НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ФІЗИКО-МЕХАНІЧНИЙ ІНСТИТУТ ім. Г.В. КАРПЕНКА

ДАЦИШИН

Олександра Петрівна

УДК 539.375 : 620.178

РОЗРАХУНКОВІ МОДЕЛІ МЕХАНІКИ РУЙНУВАННЯ
ДЛЯ ОЦІНЮВАННЯ ДОВГОВІЧНОСТІ ТВЕРДИХ ТІЛ
ПРИ ЇХ ЦИКЛІЧНІЙ КОНТАКТНІЙ ВЗАЄМОДІЇ

01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня
доктора технічних наук

Львів – 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Фізико-механічному інституті ім. Г.В. Карпенка Національної академії наук України

Науковий консультант: |

доктор технічних наук, професор, академік НАН України

Панасюк Володимир Васильович,

Фізико-механічний інститут ім. Г.В.Карпенка НАН України,
директор інституту

Офіційні опоненти: | доктор технічних наук, професор

СТАДНИК Мирон Михайлович,

Український державний лісотехнічний університет,
завідувач кафедри вищої математики

доктор технічних наук, старший науковий співробітник

ЦИБАНЬОВ Георгій Васильович,

Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренка НАН України, завідувач відділу втоми і термовтоми матеріалів

доктор фізико-математичних наук, професор,
член-кореспондент НАН України

КІТ Григорій Семенович,

Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України, завідувач відділу мате-матичних методів механіки руйнування і контактних явищ

Захист відбудеться “ 20 ” лютого 2008 року о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.226.02 у Фізико-механічному інституті ім. Г.В. Карпенка НАН України за адресою: 79601, Львів, МСП, вул. Наукова, 5.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Фізико-механічного інституту ім. Г.В. Карпенка НАН України (Львів, вул. Наукова, 5)

Автореферат розісланий “ 14 ” грудня 2007 р.

Учений секретар

спеціалізованої вченої ради, д.т.н. Погрелюк І.М.

АГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність роботи. Втомне контактування повсюдно зустрічається у вузлах машин і конструк-цій. При цьому елементи рухомих і нерухомих з'єднань машин і конструкцій піддають-ся циклічному контактуванню або в силу свого функціонального призначення, або під дією сторонніх експлуатаційних факто-рів (наприклад, вібрації). Пошкодження поверхонь контакту або й зруйнування елементів з'єднань під час втомного контакту-вання призводить відповідно до знижен-ня або втрати роботоздатності всієї машини чи конструкції. Проб-ле-ма забезпечення контакт-ної міцності, довговічності та зносостійкості елементів механічних систем є однією з важли-вих сучас-них науково-технічних проблем. В рамках цієї проблеми особливо актуальним є вивчення при-ро-ди і причин типових пошкоджень трибоспряжень та теоретичний опис процесів їх фор-мування.

Однією з найпоширеніших форм механічного пошкодження твердих тіл в зоні їх циклічного контакту є тріщиноутворення. Тріщини, які появ-ля-ються в повер-хневих шарах зон співдотику контактуючих тіл, мо-жуть, поширюючись, утворювати ямки (pitting), відшарування (spalling), розкришування (cracking) поверхні тощо, і таким чином спри-чи-нятися до макрозношування та втрати експлуатаційної здатності повер-хонь контак-ту. Нерідко приповерхневі тріщини ініціюють також поширен-ня магіст-раль-ної тріщини і повне руйнування виробу (деталі).

За умов циклічного контактування деформівних тіл зародження і роз-ви-ток тріщин в зоні їх контакту найчастіше спостерігається у випадках, коли контактна взаємодія реалізується як фретинг-втома, кочення, пульсуючий контакт, фрик-цій-на втома тощо.

Контактна втома кочення характерна для таких трибосистем (трибоспряжень), як колесо-рейка, опорний і робо-чий валки прокатних (вальцювальних) станів, різноманіт-ні зубчасті зачеплення, кулькові та роликові підшипники і т. п. Розроблення кри-теріїв оцінки ресурсу роботи таких систем, заходи щодо підвищення їх екс-плуатаційної довговічності є важливими технічними та економічними зав-даннями.

Явище фретинг-втоми реалізується у вузлах машин та конструкцій, еле---мен-ти яких зазнають незначних коливних взаємних проковзувань, вик-ликаних зде-біль-шо-го циклічними навантаження-ми або експлуатаційними вібраціями. Особливо це стосу-є-ть-ся з'єднань в кор-пу-сах і обшивках різнома-ніт-них засобів транспорту (ав-то-мобілів, літаків, ракет, кораблів) та багатьох конструкцій про-мис-ло-вого призначення (турбін АЕС, газотурбінних двигунів, нафтових платформ, мостів, трубопроводів), а також різноманітних шліцьових, болтових і шпон-кових з'єднань. Відомо, що тріщини, які появляються в зоні контакту елементів вузлів і з'єднань, підданих фретинг-втомі, можуть у декілька разів зни-жувати втомну довговічність вузлів і машин, тобто є дуже небез-печними.

Проблема контактної міцності і довговічності різноманітних механіч-них сис-тем є актуальною науково-технічною проблемою, над розв’язанням якої працюють науковці та інженери і в Украї-ні, і за її межами. Донедавна для роз-в'язання цієї проблеми в основному використовувалися фе-номенологічні підходи як відповідне узагальнення комплексних експе-ри-мен-тальних дослідж-ень.

У дисертаційній роботі на основі концепцій механіки руйнування мате-рі-алів розроблено нові моделі і методи дослідження процесів руй-нування та оці-ню-вання довговічності твердих тіл, підданих циклічному контактуванню. Це створює теоретичні основи механіки контактного втомного руйнування матері-алів і засобів розрахунку довговічності рухомих та нерухомих спряжень машин і механізмів. Запропонований під-хід дозволяє також по-новому підійти до аналізу процесів утворення типових приповерхневих пошкоджень (макрозношування) в елементах трибоспряжень.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження за темою дисертації виконувалися в рамках держбюджетних наукових тем за відомчими замовленнями НАН України: 1990-1992 рр. – “Розробка мето-дів дослідження руйнування матеріалів при їх контактній взаємодії”, дисертант – керівник теми; 1993-1995 рр. – “Розробка методів оцінки контактної втоми матеріалів з позицій механіки руйнування”, ди-сер-тант – керівник теми; 1996-1998 рр. – “Розробка теоретичнних основ механіки втомного руйнування де-формівних твердих тіл при їх контактній взаємодії”, № держреєстрації 0196U002989, дисертант – співкерівник те-ми; 1999-2001 рр. – “Дослідження механіки зсувних тріщин в умовах контакт-ної циклічної взаємодії матеріалів”, № держреєстрації 0100U004851, ди-сер-тант – співкерівник теми; 2002-2004 рр. – “Розробка теоретичних основ механіки втомного руйнування і зношування твердих тіл при їх контактній взаємодії”, дисертант – співкерівник теми; 2005-2006 рр. – “Розробка числових методів оцінки залишкової довговічності і контактної тривкості тіл кочення в системі “колесо-рейка””, № держреєстрації 0105U004323, дисертант – керівник теми; 2005-2007 рр. – “Моделювання кінетики поширення тріщин в зонах контактування твердих тіл за умов кочення та фретинг-втоми”, № держреєст-рації 0105U004301, дисертант – співкерівник теми. Також дослідження велись в рамках проектів Державного фонду фундаментальних досліджень ДКНТ України: 1992-1993 рр. – “Розробка чисельно-аналітичних методів дослідження руйнування тіл при їх контактній взаємодії”, № 2/403, дисертант – відповідальний виконавець; 1997-2000 рр. – “Втомне руйнування контактуючих тіл при взаємодії кочення”, № 1.4/174, дисертант – відповідальний виконавець.

Мета і завдання дослідження. Розроблення розрахункових моделей та алгорит-мів для аналізу процесів руйнування та оцінювання залишкової довго-віч-ності твердих тіл в зоні їх циклічного контактування. Встановлення на основі концепцій механіки руйнування матеріалів закономірнос-тей руйнування і зно-шування та контактної довговічності елементів рухомих і нерухомих з'єднань (трибоспряжень) за умов кон-тактних взаємодій кочення (кочення з проковзуванням) і фретинг-втоми. Розвиток математичного апарату сингу-лярних інтегральних рівнянь сто-сов-но розв'язування контактних задач теорії пружності для тіл з тріщи-нами як засобів для одержання кількісної оцінки контактної довговічності твердих тіл.

Для досягнення поставленої мети необхідно було розв'язати такі фундамен-тальні та прикладні задачі:

·

·

·

·

·

·

Об'єкт дослідження: втома деформівних твердих тіл, підданих циклічному контактуванню.

Предмет дослідження: процеси руйнування в зоні циклічного контак-ту-ван-ня деформівних твердих тіл і їх довговічність; контактна довговічність елементів трибоспряжень.

Методи дослідження: числове моделювання росту тріщин на основі підході-в механіки руйну-ван-ня матеріалів; метод сингулярних інтеграль-них рівнянь розв'язування контактних задач теорії пружності для двови-мір-них тіл з тріщи-на-ми; метод механічних квадратур Гаусса–Чебишова.

Наукова новизна одержаних результатів.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Практичне значення одержаних результатів. Запропонований у дисертаційній роботі підхід реалізовано для таких поширених в інженерній практиці систем кочення, як колесо-рейка, вал-ки вальцювальних станів, підшипники кочен-ня, а також з'єднань, підданих фретинг-втомі. Розроблені розрахункові алгоритми дозволяють за характеристиками тріщиностійкості матеріалів на основі комп'ютерного аналізу прогнозувати виник-нення і ріст небезпечних магістральних тріщин та передбачати типи і розміри час-тинок макрозно-шу-ван--ня при пітингоутворенні, відшаровуванні, розкришуванні і т. п., тобто прогнозувати контактну довговічність елементів спряження. На основі от-риманих результатів можна здійснювати заходи щодо оптимізації експлуатаційних параметрів трибоспряжень.

Вперше побудовано теоретичну криву контактної втоми при контакті кочення для рейкових сталей за утворенням пітингу з використанням характеристик циклічної тріщиностійкості сталей на відрив і зсув.

Розроблені підходи запропоновано використати для попередньої апробації нових рейкових та колісних сталей, а також для діагностики та класифікації пош-коджень в системі “колесо-рейка”. Отримані результати впроваджуються в інженерну практику.

Особистий внесок здобувача. Основні результати роботи дисертант отримав самостійно. У спільних пуб-лі-каціях, зокрема у монографії [1] та статтях [2–5], дисертанту належить побу--дова сингулярних інтегральних рівнянь (СІР) та отримання числових розв'язків першої основної задачі теорії пружності для двовимірних областей (нес-кін-ченна площина; півплощина; області, обмежені колом; смуга), послаблених системою довільно розташованих прямолінійних тріщин. У спільних публікаціях [6–9], [13], [15], [17], [19], [29] метод СІР для двовимірних тіл з криволінійними тріщинами дисертантом розвинуто на деякі контактні задачі для півплощини з криволінійними тріщинами. У цих роботах дисертанту належить побудова СІР та аналіз числових результатів.

У решті публікацій розв'язки статичних двовимірних задач теорії пружності для тіл з тріщинами дисертантом узагальнено на новий клас задач стосовно росту тріщин у твердих тілах під час їх циклічного контактування. У спільних публікаціях з цього напрямку дисертанту належить: фізична постановка задач, формулювання крайових умов контактних задач теорії тріщин і моделей та алгоритмів щодо розрахунку кінетики поширення тріщин в зоні циклічного контакту тіл, аналіз отриманих числових результатів та відомих з літератури експериментальних даних, підходи до встановлення кількісної оцінки залишкової довговічності приповерхневого шару елементів трибоспряжень; формулювання закономірностей і висновків щодо процесів руйнування тіл під час їх втомного контактування.

Публікації. Основні результати досліджень, які відображені в дисертації, опубліковані в 55-ох наукових працях [1–55] у тому числі в монографії [1], у 37-ми стат-тях [2–38] у наукових фахових періодичних виданнях, затверджених ВАК України, зокрема, у 5-ти провідних міжнародних журналах “Engineering Fracture Mechanics” (2), “International Journal of Fracture” (1), “International Journal of Fatigue” (1), “Wear” (1), а також у 15-ти статтях в мате-ріалах вітчизняних і міжнародних конференцій [39-54] та авторському сві-доцт-ві [55].

Апробація результатів дисертації. Основні результати роботи були пред-метом доповідей і обговорювалися на: 8-th Int. Conf. on Fracture – ICF-8 “Fracmechanics: Successes and problems” (Kiev, 1993), 2-nd Int. Conf. “Com-nal Methods in Contact Mechanics” (Ferrara, Italy, 1995), IX-ой конференции по прочности и пластичности (Москва, 1996), 11-th Europ. Conf. on Fractu– ECF-11 “Mechanisms and Mechanics of Damage and Failure” (Poitiers–FutuFrance, 1996), 13-th Europ. Conf. on Fracture – ECF-13 “Fracture MechaApplication and Challenges” (San Sebastian, Spain, 2000), 14-th Europ. Conf. on Fracture – ECF-14 “Fracture Mechanics beyond 2000” (Crakow, Poland, 2002), Міжнар. наук. конфер. “Сучасні проблеми механіки і математики” (Львів, 1998), 2-ій та 3-ій Міжнар. конфер. “Механіка руй-ну-вання матеріалів і міцність конст-рук--цій” (Львів, 1999, 2004), 13-th Int. Conf. on Wear of Materials – WOM-2001 (Van-couver, Canada, 2001), 2-nd World Tribo-logy Congress – WTC-2001 (Vienna, 2001), 4-ому Між-нар. симпоз. з три-бо-фа-ти-ки (Тернопіль, 2002), Міжнар. конфер. “Интегральные уравнения и их при-ме-не-ние” (Одеса, 2005); IV-ій Міжнар. наук. конф. “Математичні проблеми ме-ха-ні-ки неоднорідних структур" (Львів, 2003, 2006).

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, п'яти розділів, висновків і списку використаних джерел. Загальний обсяг дисертації становить 354 сторінки; вона містить 137 рисунків, 39 таблиць, а також бібліографічний список із 392 найменуванням.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі розкрито сутність і стан вивчення науково-технічної проблеми про довговічність і руйнування тіл за умов їх циклічного контактування, показано актуальність і обґрунтовано перспективи розроблення моделей і методів механіки руйнування для розв’язання різних аспектів цієї проблеми. Сформульована мета, задачі і методи досліджень. Описана наукова новизна одержаних результатів, їх обґрунтованість, вірогідність та практичне значення. Наведено дані про апробацію роботи, про публікації, що відображають її зміст, означено вклад здобувача в публікаціях, підготовлених за участі співавторів.

У першому розділі роботи на основі аналізу літературних даних відображено основ--ні етапи і складові розвитку досліджень з механіки контактного втомного руйнування.

Початок дослідженням з механіки контактного руйнування поклали роботи Герца (H. Hertz; 1881, 1882). Пізніше дослідження процесів руйнування контактуючих тіл різної фізичної природи проводили, зокрема, такі дослідники як J. Andrews, F. Auerbach, A. Dalladey, F. Preston, C. Raman, F. Twyman, В.Д. Кузнєцов, С.В. Пінєгін та ін. Починаючи з 1956 р., F. Frank, B. Lawn, F. Roster, Г.І. Баренблатт, Г.П. Черепанов роблять спроби аналітично описати процес руйнування контактуючих деформівних твердих тіл, використовуючи результати Герца і Гріффітса. В 1975 р. B. Lawn і T. Wilshaw опублікували фундаментальний огляд з аналізом проведених досліджень і окресленням деяких перспективних проблем. Появу цієї публікації, а також монографії Ю.В. Колесникова і Е.М. Морозова (1989) можна розглядати як становлення самостійного наукового напрямку – механіки контактного руйнування.

В цей час також появляються дві монографічні праці “Контактная прочность и соп-ротив-ле-ние качению” С. Пінєгіна (1969) і “Фреттинг-коррозия” Р. Уотер-ха-у-за (1976), а згодом оглядові публікації Л.А. Сосновського, Н.А. Махутова, В.А. Шурінова (1992), які демонструють наскільки широко процеси тріщино-утво-рення вражають елементи вузлів машин і конструкцій під час їх експлуатації. Ці роботи, а також потреби інженерної практики в значній мірі висунули в число пріоритетних науково-технічних досліджень проблему втомного контактного руйнування.

У 70-90-х роках минулого століття ряд учених формулюють перші теоретичні мо-де--лі з механіки втомного контактного руйнування. Зокрема, стосовно контакт-ної взає-модії фретинг-втоми розрахункові моделі запропонували D. Rooke і D. Jones (1979), Л. Дехович і Н. Махутов (1981), В. Трощенко і Г. Цибаньов (1988), M. Dubourg і B. Ville-chaise (1992), D. Hills і D. Nowell (1994), F. Faanes (1995); U. Fernando, M. Brown і K. Miller (1996), а стосовно контактної взаємодії кочення – L. Keer і M. Bryant (1983), A. Hearly і K. Johnson (1985), M. Kaneta і Y. Murakami (1987), S. Sheppard, J. Barber і M. Comninou (1987), A. Bower (1988). Вищезгадані і пізніше запропоновані моделі базуються на концепціях механіки втомного руйнування, роз-в`язках контакт-них задач теорії пружності для тіл з тріщинами і на врахуванні визначальних експлуа-та-цій-них параметрів того чи іншого типу контактної взаємодії тіл у трибоспряженні. В переважній більшості цих моделей траєкторія розвитку тріщини і довговічність спро-щено прогнозуються за підростанням прямолінійної зсувної макротріщини (крайо-вої або підповерхневої) в зоні контакту, а пізніше, коли тріщина входить в зону роз-тягу, – за напрямком (кутом) її початкового відхилення у пружній півплощині під дією на її краю відповідного до типу контактної взаємодії модельного навантажен-ня. У дійсності за умов циклічного контактування тіл і складного напруженого стану в зоні їх кон-так-тування тріщини ростуть вздовж криволінійних траєкторій. При цьому росте одна або система тріщин, реалізуючи різноманітні типи пошкоджень поверхневого шару елемента трибоспряження: ямку-вання (pitting), відшарування (spalling), розкришування (cracking, checks), затемнення і осідан-ня поверхні через підповерхневе галуження тріщин – “нору” (squat, dark-spot) тощо. Відгалуження “нори” вглиб матеріалу часто переростає в небезпечну магістральну тріщину, яка руйнує виріб. Ці процеси руйнування контактуючих тіл є предметом сучасних досліджень з механіки руйнування і вимагають розроблення адекватних розрахункових моделей та математичних алгорит-мів побудови траєкторій розвитку тріщин за умов зміни напружено-деформованого стану, зумовленої ростом тріщин та взаємним переміщенням контактуючих тіл, а також за умов можливої зміни механізму поширення тріщин.

Процеси тертя, зношування і змащування під час контактної взаємодії елементів трибоспря-же-н-ь досліджуються починаючи з античних часів. Всесвітньовідомі імена таких відкривачів законів тертя, як Leonardo da Vinci (1500), G. Amontons (1699), C. Coulomb (1785) і зокрема, законів тертя кочення – R. Hook (1680), H. Hertz (1881). Різним аспектам трибології присвячені дослідження бага-тьох учених 20-го століття (В.М. Александров, О.Є. Андрейків, Ф.П. Боу-ден, Л.О. Галін, І.Г. Го-рячева, Д.В. Гри-ліць-кий, М.Н. Добичін, О.О. Євту-шенко, Є.В. Ко--ва-ленко, Ю.І. Ковальчик, В.С. Ком-ба-лов, М.В. Коровчинський, Б.І. Костецький, І.В. Крагельський, В.Д. Кузнецов, А.Г. Ку--з-ь---менко, Н. Мишкін, М.І. Пашечко, А.І. Свириденок, Л.А. Сосновський, К.В. Фролов, М.М. Хрущов, М.В. Чернець, А.В. Чичинадзе, В.В. Широков, W. Bartz, B. Bhushan, E. Brown, D. Dowson, F. Franek, H. Jost, M. Hebda, K. Holmberg, K. Kato, S. Pytko, M. Scherge, M. Shczerek та інші).

Проблемі механіки втомного руйнування матеріалів присвячено багато публікацій. Досліджен-ня з окремих напрямків цієї проблеми узагальнені в працях О.Є. Андрейківа, І.М. Дмитраха, В.С. Іванової, А.Я. Красовського, Н.А. Ма-ху-то-ва, Є.М. Морозова, Г.П. Нікішкова, Г.М. Никифор-чи-на, О.П. Осташа, В.В. Па-на-сю-ка, В.І. Похмурського, О.М. Романіва, М.М. Стад-ни-ка, С.В. Серен-сена, В.Ф. Терентьєва, В.Т. Трощенка, Г.П. Черепанова, С.Я. Яреми, A. Carpinteri, M. Klesnil, S.da, P. Luka, K. Miller, P. Paris, J. Rice, R. Ritchie, D. Taylor, T. Yokobori та ін.

Інформація про напружено-деформований стан або про коефіцієнти інтенсивності напружень у тілі з тріщинами, підданому дії контртіла (у зоні стиску), є базовою для моделювання росту цих трі-щин в процесі циклічного контактування тіл. Розв`язкам основних задач теорії пружності для тіл з тріщинами (коли межа тіла піддана дії системи зусиль чи переміщень) присвячено багато пуб--лі-ка-цій, зокрема монографії О.Є. Андрейківа, Л.Т. Бережницького, Г.С. Василь-ченка, Л.В. Єршова, А.О. Ка-мін-сь-ко-го, Л.М. Кача-но-ва, Г.С. Кіта, П.Ф. Кошелева, А.М. Лінькова, Н.А. Махутова, Є.М. Морозова, Г.П. Нікіш-ко-ва, В.В. Панасюка, В.З. Партона, М.П. Сав-ру-ка, Л.І. Сле-пяна, М.П. Ста-щука, В.М. Фінкеля, М.В. Хая, Г.П. Черепанова, M.H. Aliabadi, T.L. Anderson, A.J. Carlsson, E.E. Gdutos, B.M. Lowengrub, A. Neimitz, D.P. Rooke, I.N. Sneddon, J.G. Williams, X.R. Wu та ін. Дані про коефіцієнти інтенсивності напружень в околі вершин тріщин систематизовані в довідниках такими вченими як М.П. Саврук, M.H. Aliаbadi, Y. Murakami, P.C. Paris, G.R. Irwin, D.P. Rooke, D.J. Cartwright, G.C. Sih, H. Tada та ін. Однак в цих працях пере-важ--но розглядаються випадки відкритих прямолінійних тріщин. В зоні стискаючих напружень береги тріщини можуть налягати один на одного, тобто контактувати, що суттєво змінює напружено-деформований стан в околі вершини тріщини. Задачі для довільних криволінійних тріщин із загальними умовами контактування їх берегів (гладкий контакт, контакт з тертям, защемлення) мало досліджені.

Так само мало є досліджень про контактування твердих тіл, послаблених тріщинами. Розв`язки цих задач особливо важливі для моделювання таких контактних взаємо-дій, коли ділянки контакту є великими у порівнянні з іншими розмірами контакту-ючих тіл, а їх форми суттєво змінюють розподіл контактного тиску. Зокрема, відомі роз-в`язки про вдавлювання жорсткого штампа у пружну півплощину з прямолінійними тріщинами, які розглядались в роботах В.С. Тонояна, С.А. Мелкумяна, А.Ф. Мі-на-сяна, В.С. Саркисяна, І.І. Кудіша, N. Hasebe, J. Qian, T. Nakamura, M. Okumura та ін.

Дисертаційна робота присвячена моделюванню росту тріщин у тілах під час їх цик-лічної контактної взаємодії за умов складного і змінного напружено-дефор-мо-ва-но-го стану контактуючих тіл. Використовуючи метод сингулярних інтегральних рівнянь, у роботі побудовано розв’язки контактних задач теорії пружності для двовимірних тіл з криволінійними тріщинами, які стали основою аналізу поширення тріщин в таких системах. Ці розв'язки дали можливість розробити моделі та алгоритми для побудови траєкторій розвитку тріщин для випадків контактних взаємодій кочення і фретинг-втоми. Вони також використані для прогнозування залишкової довговічності (за тріщино-стійкістю) контактуючих тіл.

У другому розділі роботи сформульовано розрахункову модель для досліджен-ня процесів руйнування (росту макротріщин) та оцінювання залишкової довговіч-ності твердих тіл, підданих циклічній контактній взаємодії. Основою моделі є кри-терії руйнування та рівняння швидкості росту втомних тріщин в даному мате-ріалі, а також алгоритми покрокової побудови траєкторій розвитку тріщин, розро-блені з використанням сингулярних інтегральних рівнянь двовимірних контакт-них задач теорії пружності для тіл з криволінійними тріщинами. Модель враховує перерозподіл напружень, пов’язаний і з ростом тріщини, і зі зміною наванта-ження в циклі контактування, а також можливу зміну механізму поширення тріщини.

Формулювання моделі. Розглянемо циклічну контактну взаємодію двох тіл. Вважатимемо, що одне з контактуючих тіл пошкоджене тріщинами. Це тіло моделюємо пружною півплощиною, пос--лабленою системою тріщин (рис. 1). Контактний вплив з боку іншого тіла (контртіла) моделюємо або дією жорсткого штампу (рис. ), або дією розпо-ді-ле-них за певним законом нормальних р(х, , t) і дотичних q(х, f, , t) зусиль на краю півплощини (рис. 2). Ці зусилля залежать від форми і розмірів контртіла, механічних характеристик матеріалів та поверхонь контакту, особливостей контактної взаємодії в циклі контактування (в часі t). Найчастіше вживаними силовими схемами модельного навантаження р(х) є зосереджена сила, сталий тиск, еліптичний (герцівський) розподіл зусиль тощо. З допомогою дотичних зусиль q(х, f, , t) враховуємо сили тертя, що виникають при контактуванні тіл. Найпростішим варіантом зоб-раження розподілу дотичних зусиль є їх зв’язок з нормальними за законом Амонтона–Кулона q(х)  fр(х) при повному проковзуванні між тілами, де f – коефіцієнт тер-тя між ними.

Як прийнято в механіці втомного руйнування матеріалів, довговічність (N) пошкодженого тіла оцінюємо за двома її складовими:

N = Nі + Ng, (1)

де Ni – період (кількість циклів навантаження) до зародження макротрі-щи--ни, Ng – пері-од, протягом якого макротріщина підростає від зарод-ко-вої lі до кри-тич-ної (допустимої) довжини lc. Період Ng називають залиш-ко-вою довго-віч-ніс-тю. Кожний із періодів оцінюємо відповідним спів-від-но-шенням

; (2)

тут v = dl/dN – швидкість росту тріщини, l – її довжина. Приймаючи, що процес зароджен-ня втомної мак-ро---трі-щи-ни конт-ро-люється переважно дефор-маційними параметрами (в околі її вершини), а процес рос-ту – силовими, у фор-мулах (2) викорис-товуємо розмахи відпо-відних параметрів   і K у циклі контактування. Загалом, за-лежнос-ті v() і v(K) уста--нов-лю-ють для заданого мате-ріалу експери-ментально у виг--ляді діаг-рам втом-но-го руйнування матеріалу (ДВР). На основі ДВР виз-на-чають також конс-тан-ти – харак-те--ристики циклічної тріщино-стійкості матеріалу – А1, . . . , Ат, С1, . . . , Ст. Дослідження зародження макротріщин в конструкційних матеріалах складають окремий розділ механіки матеріалів; мінімальний розмір макротріщини li суттєво пов’язаний із структурою матеріалу. Наближено можна вважати, що мінімальний розмір макротріщини для даної структури матеріалу еквівалентний середньому розмірові зерна цієї структури. В дисертації ця проблема не деталізується.

Виходячи з аналізу експериментальних даних, вважаємо, що в зоні контакту, на початковій стадії руйнування матеріалу, макротріщини (крайові та підповерхневі) розвиваються переважно прямолінійно за механізмом поперечного зсуву, а пізніше – при вході в зону розтягу – криволінійно за меха-ніз-мом відриву. Тому складову довговічності Ng у співвідношеннях (2) представляємо таким чином:

, (3)

;

тут і – довговічність на стадії розвитку макротріщини відповідно за механізмом зсуву і відри-ву; l0, l0, lc, lс – початкові (зародкові) і допустимі (критичні) довжини макротріщини відповідно на стадії зсуву і відриву.

Параметр напружено-деформованого стану K(l, , t, ), який відповіда-є за руй--нування у вер-ши-ні тріщини, вибираємо від-повідно до ймовірного механізму руй-нування. Цей параметр в рамках лінійної механіки руйну-ван-ня визначається че-рез КІН KІ і KІІ співвідношен-нями відповідного критерію локального руйнування:

(4)

тут – полярний кут, що відраховується від дотичної до тріщини у її вершині, а кут * такий, що при фіксованих l, , t параметр K досягає екстремального (максимального за модулем) значення. Оскільки протягом циклу контактування тіл в зоні їх контакту напружений стан змінюється і, відповідно, змінюються величини K(l, , t, *) і *(l, , t), то приймаємо, що тріщина підростає в циклі лише в той момент (при тих значеннях t =* і  *), коли параметр K(l, , t, *) досягає екстремуму і за кутом , і за аргументами t та . Тоді напрям росту тріщини в точці А (рис. 2) буде визначатись кутом ** = *(l, *, t*). При цьому розмах параметра K в циклі контак-туван-ня має бути більшим від розмаху по-ро-гу втомного росту тріщини в матеріалі Kth, тобто мають викону-ва-тись умови

maxK(l, , t, *) K(l, *, t*, **);

K = max K (l, , t, **) – min K(l, , t, **) > Kth . (5)

На стадії зсувного росту макротріщини відповідальними за руйнування у вершині тріщини вважаємо максимальні зсувні напруження. Тоді співвідношення (4) для відповідного критерію набувають вигляду:

(6)

Умови ж росту тріщини (5) конкретизуються в наступні:

maxKII (l, , t, *)= KII (l, *, t*, **); (7)

max KII (l, , t, **) – min KII (l, , t, **) > KIIth; (8)

тут KIIth – поріг втомного росту макротріщини при поперечному зсуві. Зауважимо, що умова (8) є водночас умовою переходу від стадії зародження макротріщини до стадії росту за зсувом і може служити для визначення початкової (зародкової) її довжини l0.

На другій стадії росту макротріщини за механізмом відриву відповідальними за руй--нування вважаємо максимальні розтягуючі колові напруження. Параметр K(l, , t, *) у цьому випадку описує-мо, використовуючи співвідношення узагальненого критерію нормального відриву
(-кри-те-рію), а саме:

(9)

Відповідно умови росту тріщини будуть наступні:

max KI (l, , t, *) = KI (l, *, t*, **); (10)

max KI (l, , t, **) – min KI (l, , t, **) > KIth; (11)

тут KIth – поріг втомного росту макротріщини за механізмом відриву. Умова (11) є водночас умовою переходу від стадії росту макротріщини за механізмом зсуву до стадії росту за відривним механізмом і вона служить для визначення критичної довжини зсувної макротріщини lс. Тут приймаємо, що l0 = lc, а для визначення критичної довжини lс використовуємо умову

KІ KІfc, (12)

де KІfc – критичне значення розмаху КІН KІ, при досягненні якого тріщина починає рости спонтанно. Зауважимо, що перехідні умови (8) і (11), на основі яких можна встановити довжини тріщин l0, lc, l0, в реальних розрахунках, залежно від структури формул, які описують діаграму швидкості росту втомної тріщини в матеріалі у співвідношеннях (3), використовувались в іншій формі, а саме:

або (13)

і або , (14)

де – розмах умовного порогового коефіцієнта інтенсивності напружень, що відповідає швидкості росту втомної тріщини vth = 10–10 м/цикл, K1–2 – розмах коефіцієнта інтенсивності напружень, що відповідає нижній межі прямолінійної ділянки Періса на діаграмі втомного руйнування матеріалу.

Побудова траєкторій розвитку тріщин. Траєкторію росту макротріщини будуємо покроково, беручи за основу алгоритми, відомі в літературі (М.П. Саврук та П.М. Осів). Але у нашому випадку замість одного вводимо в роз--г---ляд два ти-пи кроків: основний, пов’язаний з ростом тріщини, і допо-між-ний, пов’я-за-ний зі змі-ною навантаження в циклі контактування. Крок при-рос-ту траєк-торії трі-щини h на кож-ному етапі побудови траєкторії відк-ла-дає-мо з вер-шини трі-щи-ни у напрямі, що визначається кутом = ** (рис. 2). Допоміжний крок використовуємо для пошуку екстрему-мів величини розмаху па-раметра K в циклі контактування. На кожному кроці побу-до-ви траєкторії (про-тя-гом відповідної йому кіль-кос--ті циклів контактування) ве-ли-чини *, t*, **, K вва-жаємо сталими. КІН KІ і KІІ на кожному кроці побудови знахо-ди-мо з роз-в’язку сингулярних інтег-раль-них рівнянь (СІР) статичної (у загальному випадку кон-так-т-ної) за-да-чі теорії пружності для півплощини з криво-лінійною трі-щиною від-по-відної конфігурації. Кож-ний приріст траєкторії апрокси-мує-мо полі-номом тре-тього степеня, рівняння якого на j ому кроці у локальній системі координат х1О1у1 матиме вигляд:

(15)

Коефіцієнти цього рівняння встановлюємо на основі критеріальних співвідношень росту тріщини та умов гладкості стикування сусідніх ділянок траєкторії.

Рівняння контуру траєкторії в локальній системі координат х1О1у1 (рис. 2) після j кроків її побудови записуємо у вигляді:

k = 1, ... , j – 1. (16)

Залишкову довговічність встановлюємо на основі співвідношень (3). З урахуванням покрокового способу побудови траєкторії оцінку залишкової довговічності на кожній із стадій росту тріщини здійснюємо за формулою

. (17)

Тут jc – сумарна кількість кроків приросту тріщини, протягом яких вона досягає кри-тич-ної довжини; lk і vk – відповідно приріст тріщини і швидкість про-су-вання її вер-ши-ни на k-ому кроці розрахунку. Будуючи траєкторії розвитку тріщин одночасно із декількох вершин (п = 1, 2, ... , N), величини кроків hn приростів тріщин співвідносимо до швидкостей просування цих вершин: hn/h1 = vn/v1.

У третьому розділі побудовано сингулярні інтегральні рівняння деяких контактних задач теорії пружності для тіл з тріщинами. При цьому комплексні потенціали Колосова-Мусхілішвілі для розглянутих задач представлено у вигляді інтегральних зображень з ядрами типу Коші відносно похідних від розривів перемі-щень на контурах тріщин і тиску під штампом. У загальному випадку задачі зведено до систем сингулярних інтегральних рівнянь пер-шо-го та другого роду. У ряді випадків задачі до-ведено до числових результатів (знайдено КІН).

1. Півплощина з криволінійними тріщинами під дією жорсткого штампа. Розглядається задача про втискання жорсткого штампа з опуклим профілем основи в пружну ізотропну півпло-щи-ну, пос-лаб-ле-ну системою N гладких криволіній-них роз-рі-зів (тріщин) Ln (n = 1,…, N). На штамп діють вер-тикальна сила P, гори-зон-тальна сила Q, а також момент M (рис. 3). Поза ділянкою контак-ту a   край півплощини незаванта-же-ний. Вважається, що штамп знаходиться в стані граничної рівноваги на зсув (між ним і півплощиною виникають сили тертя за законом Кулона: Q = fP, де f коефіцієнт тертя). Під дією зовнішніх зусиль штамп пере-міщається посту-пально у напрямі, паралельному осі Oy, а також одночасно повертається на деякий малий кут . Таким чином, крайові умови задачі на краю півплощини (y = 0) мають вигляд:

,

; (18)

тут v(х) – компонента вектора переміщень вздовж осі Oy основної системи коор-ди-нат xOy. Функція h(x) описує контур основи штампа, який є гладкою кривою.

При втисканні штампа береги тріщин у зонах стиску можуть налягати один на одного, що призводить до появи контактних напружень. Поза ділянками контакту береги тріщин вільні від напружень. Позначимо через відкриті ділянки на контурах тріщин, а через – ділянки з контактом. Тоді крайові умови на берегах тріщин матимуть вигляд:

а) Контакт зчеплення

;

, . (19)

b) Контакт проковзування з тертям

;

; (20)

fc – коефіцієнт тертя між берегами тріщин.

с) Гладкий контакт ( fc = 0 у співвідношеннях (20)).

У формулах (19) і (20) Nn і Tn нормальні й дотичні зусилля на берегах n-ої тріщини; через un і vn позначено проекції вектора переміщень на осі Onxn і Onyn локальної системи координат xnOnyn, а через v нормальну компоненту переміщень берегів тріщини. Верхнім індексам + або відповідають граничні значення величин при наближенні зліва або справа до контурів розрізів. Крім цього, мають виконуватись умови рівноваги штампа

; , (21)

де p(x) невідомий тиск під штампом.

Межі зон контакту на тріщинах знаходимо з умови, що стрибок нормальних переміщень стає рівним нулю. Невідому ширину ділянки контакту визначаємо з умов, що контактний тиск p(x) = –y(x) у крайніх точках a і b дорівнює нулю, тобто p(a) = 0, p(b) = 0. Очевидно, що розв’язок задачі має фізичний сенс, якщо p(x)  0 для a  x  b.

Комплексні потенціали Колосова-Мусхелішвілі поставленої задачі подаємо як суми функцій комплексної змінної z = x + iy:

(z) = 0(z) + 1(z); (z) = 0(z) + 1(z). (22)

Функції 0(z) і 0(z) характеризують напружений стан суцільної півплощини з краєм, навантаженим контактними зусиллями p0(x). На основі відомого розв`язку Мусхелішвілі

; . (23)

Функції 1(z) і 1(z) описують напружений стан півплощини, зумовлений розривами переміщень на контурах розрізів Ln. Їх вирази запишемо на основі зображень, запропо-нованих для системи прямолінійних тріщин у монографії В.В. Панасюка, М.М. Саврука, О.П. Дацишин, а для системи криволінійних тріщин – у монографії М.П. Саврука:

; (24)

.

+

; (25)

, (26)

де – похідні від розривів переміщень на контурах тріщин, – комплексні координати початків локальних систем координат xkOkyk в основній системі xOy; G модуль зсуву,   –  для плоскої деформації і  – )/(1 ) для узагальненого плоского напруженого стану, коефіцієнт Пуассона.

Після підстановки комплексних потенціалів (22)–(25) у крайові умови (18)–(20) задача зводиться до СІР першого (для випадку проковзування берегів тріщини) і другого (при зчепленні берегів) роду відносно невідомих функцій та.

На основі розв’язку побудованих сингулярних інтегральних рівнянь кое-фі-цієнти інтенсивності напружень (КІН) у вершинах тріщин і в точках входження берегів тріщин у контакт визначаємо за такою формулою:

, , (27)

де ; знак “” відповідає точкам , знак “+” точкам .

2. Півплощина з тріщинами під дією модельного контактного навантаження (рис. 4). Сингулярні інтегральні рівняння цієї задачі отримуємо як частковий випадок із рівнянь попе-редньої задачі про штамп і наводимо їх у явному вигляді, оскільки власне вони найчастіше ви-ко-рис-товуються в дисертаційній роботі для побудови траєкторій розвитку тріщин.

Крайові умови на краю півплощини (y = 0):

(28)

Береги тріщин не контактують і заван-тажені самозрівнова-же-ними зуси-лля-ми pn(n):

, , n = 1, … , N. (29)

Відповідна система сингулярних інтегральних рівнянь (СІР) задачі в нормалізованій формі має вигляд:

 , n = 1, … , N. (30)

де , а (–1    1) – параметричні рівняння контурів тріщин. Ядра Rnk(, ) і Snk(, ) СІР (30) наступні:

(31)

Pn() – відомі функції, які визначаються навантаженням на краю півплощини, на берегах тріщин та нескінченності.

Розв’язок системи СІР (30) має задовольняти додаткові умови

, n = 1, … , , (32)

які забезпечують однозначність переміщень при обході контурів внутрішніх тріщин.

Отримані в роботі інтегральні рівняння ефективно розв’язуються методом механічних квадратур Гаусса-Чебишова. Для реалізації цього методу шукані функції n() задаємо у вигляді:

, (33)

де иn() – неперервні на відрізку [–1;1] функції.

Застосовуючи до СІР (30) і співвідношень (32) квадратурні формули Гаусса, задачу зводимо до розв’язування наступної системи лінійних алгебричних рівнянь:

(34)

де нулі поліномів Чебишова відповідно першого і другого роду. Для простоти тут прийнято, що = N.

Маючи розв’язок системи (34) коефіцієнти інтенсивності напружень у вершинах тріщин визначаємо за формулою:

(35)

3. Крайова криволінійна тріщина з контактуючими берегами (рис. 5). У цьому випадку крайові умови задачі на краю півплощини матимуть вигляд (28). На берегах тріщини за умов контакту проковзування з тертям маємо:

; (36)

; (37)

тут fc коефіцієнт тертя в контакті між берегами трі-щини; L контур тріщини; – су-куп-ність відкритих ділянок контура тріщини; L – L* сукупність ділянок проковзування; un(), vn() дотична і нормальна компоненти вектора переміщень на контурі тріщини.

Шукану функцію (похідну від розриву переміщень вздовж контура L) запишемо у виг-ляді:

, (38)

де ; ;

s – дугова абсциса точки .

Сингулярні інтегральні рівняння цієї задачі отримаємо аналогічно, як у двох попередніх випадках:

, ;

; (39)

тут ; , якщо ; q , якщо ; Р() – відома функція, яка визначається навантаженням на краю півплощини. Оператор I{L} визначаємо як:

,

де R(t, ), S(t, ) відомі ядра (31) СІР для півплощини з криволінійною розкритою тріщиною.

Коефіцієнт інтенсивності напружень у вершині крайової тріщини, що є в зоні контакту, з комплексною координатою = а буде мати вигляд:

, (40)

де – функція, яку визначаємо із рівнянь (39).

У четвертому розділі роботи сформульовану в розділі 2 модель втомного контак-т-ного руйнування та математичний апарат сингулярних інтегральних рівнянь