Міністерство освіти і науки України

Чернівецький національний університет

імені Юрія Федьковича

Плешівський Ярослав Миколайович

УДК 517.95

ОПЕРАЦІЙНИЙ МЕТОД РОЗВ’ЯЗУВАННЯ
БАГАТОТОЧКОВОЇ ЗА ЧАСОМ ЗАДАЧІ ТА ЗАДАЧІ КОШІ
ДЛЯ ПОЛІЛІНІЙНОЇ СИСТЕМИ РІВНЯНЬ
ІЗ ЧАСТИННИМИ ПОХІДНИМИ

01.01.02 – диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук

Чернівці – 2003

Дисертацією є рукопис

Робота виконана на кафедрі обчислювальної математики та програмування Національного університету “Львівська політехніка” Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник доктор фізико-математичних наук, професор
Каленюк Петро Іванович,
Національний університет “Львівська політехніка”,
директор Інституту прикладної математики та
фундаментальних наук, завідувач кафедри обчислювальної математики і програмування

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор
Пташник Богдан Йосипович,
Інститут прикладних проблем механіки і
математики НАН України,
завідувач відділу математичної фізики

кандидат фізико-математичних наук, доцент
Пукальський Іван Дмитрович,
Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, кафедра диференціальних рівнянь

Провідна установа Одеський державний університет ім. І.І. Мечникова, кафедра економічної кібернетики і оптимального керування.

Захист відбудеться 18 квітня о 14.00 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради у Чернівецькому національному університеті імені Юрія Федьковича за адресою: 58012, м. Чернівці, вул. Коцюбинського, 2, навчальний корпус №1, аудиторія 8.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича (м. Чернівці, вул. Лесі Українки, 23).

Автореферат розісланий 5 березня 2003 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Садов’як А.М.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. У зв’язку з конкретними запитами практики в останні роки активно вивчаються початкові та багатоточкові задачі для деяких рівнянь математичної фізики та теорії пружності. Серед цих рівнянь важливе місце займають так звані полілінійні диференціальні рівняння та полілінійні системи рівнянь із частинними похідними.

У роботах Б.А. Бондаренка, А.Н. Філатова, Д. Манжерона, К.В. Лена, М.Н. Огюзторелі та інших авторів розв’язання крайових задач для полілінійних диференціальних рівнянь і полілінійних систем рівнянь із частинними похідними пов’язане з побудовою квазіполіномних функцій, які за своєю структурою мають узагальнено відокремлюваний вигляд. Ефективний спосіб побудови таких функцій на основі узагальненого методу відокремлення змінних був вказаний П.І. Каленюком та З.М. Нитребичем. Цей спосіб дозволив авторам одержати новий операційний метод розв’язування деяких крайових задач для рівнянь і систем рівнянь із частинними похідними. Суть пропонованого ними способу полягає у знаходженні, наприклад, розв’язку задачі Коші у вигляді дій диференціальних виразів, взагалі кажучи, безмежного порядку, символами яких є початкові функції, на деякі цілі функції параметрів, за якими діють вирази. Після дій диференціальних виразів параметри покладаються рівними нулеві.

Описаний операційний метод виявився особливо зручним у використанні для розв’язування задач з крайовими умовами за однією виділеною змінною, зокрема, для розв’язування задачі Коші та багатоточкових за часом крайових задач для рівнянь та систем рівнянь із частинними похідними.

У даній дисертаційній роботі операційний метод, породжений узагальненою схемою відокремлення змінних, застосовано до розв’язування задач з локальними багатоточковими умовами для полілінійної системи диференціальних рівнянь із частинними похідними. Вказано умови однозначної розв’язності задач та побудовані їх розв’язки у класах аналітичних функцій та просторах Соболєва безмежного порядку. Отримано формулу граничного переходу від розв’язку багатоточкової задачі до розв’язку задачі Коші для полілінійної системи рівнянь із частинними похідними.

Оскільки за своєю постановкою досліджувані задачі є узагальненням багатоточкових задач та задач Коші для полілінійного, зокрема полікалоричного диференціального рівняння із частинними похідними, то тематика дисертаційної роботи є актуальною як з теоретичного так і з практичного погляду.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота пов’язана, зокрема, з науково-дослідною роботою “Методи побудови та дослідження розв’язків некласичних крайових задач для лінійних і нелінійних диференціальних рівнянь із частинними похідними” (номер державного реєстру 0194U029571).

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є дослідження на основі узагальненого методу відокремлення змінних задач з локальними багатоточковими умовами за часом і задач Коші для полілінійних диференціальних рівнянь та полілінійних систем диференціальних рівнянь із частинними похідними.

Реалізація даної мети зводиться до розв’язання таких задач:

- з використанням узагальненої схеми відокремлення змінних побудувати розв’язки багатоточкової задачі для однорідної полілінійної системи диференціальних рівнянь із частинними похідними з неоднорідними умовами на основі характеристичного та мінімального поліномів системи;

- побудувати розв’язок задачі з однорідними багатоточковими умовами за часом для неоднорідної полілінійної системи диференціальних рівнянь із частинними похідними;

- виділити класи аналітичних функцій, що допускають однозначне аналітичне продовження до цілих функцій певних порядків, та простори Соболєва безмежного порядку як класи існування та єдиності розв’язків вищезгаданих задач;

- встановити зв’язок між розв’язками задачі Коші і задачі з локальними багатоточковими за часом умовами для окремого полілінійного диференціального рівняння із частинними похідними та полілінійної системи рівнянь із частинними похідними і вказати формули граничного переходу від розв’язків багатоточкових задач до розв’язків задач Коші при прямуванні відстані між вузлами до нуля.

Об’єкт дослідження: полілінійні диференціальні рівняння та полілінійні системи рівнянь із частинними похідними.

Предмет дослідження: задачі з локальними багатоточковими умовами за часом та задачі Коші для полілінійних диференціальних рівнянь та полілінійних систем рівнянь із частинними похідними.

Методи дослідження: операційний метод, породжений узагальненою схемою відокремлення змінних, методи теорії цілих функцій.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертаційній роботі вперше одержані такі результати:

- за допомогою узагальненої схеми відокремлення змінних досліджені задачі з локальними за часом багатоточковими умовами для однорідної та неоднорідної полілінійної систем рівнянь із частинними похідними;

- вказано спосіб побудови розв’язків задач. Ці розв’язки подано з використанням дій диференціальних виразів загалом безмежного порядку на певні цілі функції параметрів, за якими діють вирази, з покладанням їх після дії рівними нулеві. Символами диференціальних виразів є праві частини рівнянь полілінійної системи та праві частини багатоточкових умов;

- доведена принципова можливість граничного переходу, яка дозволяє на основі розв’язку багатоточкової задачі для полілінійного рівняння та полілінійної системи рівнянь із частинними похідними одержати розв’язок задачі Коші для цього ж рівняння і для цієї ж системи рівнянь. Граничний перехід здійснено за умови прямування усіх часових вузлів до крайнього лівого вузла, у якому задаються початкові умови;

- виділено класи однозначної розв’язності задач з багатоточковими умовами та початкових задач для полілінійних рівнянь та полілінійних систем диференціальних рівнянь із частинними похідними.

Отримані у дисертаційній роботі результати істотно розширюють і доповнюють відомі результати стосовно задач з локальними багатоточковими умовами та задач Коші для полілінійних диференціальних рівнянь та полілінійних систем рівнянь із частинними похідними.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації мають теоретичний характер. Вони можуть бути використані для розв’язування конкретних задач практики, зокрема в галузі термомеханіки, оскільки такі задачі моделюються за допомогою рівнянь і систем рівнянь, що розглянуті в дисертації.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації отримані автором самостійно. У спільних роботах [1, 2, 5-8] науковому керівнику П.І. Каленюку належить постановка задач, передбачення результатів та аналіз одержаних результатів. У роботі [1] автору дисертації належить формулювання і доведення теореми, а З.М. Нитребичу належить приклад 1 та зауваження 1-3. У статті [2] дисертантом доведена теорема, а З.М. Нитребичу належить обгрунтування про цілість коефіцієнтів диференціального полінома, побудованого за характеристичним поліномом системи диференціальних рівнянь із частинними похідними. У роботі [5] автору дисертації належить формулювання і доведення теорем 2 і 3. Теорему 1 доведено спільно з З.М. Нитребичем. У статті [6] дисертантом доведені теореми 1 та 2, а доведення того, що формула (7) визначає формальний розв’язок полілінійної системи диференціальних рівнянь із частинними похідними, зроблене спільно з З.М. Нитребичем. У роботі [7] автору дисертації належить формулювання і доведення теореми, а З.М. Нитребичем введені означення мінімального полінома матриці, залежної від вектор-параметра.

Апробація результатів дисертації. Результати досліджень доповідались та обговорювались на: II-ій Всеукраїнській науковій конференції “Розробка та застосування математичних методів в науково-технічних дослідженнях” (Львів, 1998 р.); Науковій конференції випускників, викладачів та співробітників механі-ко-математичного факультету Львівського національного університету імені Івана Франка “Математика і механіка у Львівському університеті” (Львів, 1999 р.);
VIII-й Міжнародній науковій конференції ім. акад. М. Кравчука (Київ, 2000 р.); Міжнародній конференції DIFIN-2000 “Диференціальні та інтегральні рівняння” (Одеса, 2000 р.); Всеукраїнській науковій конференції “Нелінійні проблеми аналізу” (Івано-Франківськ, 2000 р.); Міжнародній конференції “Нові підходи до розв’язування диференціальних рівнянь” (Дрогобич, 2001 р.); IX-й Міжнародній науковій конференції ім. акад. М. Кравчука (Київ, 2002 р.); математичному семінарі кафедри обчислювальної математики та програмування Національного університету “Львівська політехніка” (керівник проф. Каленюк П.І.); математич-ному семінарі ім. В.Я. Скоробогатька в ІППММ НАН України (керівники проф. Пташник Б.Й., с.н.с. Пелих В.О.); Львівському міському семінарі з диференціальних рівнянь (керівники проф. Іванчов М.І., проф. Каленюк П.І., проф. Пташник Б.Й.); семінарі математичного факультету Чернівецького національного університету ім. Ю. Федьковича (керівник проф. Івасишен С.Д.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано у 11 роботах, з яких 7 статей у виданнях з переліку, затвердженого ВАК України.

Структура і об’єм роботи. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів і списку використаних джерел та викладена на 138 сторінках машинописного тексту. Список літератури містить 117 найменувань.

Автор висловлює щиру подяку П.І. Каленюку за наукове керівництво та постійну увагу до роботи.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтована актуальність теми, висвітлено сучасний стан наукової проблеми, вказана мета й задачі дослідження, наукова новизна, апробація отриманих результатів, кількість публікацій та структура роботи.

У першому розділі зроблено огляд праць за темою дисертації, викладено основні допоміжні поняття і теореми, що стосуються напрямку досліджень.

Другий розділ присвячений побудові розв’язку багатоточкової задачі з локальними за часом умовами для однорідної полілінійної системи рівнянь із частинними похідними, а також виділенню класів однозначної розв’язності задачі. Дана задача є узагальненням задачі Коші для системи рівнянь із частинними похідними першого порядку за часом та багатоточкової задачі для окремого полілінійного рівняння із частинними похідними.

У підрозділі 2.1 побудовано формальний розв’язок багатоточкової задачі

, , , (1)

, , (2)

Нехай – характеристичний поліном матриці , яка одержується із заміною на вектор-параметр :

.

Крім того, нехай – елементи характеристичної матриці , а – їх алгебраїчні доповнення, – розв’язок такої задачі Коші

,

(3)

, ,

а – поліноми вигляду

, . (4)

Теорема 2.1. Формальний розв’язок задачі (1),) визначається за формулою

, , (5)

де

;

У підрозділі 2.2 введено поняття мінімального полінома матриці, залежної від вектор-параметра, та зведеної приєднаної матриці. Позначимо для оператор-матриці через її мінімальний поліном вигляду , де , а через – зведену приєднану матрицю.

Теорема 2.2. Формальний розв’язок задачі (1),) може бути визначений за формулою

, (6)

де , , – поліноми (4), а – розв’язок задачі Коші

, (7)

, . (8)

У підрозділі 2.3 виділено класи функцій, в яких знайдені у попередніх підрозділах розв’язки (5) і (6) задачі (1),) є фактичними. Зокрема, побудові квазіполіномних розв’язків задачі (1),) присвячені такі теореми.

Теорема 2.4. Нехай у матричному рівнянні (1) – оператор-матриця порядку , елементами якої є довільні диференціальні поліноми зі сталими коефіцієнтами. Позначимо через число, визначене рівністю

, (9)

де – степінь полінома за сукупністю змінних. Якщо , функції належать до , то у класі вектор-функцій, компоненти яких , , для кожного фіксованого належать до , існує єдиний розв’язок задачі (1),). Його можна подати у вигляді (5) ((6)).

У підрозділі 2.4 досліджується випадок, коли в багатоточкових умовах (2) функції , , , не належать до класів, вказаних у теоремах 2.3-2.5.

Третій розділ присвячений дослідженню крайової задачі з локальними тривіальними багатоточковими за часом умовами для неоднорідної полілінійної системи рівнянь із частинними похідними та методу побудови часткових розв’язків звичайного диференціального рівняння зі сталими коефіцієнтами і спеціальною правою частиною.

У підрозділі 3.1 запропоновано операційний метод побудови часткових розв’язків звичайного диференціального рівняння.

Підрозділ 3.2 містить побудову формального розв’язку багатоточкової задачі

, , , (12)

, , (13)

де – та ж оператор-матриця, що і в рівнянні (1).

Теорема 3.1. Формальний розв’язок задачі (12),) можна визначити за формулою

, (14)

де – матриця вигляду

,

яка володіє властивістю:

Теорема 3.2. Елементи матриці є цілими щодо функціями.

У підрозділі 3.4 виділено класи функцій, у яких розв’язок (14) задачі (12),) існує і є єдиним.

Зокрема, побудові квазіполіномних розв’язків задачі (12),) присвячена теорема 3.4.

Теорема 3.5. Нехай у системі рівнянь (12) – оператор-матриця порядку , елементами якої є довільні диференціальні поліноми зі сталими коефіцієнтами, і – число, визначене рівністю (9). Якщо для кожного функція як функція змінної є аналітичною на функцією і допускає однозначне аналітичне продовження до цілої функції довільного скінченного порядку і для кожного належить до , то у класі вектор-функцій, компоненти яких , , для кожного фіксованого належать до , існує єдиний розв’язок задачі (12),). Цей розв’язок можна знайти за формулою (14).

Четвертий розділ присвячений побудові розв’язку задачі Коші для полілінійного диференціального рівняння із частинними похідними та полілінійної системи рівнянь із частинними похідними. Розв’язки задач Коші одержано в результаті граничного переходу від розв’язків багатоточкових задач з локальними за часом багатоточковими умовами при прямуванні усіх часових вузлів до одного крайнього лівого вузла.

У підрозділі 4.1 виконано граничний перехід від розв’язку багатоточкової задачі

, , , (15)

, , (16)

до розв’язку задачі Коші для рівняння (15) з початковими умовами

, . (17)

У підрозділі 4.2 здійснено аналогічний граничний перехід від розв’язку полілінійної системи рівнянь із частинними похідними (12), що задовольняє умови

, , (18)

до розв’язку задачі Коші для системи (12), що задовольняє початкові умови вигляду

, . (19)

Класи аналітичних функцій, що допускають однозначні аналітичні продовження до цілих функцій певних порядків як класи однозначної розв’язності задач (1),) та (2),), де , виділено у підрозділі 4.3.

Побудові квазіполіномних розв’язків задачі (12),) присвячена теорема 4.5. Більш загальні класи однозначної розв’язності задачі (12),) виділено у теоремах 4.6 та 4.7.

У підрозділі 4.4 виконано граничні переходи від розв’язків багатоточкових задач до розв’язків задач Коші для конкретних однорідних та неоднорідних полілінійних диференціальних рівнянь і полілінійних систем рівнянь із частинними похідними, причому у двох розглядуваних прикладах розв’язок задачі Коші одержано у вигляді аналогу формули Даламбера розв’язку задачі Коші для рівняння коливань струни.

ВИСНОВКИ

Дисертація присвячена розв’язанню операційним методом, породженим узагальненою схемою відокремлення змінних, багатоточкової задачі з локальними за часом умовами та задачі Коші для полілінійної системи рівнянь із частинними похідними. Основні результати дисертації істотно розширюють і доповнюють відомі результати стосовно багатоточкових задач і задач Коші для рівнянь із частинними похідними. У дисертаційній роботі вперше:

· за допомогою операційного методу, що грунтується на узагальненій схемі відокремлення змінних, побудовані розв’язки задач з локальними багатоточковими за часом умовами для полілінійної системи диференціальних рівнянь із частинними похідними, в тому числі безмежного порядку за просторовими змінними. Розв’язки задач подано як суперпозиція дій диференціальних виразів, взагалі кажучи, безмежного порядку, символами яких є праві частини умов і рівнянь, на деякі цілі функції параметрів з покладанням їх після дій рівними нулеві;

· виділено класи однозначної розв’язності досліджуваних задач. Серед цих класів є класи аналітичних вектор-функцій, компоненти яких допускають однозначне аналітичне продовження до цілих функцій певних порядків за сукупністю змінних, а також простори Соболєва безмежного порядку;

· запропоновано операційний метод побудови часткових розв’язків звичайного неоднорідного диференціального рівняння зі сталими коефіцієнтами та спеціальною квазіполіномною правою частиною;

· вказані формули граничного переходу від розв’язків багатоточкових задач з локальними за часом багатоточковими умовами до розв’язків задач Коші при прямуванні усіх часових вузлів до одного вузла для полілінійного диференціального рівняння та полілінійної системи рівнянь із частинними похідними;

· для одержаних в результаті граничного переходу розв’язків задач Коші виділено класи функцій, у яких знайдені розв’язки задач існують і є єдиними.

Результати роботи мають теоретичний характер. Їх можна використати у подальших дослідженнях багатоточкових задач та задач Коші для систем рівнянь із частинними похідними, а також в конкретних задачах механіки.

Основні результати дисертації опубліковано в працях:

1. Нитребич З.М., Плешівський Я.М. Про один диференціальний метод розв’язання звичайного неоднорідного диференціального рівняння із сталими коефіцієнтами // Вісн. ДУ “Львівська політехніка”. –Прикладна математика. – 1998. - №337. - С. 140-143.

2. Каленюк П.І., Нитребич З.М., Плешівський Я.М. Багатоточкова задача для однорідної полілінійної системи рівнянь із частинними похідними // Вісн. ДУ “Львівська політехніка”. –Прикладна математика. - 1999, №364. - С. 223-227.

3. Плешівський Я.М. Крайова задача з локальними багатоточковими умовами для неоднорідної полілінійної системи рівнянь із частинними похідними // Вісн. нац. ун-ту “Львівська політехніка”. – Прикладна математика. – 2000. - №407. - С. 216-220.

4. Плешівський Я.М. Багатоточкова задача та задача Коші для неоднорідного полілінійного рівняння та неоднорідної полілінійної системи рівнянь із частинними похідними // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2000. - 43, №3. - С. 74-79.

5. Каленюк П.І., Нитребич З.М., Плешівський Я.М. Граничний перехід від розв’язку багатоточкової задачі до розв’язку задачі Коші для однорідного полілінійного рівняння та системи рівнянь із частинними похідними // Вісн. нац. ун-ту “Львівська політехніка”. – Прикладна математика. - 2000. - №411. - С. 151-159.

6. Каленюк П.І., Нитребич З.М., Плешівський Я.М. Багатоточкова задача для неоднорідної полілінійної системи рівнянь із частинними похідними // Вісн. ЛНУ ім. І.Франка. Серія мех.-матем. - 2000. – Вип.58. – С. 144-152.

7. Каленюк П.І., Нитребич З.М., Плешівський Я.М. Крайова задача з локальними багатоточковими умовами для однорідної полілінійної системи рівнянь із частинними похідними // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2000. - 43, №2. - С. 90-95.

8. Каленюк П.І., Нитребич З.М., Плешівський Я.М. Метод розв’язання багатоточкової задачі для одного класу систем рівнянь із частинними похідними // Міжнар. конф. “Диференціальні та інтегральні рівняння” (12-14 вересня 2000 р., Одеса). Тези доповідей. - С. 118-119.

9. Плешівський Я.М. Про один метод розв’язання багатоточкової задачі для полілінійної системи рівнянь із частинними похідними // VIII Міжнар. конф. ім. акад. М.Кравчука (11-14 травня 2000 р., Київ). Тези доповідей. - С. 166.

10. Плешівський Я.М. Багатоточкова задача та задача Коші для системи рівнянь з частинними похідними // Міжнар. конф. “Нові підходи до розв’язування диференціальних рівнянь” (1-5 жовтня 2001 р., Дрогобич). Тези доповідей. – Київ, 2001. - С. 116.

11. Плешівський Я.М. Граничний перехід до розв’язку задачі Коші на основі розв’язку багатоточкової задачі для полілінійної системи рівнянь із частинними похідними // IX Міжнар. конф. ім. акад. М.Кравчука (16-19 травня 2002 р., Київ). Тези доповідей. - С. 161.

АНОТАЦІЯ

Плешівський Я.М. Операційний метод розв’язування багатоточкової за часом задачі та задачі Коші для полілінійної системи рівнянь із частинними похідними. -Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння.

У дисертаційній роботі операційний метод, породжений узагальненою схемою відокремлення змінних, вперше застосовано до розв’язування задач із локальними багатоточковими за часом умовами для однорідної та неоднорідної полілінійної систем рівнянь із частинними похідними.

Розв’язки багатоточкових задач для полілінійної системи рівнянь із частинними похідними подано за допомогою дій диференціальних виразів, взагалі кажучи, безмежного порядку на деякі цілі функції параметрів, причому символами цих диференціальних виразів є праві частини багатоточкових умов та праві частини системи рівнянь. Виділено класи однозначної розв’язності цих задач.

Доведено, що задача з локальними багатоточковими за часом умовами для полілінійного диференціального рівняння та полілінійної системи рівнянь із частинними похідними є узагальненням задачі Коші для цього ж рівняння та цієї системи рівнянь. Вказано шлях одержання розв’язку задачі Коші з розв’язку багатоточкової задачі на підставі граничного переходу при прямуванні відстані між вузлами у багатоточкових умовах до нуля.

Запропонований операційний метод розв’язування багатоточкової задачі проілюстровано на конкретних прикладах полілінійних рівнянь і систем рівнянь із частинними похідними.

Ключові слова: операційний метод, схема відокремлення змінних, задача Коші, багатоточкова задача, граничний перехід.

ABSTRACT

Pleshivsky An operational method of solving the multipoint problem with respect to time and Cauchy problem for a polylinear system of partial differential equations. -Manuscript.

The thesis for obtaining Candidate of Science (Physics and Mathematics) degree (Ph. D.) by speciality 01.01.02 - differential equations.

In the dissertation inducated by the generalized separation of variables an operational method to solving the problems with local multipoint conditions with respect to time for homogeneous and inhomogeneous polylinear system of partial differential equations is applied.

Solutions of multipoint problems for polylinear system of partial differential equations are given as a result of actions of differential operators, generally speaking infinite order, on some entire functions of parameters. The symbols of these operators are right-hand sides of multipoint conditions and differential equations. Classes of univalent solvability of the problem are separated.

It is proved, that the problem with local multipoint conditions with respect to time for a polylinear partial differential equation and system of partial differential equation is Cauchy problem generalization for these equation and system of equations. A way of obtaining the Cauchy problem solution from multipoint problem solution on the basis of the passage to the limit under tending spacing interval between nodes in multipoint conditions to zero is indicated.

An operational method of solving the multipoint problem is illustrated on concrete examples of polylinear equations and system of partial differential equations.

Key words: an operational method, a scheme of separation of variables, a Cauchy problem, a multipoint problem, a passage to the limit.

АННОТАЦИЯ

Плешивский Я.Н. Операционный метод решения многоточечной по времени задачи и задачи Коши для полилинейной системы уравнений с частными производными. -Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения.

Многие важные задачи практики, в частности в области термомеханики, теории упругости, моделируются с помощью полилинейных дифференциаль-ных уравнений, наиболее известными представителями которых являются поликалорическое, поливолновое и полигармоническое уравнения.

В диссертационной работе операционный метод, индуцированный обобщенной схемой разделения переменных, впервые применен к решению задач с локальными многоточечными по времени условиями для однородной и неоднородной полилинейной систем уравнений в частных производных. По своей постановке исследованная задача является обобщением многоточечной задачи для полилинейного, в частности поликалорического, дифференциального уравнения с частными производными, а также задачи Коши для системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка по времени и, вообще говоря, бесконечного порядка по пространственным переменным.

В соответствии с предложенным в диссертационной работе методом решения многоточечных задач для полилинейной системы уравнений в частных производных представлены с помощью действий дифференциальных выражений, вообще говоря, бесконечного порядка на некоторые целые функции параметров, причем символами этих дифференциальных выражений являются правые части многоточечных условий и правые части системы уравнений. Выделены классы аналитических функций, допускающих однозначное аналитическое продолжение до целых функций некоторых порядков, в которых решения исследованных многоточечных задач существуют и являются единственными. Указан способ построения решения многоточечной задачи, в которой правые части многоточечных условий и правые части системы уравнений являются квазиполиномами. Этот способ требует конечного числа операций дифференцирования конкретных функций и вычисления значений этих функций и их производных в некоторых точках.

Доказано, что задача с локальными многоточечными по времени условиями для полилинейного дифференциального уравнения и полилинейной системы уравнений в частных производных является обобщением задачи Коши для этого же уравнения и этой же системы уравнений. Сущность этого обобщения состоит в том, что указан способ получения решения задачи Коши, исходя из решения многоточечной задачи, на основе предельного перехода при стремлении расстояния между узлами в многоточечных условиях многоточечной задачи к нулю. В результате выполнения предельного перехода получено сначала формальное решение задачи Коши для неоднородного полилинейного уравнения, а потом решение задачи Коши для неоднородной полилинейной системы уравнений в частных производных. Выделены классы однозначной разрешимости задач Коши, в которых полученные формальные решения задач являются фактическими.

Предложенный операционный метод решения многоточечной задачи проиллюстрирован на конкретных примерах полилинейных уравнений и систем уравнений в частных производных.

Ключевые слова: операционный метод, схема разделения переменных, задача Коши, многоточечная задача, предельный переход.

Підписано до друку 3.03.03. Формат 60х84/16

Папір офсетний, друк офсетний. Ум. друк. арк. 1,1. Обл.-видав. арк. 1,1.

Тираж 100 прим.

Зам. 80.

Надруковано в НВМ Поліграфічного технікуму УАД

79008, м.Львів, вул. Винниченка, 12