НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

Інститут математики

Бондаренко Віталій Віталійович

УДК 512.6+512.8

ЗАСТОСУВАННЯ МАТРИЧНИХ ЗАДАЧ У ТЕОРІЇ ГРУП ТА АЛГЕБРИЧНІЙ ГЕОМЕТРІЇ

01.01.06 — алгебра і теорія чисел

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ — 2008

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано на кафедрі алгебри та математичної логіки Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник:

доктор фізико–математичних наук, професор,

Дрозд Юрій Анатолійович,

завідувач відділу алгебри Інституту математики НАН України.

Офіційні опоненти:

доктор фіз.-мат. наук, професор,

Новіков Борис Володимирович,

Харківський національний університет ім. В.Н.Каразіна, професор

кандидат фіз.-мат. наук, доцент

Пилявська Ольга Степанівна,

Національний Університет “Києво-Могилянська академія”, доцент.

Захист відбудеться 2008 р. о 15 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.03 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м.Київ, вул. Терещенківська, .

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий 20 березня 2008 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Сергейчук В.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дисертаційна робота присвячена вивченню унітрикутних матричних зображень скінченних груп, класів спряжених елементів груп унітрикутних матриць та модулів над комутативними кільцями спеціального вигляду.

Зображення скінченних груп над полями займають важливе місце в теорії зображень та її застосуваннях.

У класичному випадку, коли характеристика поля не ділить порядок скінченної групи, група має (з точністю до еквівалентності) скінченне число нерозкладних зображень, причому кожне нерозкладне зображення є незвідним. У модулярному випадку, коли характеристика p ділить порядок групи, скінченне число нерозкладних зображень мають лише групи з циклічною силівською p-підгрупою, а для більшості скінченних груп задача про опис їх зображень включає в себе задачу про класифікацію пар матриць з точністю до подібності (такі групи називаються дикими, а групи, що допускають явний опис зображень, — ручними; точні формальні означення ручних і диких задач наведено в добре відомій роботі Ю. А. Дрозда). Модулярні зображення скінченних груп вивчали в різний час С. Д. Берман, В. М. Бондаренко, Р. Брауер, Ш. Бреннер, Д. Грін, П. М. Гудивок, С. Конлон, І. Райнер, К. Рінгель, Д. Хігман та багато інших алгебраїстів. Ручні групи в цьому випадку повністю описали В. М. Бондаренко і Ю. А. Дрозд.

Оскільки кожне зображення групи породжує підгрупу в повній матричній групі, то вивчення властивостей зображень часто пов’язане із вивченням властивостей матричних груп.

Важливе місце в сучасній алгебрі займають також зображення груп над різними кільцями (в першу чергу цілочислові зображення) та зображення різних класів кілець. Такі зображення груп вивчали С. Д. Берман, П. М. Гудівок, А. Джонс, Л. О. Назарова, І. Райнер, А. В. Ройтер А. Трой, А. Хеллер та інші. Зображення різних класів кілець (чи модулів над ними) вивчали З. И. Боревич, Ю. А. Дрозд, О. Г. Завадський, В. В. Кириченко, А. В. Ройтер, Д. К. Фаддєєв, Х. Якобінський та інші алгебраїсти.

При вивченні вказаних зображень та модулів використовуються як методи самої теорії зображень, так і методи теорії матричних задач.

З іншого боку, теорія модулів Коена–Маколея в останні роки одержала нові стимули для дослідження. Проблема класифікації таких модулів, яка спочатку розвивалася в межах теорії цілочисельних зображень в роботах Д.К. Фадєєва, З.І. Боревича, Х. Басса, І. Райнера, А.В. Ройтера, Ю.А. Дрозда, Х. Якобінського та інших, несподівано виявилась тісно пов’язаною з теорією особливостей в алгебричній геометрії. У роботах М. Артіна, Верд’є, Ено, М. Ауслендера, Ю. А. Дрозда, Г-М. Гройеля та інших вивчалася будова модулів Коена–Маколея над локальними кільцями особливостей, зокрема, питання про дихотомію "ручні-дикі" для цього випадку. Втім, навіть для найпростішого випадку гіперповерхонь останнє питання залишається відкритим. Отже, подальші дослідження в цих напрямках є актуальними.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертаційної роботи пов’язана з науковими дослідженнями кафедри алгебри та математичної логіки Київського національного університету імені Тараса Шевченка — тема 01БФ038-03, “Розробка методів асимптотичного інтегрування нелінійних систем, теорії керування в біології та медицині і моделювання процесів взаємодії та деформування суцільних середовищ”, підрозділ “Геометричні структури та комбінаторно-геометричні методи дослідження алгебраїчних систем та їх зображень” (номер державної реєстрації 0101U002479) та з науково-дослідною темою 97046 „Теорія алгебраїчних систем та їх зображень і її застосування” (номер державної реєстрації 0197U003160).

Мета і завдання дослідження. Метою дослідження є опис скінченних унітарно ручних і унітарно диких скінченних груп та детальне вивчення 2-класів спряжених елементів груп унітрикутних матриць над полями (2-клас — це клас, що складається із елементів порядку 2).

Об’єктом дослідження є унітрикутні зображення скінченних груп та класи спряжених елементів груп унітрикутних матриць.

Предмет дослідження — зображувальний унітрикутний тип скінченних груп, вигляд канонічних представників класів спряжених елементів для груп унітрикутних матриць та число таких класів.

Методи дослідження. Основними методами, що використовуються у дослідженні, є методи теорії зображень і теорії модулів, а також стандартні і модифіковані методи комбінаторного аналізу.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації автором отримано нові теоретичні результати, основними із яких є такі:

· Дано повну класифікацію модулярних унітрикутних зображень циклічної групи порядку 2.

· Отримано опис унітрикутно диких скінченних груп над полем характеристики p>0. Зокрема, доведено, що в модулярному випадку будь-яка скінченна p-група порядку більшого ніж 2 є унітрикутно дикою.

· Вказано повний список канонічних представників 2-класів спряжених елементів для груп унітрикутних матриць над полем характеристики 2.

· Для групи унітрикутних матриць будь-якого розміру nґ n над скінченним полем характеристики 2 знайдено число 2-класів спряжених елементів.

· Доведено, що коли гіперповерхнева особливість розмірності nі2 задана рівняннями без членів степеня dЈ3, або розмірності nі3 задана рівняннями без членів степеня dЈ2, то вона є Коен–Маколієво дикою.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер. Її результати та методи можуть бути використані в теорії зображень, теорії матричних груп, алгебричній геометрії та суміжних розділах математики.

Особистий внесок здобувача. Усі результати дисертаційної роботи отримано здобувачем самостійно.

Апробація результатів дисертації.

Результати дисертаційної роботи доповідались:

на П’ятій міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (Одеса, липень 2005р.);

на Одинадцятій міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (Київ, травень 2006р.);

на міжнародній алгебраїчній конференції по радикалам (Київ, липень–серпень 2006р.);

на Шостій міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (Каменець-Подільський, липень 2007р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 9 наукових роботах. Із них 5 статей — у фахових виданнях та 4 — у матеріалах та тезах конференцій

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел. Загальний обсяг роботи — 127 сторінок, із них список використаних джерел займає 7 сторінок (70 найменувань).

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У розділі 1 викладено основні поняття та класифікаційні результати, що стосуються скінченновимірних зображень скінченних груп над полем; вказано низку результатів про класи спряжених елементів матричних груп та зображення комутативних кілець.

Основні результати дисертації викладено в розділах 2 – 4.

Означення. Трикутну матрицю з одиничними елементами на головній діагоналі називають унітрикутною.

Групу (верхніх) унітрикутних матриць над k, де n — натуральне число, будемо позначати через .

Розділ 2 присвячено вивченню класів спряжених елементів груп (верхніх) унітрикутних матриць над полем k характеристики 2 у випадку, коли вони складаються із елементів порядку 2. Такі класи ми називаємо 2-класами.

У підрозділі 2.1 розглянуто передумови, а також сформульовано теорему, що дає опис повної системи представників 2-класів спряжених елементів групи (як видно із теореми, ці представники є “канонічними”). Отже, перейдемо до цього розгляду.

Нехай позначає множину оборотних елементів поля k: . Порядком матриці називаємо найменше p>0 таке, що — одинична матриця; якщо такого p не існує, то A — матриця нескінченного порядку.

Покладемо

[1,n]={1,2,…,n}

(n — натуральне число), і позначимо через підмножину в , що складається із елементів (p,q) таких, що p<q.

Через E(n) будемо позначати одиничну матрицю розміру nґn, а через — матрицю розміру nґn, в якій на місці (i,j) стоїть одиничний елемент, а на решті місць — нульові елементи.

Нехай P — підмножина в . Елемент назвемо P-ізольованим, якщо для довільного елементу

y=(p,q)ОP, y№x, множина {i,j}З{p,q} порожня (зрозуміло, що y=x може мати місце лише в тому випадку, коли xОP). Позначимо через сукупність всіх підмножин , P№Ж, таких, що кожний елемент xОP є P-ізольованим.

Нехай і l — певне відображення із X в ; замість l((i,j)) будемо писати l(i,j). Зіставляємо з парою (X,l) матрицю в такий спосіб:

Легко бачити, що ; якщо множина X порожня, то M(X,l)=E(n).

Теорема 2.1 1) Нехай K — клас спряжених елементів групи , що складаються із елементів порядку 2. Тоді існують X та l такі, що M(X,l)ОK.

2) Нехай — класи спряжених елементів в , що містять відповідно елементи і . Якщо , то .

Зауважимо, що множина X не може бути порожньою, бо тоді M(X,l) — одинична матриця.

Доведення теореми 2.1 наведено в підрозділах 2.2 – 2.4.

У підрозділі 2.5 знайдено число 2-класів спряжених елементів групи , де k — скінченне поле характеристики 2 (зауважимо, що із теореми 2.1 випливає, що число таких класів нескінченне, якщо нескінченним є поле k). А саме, доведена така теорема.

Теорема 2.6 Нехай k — скінченне поле із елементів і — число 2-класів спряжених елементів в групі . Тоді

Зауважимо, що для кожного фіксованого n число є поліномом відносно q.

У розділі 3 вивчаються властивості унітрикутних та трикутних зображень скінченних груп.

Підрозділи 3.1 – 3.4 присвячено вивченню унітрикутних зображень груп.

У підрозділі 3.1 наведено основні означення.

Унітрикутним зображенням групи G над полем k називається гомоморфізм

групи G в групу , де n — деяке натуральне число. Два унітрикутні зображення

назвемо унітрикутно еквівалентними, якщо існує унітрикутна матриця M така, що

для довільного gОG. Якщо характеристика поля k ділить порядок групи G, то унітрикутне зображення назвемо модулярним.

Пряма сума унітрикутних зображень T і S групи G — це зображення TЕS таке, що

(TЕS)(a)=T(a)ЕS(a).

Унітрикутне зображення T називається розкладним, якщо воно унітрикутно еквівалентне прямій сумі двох унітрикутних зображень, і нерозкладним в противному випадку.

У підрозділі 3.2 описано модулярні унітрикутні зображення циклічної групи другого порядку.

Перед тим, як сформулювати відповідну класифікаційну теорему, дамо кілька означень.

Прямою сумою XCY множин і назвемо наступну множину: : Z=XИY(n), де Y(n)={(i+n,j+n) | (i,j)ОY}. Множину назвемо розкладною, якщо вона є прямою сумою деяких множин і , де p,q — натуральні числа, і в противному випадку множину X назвемо нерозкладною. Очевидно, що є розкладною тоді і лише тоді, коли існує 1Јr<n таке, що (p,q)?X для будь-яких p>r і qЈr.

Унітрикутне зображення K групи над полем k таке, що K(a)=M(X,l), будемо позначати через .

Теорема 3.1 1) Будь-яке модулярне унітрикутне зображення циклічної групи другого порядку унітрикутно еквівалентне зображенню вигляду .

2) Зображення і , де X№Ж і X№Ж, не є унітрикутно еквівалентними, якщо (X,l)№(X',l').

3) Зображення унітрикутно нерозкладне тоді і лише тоді, коли множина X нерозкладна.

Зауважимо, що в цій теоремі (на відміну від теореми 2.1) множина X може бути порожньою — в цьому випадку зображення є одиничним (тобто M(X,l) — одинична матриця).

Твердження 1) і 2) теореми 3.1 випливають із теореми 2.1, а твердження 3) доведено в 3.2.2.

У підрозділі 3.3 дано означення унітрикутно диких груп. А саме, групу G назвемо унітрикутно дикою над полем k, якщо задача про опис (із точністю до унітрикутної еквівалентності) її унітрикутних зображень містить в собі задачу про опис квадратних матриць над k з точністю до унітрикутних подібних перетворень. Підгрунтям для такого означення є той факт, що задача про приведення однієї унітрикутної матриці над полем за допомогою унітрикутних подібних перетворень містить в собі аналогічну задачу для пари матриць, і взагалі — для довільної кількості матриць.

Підрозділ 3.4 присвячено опису унітрикутно диких скінченних груп.

У пункті 3.4.1 розглянуто випадок циклічних p-груп.

Спочатку доведена така теорема.

Теорема 3.3 Циклічна група простого порядку p>3 є унітарно дикою над полем характеристики p.

Ідея доведення полягає в наступному.

Нехай G — циклічна група простого порядку p>3, і a — її твірний елемент.

Позначимо через , де A — довільна квадратна матриця (над k), унітрикутне зображення групи G таке, що

де всі клітини однакового розміру (той факт, що це зображення групи G, випливає із низки рівностей: і та нерівності p>3).

Далі показано, що два зображення і групи G унітрикутно еквівалентні тоді і лише тоді, коли матриці A і B унітрикутно подібні. А отже, група G — унітрикутно дика.

Потім у пункті 3.4.1 спочатку доведено таку теорему.

Теорема 3.4 Циклічна група порядку 3 є унітарно дикою над полем характеристики 3.

Ідея доведення цієї теореми така ж, як і для попередньої теореми, але в цьому випадку треба покласти

Із двох теорем 3.3 і 3.4 випливає таке твердження.

Наслідок 3.5 Циклічна група простого порядку p№2 є унітарно дикою над полем характеристики p.

Нарешті, в пункті 3.4.1 розглянуто випадок циклічної групи непростого порядку.

Спочатку доведено таку теорему.

Теорема 3.6 Циклічна група порядку 4 є унітарно дикою над полем характеристики 2.

Доведення теореми таке ж саме, як і теореми 3.3.

Із теорем 3.3, 3.4 і 3.6 випливає теорема.

Теорема 3.7 Будь-яка циклічна p-група порядку, більшого ніж 2, є унітарно дикою над полем характеристики p.

У пп. 3.4.2–3.4.3 розглянуто випадок довільних скінченних p-груп.

Далі, в пункті 3.4.2 доведено таку теорему.

Теорема 3.8 Нециклічна p-група є унітарно дикою над полем характеристики p.

Окреслимо ідею доведення цієї теореми.

Оскільки в цьому випадку фактор-група по комутанту H=G/G' не може бути циклічною групою, то (враховуючи теорему 3.7) розглядаємо випадок, коли нециклічна p-група G є прямим добутком двох циклічних підгруп порядку 2: .

Позначимо через , де A — довільна квадратна матриця (над k), унітрикутне зображення групи G таке, що

Далі показуємо, що два зображення і групи G унітрикутно еквівалентні тоді і лише тоді, коли матриці A і B унітрикутно подібні. А звідки випливатиме, що група G унітрикутно дика.

У підрозділі 3.4.3 розглянуто таку теорема (яка є наслідком теорем, доведених у попередніх підрозділах)

Теорема 3.9 Будь-яка скінченна p-група G порядку n>2 є унітрикутно дикою над полем характеристики p.

Пункт 3.4.4 присвячено випадку довільних скінченних груп.

Нехай G — довільна скінченна група. Для цілого числа

mі0 позначимо через G(n) нормальний дільник G, породжений елементами, порядки яких взаємно прості з n (зокрема, G(0)=G). Очевидно, що коли число n просте, то фактор-група G/G(n) є n-групою.

Твердження 3.10 Нехай G — скінченна група і k — поле характеристики pі0. Тоді будь-яке унітрикутне зображення індукується зображенням фактор-групи G/G(p) (тобто T=fS, де S — унітрикутне зображення G/G(p) і f:G®G/G(p) — проекція G на G/G(p)).

Далі, використовуючи теорему 3.9 і твердження 3.10 доводимо наступну теорему.

Теорема 3.11 Нехай G — скінченна група і k — поле характеристики p>0. Тоді

a) якщо p№2 і [G:G(p)]>1, то група G унітрикутно дика;

b) якщо p=2 і [G:G(p)]>2, то група G унітрикутно дика.

Якщо G=G(p) (а це виконано, зокрема, коли p взаємно просте з порядком групи), то згідно з твердженням 3.10 унітрикутні зображення групи G вичерпуються одиничними зображеннями. У випадку, коли p=2 і [G:G(p)]=2, унітрикутні зображення G описує теорема 2.1 (з урахуванням твердження 3.10).

У підрозділі 3.5 вивчаються властивості трикутних зображень скінченних груп.

Трикутне зображенням групи G над полем k — гомоморфізм

групи G в групу (верхніх) трикутних матриць розміру nґn над полем k, де n — деяке натуральне число. Два унітрикутні зображення

називаються трикутно еквівалентними, якщо існує трикутна матриця M така, що

для довільного gОG. Якщо характеристика поля k ділить порядок групи G, то трикутне зображення назвемо модулярним.

По аналогії з унітрикутно дикими групами, група G називається трикутно дикою над полем k, якщо задача про опис (із точністю до трикутної еквівалентності) її трикутних зображень містить в собі задачу про опис квадратних матриць над k з точністю до трикутних подібних перетворень (задача про приведення однієї унітрикутної матриці над полем за допомогою унітрикутних подібних перетворень містить в собі аналогічну задачу для пари матриць, і взагалі для довільної кількості матриць).

У підрозділі 3.5 спочатку розглянута задача про опис (з точністю до трикутної еквівалентності) трикутних зображень циклічної групи другого порядку над полем k характеристики 2. При цьому використовуються означення та твердження із підрозділів 3.1–3.4.

Зіставимо з множиною унітрикутну матрицю

(порядку 2) наступним чином:

Іншими словами, , де відображення зіставляє з кожним елементом множини X одиничний елемент поля k.

Трикутне зображення S групи над полем k, таке, що , позначатимемо через . Зауважимо, що воно не залежить від поля k.

Наступна теорема дає опис (з точністю до трикутної еквівалентності) модулярних трикутних зображень циклічної групи другого порядку.

Теорема 3.12 1) Будь-яке модулярне трикутне зображення циклічної групи другого порядку трикутно еквівалентне зображенню вигляду .

2) Зображення і не є трикутно еквівалентними, якщо X№X'.

3) Зображення трикутно нерозкладне тоді і лише тоді, коли множина X нерозкладна.

У підрозділі 3.5 доведено також теореми про трикутно дикі скінченні групи, аналогічні теоремам про унітрикутно дикі скінченні групи, які розглянуто в підрозділах 3.2 і 3.4. А саме, доведено такі теореми.

Теорема 3.13 Будь-яка скінченна p-група G порядку n>2 є трикутно дикою над полем характеристики p.

Теорема 3.14 Нехай G — скінченна група і k — поле характеристики p>0. Тоді

a) якщо p№2 і [G:G(p)]>1, то група G трикутно дика;

b) якщо p=2 і [G:G(p)]>2, то група G трикутно дика.

Розділ 4 присвячено проблемі класифікації модулів Коена–Маколея над ґіперповерхневими особливостями. Тут ми будемо розглядати комутативні алгебри Коена–Маколея R над алґебрично замкненим полем k. Для зручності будемо вважати, що char k=0, хоча деякі результати будуть дійсними і для полів з додатними характеристиками. Будемо вважати R локальним, повним, нетеровим та таким, що для нього має місце співвідношення R/m=k, де m є максимальним ідеалом для R.

Нагадаємо, що, відповідно до классифікації модулей Коена–Маколея, існує три типи алгебр.

1. Коен–Маколей скінченні: Алгебра R називається Коен–Маколей скінченна, якщо вона має лише скінченну кількість неізоморфних нерозкладних модулів Коена–Маколея.

2. Коен–Маколей ручні: Нехай R є кільцем. R називається Коен–Маколей ручною, якщо нерозкладні модулі фіксованого рангу формують скінченну кількість однопараметричних родин.

3. Коен–Маколей дикі: R називається Коен–Маколей дикою, якщо для довільної скінченнопородженої алгебри A існує точний функтор з категорії A-модулів скінченної розмірності у категорію модулів Коена–Маколея над цією особливістю і такий, що відображає неізоморфні модулі у неізоморфні та нерозкладні модулі у нерозкладні.

Досьогодні, були отримані наступні результати:

1. Ґіперповерхнева особливість є Коен–Маколей особливістю скінченного типу тоді і лише тоді, коли вона є проста (тобто має нульову модальність).

2. Особливість кривої є Коен–Маколей особливістю скінченного типу тоді і лише тоді, коли вона переважає одну з простих плоских особливостей кривої (тобто за класифікацією Арнольда). (Нагадаємо, що A' домінує над A означає, що AМA' та A'/A є A-модулем скінченної довжини.)

3. Просторова особливість є Коен–Маколей особливістю скінченного типу тоді і лише тоді, коли вона є quotient особливістю, тобто такою, що є кільцем інваріантів скінченної підгрупи GМGL(2,k) .

4. Просторова особливість є Коен–Маколей ручною, тоді і лише тоді, коли вона переважає одну з унімодальних особливостей .

5. Для поверхневих особливостей ми маємо твердження, що мінімальна еліптична особливість є ручною тоді і лише тоді, коли вона є також простою еліптичною особливістю, або вузловою особливістю .

6. Потрійно індексовані серії однопараметричних родин є Коен–Маколей ручними.

У Дрозда–Гройеля–Кашуби була висунута гіпотеза, що всі інші гіперповерхні є Коен–Маколей дикими:

1) n=3, ? R є Коен–Маколей дикими;

2) nі3, ? R є Коен–Маколей дикими,

де n позначає ступінь особливості.

Ця гіпотеза і доводиться у четвертому розділі дисертації:

Теорема 4.5

1. Якщо n=3 та , то R є Коен–Маколей дикою.

2. Якщо n>3 та , то R є Коен–Маколей дикою.

Головна ідея доведення теореми 4.5 є такою. *

По-перше, знаходимо представлення полінома f як , де залежить від певних параметрів l,m,… а має досить великий степінь. В такий спосіб ми тримаємо матричну факторизацію у формі, яка залежить від параметрів l,m,…. *

По-друге, ми “роздуваємо” матричну факториацію. А саме, замінюємо кожну константу aОk на скалярну матрицю для деякого m, а параметри l,m,… — на комутуючі mґm матриці L,M,…. Очевидно, що в такий спосіб ми отримаємо матричну факторизацію . *

А потім доводимо, що ці дві нові матричні факторизації еквівалентні тоді і лише тоді, коли відповідні матриці L,M,… є спряженими. Так ми отримаємо покриття зображення k[[x,y]]-mod®CM(R). Звідси випливає, що R є КМ дикою.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Бондаренко В. В. Про спряжені елементи порядку 2 в групі унітрикутних матриць над полем характеристики 2// Наук. вісник ужгород ун-ту (Серія: математика і інформатика). – 2005. – Вип. 10–11. – С. 9-21.

2. Бондаренко В. В. Про число класів спряжених елементів групи над скінченним полем, які складаються із елементів порядку 2// Вісник київ. нац. ун-ту (Серія: фізико-математичні науки). – 2005. – Вип. 4. – С. .

3. Бондаренко В. В. Про унітрикутні зображення скінченних груп// Наук. вісник ужгород ун-ту (Серія: математика і інформатика). – 2006. – Вип. 12–13. – С.27-32.

4. Бондаренко В. В. Про трикутні модулярні зображення скінченних 2-груп// Зб. праць Ін-ту математики — 2006. – Том 3, N 4. – С.165-169.

5. Bondarenko V. V. On classification of CM modules over hypersurface singularities // Algebra and discrete mathematics. – 2007. – N1. – P.1-12.

6. Bondarenko V. V. On one classifying problem connected with parabolic groups// 5th International Algebraic Conference in Ukraine. Abstracts. Odessa. – 2005, P. – С. 40.

7. Бондаренко В. В. Про класифікацію елементів порядку 2 в групі унітрикутних матриць// XI Міжнародна конференція ім. акад. М. Кравчука. Тези доп., Київ. – 2006. – С.335.

8. Bondarenko V. V. On the conjugacy classes in consisting of elements of order 2// International Conference on Radicals (ICOR-2006). Abstracts. Kyiv. – 2006, P.22-23.

9. Bondarenko V. V. On classifying unitriangular representations of groups// 6th International Algebraic Conference in Ukraine. Abstracts. Kamyanets-Podilsky. – 2007, P.42-43.

АНОТАЦІЇ

Бондаренко В. В. Застосування матричних задач в теорії груп та алгебричній геометрії. — Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 – алгебра і теорія чисел. — Ін-т математики НАН України, Київ, 2008.

Дисертаційна робота присвячена вивченню унітрикутних та трикутних матричних зображень скінченних груп, класів спряжених елементів груп унітрикутних матриць та модулів над комутативними кільцями спеціального вигляду.

Вивчаються властивості унітрикутних та трикутних зображень скінченних груп над полями. Повністю описані (в обох випадках) модулярні зображення циклічної групи другого порядку та унітрикутно і трикутно дикі групи.

Досліджуються класи спряжених елементів груп унітрикутних матриць над полем k характеристики 2 у випадку, коли вони складаються із елементів порядку 2. Для таких класів наведено повний перелік (канонічних) представників. Обчислено також кількість цих класів для довільного скінченного поля.

Доведено, що коли гіперповерхнева особливість розмірності nі2 задана рівняннями без членів степеня dЈ3, вона є Коен–Маколієво дикою. Також, якщо розмірність nі3, а рівняння не містить членів степеня dЈ2, гіперповерхнева особливість також є Коен–Маколієво дикою.

Ключові слова: класи спряжених елементів, унітрикутна (трикутна) матриця, унітрикутна (трикутна) еквівалентність, унітрикутно (трикутно) дика група, модуль Коена–Маколея.

Бондаренко В. В. Применение матричных задач в теории групп и алгебраической геометрии. — Рукопись.

Диссертация на соискание ученого степеня кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 – алгебра и теория чисел. — Институт математики НАН Украины, Киев, 2008.

Диссертационная работа посвящена изучению унитреугольных и треугольных матричных представлений конечных групп, классов сопряженных элементов групп унитреугольных матриц и модулей над коммутативными кольцами специального вида.

Представления конечных групп над полями занимают важное место в теории представлений и её применениях.

В классическом случае, когда порядок конечной группы не делится на характеристику поля, группа имеет (с точностью до эквивалентности) конечное число неразложимых представлений, причём каждое неразложимое представление является неприводимым.

Поскольку каждое представление группы порождает подгруппу в полной матричной группе, изучение свойств представлений часто связано с изучением свойств матричных групп.

Изучаются свойства унитреугольных матричных представлений конечных групп над полями. Полностью описаны унитреугольные представления циклической группы второго порядка над произвольным полем характеристики 2 (описание проводится с точностью до унитреугольной эквивалентности). Доказано, что конечная p-группа порядка m>2 является унитреугольно дикой над произвольным полем характеристики p, т.е. задача об описании ее представлений содержит в себе задачу о классификации квадратных матриц с точностью до унитреугольного подобия (а значит, и такую же задачу о классификации s квадратных матриц для любого фиксированного s>1). Полностью рассмотрен также случай, когда группа не является p-группой.

Аналогичные результаты получены и для треугольных матричных представлений конечных групп над полями.

Изучаются класcы сопряженных элементов групп унитреугольных матриц (произвольного размера nґn) над полем k характеристики 2 в случае, когда состоят из элементов порядка 2. Для таких классов указан полный список (канонических) представителей. Найдена формула, которая указывает число таких классов для произвольного конечного поля.

Доказано, что когда гиперплоскостная особенность размерности nі2 задана уравнениями без членов степени dЈ3, то она является Коэн–Маколей дикой. Также, если размерность nі3, и уравнения не содержат членов степени dЈ2, то гиперплоскостная особенность также является Коэн–Маколей дикой.

При изучении указанных представлений и модулей используются как методы самой теории представлений, так и методы теории матричных задач.

Ключевые слова: классы сопряженных элементов, унитреугольная (треугольная) матрица, унитреугольная (треугольная) эквивалентность, унитреугольно (треугольно) дикая группа, модуль Коэна–Маколея.

Bondarenko V. V. Applications of matrix problems in group theory and algebraic geometry. — Manuscript.

Thesis of the dissertation for obtaining the degree of Candidate of sciences in physics and mathematics in speciality 01.01.06 — algebra and number theory. — Institution of Mathematics of National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2008.

The dissertation is devoted to the study of unitriangular and triangular representations of finite groups, conjugacy classes in groups of unitriangular matrices and modules of special type over commutative rings.

One investigates properties of the unitriangular and triangular representations of finite groups over fields. It is completely described (in both cases) the modular representations of the cyclic group of order 2, and unitriangular and triangular wild groups.

One investigates the conjugacy classes of the groups of unitriangular matrices over a field of characteristic 2 in the case when they consist of elements of order 2. For such classes one indicates a full list of (canonical) representatives. The number of such classes over a finite fields are calculated.

It is proved, that if a hypersurface singularity of dimension nі2 is given by equations without terms of degree dЈ3, then it is Cauhen–Macaulay wild. It is also proved, that if a hypersurface singularity of dimension nі3 is given by equations without terms of degree dЈ2, then it is also Cauhen–Macaulay wild.

Keywords: conjugacy classes, unitriangular (triangular) matrix, unitriangular (triangular) equivalence, unitriangular (triangular) wild group, Cauhen–Macaulay modules.

Підписано до друку 31.12.2004. Формат 60ґ84/16. Папір друк. Офсет

друк. Фіз. друк. арк. 2,25. Умов. друк. арк. 2,08.

Тираж 100 пр. Зам. 189. Безкоштовно.

Інститут математики НАН України

01601 Київ 4, МСП, вул. Терещенківська, 3.