зоні простого головного резонансу при зміні параметрів наведеної випадкової пульсації досліджено на прикладі замкненої циліндричної оболонки, навантаженої рівномірно розподіленим навантаженням по торцях. А в зоні комбінаційного резонансу – на прикладі задачі про втрату стійкості плоскої форми згину балки. Було зроблено висновок, що залежно від параметрів стохастичної складової параметричного навантаження може мати місце ефект стабілізації або дестабілізації.

Досліджувалася стійкість елементів двох пластинчасто-стрижневих просторових систем. Перша конструкція – робоча площадка, показана на рис. 5. Робочі площадки влаштовують у промислових будівлях для розміщення технологічного устаткування, його обслуговування і ремонту. Внаслідок роботи верстатного обладнання, розташованого на цих площадках, на елементи цієї конструкції може діяти динамічне навантаження.

Параметричне навантаження для елементів робочої площадки складається зі статичної складової , обумовленої вагою настилу, балок і обладнання, а також динамічної складової, що виникає внаслідок роботи верстатів. Динамічна складова являє собою періодично нестаціонарний випадковий процес, де гармонічний вплив обумовлений номінальною частотою роботи обладнання, а наведена стохастична складова обумовлена флуктуаціями цієї частоти. Таким чином, навантаження зображується у вигляді (2).

Розглядається динамічна стійкість двох типів конструктивних елементів: колони та балки. В рамках теорії першого наближення динамічна стійкість колони визначається простими резонансами. Для цього записується рівняння, що має форму (3) при , де нижня власна частота колони 98 рад/с. При різних параметрах стохастичного навантаження було побудовано області динамічної стійкості за допомогою методики, описаної у п. .3. При характерній частоті випадкового процесу має місце ефект стабілізації. При збільшенні радіуса кореляції збільшується стабілізувальна дія додаткового випадкового навантаження. При більших значеннях графік практично не змінюється. В даному випадку можна зробити висновок, що додаткова дія стохастичного параметричного навантаження не збільшує зони нестійкості.

Досліджуються області стійкості головної балки робочої площадки (рис. ). Для забезпечення запасу надійності для цього елементу конструкції доцільно досліджувати втрату стійкості плоскої форми згину. Така втрата стійкості може бути обумовлена простими і комбінаційними резонансами.

, |

а)

, |

б)

,

Рис. 6. Схема головної балки | Рис. 7. Межі областей стійкості

Результати дослідження впливу додаткової стохастичної параметричної складової на конфігурацію областей стійкості в зоні головного простого резонансу показано на рис. . Графіки побудовано в координатах при різних значеннях параметра кореляції , суцільною лінією показано межі стійкості при гармонічному навантаженні. Тут теж має місце ефект стабілізації, причому при збільшення радіуса кореляції збільшується стабілізувальна дія додаткового випадкового навантаження безпосередньо в межах частоти головного резонансу.

Результати аналізу конфігурації областей динамічної стійкості в зоні комбінаційного параметричного резонансу, проведеного на основі методики п. .4, показано на рис. . У цьому випадку графіки будуються в координатах і стохастична складова менше впливає на області стійкості системи, в усті області стабілізація досягає лише 2%. Це пояснюється малими значеннями відповідних коефіцієнтів матриці геометричної жорсткості. Тільки при значному збільшенні інтенсивності стохастичного навантаження до рівня сталої складової спостерігається дестабілізація системи (зона розташована вище від штрихової лінії).

Друга пластинчасто-стрижнева просторова система, що розглядається в роботі, – це альтернативна конструкція пілона мосту. В м. Салехарді у Росії збудовано міст, загальний вигляд якого показано на рис. . Пілон має нахил у бік головного прогону, що обумовлено архітектурними міркуваннями – пілон символізує руку, що підняла факел. На верхівці пілона розташовано ресторан, до якого ведуть ліфти, обладнані ззовні ніг пілона, і сходи, розташовані всередині ніг пілона. Нога пілона має прямокутний коробчастий переріз. Досліджується можливість застосування пілона, побудованого зі стрижневих елементів. Специфічна проблема, що виникає при такій заміні, пов’язана з можливою втратою динамічної стійкості окремих елементів унаслідок вітрового навантаження.

Рис. 9. Загальний вигляд | Рис. 10. Стрижнева конструкція пілона

Розроблено просторову стрижневу конструкцію, показану на рис. . Такий варіант споруди дозволить використовувати стандартні елементи, спростить ремонт ліфтового обладнання, зробить перебування на сходах більш комфортним.

Основні конструктивні характеристики було збережено. Ноги пілона мають квадратний поперечний переріз 3,5х3,5 м. Відносно повздовжньої осі моста пілон защемлений в опорі, відносно поперечної осі має шарнірне обпирання. Вгорі під рестораном ноги пілона поєднано ригелем. Ресторан розташовано на відстані 50 м від шарніру.

Розрахунки стрижневого пілона здійснено у програмному комплексі “Ліра”. Навантаження, що діє на пілон, складається з власної ваги конструкцій пілона, ваги ресторану і додаткових зусиль від натягу вант, що підтримують головний прогін мосту. Розглядається найбільш небезпечний напрямок вітру – впоперек мосту.

За допомогою “ЛИР-СТК” було підібрано стрижневі елементи конструкції. Кутові елементи прийняті у вигляді труб розміром 299х20, решта – труби 168х18. Відповідно до методики, наведеної у п. .2, було зроблено перевірку динамічної стійкості окремих стрижневих елементів при випадковому вітровому навантаженні, стохастична складова якого описується спектром Давенпорта.

Розрахунок показав, що при нормативних швидкостях вітру стрижневі елементи не втрачають динамічної стійкості.

ВИСНОВКИ

1. Розроблено ефективний підхід до визначення критичних станів конструкцій та їх елементів при стохастичному стаціонарному та періодично нестаціонарному параметричному навантаженні.

2. Для широкого класу корельованих стохастичних навантажень розроблено методику побудови меж зон динамічної стійкості.

3. Побудовані межі областей динамічної стійкості трубопровідної системи при різному характері пульсацій внутрішнього потоку: гармонічному, стаціонарному і періодично нестаціонарному. Показано, що такі пульсації можуть спричиняти втрату стійкості тільки безпосередньо в зоні резонансу при досить великій інтенсивності.

4. Розглянуто вплив на режим вимушених коливань трубопровідної системи впоперек вітрового потоку при гармонічних і стохастичних пульсаціях тиску речовини, що транспортується. Інтенсивність коливань системи може збільшуватись або зменшуватись залежно від характеристик пульсацій внутрішнього тиску.

5. Проаналізовано вплив стохастичної складової періодично нестаціонарного параметричного навантаження на структуру областей динамічної стійкості циліндричної оболонки та плоскої форми згину балки. Залежно від параметрів цієї складової у системі може мати місце ефект стабілізації або дестабілізації.

6. Досліджено динамічну стійкість під дією періодично нестаціонарного параметричного навантаження елементів робочої площадки, яка являє собою пластинчасто-стрижневу конструкцію. Показано, що наведена стохастична складова навантаження не збільшує зон нестійкості.

7. Досліджено динамічну стійкість стрижневих конструкцій пілона мосту під дією вітрового навантаження. Показано, що при нормативних швидкостях вітру стрижневі елементи не втрачають стійкості.

8. Розроблений підхід реалізовано у вигляді програм для ЕОМ. Запропонована методика і програмне забезпечення можуть бути використані для проведення розрахунків при проектуванні конструкцій.

9. Результати дисертації застосовуються у Науково-дослідному інституті будівельної механіки Київського національного університету будівництва і архітектури при виконанні науково-дослідних робіт.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

10. Ворчак М.В. Параметричний резонанс в задачах про коливання труб при випадкових пульсаціях тиску внутрішнього потоку // Опір матеріалів і теорія споруд. – К.: КНУБА, 2002.- Вип. 71.- с. 107-114

11. Ворчак М.В. Дослідження коливань трубопроводів під дією вітрового навантаження з урахуванням пульсацій тиску внутрішнього потоку // Опір матеріалів і теорія споруд. - К.: КНУБА, 2003 р. - Вип. 72. - с. 135-141.

12. Баженов В.А., Дехтярюк Є.С., Отрашевська В.В., Гончаренко М.В. Стабілізація стійкості сталих коливальних режимів динамічних систем при комбінованому збудженні // Авиационно-космическая техника и технология, 2004. – вып.3(11). – с.51-58.

13. Гончаренко М.В., Дехтярюк Є.С. Аналіз стійкості пружних систем в зонах простих і комбінаційних резонансів при стохастичному параметричному навантаженні // Опір матеріалів і теорія споруд.- К.: КНУБА, 2004, Вип. 74. - с.115-123.

14. Гончаренко М.В., Дехтярюк. Є.С. Дослідження параметричних резонансів комбінованої пластинчато-стержневої системи // Опір матеріалів і теорія споруд: - К.: КНУБА, 2004, Вип. 75. – с.47-56.

15. Дехтярюк Є.С., Ворчак М.В., Отрашевская В.В., Гераймович Ю.Д. Динамическая устойчивость пластин и оболочек при параметрическом случайном воздействии //Сборник докладов ХХ Международной конференции по теории оболочек и пластин “Механика оболочек и пластин”, 2002, Нижний Новгород, Россия. – с. 349.

16. Дехтярюк Є.С., Ворчак М.В., Отрашевская В.В., Гераймович Ю.Д. Анализ динамической устойчивости упругих систем при параметрическом воздействии с использованием марковских и надмарковских приближений // Тезисы докладов Международной конференции “Проблемы надежности машин и конструкций”, 2002, Минск, Беларусь- с. 46-47.

17. Баженов В.А., Дехтярюк Є.С., Ворчак М.В., Отрашевська В.В. Стабілізація стійкості сталих коливальних режимів динамічних систем при комбінованому збудженні // Тези доповідей Міжнародної науково-технічної конференції “Інтегровані комп'ютерні технології в машинобудуванні ІКТМ'2002” - Харків, Нац. Аерокосмічн. ун-т " Харк. авіац. ін-т", 2002. - с. 37.

18. Ворчак М.В. Динамічна стійкість пружних систем при нестаціонарно-періодичному параметричному збудженні в зоні комбінаційних резонансів // Тези доповідей V Міжнародної молодіжної науково-практичної конференції “Людина і космос”, м. Дніпропетровськ, 2003. – c.61.

19. Гончаренко М.В., Отрашевська В.В. Динамічна стійкість пружних систем при комбінованому параметричному навантаженні // VI Міжнародна наук-практ. конференцція “Людина і космос”, Збірник тез. – Дніпропетровськ: НЦАОМУ, 2004. – с. 324.

20. Гончаренко М.В. Аналіз стійкості пружних систем в зона простих і комбінаційних резонансів при стохастичному параметричному навантаженні // Збірник тез доповідей 65 наук-пр. конференції КНУСА, Київ, 2004. – с.27.

У спільних роботах [3,4,10] автором розроблено методику побудови меж зон динамічної стійкості при періодично-нестаціонарному параметричному збудженні на основі методу усереднення. Досліджена динамічна стійкість пластинчасто-стрижневої конструкції в роботах [5]. Побудовано межі областей динамічної стійкості за допомогою запропонованого підходу [6-8].

АНОТАЦІЯ

Гончаренко М. В. Динамічна стійкість пружних систем при стохастичному параметричному навантаженні. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук зі спеціальності 05.23.17 - будівельна механіка. Київський національний університет будівництва і архітектури. – Київ, 2006.

Розглядаються питання, пов’язані з впливом стохастичної складової в параметричному навантаженні на структуру областей динамічної стійкості пружних систем. Межі областей динамічної стійкості будуються, виходячи з означення стійкості відносно моментних функцій. Відповідні диференціальні рівняння для цих функцій одержані на основі методу усереднення Стратоновича-Хасьмінського для стохастичних диференціальних рівнянь. На основі викладеного підходу досліджується стійкість конструкцій, у яких параметричне навантаження обумовлене різними факторами, а саме викликано пульсуючим внутрішнім потоком (трубопровідні системи) або силовим впливом (пластинчато-стержневі конструкції). Розглядаються випадки, коли параметричне навантаження зображується гармонічним, стаціонарним або періодично нестаціонарним процесом. Розглянутий підхід і виконані на його основі дослідження дозволяють оцінити вплив стохастичної складової параметричного збудження на структуру областей динамічної стійкості.

Ключові слова: динамічна стійкість, параметричний резонанс, періодично нестаціонарний процес, моментні функції, метод усереднення, області стійкості.

АННОТАЦИЯ

Гончаренко М. В. Динамическая устойчивость упругих систем при стохастической параметрической нагрузке. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.23.17 – строительная механика. Киевский национальный университет строительства и архитектуры. – Киев, 2006.

Рассматриваются вопросы, связанные с влиянием стохастической составляющей параметрической нагрузки на структуру областей динамической устойчивости упругих систем.

Приводится обзор работ по исследованию динамической устойчивости упругих систем при детерминированном и стохастическом параметрическом воздействии. В случае стохастического воздействия рассматриваются два определения устойчивости: устойчивость по вероятностям и устойчивость относительно моментных функций. Анализируются проблемы, связанные с применением определения устойчивости относительно моментных функций; рассматриваются разные подходы, которые используются при решении этих проблем. Указывается, что особенности процедуры составления моментных уравнений зависит от вида функции, которая определяет характер изменения интенсивности случайного параметрического воздействия. Показано, что в настоящее время не существует общего подхода к построению областей динамической устойчивости при случайном параметрическом воздействии с конечным радиусом корреляции.

Предложен подход для исследования динамической устойчивости путем построения системы детерминированных уравнений относительно моментных функций. При построении уравнений используется метод усреднения, который основывается на теореме Стратоновича-Хасьминского.

Рассмотрены вопросы, связанные с анализом динамической устойчивости в среднеквадратическом в случае, когда параметрическая нагрузка представлена стационарным случайным процессом и несущая частота находится непосредственно в зоне простого или комбинационного резонансов. Разработанный подход применяется для исследования динамической устойчивости упругих систем при стационарном и периодически нестационарном параметрическом воздействии.

Рассматривается стационарное параметрическое воздействие и воздействие, которое состоит из суммы гармонического и случайного возмущений. Принимается, что частота гармонической составляющей находится в районе резонансных частот. Для записи уравнений в стандартной форме производится переход к “медленным” переменным. Решение полученной системы сводится к диффузионному марковскому процессу, при определении коэффициентов сноса и диффузии которого получаются стохастические уравнения Ито относительно переменных состояния и их произведений. С помощью метода усреднения записывается укороченная система уравнений. Задача построения областей устойчивости сводится к задаче на собственные значения.

На основе представленного материала исследуется устойчивость конструкций, у которых параметрическая нагрузка обусловлена двумя типами воздействий, а именно вызвана пульсирующим внутренним потоком или силовым влиянием.

Рассматриваются трубопроводные системы, которые нагружены внутренним пульсирующим потоком. В рассматриваемой постановке задача исследования динамической устойчивости может быть приведена к исследованию простых резонансов. Строятся границы областей динамической устойчивости при разном характере пульсаций внутреннего потока: гармоническом, стационарном и периодически нестационарном. Также исследуется интенсивность колебаний трубопроводной системы при одновременном воздействии пульсаций внутреннего потока и ветровой нагрузки.

При силовом периодически нестационарном воздействии сначала рассматриваются модельные задачи. Изменение границ областей устойчивости в зоне простого резонанса исследовано на примере замкнутой цилиндрической оболочки, а в зоне комбинационного резонанса – на примере задачи про потерю устойчивости плоской формы изгиба балки.

Исследовалась устойчивость элементов двух пластинчато-стержневых конструкций. Для первой (рабочей площадки) была исследована динамическая устойчивость основных конструктивных элементов: колонны и балки. Во второй задаче исследована динамическая устойчивость стержневых элементов конструкции пилона моста при пульсациях ветрового потока.

Достоверность предлагаемой методики определяется сравнением полученных результатов с результатами других авторов.

Рассмотренный подход