НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

ПАНКОВ Марк Олександрович

УДК 517.164.152+517.6

ІРРЕГУЛЯРНІ ПІДМНОЖИНИ

МНОГОВИДІВ ГРАСМАНА

ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ

В ТЕОРІЇ ВІДОБРАЖЕНЬ

01.01.01 -- математичний аналіз

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

КИЇВ 1999

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті математики НАН України

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук професор

ШАРКО Володимир Васильович,

провідний науковий співробітник

Інституту математики НАН України

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук

ЗЕЛІНСЬКИЙ Юрій Борисович,

провідний науковий співробітник

Інституту математики НАН України

кандидат фізико-математичних наук

КОНСТАНТИНОВ Олексій Юрійович,

асистент кафедри математичного аналізу

Київського університету ім. Тараса Шевченко

Провідна установа:

Львівський державний університет ім. Івана Фран-

ка, кафедра алгебри і топології.

захист відбудеться 23.03.99 о 15 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 при Інституті математики НАН України за адресою: 252601, м. Київ, вул Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Інституту математики.

Автореферат розіслано 19.02.99

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради ПЕРЕВВЕРЗЄВ С. В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. На початку 30-х років Нобєлінгом було доведено, що для кожної k-вимірної компактної підмножини Х Rn знайдеться k-вимірна площина l така, що ортогональна проекція множини Х на площину l має непорожню внутрішність, тобто топологічна розмірність даної проекціі дорівнює k.

Нехай С(Х, Y) - топологічний простір усіх неперервних відображень деякого топологічного простору Х в топологічний Y. Відображення f С(Х, Y) називають стійким, якщо воно має стійке значення у Y; тобто для кожного, достатньо близького до f, відображення g С(Х, Y) множина g(Х) містить точку у. Відомо, що для кожної множини Х Rn нерівність dim Х k має місце тоді і лише тоді, коли існує стійке відображення f С(Х, Rn). Виникає природне питання: чи не існує у k-вимірної підмножини Х в Rn достатньо простих відображень з простору С(Х, Y), наприклад, проекцій на деяку k-вимірну площину?

Дана проблема пов’язана з добре відомою гіпотезою Чогошвілі, згідно з якою кожна k-вимірна компактна множина Х Rn повинна мати стійкий перетин з деякою (n - k)-вимірною площиною; тобто знайдеться таке, що для кожного неперервного -збурення

f : X Rn ,x x x Х

множина f(X) перетинає дану площину. Слід зазначити, що зворотнє твердження має місце для кожної k-вимірної (не обов’язково компактної) підмножини Rn.

Виявляється, що гіпотеза Чогошвілі буде справедливою, якщо для кожної k-вимірної компактної підмножини Rn знайдеться стійке відображення в Rk, яке є ортогональною проекцією множини X на деяку k-вимірну площину (зворотнє, взагалі кажучи, не вірно, з твердження Чогошвілі не випливає існування у кожної k-вимірної підмножини Rn ортогональної проекції на деяку k-вимірну площину, яка була б стійким відображенням цієї множини).

Відомо, що образ кожного стійкого відображення має непорожню внутрішність. Тому згадана вище теорема Нобєлінга тривалий час була аргументом на користь гіпотези Чогошвілі. Ця гіпотеза лишалась відкритою аж до останнього часу. В 1995-му році О. Н. Дранішніков побудував контрприклад, що спростовує цю гіпотезу. Приклад Дранішнікова показує також, що гіпотеза про стійкість проекцій k-вимірних підмножин на k-вимірні площини не справджується.

Теорема В. Гуревича стверджує, що для кожної k-вимірної компактної множини X в Rn множина D(X) усіх неперервних відображень f C(X, Rk) таких, що dim f(X) = k, містить масивну підмножину. У зв’язку з цим виникла наступна задача: показати, що подібне має місце для неперервних відображень X в Rk, які є ортогональними проекціями множини X на k-вимірні площини. При цьому ми не будемо обмежуватись лише компактним випадком. При розв’язуванні цієї задачі ми не можемо користуватися згаданою вище теоремою В. Гуревича; оскільки усі проекції створюють у C(X, Rk) ніде не щільну підмножину P(X) і множина D(X) P(X) не зобов’язана бути всюди щільною у P(X).

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота проводилась згідно з загальним планом досліджень відділу теорії наближень.

Мета дослідження. Показати, що для кожної k-вимірної підмножини X Rn знайдеться досить велика множина k-вимірних площин таких, що ортогональні проекції множини X на ці площини мають розмірність k.

Наукова новизна отриманих результатів. Були введені, так звані, іррегулярні підмножини многовидів Грасмана. Їх властивості використовувались для дослідження

- проекцій k-вимірних підмножин Rn на k-вимірні площини,

- питань, пов’язаних з проблемою Гуревича-Волмена,

- Структури типової множини рівня відображень з Rn в Rm.

Практичне значення отриманих результатів. Дисертація має теоретичний характер. Результати роботи можуть бути використані для подальших досліджень в теорії відображень і теорії розмірності.

Особистий внесок здобувача. Результати дисертації роботи отримані автором самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались на семінарах відділу наближень Інституту математики НАН України, третій міжнародній науковій конференції. Список публікацій наведено в кінці автореферату.

Структура і об”єм роботи. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, розбитих на підрозділи, висновків і списку використаних джерел. Обсяг дисертації - 110 сторінок.

ЗМІСТ РОБОТИ

У першому розділі ( 1.1 - 1.4) зібрані деякі необхідні відомості з теорії розмірності та інших галузей математики, а в 1.5 наводияться основи теорії критичнох точок довільного відображення Rn в Rm.

Другий розділ присвячений дослідженню проекцій k-вимірних підмножин Rn на k-вимірні площини. Спочатку наведемо декілька означень.

Нехай Rn, l Gnk та s Gnn-k . Проекція множини X на площину l вздовж площини s буде називатися c-регулярною, якщо вона є множиною другої категорії в l. У протилежному випадку ми кажемо, що наша проекція c-іррегулярна. Позначимо через CRnk(X) множину усіх тих площин l Gnk, для яких орто-го-наль-на проекція множини X на площину l є c-іррегулярною. Проекція множини X на площину l вздовж площини s буде називатися m-регулярною, якщо вона має відмінну від нуля зовнішню міру Лебега в l (нагадаємо, що зовнішня міра ви-зна-че-на для будь-якої підмножини Rn). Якщо проекція має нульову міру Лебега, то ми будемо казати, що вона m-іррегулярна. Відповідно, позначимо через MRnk(X) множину усіх тих площин l Gnk, для яких ортогональна проекція множини X на l є m-іррегулярною.

Нехай DRnk(X) - множина, яка складається з усіх тих площин l Gnk, для яких ортогональна проекція множини X на l має розмірність k. Тоді ми маємо

CMnk (X) Dnk(X) CRnk(X) .

Понад те, якщо X є F -підмножиною Rn, тоді має місце наступна рівність:

Dnk (X) = CRnk (X) .

У другому розділі доводиться наступне твердженя, яке є основним результатом роботи.

Теорема 1 (1.2.1) Якщо dim X k, тоді множини CRnk (X) та MRnk (X) всюди щільні в Gnk; крім того, у випадках k = 1, n 1 доповнення до множин CRnk (X) та MRnk (X) будуть ніде не щільними в Gnk.

Для F-підмножин ми маємо більш сильне твердження, яке є наслідком по-пе-реднього (наслідок 2.1.1): якщо X є k-вимірною F-підмножиною Rn, тоді множина Dnk(X) всюди щільна в Gnk; крім того, у випадках k = 1, n - 1 її доповнення буде не щільним в Gnk.

Ці твердження формулюються в 2.1. Також там можна знайти декілька їх наслідків.

Доведенню теореми 1 присвячений весь другий розділ. Саме доведення спирається на деякі властивості іррегулярних підмножин Gnk, які вводяться та досліджуються у 2.2.

Нехай

n!

cnk = .

k! (n-k)!

Кожна система координат в Rn містить рівно cnk різних k-вимірних координатних площин. Множина V Gnk буде називатися іррегулярною, якщо вона не містить cnk площин, які є різними координатними площинами деякої системи координат в Rn; тобто множина V є іррегулярною, якщо вона не містить усіх k-вимірних ко-ор-ди-нат-них площин кожної системи координат в Rn.

Першим етапом доведення теореми 1 є наступне твердження.

Теорема 2 (2.3.1) Якщо dim X k, тоді множини

CInk (X) = Gnk \ CRnk (X)

та

MInk (X) = Gnk \ MRnk (X)

є іррегулярними.

З теореми 2 випливає, що у випадку коли X є k-вимірною F-підмножиною Rn, множина Gnk \ Dnk (X) іррегулярна (наслідок 2.3.1). Формулюванню цих тверджень та їх наслідків присвячений 2.3.

В зв’язку з теоремою 2 виникає питання про щільність іррегулярних підмножин. У 2.4 були отримані наступні результати.

Теорема 3 (2.4.1) У випадках k = 1, n - 1 кожна іррегулярна підмножина ніде не щільна в Gnk.

Теорема 4 (2.4.1) Доповнення до кожної іррегулярної підмножини всюди щільне в Gnk.

Теорема 1 є наслідком теорем 2,3 і 4. Доведення теореми 2 спирається на властивості так званих Xnk-множин, які вводяться у 2.5. У 2.5 - 2.7 встановлюється, що розмірність кожної Xnk-множини дорівнює k. Після цього доведено, що у випадку, коли одна з множин CInk (X), MInk (X) не є іррегулярною, множина X повинна міститися у деякій Xnk-множині. Наслідком цього є нерівність dim X k і теорема 2 буде доведена.

В 2.8 будується (n - 1)-вимірна підмножина X Rn така, що множина Gnk \ Dnk(X) не є іррегулярною при умові

У третьому та четвертому розділах метод Xnk-множин застосовується для дослідження деяких актуальних питань теорії розмірності та теорії відображень - проблеми Гуревича-Волмена та структури типової множини рівня відображень Rn в Rm

В третьому розділі буде розглянута наступна проблема: чи існує k-вимірна підмножина X Rn така, що кожна підмножина в Rn, розмірність якої не більш ніж k, може бути вкладена в X гомеоморфізмом простору Rn на себе?

У класі усіх Xnk-множин ми беремо спеціальних підклас, елементи якого будуть називатися SXnk-множинами. Означення SXnk-множин подається в 3.1. В  .2-3.4 доводяться наступні властивості Xnk-множин і SXnk-множин:

1) розмірність кожної Xnk-множини дорівнює k;

2) у випадку n 2k + 1 кожна Xnk-множина є k-вимірним універсальним

простором;

3) кожну SXnk-множину можна перевести у будь-яку іншу SXnk-множину гомеоморфізмом простору Rn на себе;

4) кожна k-вимірна слабофрактальна підмножина в Rn допускає вкладення у будь-яку SXnk-множину гомеоморфізмом простору Rn на себе (під сла-бо- фрак-тальною множиною розуміється така множина X, що має місце не-рів- ність (X) - dim X 1, де (X) - розмірність Хаусдорфа-Безіковича;

5) якщо k-вимірна F-підмножина X в Rn вкладається в деяку Xnk-множину,

то ця множина припускає вкладення в будь-яку SXnk-множину; більш

того, якщо дане вкладення в Xnk-множину можна здійснити за допомогою гомеоморфізму простору Rn на себе, то множина X може бути вкладена в будь-яку SXnk-множину гомеоморфізмом простору Rn на себе.

Крім того, можна вважати, що у твердженнях 3), 4) гомеоморфізм не збільшує від-ста-ні між точками.

У четвертому розділі, користуючись деякими властивостями Xnk-множин, ми будемо досліджувати структуру типової множини рівня відображення Rn в Rm; при цьому умови гладкості або неперервності на відображення накладатись не будуть.

Під типовою множиною рівня деякого відображення прийнято розуміти наступне. Говорять, що типовій множині рівня відображеня f : Rn Rm при-та-ман-нa властивість , якщо

mes{y f -1 (y) не задовольняє } = 0 ,

де mes - зовнішня міра Лебега.

У 4.1 дається означення та наводяться приклади так званих відображень Хаусдорфа. Відображення Rn в Rm називається хаусдорфовим, якщо воно відо-бра-жає кожну множину нульової m-міри Хаусдорфа у множину нульової міри Лебега. У 4.2 буде доведена

Теорема 5 (4.2.1) Розмірність типової множини рівня відображення Хаусдорфа Rn в Rm не перевищує n - m.

Спираючись на ідею, що лежить в основі доведення теореми 5, можна подати, відмінне від оригінального, доведення наступної теореми А. Я. Дубовицького про роз-мірність перетину типоіої множини гладкого відображення, що на задо-воль-няє умовам теореми Сарда, з множиною критичних точок.

Теорема 6 (А. Я. Дубовицький) Для кожного

f Ci (Rn ; Rm) , i = n - m - k + 1

має місце наступна рівність:

mes {y dim (f -1 (y) (f)) k} = 0 ,

тобто перетин типової множини рівня відображення f з множиною критичних точок (f) має розмірність не більш, ніж k - 1.

Крім того методи, що вікористовуються у доведенні теореми 5 і теореми А. Я. Дубовицького, дозволяють перенести цей результат на випадок довільного відображення.

Точка x Rn називається слабокритичною точкою відображення f : Rn Rm, якщо знайдеться система куль {Bri (x)}i=1 з центрами у точці x, радіуси яких прямують до нуля при i, що прямує до нескінченності, і

Має місце наступне твердження.

Теорема 7(4.3.2) Для довільного відображення f : Rn Rm виконується наступна рівність:

mes {ydim (f -1 (y) G (f)) n - m} = 0 ,

тобто перетин типової множини рівня відображення f з множиною слабокритичних точок G(f) має розмірність, що не перевищує n - m - 1.

Доведення теорем 6 і 7 міститься в 4.3.

ВИСНОВКИ

В дисертації отримано наступні результати:

- Доведено, що для кожної k-вимірної підмножини X Rn множини CRnk(X) і MRnk(X) всюди щільні в Gnk, а у випадку, коли k = 1, n - 1, доповнення до цих множин є ніде не щільними.

- Для кожної k-вимірної F-підмножини X Rn множина Dnk (X) всюди щільна в Gnk; крім того, у випадках, коли k = 1, n - 1, доповнення до цієї множини є ніде не щільним.

- Було доведено, що при k = 1, n - 1 кожна іррегулярна підмножина Gnk ніде не щіль-на. У загальному випадку доповнення до кожної іррегулярної множини всю-ди щільне в Gnk.

- Була побудована k-вимірна підмножина Rn, у яку вкладається досить великий клас k-вимірних підмножин Rn, при цьому вкладення здійснюється гомео-мор-фіз-мом Rn на себе.

- Отримана верхня оцінка розмірності типової множини рівня відображень

Хаус-дорфа.

- Твердження відомої теореми А. Я. Дубовицького було перенесене на випадок

до--вільного відображення.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ АВТОРА

ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Панков М. А., Полулях Е. А. Критические точки произвольніх отображений из

Rn в Rm // Функцион. анализ и его прил. - 1997. - N 3. - С.82-85.

2. Pankov M. A. Hausdorff maps. // Methods of Functional Analysis and Topology. -

1998 - N 3. - P. 58-60.

3. Pankov M. A. Projections of k-dimensional subsets of Rn onto k-dimentional planes.//

Matematicheskaya fizika, analiz, geometriya. - 1998. - N 1/2. - P. 114-124.

4. Pankov M. A. On one class of universal k-dimentional spase. // Тезисы

международной конференции по топологии и ее приложениям. Киев: Ин-т

математики НАН Украины, Киевский национальный университет им. Т.

Шевченко.-1995.-С.28.

Панков М. О. Іррегулярні підмножини многовидів Грасмана та їх застосування у теорії відображень. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз.

-Інститут математики НАН України, Київ, 1998.

В дисертації вводяться та досліджуються так звані іррегулярні підмножини многовидів Грасмана. Їх властивості вікористовуються для дослідження проекцій k-вимірних підмножин Rn на k-вимірні площини. Ця задача пов’язана з відомою гіпотезою Чогошвілі. Крім того, розглядається проблема Гуревича-Волмена та досліджується структура типової множини рівня відображень Rn в Rm.

Ключові слова: многовид Грасмана, іррегулярні підмножини многовидів Грасмана, k-вимірні підмножини, відображення Хаусдорфа.

Панков М. А. Иррегулярные подмножества многообразий Грассмана и их применение в теории отображений. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. -Институт математики НАН Украины, Киев, 1998.

В работе вводятся и исследуются иррегулярные подмножества Грассмановых многообразий. Их свойства используются для изучения проекций k-мерных подмножеств Rn на k-мерные плоскости. Данная задача тесно связана с известной гипотезой Чогошвили о устойчивом пересечении k-мерного под-мно-жест-ва Rn с (n - k)-мерной плоскостью. Кроме того, рассматривается проб-лема Гуревича-Волмена о k-мерных универсальных подмножествах Rn и исследуется структура типичного множества уровня отображений Rn в Rm.

Одна из основных целей показать, что для каждого k-мерного под-мно-жест-ва X в Rn множество Dnk (X) всех k-мерных плоскостей, орто-го-наль-ные проекции множества X на которые имеют размерность k (или по крайней мере являются множествами второй категории) достаточно велико (т.е. всюду плотно или мас-сив-но). В главе 2 данная задача сводится к проблеме плотности иррегулярных под-множеств Грассмановых многообразий; т.е. доказано, что для каждого k-мер-но-го F подмножества X в Rn дополнение к множеству Dnk (X) иррегулярно, для произвольного k-мерного (не обязательно F-подмножества) доказано некоторое более слабое утверждение. В связи с этим было установлено, что дополнение у иррегулярному подмножеству Грассманова многообразия Gnk всюду плотно, а при k = 1 , n - 1 каждое иррегулярное подмножество Gnk нигде не плотно.

Техника, разработанная для доказательства упомянутых выше результатов, позволяет доказать одно утверждение, связанное с проблемой Гуревича-Волмена. В главе 3 строится k-мерное подмножество X в Rn такое, что достаточно широкий класс k-мерных подмножеств Rn допускает вложение в X гомео-морфизмом Rn на себя.

Глава 4 посвящена изучению структуры типичного мнгожества уровня ото-бражений Rn в Rn. Дается вержняя оценка размерности типичного множества уровня отображений Хаусдорфа, обобщающая известную оценку А. Я. Дубо-виц-ко-го для непрерывнодифференцированых отображений. Кроме того, приводится простое доказательство теоремы А. Я. Дубовицкого о пересечении типичного множества уровня непрерывно дифференцируемого отображения с множеством критических точек, которое позволяет перенести данный результат на случай произвольного отображения (понятие критической точки произвольного ото-бра-же-ния можно найти в главе 1, посвященной предварительным сведениям из раз-лич-ных областей математики).

Ключевые слова: Грассмановы многообразия, иррегулярные подмно-жест-ва Грассмановых многообразий, k-мерные множества, отображения Хаусдорфа.

Pankov M. A. Irregular subsets of the Grassmannian manifolds and them applications to the mapping theory. -Manuscript.

Thisis the dissertation for obtaining of the degree of candidate of sciences in physics and mathematics, specislity 01.01.01 - mathematical analysis. Institute of mathemetics, NAN Ukraine, Kyiv, 1998.

In the dissertation we introduse and stady so-called irregular subsets of the Grassmannian manifolds. Them properts will be exploit to investigate of projections of k-dimentional subsets of Rn onto k-dimentional planes. There is a closely relation between this problem and well-known Chogoshvili`s conjecture. Moreover, we consider the Hurevicz - Wallman problem and study structure of a typical level for maps of Rn into Rm.

Key words: Grassmannian manifolds, srregular subsets of the Grassmannian manifold, k-dimentional sets, Hausdorff maps.